資源簡介

第2節　與圓有關的位置關系
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 點與圓的位置關系
點與圓的位置關系 圖形 d與r的大小
點A在圓O內 d=OA點B在圓O上 d=OB=r
點C在圓O外 d=OC >r
知識點2 直線與圓的位置關系　常考
1.直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系 相交 相切 相離
圖形
d與r的大小 dr
公共點名稱 交點 切點 無
直線名稱 割線 切線 無
2.切線的性質與判定
性質定理 圓的切線垂直于過切點的半徑
推論 1.經過圓心且垂直于切線的直線必過切點
2.經過切點且垂直于切線的直線必過圓心
切線的判定 1.和圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線
2.如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑,那么這條直線是圓的切線
3.經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
3.切線長定理
(1)切線長:如圖,過圓外一點P,有兩條直線PM,PN分別與☉O相切,點P和切點之間線段的長叫作這點到圓的切線長.
(2)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
知識點3 三角形的內心和外心
1.三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫作三角形的外心.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點,它到三角形三個頂點的距離相等.
2.三角形的內心:三角形內切圓的圓心叫作三角形的內心.三角形的內心是三角形三條角平分線的交點,它到三角形三邊的距離相等,且在三角形內部.
【基礎演練】
1.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8.以點A為圓心,r為半徑作圓,當點C在☉A內且點B在☉A外時,r的值可能是 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.如圖,這是“光盤行動”的宣傳海報,圖中筷子與餐盤可看成直線和圓,它們的位置關系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相離 D.平行
3.平面內,☉O的半徑為5,若直線l與☉O相離,則圓心O到直線l的距離可能是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.(2024·三明二模)如圖,在△ABC中,AB=AC,邊BC與☉A相切于點D,邊AB,AC與☉A分別交于點M,N.求證:=.
真題精粹·重變式
1.(2024·福建)如圖,已知點A,B在☉O上,∠AOB=72°,直線MN與☉O相切,切點為C,且C為的中點,則∠ACM等于 ( )
A.18°
B.30°
C.36°
D.72°
2.(2021·福建)如圖,AB為☉O的直徑,點P在AB的延長線上,PC,PD與☉O相切,切點分別為C,D.若AB=6,PC=4,則sin∠CAD等于 ( )
A. B. C. D.
3.(2019·福建)如圖,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點,點C在☉O上,且∠ACB=55°,則∠APB等于 ( )
A.55°
B.70°
C.110°
D.125°
4.(2023·福建)如圖,已知△ABC內接于☉O,CO的延長線交AB于點D,交☉O于點E,交☉O的切線AF于點F,且AF∥BC.
(1)求證:AO∥BE.
(2)求證:AO平分∠BAC.
5.(2020·福建)如圖,AB與☉O相切于點B,AO交☉O于點C,AO的延長線交☉O于點D,E是上不與點B,D重合的點,sin A=.
(1)求∠BED的度數.
(2)若☉O的半徑為3,點F在AB的延長線上,且BF=3,求證:DF與☉O相切.
核心突破·拓思維
考點 切線的判定
如圖,在△ABC中,CA=CB,O為AB上一點.以O為圓心,OB長為半徑的☉O過點C,交AB于另一點D,若D是OA的中點,求證:AC是☉O的切線.
由CA=CB 可得∠A=∠B
可證△AOC≌△BDC ∠ACO=∠BCD=90°
即可得AC是☉O的切線
核心方法
　　證明直線與圓相切常見情形
(1)已知半徑,證垂直;(2)已知垂直,證半徑;(3)半徑、垂直都不知,作垂線試一試.
如圖,△ABC內接于☉O,AB是☉O的直徑,∠A=60°.點E在AB延長線上,BE=OB.過點E作ED⊥AC,交AC的延長線于點D. 求證:DE是☉O的切線.
如圖,△ABC為☉O內接三角形,∠B=2∠A,點M為直徑AB上一點,過點M作AB的垂線交AC于點N,交BC的延長線于點E,直線CF交EN于點F,EF=FC.
(1)求證:CF 是☉O 的切線.
(2)設☉O 的半徑為2,且AC=CE,求AM 的長.
參考答案
回歸教材·過基礎
基礎演練
1.B　2.B　3.A
4.證明:連接AD,如圖所示.
∵BC與☉A相切于點D,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴=.
真題精粹·重變式
1.A　2.D　3.B
4.證明:(1)∵AF是☉O的切線,
∴AF⊥OA,即∠OAF=90°.
∵CE是☉O的直徑,
∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE.
∵AF∥BC,∴∠BAF=∠ABC,
∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,
即∠OAB=∠ABE,
∴AO∥BE.
(2)∵∠ABE與∠ACE都是所對的圓周角,
∴∠ABE=∠ACE.
∵OA=OC,∴∠ACE=∠OAC,
∴∠ABE=∠OAC,
由(1)知∠OAB=∠ABE,
∴∠OAB=∠OAC,
∴AO平分∠BAC.
5.解析:(1)如圖1,連接OB.
圖1
∵AB與☉O相切于點B,
∴∠ABO=90°.
∵sin A=,
∴∠A=30°,∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°,
∴∠BED=∠BOD=60°.
(2)證明:如圖2,連接OF,OB.
圖2
∵AB是切線,∴∠OBF=90°.
∵BF=3,OB=3,
∴tan∠BOF==,∴∠BOF=60°.
∵∠BOD=120°,
∴∠BOF=∠DOF=60°.
在△BOF和△DOF中,
∴△BOF≌△DOF(SAS),
∴∠OBF=∠ODF=90°,∴DF與☉O相切.
核心突破·拓思維
例　證明:如圖,連接OC,CD.
∵CA=CB,
∴∠A=∠B.
∵BD是直徑,
∴∠BCD=90°.
∵D是OA的中點,
∴AD=OD.
又OB=OD,∴AO=BD,
∴△AOC≌△BDC(SAS),
∴∠ACO=∠BCD=90°,∴OC⊥AC.
∵C為半徑OC的外端點,
∴AC是☉O的切線.
變式1　證明:如圖,過點O作OF⊥DE于點F.
∵ED⊥AC,
∴∠D=90°.
又∵∠A=60°,
∴∠E=30°,
∴OF=OE.
∵BE=OB,
∴OB=OE,
∴OF=OB,則點F在☉O上,
∴DE是☉O的切線.
變式2　解析:(1)證明:如圖,連接OC.
∵AB是☉O的直徑,
∴∠ACB=90°.
又∵∠B=2∠A,
∴∠B=60°,∠A=30°,
∵EM⊥AB,∴∠EMB=90°.
在Rt△EMB中,∠B=60°,∴∠E=30°.
又∵EF=FC,∴∠ECF=∠E=30°.
又∵∠ECA=90°,∴∠FCA=60°.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°,
∴OC⊥CF,∴FC是☉O的切線.
(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,
∴BC=AB=2,AC=BC=2.
∵AC=CE,∴CE=2,
∴BE=BC+CE=2+2.
在Rt△BEM中,∠BME=90°,∠E=30°,
∴BM=BE=1+,
∴AM=AB-BM=4-1-=3-.

展開更多......

收起↑