資源簡介

第3節　與圓有關的計算
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 弧長與扇形面積的計算　輪考
內容 公式 備注
圓周長 C=2πr (1)r為圓半徑; (2)n°為弧所對的圓心角的度數; (3)l是扇形的弧長
弧長 l=①
圓面積 S=πr2
扇形面積 S==②
技巧提示
使用弧長公式l=時,n和180都不需要帶單位.
知識點2 圓柱、圓錐的有關計算
名稱 公式 備注
圓柱 S圓柱側=③ ; S圓柱全=2πr2+2πrh (1)側面展開圖為矩形; (2)r為底面圓半徑,h為圓柱高
圓錐 S底面圓=④ r為底面圓半徑
C底面圓=2πr
（續表）
展開圖與圓錐各量間的關系 (1)圓錐的軸截面是等腰三角形,圓錐的母線l和底面圓半徑r,圓錐的高h,滿足r2+h2=l2; (2)圓錐的側面展開圖是⑤ ; (3)圓錐底面的周長等于其側面展開圖扇形的⑥ ; (4)圓錐的母線長等于其側面展開圖扇形的⑦
【基礎演練】
1.若扇形的半徑是4,圓心角為120°,則扇形的弧長為 ,扇形的面積為 ,圍成圓錐底面圓半徑為 ,圓錐的高為 .
2.若扇形的半徑是4,弧長是4π,則扇形的圓心角度數為 ,扇形的面積為 .
3.在△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作☉O交AC于點D.
(1)如圖1,若AD=CD=2,則圖中陰影部分的面積是 .
(2)如圖2,若D是的中點,AB=6,則圖中陰影部分的面積是 .
真題精粹·重變式
考向1 與弧長有關的計算
1.(2022·福建)如圖,△ABC內接于☉O,AD∥BC交☉O于點D,DF∥AB交BC于點E,交☉O于點F,連接AF,CF.
(1)求證:AC=AF.
(2)若☉O的半徑為3,∠CAF=30°,求的長.(結果保留π)
考向2 與陰影面積有關的計算
2.(2023·福建)我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”,即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算,指出“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”“割圓術”孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416.如圖,☉O的半徑為1,運用“割圓術”,以圓內接正六邊形面積近似估計☉O的面積,可得π的估計值為,若用圓內接正十二邊形作近似估計,可得π的估計值為 ( )
A.
B.2
C.3
D.2
3.(2020·福建)若一個扇形的圓心角是90°,半徑為4,則這個扇形的面積為 .(結果保留π)
4.(2019·福建)如圖,若邊長為2的正方形ABCD的中心與半徑為2的☉O的圓心重合,E,F分別是AD,BA的延長線與☉O的交點,則圖中陰影部分的面積是 .(結果保留π)
熱點訓練 5. 如圖,熱點訓練在扇形AOB中,∠AOB=80°,半徑OA=3,C是上一點,連接OC,D是OC上一點,且OD=DC,連接BD.若BD⊥OC,則的長為 ( ) A. B. C. D.π 6.如圖,正六邊形ABCDEF的外接圓☉O的半徑為4,過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°,則圖中的陰影部分的面積和為 ( ) A.π-4 B.π-2 C.π-4 D.π-2 7. 如圖,在矩形ABCD中,BC=AB,O為BC的中點,OE=AB=4,則扇形EOF的面積為 . 8.如圖,在☉O中,AB是☉O的直徑,AB=8,過AO的中點E作AB的垂線交☉O于點C和D,P是上一動點.連接PA,PB,PC,PD. (1)求的長度. (2)延長AP到點F,連接BF,使得FB2=FA·FP.求證:BF是☉O的切線. 9.如圖,AB是☉O的直徑,C,D為☉O上兩點,CF⊥AB于點F,CE⊥AD交AD的延長線于點E,且CE=CF. (1)求證:C是的中點. (2)若∠EAB=60°,OA=6,求圖中陰影部分的面積.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①　②rl　③2πrh　④πr2　⑤扇形　⑥弧長
⑦半徑
基礎演練
1.π　π　　　2.180°　8π
3.(1)3-　(2)9
真題精粹·重變式
1.解析:(1)證明:∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四邊形ABED是平行四邊形,∴∠B=∠D.
∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF,∴AC=AF.
(2)如圖,連接AO,CO,
由(1)得∠AFC=∠ACF.
∴∠AFC==75°,
∴∠AOC=2∠AFC=150°,
∴的長l==.
2.C　3.4π　4.π-1　5.B　6.C　7.4π
8.解析:(1)如圖,連接OC,AC.
∵CE垂直平分AO,
∴AC=OC.
又∵OA=OC,
∴△ACO是等邊三角形,
∴∠AOC=60°.
又∵AB=8,
∴OA=AB=4,
∴的長度==.
(2)證明:∵AB是☉O的直徑,
∴∠APB=90°,
∴∠FPB=180°-∠APB=90°.
∵FB2=FP·FA,
∴=.
∵∠F=∠F,
∴△FBP∽△FAB,
∴∠FBA=∠FPB=90°,
∴FB⊥AB于點B,且OB是☉O的半徑,
∴BF是☉O的切線.
9.解析:(1)證明:∵CF⊥AB,CE⊥AD,CE=CF,
∴∠DAC=∠BAC,∴=,
∴C是的中點.
(2)如圖,連接OD.
∵∠EAB=60°,OD=OA=6,
∴△OAD是等邊三角形,∴∠AOD=60°,
∴扇形OAD的面積==6π,△OAD的面積=OA2=9,
∴陰影部分的面積=扇形OAD的面積-△OAD的面積=6π-9.

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