資源簡介

第1節　與圓有關的概念及性質
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 圓的有關概念及性質　常考
圓的定義 動態:在一個平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周,另一個端點A所形成的圖形叫作圓,其固定的端點O叫作圓心,線段OA叫作半徑. 靜態:到定點的距離等于定長的所有點的集合叫作圓
同心圓 圓心相同、半徑不等的圓叫作同心圓
等圓 能夠重合的兩個圓叫作等圓(半徑相等)
半圓 圓分成兩條相等的弧,每一條弧都叫作半圓
弧 圓上任意兩點間的部分叫作圓弧,簡稱弧,大于半圓的弧叫作優弧,小于半圓的弧叫作劣弧
弦 連接圓上任意兩點的線段叫作弦
直徑 經過圓心的弦叫作直徑
弦心距 圓心到弦的距離叫作弦心距
圓心角 頂點在① 的角叫作圓心角
圓周角 頂點在圓上,并且兩條邊都與圓相交的角叫作圓周角
圓的性質 對稱性;旋轉不變性
易錯警示 在運用圓周角定理時,一定要注意“在同圓或等圓中”的條件 一條弦對應兩條弧,對應兩個圓周角且這兩個圓周角互補 一條弧只一個圓心角,但卻對應著 無數個圓周角
知識點2 垂徑定理及其推論　輪考
1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
2.推論:平分弦(不是直徑)的直徑② 于弦,并且平分弦所對的兩條弧.
知識點3 弧、弦、圓心角之間的關系　常考
1.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧③ ,所對的弦④ .
2.在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦相等.
3.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的優弧和劣弧分別相等.
知識點4 圓周角定理及其推論　常考
1.圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對圓心角的⑤ .
2.圓周角定理的推論
(1)推論一:同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.
(2)推論二:半圓(或直徑)所對的圓周角是⑥ ,90°的圓周角所對的弦是直徑.
(3)推論三:圓內接四邊形的對角⑦ .
知識點5 圓的內接多邊形　常考
1.定義:如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上,那么這個多邊形叫作這個圓的內接多邊形,
這個圓叫作這個多邊形的外接圓.
2.三角形的外心:三角形⑧ 的圓心叫作這個三角形的外心.
3.外心的性質:三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.三角形的外心是三角形三
邊⑨ 的交點.
4.確定圓的條件:不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
5.圓內接四邊形的對角互補.
技巧提示
圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角(和它相鄰的內角的對角).
【基礎演練】
1.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是 ( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
2.如圖,AD是☉O的直徑,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB,連接CD,交OB于點E,∠BOC=42°,則∠OED的度數是 ( )
A.61° B.63°
C.65° D.67°
3.(2024·泉州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AC=AD,∠ABD=90°,過A,B,D三點的圓與CD交于
點E.
(1)求證:E是CD的中點.
(2)若CD=2BC,求證:∠BCD=2∠ADB.
真題精粹·重變式
考向1 圓周角定理及其推論
1.(2020·福建)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB=CD,A為的中點,∠BDC=60°,則∠ADB等于 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
熱點訓練 2.如圖,等邊△ABC的頂點A在☉O上,邊AB,AC與☉O分別交于點D,E,F是弧DE上一點,且與點D,E不重合,連接DF,EF,則∠DFE的度數為 ( ) A.115° B.118° C.120° D.125°
考向2 圓性質綜合運用
3.(2019·福建)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB=AC,BD⊥AC,垂足為E,點F在BD的延長線上,且DF=DC,連接AF,CF.
(1)求證:∠BAC=2∠DAC.
(2)若AF=10,BC=4,求tan∠BAD的值.
熱點訓練 4.如圖1,四邊形ABCD內接于☉O,AC為直徑,DE⊥AB交AB于點E,交☉O于點F. (1)延長DC,FB相交于點P,求證:PB=PC. (2)如圖2,過點B作BG⊥AD于點G,交DE于點H,連接BD.若AB=,DH=1,∠OHD=80°, 求∠EDB的度數.
考向3 垂徑定理及其應用
熱點訓練 5.如圖,若AB是☉O的弦,OC⊥AB,垂足為C,OD∥AB,OC=OD,則∠ABD的度數為 ( ) A.90° B.95° C.100° D.105°
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①圓心上　②垂直　③相等　④相等　⑤一半　⑥直角
⑦互補　⑧外接圓　⑨中垂線
基礎演練
1.C　2.B
3.證明:(1)如圖,連接AE.
∵A,B,D三點共圓,且∠ABD=90°,∴AD為直徑,
∴∠AED=90°,即AE⊥CD.
又∵AC=AD,∴CE=DE,
即E是CD的中點.
(2)如圖,連接BE.
∵CD=2BC,CE=DE,∴CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE,
則∠BCD=180°-∠CEB-∠CBE=180°-2∠CEB.
又∵∠AEB=∠AEC-∠CEB=90°-∠CEB,
∴∠BCD=2∠AEB.
∵=,∴∠AEB=∠ADB,
∴∠BCD=2∠ADB.
真題精粹·重變式
1.A　2.C
3.解析:(1)證明:∵BD⊥AC,∴∠AED=90°.
在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=∠ADE.
在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2∠ADE=180°-2(90°-∠CAD)=2∠CAD.
(2)∵DF=DC,
∴∠BFC=∠BDC=∠BAC.
由(1)得∠DAC=∠BAC=∠FBC,
∴∠BFC=∠FBC,∴CB=CF.
又∵BD⊥AC,
∴AC是線段BF的中垂線,AB=AF=AC=10.
又∵BC=4,
設AE=x,則CE=10-x,∴AB2-AE2=BC2-CE2,100-x2=80-(10-x)2,解得x=6,
∴AE=6,CE=4,BE=8.
∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,
∴△ADE∽△BCE,
∴DE===3,BD=11,AD=3.
如圖,作DH⊥AB,垂足為H,則
DH=BD·sin∠ABD=11×=,
BH=BD·cos∠ABD=11×=,
∴AH=AB-BH=10-=,
∴tan∠BAD===.
4.解析:(1)證明:∵AC是☉O的直徑,
∴∠ABC=90°.
又∵DE⊥AB,∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,
∴∠F=∠PBC.
又∵四邊形BCDF是圓內接四邊形,
∴∠F+∠DCB=180°.
又∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,
∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.
(2)如圖,連接OD.
∵AC是☉O的直徑,∴∠ADC=90°.又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.
又∵BC∥DF,DH=1,
∴四邊形BCDH為平行四邊形,
∴BC=DH=1.
在Rt△ABC中,
AB=,tan∠ACB==,
∴∠ACB=60°,
∴BC=AC=OD,∴DH=OD.
在等腰△DOH中,
∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°,設DE交AC于點N.
∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°.
∵OA=OD,∴∠OAD==20°,
則∠CBD=∠OAD=20°.
∵BC∥DE,
∴∠EDB=∠CBD=20°.
5.D

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