資源簡介

第1節　一次方程(組)及其應用
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 方程的有關概念及等式的性質
1.方程的有關概念
2.等式的性質
知識點2 一元一次方程及其解法
1.一元一次方程
定義 只含有⑦ 未知數(元),未知數的次數都是⑧ ,等號兩邊都是⑨ ,這樣的方程叫作一元一次方程
2.解一元一次方程的一般步驟
步驟 具體做法
去分母 若方程中未知數的系數為分數,則方程兩邊同乘分母的最小公倍數
去括號 若方程中有括號,則應先去括號,去括號的順序為先去小括號,再去中括號,最后去大括號
移項 將含未知數的項移到方程左邊,常數項移到方程右邊
合并同類項 把方程化成ax=b(a≠0)的形式
系數化為1 方程兩邊同除以未知數的系數
知識點3 二元一次方程組的解法
1.解二元一次方程組的基本思想——消元
2.基本方法
知識點4 一次方程(組)的應用
1.列方程(組)解應用題的一般步驟:
(1)把握題意,搞清楚什么是條件,求什么;
(2)設未知數
(3)找出能夠包含未知數的等量關系(一般情況下設幾個未知數,就找幾個等量關系);
(4)列出方程(組);
(5)求出方程(組)的解;
(6)檢驗(看是否符合題意);
(7)寫出答案(包括單位名稱).
2.一次方程(組)實際應用的常見類型
常見題型及關系式 (1)利潤問題:售價=標價×折扣,銷售額=售價×銷量,利潤=售價-進價, 利潤率=利潤/進價×100%. (2)利息問題:利息=本金×利率×期數,本息=本金+利息. (3)工程問題:工作量=工作效率×工作時間. (4)行程問題:路程=速度×時間. ①相遇問題:全路程=甲走的路程+乙走的路程. ②追及問題:a.同地不同時出發,前者走的路程=追者走的路程; b.同時不同地出發,前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程
【基礎演練】
1.下列等式變形不一定正確的是 ( )
A.若a=b,則a+c=b+c
B.若a=b,則3a=3b
C.若a=b,則a-x=b-x
D.若a=b,則=
2.填空,使所得結果仍是等式:
(1)如果x-2=5,那么x=5+ ;
(2)如果3x=10-2x,那么3x 2x=10;
(3)如果2x=7,那么x= ;
(4)如果=3,那么x-1= .
3.解方程:x-=-1.
4.解方程組:
真題精粹·重變式
考向1 解一元一次方程 　6年1考
1.(2022·福建)推理是數學的基本思維方式,若推理過程不嚴謹,則推理結果可能產生錯誤.例如,有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”,并證明如下:
設任意一個實數為x,令x=m,
等式兩邊都乘x,得x2=mx,①
等式兩邊都減m2,得x2-m2=mx-m2,②
等式兩邊分別分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m),③
等式兩邊都除以x-m,得x+m=m,④
等式兩邊都減m,得x=0,⑤
故任意一個實數都等于0.
以上推理過程中,開始出現錯誤的那一步對應的序號是 .
熱點訓練 2.若代數式x+1的值為6,則x等于 ( ) A.5 B.-5 C.7 D.-7 3.解方程:+=4.
核心方法
　　解一元一次方程時的“四注意”
1.去分母時,不要漏乘常數項;
2.去分母時,分子是多項式的要加括號;
3.括號前是負號,去括號時,要變號;
4.移項時要變號.
考向2 解二元一次方程組 　6年1考
4.(2019·福建)解方程組:
真題變式 變條件——融入去分母 5.解方程組:
熱點訓練 6.已知二元一次方程組則x-y的值為 . 7.已知是方程ax+by=3的解,則代數式2a+4b-5的值為 .
考向3 一次方程(組)的應用　6年2考
8.(2024·福建)今年我國國民經濟開局良好,市場銷售穩定增長,社會消費增長較快,第一季度社會消費品零售總額120327億元,比去年第一季度增長4.7%,求去年第一季度社會消費品零售總額.若將去年第一季度社會消費品零售總額設為x億元,則符合題意的方程是 ( )
A.(1+4.7%)x=120327
B.(1-4.7%)x=120327
C.=120327
D.=120327
9.(2019·福建)《增刪算法統宗》記載:“有個學生資性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,問君每日讀多少 ”其大意如下:有個學生天資聰慧,三天讀完一部《孟子》,每天閱讀的字數是前一天的兩倍,問他每天各讀多少個字 已知《孟子》一書共有34685個字,設他第一天讀x個字,則下面所列方程正確的是 ( )
A.x+2x+4x=34685
B.x+2x+3x=34685
C.x+2x+2x=34685
D.x+x+x=34685
熱點訓練 10.我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載了“繩索量竿”問題:“一條竿子一條索,索比竿子長一托.折回索子卻量竿,卻比竿子短一托.”其大意:現有一根竿和一條繩索,用繩索去量竿,繩索比竿長5尺;如果將繩索對半折后再去量竿,就比竿短5尺.設繩索長x尺,竿長y尺,則符合題意的方程組是 ( ) A. B. C. D.
核心突破·拓思維
考點 一次方程(組)的應用
在“二元一次方程組”這一章的復習課上,王老師讓同學們根據下列條件探索還能求出哪些量:在我市“鄉村建設”工作中,甲、乙兩個工程隊先后接力為某村莊修建一條335米長的公路,甲隊每天修建20米,乙隊每天修建25米,一共用了15天完成.
(1)小紅同學根據題意,列出了一個尚不完整的方程組
請寫出小紅所列方程組中未知數x,y表示的意義:x表示 ,y表示 ;并寫出該方程組中 處的數應是 ,*處的數應是 .
(2)小芳同學的思路:設甲工程隊一共修建了x米公路,乙工程隊一共修建了y米公路.請你按照小芳的思路列出方程組,并求出乙隊修建的天數.
核心方法
　　一次方程(組)的應用注意事項
　　①在設未知數時,根據實際情況直接設未知數或間接設未知數,并且一定要記得未知數要帶單位.
　　②在解方程的過程中,要保證設的未知數、列的未知數、解的未知數相同.
　　③題目中常出現單位換算的陷阱,列方程時一定要統一單位.
　　④實際應用題最后一步一定要記得“答”.
我國古代數學著作《增刪算法統宗》有題如下:“甲、乙二人沽酒,不知誰少誰多.乙鈔少半甲相和,二百無零堪可.乙得甲錢中半,亦然二百無那.英賢算得無訛,將甚法兒方可 ”其大意:“甲、乙二人買酒,不知誰買多買少.只知乙買酒的錢的與甲買酒的錢之和恰好為200文.若乙得到甲買酒錢的一半,也有200文.試問甲、乙買酒各用了多少錢,才智出眾的人算得無誤,就稱為好解法.”設甲買酒錢x文,乙買酒錢y文,則可列方程組為 ( )
A. B.
C. D.
我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足.問雞兔各幾何.”其大意:“有若干只雞和兔關在同一籠子里,它們一共有35個頭,94條腿.問籠中的雞和兔各有多少只 ”試用列方程(組)解應用題的方法求出問題的解.
《九章算術》是我國古代的數學專著,幾名學生想要湊錢購買1本.若每人出8元,則多了3元;若每人出7元,則少了4元.問學生人數和該書單價各是多少
某茶葉店經銷安溪鐵觀音,第一次購進了A種茶30盒,B種茶20盒,共花費6000元;第二次購進時,兩種茶每盒的價格都提高了20%,該店又購進了A種茶20盒,B種茶15盒,共花費5100元.分別求第一次購進的A,B兩種茶每盒的價格.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①等式　②解或根　③解方程　④b±c　⑤bc　⑥　⑦一個　⑧1　⑨整式
基礎演練
1.D
2.(1)2　(2)+　(3)　(4)6
3.解析:去分母,得12x-3(x-2)=2(5x-7)-12,
去括號,得12x-3x+6=10x-14-12,
移項,得12x-3x-10x=-14-12-6,
合并同類項,得-x=-32,
系數化為1,得x=32.
4.解析:由①得x=2y+4,③
將③代入②得2(2y+4)+y-3=0,
解得y=-1.
把y=-1代入③得x=2×(-1)+4=2.
所以原方程組的解為
真題精粹·重變式
1.④　2.A
3.解析:+=4,
3(x-3)+2(x-1)=24,
3x-9+2x-2=24,
3x+2x=24+9+2,
5x=35,
x=7.
4.解析:
①+②,得3x=9,
解得x=3.
把x=3代入①,得y=-2,
所以這個方程組的解為
5.解析:令
②×2得x+2y=8,③
③-①得3y=3,
解得y=1,
將y=1代入①得x=6,
∴原方程組的解為
6.1　7.1　8.A　9.A　10.A
核心突破·拓思維
例　解析:(1)根據方程組中第二個方程可得x是與甲隊每天修建的長度相乘,y是與乙隊每天修建的長度相乘,這樣可得出x,y分別表示甲、乙兩隊各自修路的天數,從而得到x+y=15,20x+25y=335.
故答案為甲隊修路的天數;乙隊修路的天數;15;335.
(2)根據題意可列方程組為
由①得x=335-y,③
將③式代入②式得+=15,
解得y=175,
所以乙隊修建了175米,修建的天數為=7(天).
答:乙隊修建了7天.
變式1　B
變式2　解析:設雞有x只,兔有y只,雞有1個頭,2條腿,兔有1個頭,4條腿.
結合題意可得
解得
故籠中的雞有23只,兔有12只.
變式3　解析:設學生有x人,該書單價為y元.
根據題意得　　解得
答:學生有7人,該書單價為53元.
變式4　解析:設第一次購進A種茶的價格為x元/盒,B種茶的價格為y元/盒.
依題意得
解得
答:第一次購進A種茶的價格為100元/盒,B種茶的價格為150元/盒.

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