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第2節　整式與因式分解
回歸教材·過基礎
【知識體系】
【考點清單】
知識點1 代數式
代數式
知識點2 整式的有關概念
整式的有關概念
知識點3 整式的運算
整式的運算
知識點4 因式分解
因式分解
【基礎演練】
1.已知式子:①;②-;③;④4x2-y2;⑤x2+2x+1.
(1)以上式子中,是整式的有 ,是單項式的有 ,是多項式的有 .(填序號)
(2)-的系數是 ,次數是 ;x2+2x+1的次數是 ,項數是 .
(3)計算-·的結果是 .
(4)若4x2-y2=6,2x-y=2,則= .
(5)因式分解:x2+2x+1= .
2.某校計劃給每個年級配發n套勞動工具,則3個年級共需配發 套勞動工具.
3.先化簡,再求值:(2x+y)(2x-y)-(x+1)2+y2,其中x=-2,y=1.
真題精粹·重變式
考向1 整式的運算　6年5考
1.(2024·福建)下列運算正確的是 ( )
A.a3·a3=a9 B.a4÷a2=a2
C.(a3)2=a5 D.2a2-a2=2
2.(2023·福建)下列計算正確的是 ( )
A.(a2)3=a6 B.a6÷a2=a3
C.a3·a4=a12 D.a2-a=a
3.(2022·福建)化簡(3a2)2的結果是 ( )
A.9a2 B.6a2
C.9a4 D.3a4
4.(2021·福建)下列運算正確的是 ( )
A.2a-a=2 B.(a-1)2=a2-1
C.a6÷a3=a2 D.(2a3)2=4a6
5.(2020·福建)下列運算正確的是 ( )
A.3a2-a2=3
B.(a+b)2=a2+b2
C.(-3ab2)2=-6a2b4
D.a·a-1=1(a≠0)
熱點訓練 6.計算a3÷a得a ,則“ ”是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
7.(a2)3可以表示成 ( ) A.3個a2相加 B.5個a相乘 C.2個a3相加 D.3個a2相乘 8.若24×22=2m,則m的值為 ( ) A.8 B.6 C.5 D.2 9.計算:(a+3)(a-2)+(a-a3)÷a.
考向2 化簡求值
熱點訓練 10.先化簡,再求值:(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)÷x,其中x=1,y=.
11.已知x2+2x-2=0,求代數式x(x+2)+(x+1)2的值.
核心方法
　　整式的求值常見的方法
1.化簡代入法,即把字母的取值表達式或所求的代數式進行化簡,然后代入求值.
2.整體代入法,即當單個字母的值不能或不用求出時,可把已知條件作為一個整體,代入到經過變形的待求的代數式中去求值.
考向3 因式分解
12.(2024·福建)因式分解:x2+x= .
13.(2019·福建)因式分解:x2-9= .
真題變式 變設問——提取公因式 14.因式分解:x2-9x= . 開放性設問 15.給x2+9添加一個一次項,使其可以應用完全平方公式進行因式分解,則這個一次項可以是 .(寫出一個滿足條件的項即可)
16.(2023·河北)若k為任意整數,則(2k+3)2-4k2的值總能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
熱點訓練 17.因式分解:(y+2x)2-(x+2y)2.
核心方法
　　因式分解的方法
1.提取公因式的關鍵是確定公因式,找公因式的方法:一看系數;二看相同字母或因式;三看相同字母的次數.
2.運用公式法首先觀察項數,若是二項式,應考慮平方差公式;若是三項式,則考慮完全平方公式.然后觀察各項的次數、系數是否符合公式的特征.
3.注意因式分解一定要分解到不能再分解為止.
18.(2024·福建)已知實數a,b,c,m,n滿足3m+n=,mn=.
(1)求證:b2-12ac為非負數.
(2)若a,b,c均為奇數,m,n是否可以都為整數 說明你的理由.
參考答案
回歸教材·過基礎
考點清單
①字母　②數字因數　③和　④和　⑤單項式　⑥字母
⑦最高項　⑧單項式和多項式　⑨字母　⑩指數　系數　a+b+c　a-b-c　相加　am+n　相減
am-n　相乘　amn　anbn　-4a5b2　ma+mb+mc　ma+mb+na+nb　a2-b2　a2±2ab+b2　-2xy2　a+b+c　多項式　積　m(a+b+c)　(a+b)(a-b)　(a±b)2　2ab　4ab
基礎演練
1.(1)②③④⑤　②　③④⑤　(2)-　5　2　3　(3)-　(4)　(5)(x+1)2
2.3n
3.解析:原式=4x2-y2-(x2+2x+1)+y2
=4x2-y2-x2-2x-1+y2
=3x2-2x-1.
當x=-2,y=1時,原式=3×(-2)2-2×(-2)-1=15.
真題精粹·重變式
1.B　2.A　3.C　4.D　5.D　6.C　7.D　8.B
9.解析:原式=a2+a-6+1-a2=a-5.
10.解析:原式=x2-y2+y2-2y=x2-2y.
當x=1,y=時,原式=12-2×=0.
11.解析:x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1.
∵x2+2x-2=0,
∴x2+2x=2,
∴當x2+2x=2時,原式=2(x2+2x)+1
=2×2+1
=4+1
=5.
12.x(x+1)　13.(x+3)(x-3)　14.x(x-9)
15.6x(或-6x)　16.B
17.解析:原式=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)]=3(x+y)(x-y).
18.解析:(1)證明:∵3m+n=,mn=
∴b=a(3m+n),c=amn,
則b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2.
∵a,m,n是實數,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac 為非負數.
(2)m,n不可能都為整數.
理由如下:若m,n都為整數,其可能情況有:①m,n都為奇數;②m,n為整數,且其中至少有一個為偶數.
①當m,n都為奇數時,則3m+n必為偶數,
又∵3m+n=,
∴b=a(3m+n).
∵a為奇數,
∴a(3m+n)必為偶數,這與b為奇數矛盾;
②當m,n為整數,且其中至少有一個為偶數時,則mn必為偶數.
又∵mn=,
∴c=amn.
∵a為奇數,
∴amn必為偶數,這與c為奇數矛盾.
綜上所述,m,n不可能都為整數.

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