資源簡介

第3節(jié)　一元二次方程及其應(yīng)用
回歸教材·過基礎(chǔ)
【知識體系】
【考點(diǎn)清單】
知識點(diǎn)1 一元二次方程及其解法
1.一般形式
2.一元二次方程的解法
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
直接開平方法 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接開方求解,x1=-m+,x2=-m-
因式分解法 可化為a(x+m)(x+n)=0的形式的方程,用因式分解法求解, 則x1=① ,x2=②
公式法 將一元二次方程的一般式中的系數(shù)a,b,c的值直接代入求根公式x=③ (b2-4ac≥0),就可以得到方程的根
配方法 若ax2+bx+c=0不易于分解因式,可考慮配方為a(x+h)2=k的形式,再直接開方求解,配方法的關(guān)鍵是先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再給方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方
知識點(diǎn)2 一元二次方程根的判別式
1.一元二次方程根的判別式:我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式,用符號“Δ”表示.
判別式與根的關(guān)系
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
推論1:如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
推論2:以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
知識點(diǎn)3 一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的常見類型
類型 關(guān)系式
增長率(或降低率)問題 ①增長率=×100%. ②若設(shè)原來的量是a,平均增長率是x,增長次數(shù)是n,增長后的量是b,則a(1+x)n=b; 若設(shè)原來的量是a,平均降低率是x,降低次數(shù)是n,降低后的量是b,則a(1-x)n=b
數(shù)字問題 ①若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的最中間的偶數(shù)是x,則最小的偶數(shù)是x-2,最大的偶數(shù)是x+2. ②若一個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)字是a,十位上的數(shù)字是b,個(gè)位上的數(shù)字是c,則這個(gè)三位數(shù)是100a+10b+c
雙方參與問題 ①握手問題:若兩個(gè)人握1次手,則x個(gè)人握次手. ②賀卡問題:若兩個(gè)人互送1張賀卡,則x個(gè)人互送x(x-1)張賀卡. ③球賽問題:a.若兩個(gè)隊(duì)只比賽1場(單循環(huán)),則x個(gè)隊(duì)比賽場; b.若兩個(gè)隊(duì)相互比賽1場(雙循環(huán)),則x個(gè)隊(duì)比賽x(x-1)場
圖形面積問題 ①如圖1,大矩形的長是a,寬是b,空白部分的寬度都是x,則陰影部分的面積是(a-2x)(b-2x).②如圖2,大矩形的長是a,寬是b,陰影部分的寬度都是x,則空白部分的面積是(a-x)(b-x). ③如圖3,大矩形的長是a,寬是b,陰影部分的寬度都是x,則空白部分的面積是ab-ax-bx+x2;本題也可以通過平移得到圖4,此時(shí)空白部分的面積是(a-x)(b-x)
【基礎(chǔ)演練】
1.方程3x2-2x=1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是 ( )
A.3,2,1 B.3,-2,1
C.3,-2,-1 D.-3,2,-1
2.若x=1是關(guān)于x的方程x2+x-t=0的一個(gè)根,則t的值為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.用配方法解方程x2-8x+2=0,則方程可變形為 ( )
A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=18
C.(x-4)2=18 D.(x-4)2=14
4.若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ( )
A.k≤1 B.k<1且k≠0
C.k≤1且k≠0 D.k≥1
5.若一元二次方程x2-3x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a,b,則a-ab+b的值為 .
6.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?
(1)(x-2)2=1;
(2)3x2+2x=2.
真題精粹·重變式
考向1 一元二次方程根的探究
1.(2018·福建)已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,下列判斷正確的是 ( )
A.1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根
真題變式 變設(shè)問——條件結(jié)論互換 2.若1和-1有一個(gè)是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根,判斷一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0根的情況.
熱點(diǎn)訓(xùn)練 3.一元二次方程x2+x-1=0的根的情況是 ( ) A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.沒有實(shí)數(shù)根 C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 4.請?zhí)顚懸粋€(gè)常數(shù),使得關(guān)于x的方程x2-2x+ =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
考向2 解一元二次方程　6年1考
熱點(diǎn)訓(xùn)練 5.用配方法解方程x2-2x=2時(shí),配方后正確的是 ( ) A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 6.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是 . 7.解方程:x2-2x-3=0.
8.(2023·福建)根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元,2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,根據(jù)題意可列方程 ( )
A.43903.89(1+x)=53109.85
B.43903.89(1+x)2=53109.85
C.43903.89x2=53109.85
D.43903.89(1+x2)=53109.85
核心方法
　　解一元二次方程的注意事項(xiàng)
1.解一元二次方程時(shí),不能兩邊同時(shí)除以含x的整式,否則計(jì)算結(jié)果就會漏掉一個(gè)根.
　　2.原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,最后結(jié)果要寫成x1=x2=a的形式.
考向3 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用　6年1考
9.(2021·福建)某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,該市大力開展植樹造林活動(dòng),2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x,那么下列方程正確的為 ( )
A.0.63(1+x)=0.68
B.0.63(1+x)2=0.68
C.0.63(1+2x)=0.68
D.0.63(1+2x)2=0.68
核心突破·拓思維
考點(diǎn)1 解一元二次方程
(一題多角度)已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2-4x-12=0,解答下列問題.
(1)m的取值范圍是 .
(2)當(dāng)m=3時(shí),請選擇合適的方法解一元二次方程.
(3)若一元二次方程的一個(gè)根為2,則m的值為 ,方程的另一個(gè)根為 .
(4)①若方程有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是 ;
②若方程無實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是 ;
③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是 ;
④若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是 .
(5)當(dāng)m=5時(shí),一元二次方程的兩根分別x1,x2,求下列代數(shù)式的值.
①x1+x2= ;
②x1·x2= ;
③+= ;
④+= ;
⑤(x1-x2)2= .
核心方法
　　運(yùn)用根的判別式的注意事項(xiàng)
根據(jù)“Δ”的符號可以確定一元二次方程的根的情況,反之,根據(jù)一元二次方程的根的情況也可以確定“Δ”的符號,同時(shí)要注意,根據(jù)一元二次方程的定義,二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.
考點(diǎn)2 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
某汽車銷售公司3月份銷售某廠家的汽車,在一定范圍內(nèi),每輛汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系:若當(dāng)月僅售出1輛汽車,則該輛汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元,每多售出1輛,所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/輛.另外,月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司,銷售量在10輛以內(nèi)(含10輛),每輛返利0.5萬元;銷售量在10輛以上,每輛返利1萬元.
(1)求每輛汽車的進(jìn)價(jià)y(單位:萬元)與該公司當(dāng)月售出汽車數(shù)量x(單位:輛)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)如果汽車的售價(jià)為28萬元/輛,該汽車銷售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元,那么需要售出多少輛汽車 (盈利=銷售利潤+返利)
解題指南　(1)利用“每輛汽車的進(jìn)價(jià)=27-0.1×(售出的汽車數(shù)量- )”,即可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)分010兩種情況考慮,根據(jù)該汽車銷售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利 萬元,可得出關(guān)于x的一元二次方程,解方程取其符合題意的值即可得出結(jié)論.
核心方法
　　列一元二次方程解實(shí)際問題的基本步驟
1.找已知量、未知量;2.設(shè)未知數(shù);3.找等量關(guān)系,列出方程;4.解方程;5.檢驗(yàn);6.答.其中找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題關(guān)鍵.
某商場將進(jìn)貨價(jià)為20元的玩具以30元售出,平均每天可售出300件.調(diào)查發(fā)現(xiàn),該玩具的單價(jià)每上漲1元,平均每天就少售出10件.若商場想要平均每天獲得3 750元的利潤,則每件玩具應(yīng)漲價(jià)多少元 設(shè)每件玩具應(yīng)漲價(jià)x元,則下列說法錯(cuò)誤的是 ( )
A.漲價(jià)后每件玩具的售價(jià)是(30+x)元
B.漲價(jià)后平均每天少售出玩具的數(shù)量是10x件
C.漲價(jià)后平均每天銷售玩具的數(shù)量是(300-10x)件
D.根據(jù)題意可列方程為(30+x)(300-10x)=3 750
如圖1,將邊長為x的大正方形剪去一個(gè)邊長為1的小正方形(陰影部分),并將剩余部分沿虛線剪開,得到兩個(gè)長方形,再將這兩個(gè)長方形拼成圖2所示的長方形.這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式 ( )
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
核心方法
　　一元二次方程應(yīng)用的解題思路
　　1.在真實(shí)情境下解決幾何問題時(shí),結(jié)合圖形的性質(zhì)得到等量關(guān)系,列出一元二次方程解決問題.
　　2.解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí),要通過分析其中的數(shù)量關(guān)系,找到等量關(guān)系,列出一元二次方程,求解.解出的結(jié)果既要符合題目條件,也要符合生活實(shí)際.
參考答案
回歸教材·過基礎(chǔ)
考點(diǎn)清單
①-m?、?n?、邸、苡袃蓚€(gè)不相等　⑤有兩個(gè)相等?、逕o
基礎(chǔ)演練
1.C　2.B　3.D　4.C　5.5
6.解析:(1)∵(x-2)2=1,
∴x-2=1或x-2=-1,
解得x1=3,x2=1.
(2)∵3x2+2x=2,
∴3x2+2x-2=0,
∴a=3,b=2,c=-2,
∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-2)=28>0,
∴x===,
解得x1=,x2=.
真題精粹·重變式
1.D
2.解析:(a+1)x2+2bx+(a+1)=0的判別式為(2b)2-4(a+1)2=4(b+a+1)(b-a-1).
當(dāng)x=1是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根時(shí),有1+b+a=0,
此時(shí)(2b)2-4(a+1)2=0,
∴方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)x=-1是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根時(shí),有1-b+a=0,∴b-a-1=0,
此時(shí)(2b)2-4(a+1)2=0,
∴方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
綜上所述,方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
3.A　4.0(答案不唯一)　5.C　6.x1=2,x2=-7
7.解析:原方程可以變形為(x-3)(x+1)=0,
∴x-3=0或x+1=0,
∴x1=3,x2=-1.
8.B　9.B
核心突破·拓思維
例1　(1)m≠2
(2)解析:分解因式,得(x+2)(x-6)=0,
則x+2=0或x-6=0,
解得x1=-2,x2=6.
(3)7　-　(4)①m≥且m≠2?、趍<
③m>且m≠2?、堋?5)①?、?4　③-
④?、?br/>例2　解題指南　(1)1　(2)12
解析:(1)依題意得y=27-0.1(x-1)=-0.1x+27.1.
(2)當(dāng)0整理得x2+14x-120=0,
解得x1=6,x2=-20(不合題意,舍去);
當(dāng)x>10時(shí),有[28-(-0.1x+27.1)]·x+x=12,
整理得x2+19x-120=0,
解得x1=5(不合題意,舍去),x2=-24(不合題意,舍去).
答:如果該汽車銷售公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬元,那么需要售出6輛汽車.
變式1　D
變式2　B

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