資源簡介

《求線段比問題的常見解決方法》
自主學習單
知識梳理：
求線段比值的考試題型，一般出現在選擇題，填空題，甚至還是出現在最后一道壓軸題中。所以這是一個難點和重點。
求三角形中線段的比值問題的考試題型，一般思路：
1.不需要做輔助線直接找相似三角形
2.利用平行線構造相似三角形證線段比
3.通過垂直線段構造全等或者三角形，設參數求線段比
特別是在題目條件中沒有給出線段長度的前提下，很多同學感到毫無頭緒，這個時候，需要引入能表示線段長度的量，即設參數。
設參數也是初中數學的常用方法，可廣泛用于求線段比值，角度比值，面積比值，因為在求比值的過程中，參數通常會被消掉，使用參數，一定記得“過河拆橋”，即消參
在使用參數之前，如何想到用參數？題目條件沒有線段長，卻要求比值是其一，存在特殊邊長之間的關連。例如等腰直角三角形，含30゜角的直角三角形等是其二，存在等量關系例如全等，對稱等是其三。
模塊一：作平行線構造相似三角形求線段比
這之類的題目主要思路是：1.過已知的比例節點作平行構造相似三角形
2.向外補齊作平行構造相似三角形
3.利用面積比來求線段比
常見作輔助線方法：
總結：胡亂作平行，但是從已知節點作平行線構造三角形會更加方便我們解題
例題. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2.D為邊AB上一點，連接CD.且tan∠BCD＝，E為BC中點，連接AE交CD于點F，求的值.
解法一：
解法二：
解法三：
跟進練習：
1.如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD的中點，BF與EC、ED分別交于點M，N．已知AB＝4，BC＝6，則 的長為　　．
2.在ΔABC中，AD是ΔABC的中線，點E為AB上一點.
（1）如圖①，若點E是AB的中點，CE與AD交于點0，證明：AO=2OD
（2）如圖②，點F為AC上一點，連接EF交AD于點0，若,
，求 的值.
3.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，則＝　　．
模塊二：通過作垂直線段求線段比
例.如圖，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（ ）
解法一：
解法二：
方法總結：
作垂線段的題目中，往往都暗示有特殊角：30度，45度，60度角，或者有等腰三角形，或者有三角函數或者有角平分線或者和面積有關的計算
跟進練習：
1. 如圖，，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，H為AC上一點，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，直接寫出＝ ．
2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，AE⊥CD于F，交BC于E，連接BF，若∠BFE＝45°，則的值為 ．
3．如圖，在矩形ABCD中，E是AB上一點，，連接DE，F是BC上一點，且∠DEF＝30°，，則＝　 　．
模塊三：圖形變換中求線段比
例.如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則＝ ．
解法一：
解法二：
方法總結：此類問題往往含有相等的線段，相等的角，折疊后往往有相似三角形，再分別求出線段長
跟進練習：
1.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，點D為斜邊中點，連接CD，將△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于點E，則的值為（ ）
B． C． D．
2.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為 ．
3. 如圖，在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處．延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF＝AN+FD時，的值．羅湖區中考備考“百師助學”課程
《求線段比問題的常見解決方法》
自主學習單答案
-------布心中學劉蕊
知識梳理：
求線段比值的考試題型，一般出現在選擇題，填空題，甚至還是出現在最后一道壓軸題中。所以這是一個難點和重點。
求三角形中線段的比值問題的考試題型，一般思路：
1.不需要做輔助線直接找相似三角形
2.利用平行線構造相似三角形證線段比
3.通過垂直線段構造全等或者三角形，設參數求線段比
特別是在題目條件中沒有給出線段長度的前提下，很多同學感到毫無頭緒，這個時候，需要引入能表示線段長度的量，即設參數。
設參數也是初中數學的常用方法，可廣泛用于求線段比值，角度比值，面積比值，因為在求比值的過程中，參數通常會被消掉，使用參數，一定記得“過河拆橋”，即消參
在使用參數之前，如何想到用參數？題目條件沒有線段長，卻要求比值是其一，存在特殊邊長之間的關連。例如等腰直角三角形，含30゜角的直角三角形等是其二，存在等量關系例如全等，對稱等是其三。
求線段比問題是初中常見的題型，該類問題綜合度較大，在初三模擬考試中經常會出現這類問題，大都是作為選填壓軸題或者大題壓軸題出現，往往具有一定的區分度，具選拔性質！
求線段比問題常常作為中考的第10題，或者第15題的和第22題的壓軸題用來區分學生的成績。這里探討求線段比問題的常規處理方法。
模塊一：作平行線構造相似三角形求線段比
這之類的題目主要思路是：1.過已知的比例節點作平行構造相似三角形
向外補齊作平行構造相似三角形
過未知的節點作平行線
例題1. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2.D為邊AB上一點，連接CD.且tan∠BCD＝，E為BC中點，連接AE交CD于點F，求的值.
解法一： 過點作EM//AB交CD于點M
∴∠CEM=∠B 又∵∠C=∠C ∴ΔCEM∽ΔCBD
∴ ∴ ∴EM=
∵EM//AB ∴ ∠FEM=∠A 又∵∠EFM=∠AFD
∴ΔEFM∽ΔAFD ∴
∴
∴
解法二： 過點A作AM//BC交CD的延長線于點M
∴∠C=∠M 又∵∠BDC=∠ADM ∴ΔCBD∽ΔMAD
∴ ∴ ∴AM=6
∵AM//BC ∴ ∠C=∠M 又∵∠EFC=∠AFM
∴ΔEFC∽ΔAFM ∴ ∴
∴
解法三： 過點F作FM//BC,交AB于點M
∴∠DMF=∠B 又∵∠BDC=∠BDC ∴ΔDMF∽ΔDBC
∴ ∴
設DM=x,MF=2x
∵MF//BE ∴∠AMF=∠B ∴ΔAMF∽ΔABE
∴ ∴ ∴
又∵ΔAMF∽ΔABE ∴ ∴
∴
這類題目構造平行的方法有很多種 ，總結：胡亂作平行，但是從已知節點作平行線構造三角形會更加方便我們解題
跟進練習：
1.如圖，在矩形ABCD中，E，F分別為邊AB，AD的中點，BF與EC、ED分別交于點M，N．已知AB＝4，BC＝6，則 的長為　　．
【解答】解：延長CE、DA交于Q，如圖1，
∵四邊形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F為AD中點，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E為AB的中點，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延長BF和CD，交于W，如圖2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝， 解得：BN＝∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
2.在ΔABC中，AD是ΔABC的中線，點E為AB上一點.
（1）如圖①，若點E是AB的中點，CE與AD交于點0，證明：AO=2OD
（2）如圖②，點F為AC上一點，連接EF交AD于點0，若,
，求 的值.
【解答】
證明：過點D作DM//CE交AB于點M
∵AD是BC邊上的中線 ∴BD=CD ∴BM=EM ∵E是AB的中點 ∴BE:EA=1:1
則AO:OD=AE:EG=2:1 ∴AO=2OD
延長CB,FE交于點M,過點D作DN//FE交AC于點N，
∴△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN
∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3
∵AF:FC=3:2=6:4, ∴FN:NC=MD:DC=3:1
∵BD=CD ∴MD:CD=MD:BD=3:1
過點B作BP//EF交AD于點于點P
∴△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO
∴MB:BD=OP:PD=2:1 ∵AO:OD=2:1=6:3 ∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1
∴AE:BE=3
3.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，則＝　　．
【解答】
解：如圖，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，
∵DM∥BC，
∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，
∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，
又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，
∴∠BAC+∠NAD＝90°，
∵∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠NAD＝∠BCA，
∴△ABC∽△DAN，
∴＝＝，
設BC＝4a，
由＝＝得，DM＝3a，
∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，
∴＝＝＝．∴=
故答案為：．
模塊二：通過作垂直線段求線段比
例.如圖，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是
解法一：
【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AD于H，
設∠ADB＝x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB＝，
∴x+＝105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH＝BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，
∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，
∴＝，
解法二：
過點D作DN AB于點N，過點D作DM BE，BE延長線的延長線于點M
在 ABCD中 ，CD//AB, ∴ ∠A=180°-105 °=75°
∵AD＝BD ∴∠BDA=180°-75°×2=30°
又∵DN AB ∴∠BDN==
∴ 在△BDN和△DBM中
,
∴△BDN≌△DBM（AAS）
∴MD=BN
設MD=BN=x，
在 ABCD中，AB=CD=2X
在Rt△BEM中,
∴DE=
∴
方法總結：
作垂線段的題目中，往往都暗示有特殊角：30度，45度，60度角，或者有等腰三角形，或者有三角函數或者有角平分線或者和面積有關的計算
跟進練習：
1. 如圖，，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點，H為AC上一點，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，直接寫出＝ ．
【解答】:解法一：
解：過點C作CM AB于點M，過點C作CN DH于點N，過點D作DP AH于點P
設BC=3,AC=4,AB=5
則△BMC∽△BCA ∴ ∴
∵BC＝DC且CM AB，∴,∴
∵DP AH,∠ACB＝90°且∠A=∠A ∴△ADP∽△ABC
∴ ∴
∵∠ABC＝∠HDC ∠ABC=∠BDC ∴∠BDC =∠HDC
又∵CM AB，CN DH
∴
∵∠DHP＝∠CHN ∠DPH=∠CNH= ∴△DPH∽△CNP
∴
解法二：過點C作CE⊥CD交DH的延長線于E，過點C作CF⊥AB于F，
∴∠DCE＝∠BCA＝90°，
∵∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴∠A＝∠E，CE＝AC，
∵∠AHD＝∠EHC，
∴△ADH∽△ECH，
∴，
設AC＝CE＝4x，
∵，∠ACB＝90°，
∴BC＝3x，AB＝5x，
∴cosB＝，
∴BF＝BC＝x，
∵CB＝CD，
∴DF＝BF＝x，
∴AD＝5x﹣x﹣x＝x，
∴＝，
2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，AE⊥CD于F，交BC于E，連接BF，若∠BFE＝45°，則的值為 ．
【解答】解：過點B作BG⊥AE交AE的延長線于點G，
∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，
∴△BFG為等腰直角三角形，
設BG＝FG＝a，
∵AG⊥DF，AG⊥BG，D為AB邊上的中點，
∴DF為△AGB的中位線，
∴DF＝a，AG＝2a，
∴AB＝a，
在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，
∴CD＝a，
∴CF＝a，
∵CF∥GB，
∴△CFE∽△BGE，
∴＝＝，
故答案為：．
3．如圖，在矩形ABCD中，E是AB上一點，，連接DE，F是BC上一點，且∠DEF＝30°，，則＝　 　．
【解答】
解：過點F作FN⊥DE于N,延長DE,CB相交于點M
設FN=3,DN=4,DF=5;
則EN=,EF=6 ∴
設AE=，BE=2x
由8字相似△DAE∽△MBE，得, ∴
∴
∵∠M＝∠M ∠MBE=∠MNF=90°
∴△MEB∽△MNF
∴ ∴ ∴
∴ ∴
模塊三：圖形變換中求線段比
例.如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，點D為BC上一動點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則＝ ．
解法一：
【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，過點A作AH⊥DE于點H，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根據折疊的性質可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C，
設CG＝a，則AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a，
在Rt△ABF中，tanB＝＝，
∴BF＝AF，
∴，
解得：或AF＝（舍去），
∴AH＝AF＝，BF＝EH＝，
在Rt△AGH中，GH＝＝＝，
∴EG＝EH﹣GH＝＝，
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即，
∴，
∴＝，
解法二：
過點G作GM⊥AE于點M,過點A作AN⊥BC于點N
設AG=3,CG=1,∴AC=AB=4
在Rt△ABN中,BN=
∴在等腰三角形ABC中，BC=2BN=2
由翻折可知
∴
在Rt△MEG中，設
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG
∴
∴
∴ ∴
∴
可得：x=1，或者x=
∵GE＜DG,∴x=1舍去
方法總結：此類問題往往含有相等的線段，相等的角，折疊后往往有相似三角形，再分別求出線段長
跟進練習：
1.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，點D為斜邊中點，連接CD，將△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于點E，則的值為（ ）
B． C． D．
【解答】解：如圖，過點B作BH⊥CD于H，過點E作EF⊥CD于F，
∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，
∴AB＝＝＝10，S△ABC＝×10×20＝100，
∵點D為斜邊中點，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD＝5，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，
∴sin∠BCD＝sin∠DBC＝＝，
∴＝，
∴BH＝4，
∴CH＝＝＝2，
∴DH＝3，
∵將△BCD沿CD翻折得△B′CD，
∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，
∴tan∠BDC＝tan∠B'DC＝，
∴＝＝，
∴設DF＝3x，EF＝4x，
∵tan∠DCA＝tan∠DAC＝，
∴，
∴FC＝8x，
∵DF+CF＝CD，
∴3x+8x＝5，
∴x＝，
∴EF＝，
∴S△DEC＝×DC×EF＝，
∴S△CEB'＝50﹣＝，
∴＝，
故選：A．
2.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為 ．
【解答】解：以O為原點，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標系，過E作EM⊥CD于M，過F作FN⊥DC，交DC延長線于N，如圖：
設正方形ABCD的邊長為2，則C（1，1），D（﹣1，1），
∵E為OD中點，
∴E（﹣，），
設直線CE解析式為y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：
，
解得，
∴直線CE解析式為y＝x+，
在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（﹣，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，﹣），
∵H是EF中點，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案為：．
3. 如圖，在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點F處．延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當NF＝AN+FD時，的值．
【解答】過點N作NG⊥BF于點G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF＝AD＝BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
設AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
設FG＝y，則AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝x．
∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．
∴＝．

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