資源簡介

第2節　概率
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 事件的分類　輪考
事件類型 定義 概率
必然事件 在一定條件下,① P=1
不可能事件 在一定條件下,有些事件必然不會發生 P=0
隨機事件 在一定條件下,可能發生也可能不發生的事件 ②
知識點2 概率的計算　常考
1.古典概型
古典概型的定義:一次試驗中,出現的結果有有限個;每個結果發生的可能性相等.
古典概型的概率:一次試驗中,有n種結果,并且它們發生的可能性都相等,事件A包含其中的m種結果,那么事件A發生的概率為P(A)=③ .
2.列表法求概率
列表法:當一次試驗要涉及兩個因素,并且可能出現的結果數目較多時,用列表法不重不漏地列出所有可能的結果.
列表法表示形式:
A B C
D (A,D) (B,D) (C,D)
E (A,E) (B,E) (C,E)
F (A,F) (B,F) (C,F)
3.樹狀圖法求概率
樹狀圖法的表示形式:
注:一個試驗要涉及三個或更多的因素時,列表法不方便,通常采用樹狀圖法.
4.幾何概型:P(A)=.
5.利用頻率估計概率:在同樣條件下,做大量的重復試驗,如果事件A發生的頻率逐漸穩定于某個常數c,可以估計這個事件發生的概率為常數c.
【基礎演練】
1.有7張撲克牌如圖所示,將其打亂順序后,背面朝上放在桌面上,若從中隨機抽取一張,則抽到的花色可能性最大的是 ( )
A B C D.
2.兩人做游戲:每人在紙上隨便寫一個-2到2之間的整數(包括-2和2),將兩人所寫的整數相加,那么和的絕對值是2的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.垃圾分類可以把有用的垃圾回收再利用,減少了對環境的危害.隨機將一節廢舊的電池(有害垃圾)和礦泉水空瓶(可回收垃圾)分別放入不同的垃圾桶,則投放正確的概率為 ( )
A. B. C. D.
4.一天晚上,小偉幫助媽媽清洗四個綠、白、藍、紅只有顏色不同的有蓋茶杯,突然停電了,小偉只好隨機將其中一個杯蓋和一個茶杯搭配在一起.則顏色搭配恰好正確的概率為 ( )
A. B.
C. D.
真題精粹·重變式
考向1 事件的分類
熱點訓練 1.投擲兩枚質地均勻的骰子,骰子的六個面上分別刻有1到6的點數,則下列事件為隨機事件的是 ( ) A.兩枚骰子向上一面的點數之和大于1 B.兩枚骰子向上一面的點數之和等于1 C.兩枚骰子向上一面的點數之和大于12 D.兩枚骰子向上一面的點數之和等于12 2.下列事件中,屬于必然事件的是 ( ) A.任意購買一張電影票,座位號是偶數 B.夢到醒來會下雨,醒來后發現窗外在下雨 C.解鎖手機,提示微信收到了新消息 D.五個人分成四組,且每組都有人,則這四組中有一組必有兩人
考向2 事件概率的計算
3.(2024·福建)哥德巴赫提出“每個大于2的偶數都可以表示為兩個質數之和”的猜想,我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.在質數2,3,5中,隨機選取兩個不同的數,其和是偶數的概率是 ( )
A. B.
C. D.
4.(2022·福建)一個不透明的袋中裝有3個紅球和2個白球,這些球除顏色外無其他差別.現隨機從袋中摸出一個球,這個球是紅球的概率是 .
5.(2020·福建)若從甲、乙、丙3位“愛心輔學”志愿者中隨機選1位為學生在線輔導功課,則甲被選到的概率為 .
6.(2023·福建)為促進消費,助力經濟發展,某商場決定“讓利酬賓”,于五一期間舉辦了抽獎促銷活動.活動規定:凡在商場消費一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下:從裝有大小質地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中,隨機摸出1個球,若摸得紅球,則中獎,可獲得獎品;若摸得黃球,則不中獎.同時,還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1個紅球或黃球(它們的大小質地與袋中的4個球完全相同),然后從中隨機摸出1個球,記下顏色后不放回,再從中隨機摸出1個球,若摸得的兩球的顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份.現已知某顧客獲得抽獎機會.
(1)求該顧客首次摸球中獎的概率.
(2)假如該顧客首次摸球未中獎,為了有更大機會獲得精美禮品,他應往袋中加入哪種顏色的球 說明你的理由.
7.(2021·福建)“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是:齊王有上、中、下三匹馬A1,B1,C1,田忌也有上、中、下三匹馬A2,B2,C2,且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示為:A1>A2>B1>B2>C1>C2(注:A>B表示A馬與B馬比賽,A馬獲勝).一天,齊王找田忌賽馬,約定:每匹馬都出場比賽一局,共賽三局,勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢,田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬,并采用孫臏的策略,分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽,即借助對陣(C2A1,A2B1,B2C1)獲得了整場比賽的勝利,創造了以弱勝強的經典案例.
假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況,試回答以下問題.
(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”,他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利 并求其獲勝的概率.
(2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況,他是否必敗無疑 若是,請說明理由;若不是,請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況,并求其獲勝的概率.
熱點訓練 8.甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下: 甲公司為“基本工資+攬件提成”,其中基本工資為70元/日,每攬收一件提成2元; 乙公司無基本工資,僅以攬件提成計算工資.若當日攬件數不超過40,每件提成4元;若當日攬件數超過40,超過部分每件多提成2元. 如圖所示的是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數和乙公司攬件員人均攬件數的條形統計圖. (1)現從今年四月份的30天中隨機抽取1天,求這一天甲公司攬件員人均攬件數超過40(不含40)的概率. (2)根據以上信息,以今年四月份的數據為依據,并將各公司攬件員的人均攬件數視為該公司各攬件員的攬件數,解決以下問題. ①估計甲公司各攬件員的日平均攬件數; ②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘攬件員,如果僅從工資收入的角度考慮,請利用所學的統計知識幫他選擇,并說明理由.
9.(2019·福建)某種機器使用期為三年,買方在購進機器時,可以給各臺機器分別一次性額外購買若干次維修服務,每次維修服務費為2 000元.每臺機器在使用期間,如果維修次數未超過購機時購買的維修服務次數,那么每次實際維修時還需向維修人員支付工時費500元;如果維修次數超過購機時購買的維修服務次數,那么超出部分每次維修時需支付維修服務費5 000元,但無需支付工時費.某公司計劃購買1臺該種機器,為決策在購買機器時應同時一次性額外購買幾次維修服務,搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內的維修次數,整理得下表:
維修次數 8 9 10 11 12
頻數/臺數 10 20 30 30 10
(1)以這100臺機器為樣本,估計“1臺機器在三年使用期內維修次數不大于10”的概率.
(2)試以這100臺機器維修費用的平均數作為決策依據,說明購買1臺該機器的同時應一次性額外購10次還是11次維修服務.
真題變式 10.[跨學科]物理變化和化學變化的區別在于是否有新物質的生成.某學習小組在延時課上制作了A,B,C,D四張卡片,四張卡片除圖片內容不同外,其他沒有區別,放置于暗箱中搖勻. A.鐵釘生銹 B.滴水成冰 C.礦石粉碎 D.牛奶變質 (1)小臨從四張卡片中隨機抽取一張,抽中C卡片的概率是　　　　. (2)小夏從四張卡片中隨機抽取兩張,用列表法或畫樹狀圖法求小夏抽取兩張卡片內容均為化學變化的概率. 11.(2024·廈門二模)【問題提出】 共享單車不僅極大地方便人們的短途出行,而且低碳環保,受到用戶的喜愛.某社區周邊有5個共享單車停車區,總計投放180輛的共享單車,某數學興趣小組發現每天早高峰期間經常會出現有些停車區的單車不夠用,而有些停車區的單車使用率低的現象,為探究早高峰期間共享單車的合理投放方案,同學們展開了研究. 【開展研究】 該數學興趣小組分工合作在早高峰期間到每個停車區對行人使用共享單車的情況、人流量進行數據收集,結果如下表. 表一:經過停車區的行人使用單車情況的抽樣調查數據. 停車區經過停車區的人數使用共享單車的人數1號區6032號區10043號區9094號區120185號區707
表二:每日早高峰期間的平均人流量. 停車區1號區2號區3號區4號區5號區人流量/人240300160400200
【問題解決】 (1)記事件A為經過1號區的行人使用共享單車,估計事件A的概率. (2)為應對早高峰期間共享單車的使用需求,請你為該社區設計一個合理的共享單車投放方案,并說明理由.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①有些事件必然發生　②0基礎演練
1.B　2.C　3.C　4.B
真題精粹·重變式
1.D　2.D　3.B　4. 　5.
6.解析:(1)顧客首次摸球的所有可能結果為紅,黃①,黃②,黃③,共4種等可能的結果,
記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發生的結果只有1種,
∴P(A)=,∴顧客首次摸球中獎的概率為.
(2)他應往袋中加入黃球.
理由:記往袋中加入的球為“新”,摸得的兩球所有可能的結果列表如下:
紅 黃① 黃② 黃③ 新
紅 紅,黃① 紅,黃② 紅,黃③ 紅,新
黃① 黃①,紅 黃①,黃② 黃①,黃③ 黃①,新
黃② 黃②,紅 黃②,黃① 黃②,黃③ 黃②,新
黃③ 黃③,紅 黃③,黃① 黃③,黃② 黃③,新
新 新,紅 新,黃① 新,黃② 新,黃③
共有20種等可能的結果,
①若往袋中加入的是紅球,兩球顏色相同的結果共有8種,此時該顧客獲得精美禮品的概率P1==.
②若往袋中加入的是黃球,兩球顏色相同的結果共有12種,此時該顧客獲得精美禮品的概率P2==.
∵<,∴P1∴他應往袋中加入黃球.
7.解析:(1)田忌首局應出“下馬”才可能獲勝,
此時比賽所有可能的對陣為(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,B1A2,C1B2),(A1C2,B1B2,C1A2),(A1C2,B1B2,C1A2),共四種,其中獲勝的有兩場,
故此田忌獲勝的概率P=.
(2)不是.
當齊王的出馬順序為A1,B1,C1時,田忌獲勝的對陣是(A1C2,B1A2,C1B2),
當齊王的出馬順序為A1,C1,B1時,田忌獲勝的對陣是(A1C2,C1B2,B1A2),
當齊王的出馬順序為B1,A1,C1時,田忌獲勝的對陣是(B1A2,A1C2,C1B2),
當齊王的出馬順序為B1,C1,A1時,田忌獲勝的對陣是(B1A2,C1B2,A1C2),
當齊王的出馬順序為C1,A1,B1時,田忌獲勝的對陣是(C1B2,A1C2,B1A2),
當齊王的出馬順序為C1,B1,A1時,田忌獲勝的對陣是(C1B2,B1A2,A1C2).
綜上所述,田忌獲勝的對陣有6種,不論齊王的出馬順序如何,也都有相應的6種可能對陣,所以田忌獲勝的概率P==.
8.解析:(1)因為今年四月份甲公司攬件員人均攬件數超過40的有4天,所以甲公司攬件員人均攬件數超過40(不含40)的概率為=.
(2)①甲公司各攬件員的日平均攬件數為=39(件).
②甲公司攬件員的日平均工資為70+39×2=148(元),
乙公司攬件員的日平均工資為
=157.2+2.2=159.4元.
因為159.4>148,
所以僅從工資收入的角度考慮,小明應到乙公司應聘.
9.解析:(1)0.6.
(2)購買10次時,
某臺機器使用期內維修次數 8 9 10 11 12
該臺機器維修費用/元 24000 24500 25000 30000 35000
此時這100臺機器維修費用的平均數
y1=×(24 000×10+24 500×20+25 000×30+30 000×30+35 000×10)=27 300元.
購買11次時,
某臺機器使用期內維修次數 8 9 10 11 12
該臺機器維修費用/元 26 000 26 500 27 000 27 500 32 500
此時這100臺機器維修費用的平均數
y2=×(26 000×10+26 500×20+27 000×30+27 500×30+32 500×10)=27 500.
所以購買1臺該機器的同時應選擇購買10次維修服務.
10.解析:(1).
(2)根據題意可列表格如下,
A B C D
A A,B A,C A,D
B B,A B,C B,D
C C,A C,B C,D
D D,A D,B D,C
根據表格可知共有12種等可能的結果,其中抽取兩張卡片內容均為化學變化的結果有2種,
∴抽取兩張卡片內容均為化學變化的概率為=.
11.解析:(1)由表格數據知,經過1號區的行人有60人,使用共享單車有3人,
則估計事件A的概率為=.
(2)估計5個共享單車停車區每天早高峰期間的共享單車平均使用次數分別為
240×=12,300×=12,160×=16,400×=60,200×=20,
所以每天早高峰期間的共享單車總使用次數估算為12+12+16+60+20=120,
所以5個共享單車停車區180輛共享單車的投放方案為:
1號區投放共享單車180×=18輛;
2號區投放共享單車180×=18輛;
3號區投放共享單車180×=24輛;
4號區投放共享單車180×=90輛;
5號區投放共享單車180×=30輛.

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