資源簡介

羅湖區中考備考”百師助學“課程之
《反比例函數的k值問題》
周剛山
知識技能梳理
根據課程標準分析反比例函數的教學目標，核心知識為畫出反比例函數的圖像，根據圖像和解析表達式探索并理解其性質（K>0,k<0時圖像的變化），探索為行為動詞，但是不夠具體，可以分解為：畫圖，分析，交流等.反比例函數的k值對反比例函數的圖像及性質起到決定作用，反比例函數的k值具有代數和幾何意義，考試中常見的考察題型主要有：（1）根據圖像判斷k值與0的關系，根據K值與0的關系判斷圖像的位置，（2）k值與反比例函數的面積的關系，（3）反比例函數的K值與反比例函數圖像上點的關系，（4）反比例函數有關的綜合題型，但是只要考察反比例函數，就離不開對k值問題的分析，從近幾年中考真題來看，考察的核心思想是讓學生體會反比例函數中“數”與“形”的相互轉化，模型的構建，學習數形結合的思想方法，進一步提高對反比例函數相關知識的綜合運用能力. 在歷年的深圳中考試題中反比例函數的k值是重點考察的知識點.
概述:反比例函數與K值有關的線索
（1）反比例函數的定義：
一般地，如果兩個變量、之間的關系式可以表示成的形式，那么稱是的反比例函數。反比例函數的自變量不能為0.從定義發現，反比例函數也可以寫成的形式.解析式隱含了反比例函數的代數意義和幾何意義：
代數意義：若點P(m,n)在反比例函數上，那么必然有個等量關系：mn=k,
在畫出反比例函數圖像的過程中，當k>0時，圖像分布在第一，三象限，當k<0時，圖像分布在第二，四象限，解題技巧就是：點在反比例函數上,設（a,b），必有ab=k,反之k值已知，假設點的坐標（a,），建立點和k值的聯系是解題的關鍵。
(4).幾何意義：（面積不變性）
對于反比例函數, 點 Q 是其圖象上的任意一點，作 QA 垂直于 y 軸，作QB 垂直于x 軸，矩形AOBQ的面積與 k 的關系是
推理：△QAO與△QBO的面積和 k 的關系是
反比例函數的圖像及性質
反比例函數
k的符號 k >0 k<0
圖象 （雙曲線）
位置 第一、三象限 第二、四象限
增減性 在圖像所在的象限內單調遞減 在圖像所在的象限內單調遞減
面積不變性
對稱性 反比例函數的圖象是關于原點成中心對稱的圖形.反比例函數的圖象也是軸對稱圖形. 反比例函數與正比例函數y=kx的交點關于 原點 對稱； 反比例函數與一次函數y=x+b或y=-x+b的交點關于直線y=x或y=-x 對稱；
三 、反比例函數的k值核心考點
考試中常見的考察題型主要為填空題（近5年深圳中考）
考察內容：
（1）根據圖像判斷k值；
（2）k值與反比例函數的面積的關系；
（3）反比例函數的K值與反比例函數圖像上點的關系；
（4）反比例函數中構造“K”型圖求k值；
從近幾年中考真題來看，考察的核心思想是讓學生體會反比例函數中“數”與“形”的相互轉化，模型的構建，學習數形結合的思想方法，進一步提高對反比例函數相關知識的綜合運用能力.
本課程從簡單問題入手 ，解決簡單的問題，提供基本的解題思路。
本課程共分三個模塊：
模塊一：看圖找k,數形結合
模塊二：看圖構型，利用結論
模塊三：由“K”找k
四、學習過程
模塊一 反比例函數圖形與k值的關系；
典例精講
【例題1】 . 已知反比例函數在第一象限內的圖象與一次函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能為（ ）
B. C. D.
【例題2】. 如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數的圖象經過點C，的圖象經過點B．若，則________．
跟進練習
（1）.如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數的圖象經過點C和的中點E，若，則k的值是（ ）
3 B. 4 C. 5 D. 6
（2）.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點（0，4），（3，4），將向右平移到位置，的對應點是，的對應點是，函數的圖象經過點和的中點，則的值是______．
模塊二 反比例函數的面積與k值
知識鋪墊
反比例函數面積不變性與k值的主要圖形
掌握上圖中常見的圖形結論，輔助線的作法，未知數的假設，典型模型的構造，可以較快的幫助我們解決問題.
典例精講
【例題1】. 如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
4 B. 3 C. 2 D. 1
【例題2】．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點D，且BD=AD，反比例函數y=(x>0)的圖像經過點A，若S△OAB=1，則k的值為___________．
跟進練習
（1）如圖，在平面直角坐標系中，BA⊥y軸于點A，BC⊥x軸于點C，函數y＝（x＞0）的圖象分別交BA，BC于點D，E．當AD：BD＝1：3，且△BDE的面積為18時，則k的值是（　　）
A．9.6 B．12 C．14.4 D．16
（2）.如圖，點A、B在反比例函數的圖象上，軸，垂足為D，．若四邊形間面積為6，，則k的值為_______．
模塊三 由“K形圖”找k值
知識鋪墊
反比例函數的k值與”k”形圖
圖1 圖2
其他特殊角，構造“一線三直角”（反比例函數背景下構造“k”形圖，解決k值問題）
45o角構等腰直角三角形造“一線三直角”全等，如下圖；
2.tanα=k→構直角三角形→造“一線三直角”相似，如下圖；
常見的角度有30°，45°，90°，它們分別對應構造等邊三角形，等腰直角三角形相關的“k”形圖.
典例精講
【例題1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點B在x軸上，且B（﹣1，0），A點的橫坐標是2，AB＝3BC，雙曲線y＝（m＞0）經過A點，雙曲線y＝﹣經過C點，則m的值為（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【例題2】.
如圖所示，△ABC為等邊三角形，點A的坐標為(0，4），點B在x軸上，點C在反比例函
數的圖像上，則點B的坐標為________________.
跟進練習
(1).如圖，直線y＝﹣3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為邊在直線AB的左側作正方形ABDC，反比例函數y＝的圖象經過點D，則k的值是（　　）
﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
（2）.如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，AO＝2BO，若點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2羅湖區中考備考”百師助學“課程之《反比例函數的k值問題》（答案詳解）
模塊一 反比例函數圖形與k值的關系
典例精講
【例題1】 . 已知反比例函數在第一象限內的圖象與一次函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能為（ ）
B. C. D.
【解析】
設，則，，將點，代入，得出，代入二次函數，可得當時，，則，得出對稱軸為直線，拋物線對稱軸在軸的右側，且過定點，進而即可求解．
【詳解】如圖所示，
設，則，根據圖象可得，
將點代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
對稱軸為直線，
當時，，
∴拋物線經過點，
∴拋物線對稱軸在的右側，且過定點，
當時，，
故選：A．
【例題2】 如圖，平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數的圖象經過點C，的圖象經過點B．若，則________．
【解析】過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，先證四邊形CDEB為矩形，得出CD=BE，再證Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根據S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
詳解】過點C作CD⊥OA于D，過點B作BE⊥x軸于E，
∴CD∥BE，
∵四邊形ABCO為平行四邊形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四邊形CDEB為平行四邊形，
∵CD⊥OA，
∴四邊形CDEB為矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函數的圖象經過點C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四邊形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案為3．
跟進練習
（1）如圖，正方形的頂點A，B在y軸上，反比例函數的圖象經過點C和的中點E，若，則k的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】由正方形的性質得，可設，，根據可求出的值．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∵
∵點為的中點，
∴
設點C的坐標為，則,
∴，
∵點C，E在反比例函數的圖象上，
∴，
解得，，
故選：B．
（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點（0，4），（3，4），將向右平移到位置，的對應點是，的對應點是，函數的圖象經過點和的中點，則的值是______．
【解析】【分析】作FG⊥x軸，DQ⊥x軸，FH⊥y軸，設AC=EO=BD=a，表示出四邊形ACEO的面積，再根據三角形中位線的性質得出FG，EG，即可表示出四邊形HFGO的面積，然后根據k的幾何意義得出方程，求出a，可得答案．
【詳解】過點F作FG⊥x軸，DQ⊥x軸，FH⊥y軸，根據題意，得AC=EO=BD，
設AC=EO=BD=a，
∴四邊形ACEO的面積是4a．
∵F是DE的中點，FG⊥x軸，DQ⊥x軸，
∴FG是△EDQ的中位線，
∴，，
∴四邊形HFGO的面積為，
∴，解得，
∴k=6
模塊二 反比例函數的面積與k值
知識鋪墊
反比例函數面積不變性與k值的主要圖形
掌握上圖中常見的圖形結論，輔助線的作法，未知數的假設，典型模型的構造，可以較快的幫助我們解決問題.
典例精講
【例題1】. 如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】【分析】設，則，，，根據坐標求得，，推得，即可求得．
【詳解】設，則，，
∵點A在的圖象上
則，
同理∵B，D兩點在的圖象上，
則
故，
又∵，
即，
故，∴，故選：C．
【例題2】．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點D，且BD=AD，反比例函數y=(x>0)的圖像經過點A，若S△OAB=1，則k的值為___________．
【方法一】坐標法
解：設A(a，b) ，如圖，作A 過x軸的垂線與x 軸交于C ，
則：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
【方法二】k的幾何意義法
由上知，S△AOC=1，
所以，k=2S△AOC=2
故答案為：2．
跟進練習
（1）如圖，在平面直角坐標系中，BA⊥y軸于點A，BC⊥x軸于點C，函數y＝（x＞0）的圖象分別交BA，BC于點D，E．當AD：BD＝1：3，且△BDE的面積為18時，則k的值是（　　）
A．9.6 B．12 C．14.4 D．16
【解答】解：如圖，過點D作DF⊥x軸于點F，過點E作EG⊥y軸于點G．
設B（4a，b），E（4a，d）．
∵AD：BD＝1：3，
∴D（a，b）．
又∵△BDE的面積為18，
∴BD＝3a，BE＝b﹣d，
∴×3a（b﹣d）＝18，
∴a（b﹣d）＝12，即ab﹣ad＝12，
∵D，E都在反比例函數圖象上，
∴ab＝4ad，
∴4ad﹣ad＝12，
解得：ad＝4，
∴k＝4ad＝16．
故選：D．
（2）．如圖，點A、B在反比例函數的圖象上，軸，垂足為D，．若四邊形間面積為6，，則k的值為_______．
【解析】設點，可得，，從而得到CD=3a，再由．可得點B，從而得到，然后根據，即可求解．
【詳解】設點，
∵軸，
∴，，
∵，
∴，
∴CD=3a，
∵．軸，
∴BC∥y軸，
∴點B， ∴，
∵，四邊形間面積為6，
∴，解得：．
模塊三 反比例函數的k值與”k”形圖
知識鋪墊
反比例函數的k值與”k”形圖
圖1 圖2
其他特殊角，構造“一線三直角”（反比例函數背景下構造“k”形圖，解決k值問題）
45o角構等腰直角三角形造“一線三直角”全等，如下圖；
2.tanα=k→構直角三角形→造“一線三直角”相似，如下圖；
常見的角度有30°，45°，90°，它們分別對應構造等邊三角形，等腰直角三角形相關的“k”形圖.
典例精講
【例題1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點B在x軸上，且B（﹣1，0），A點的橫坐標是2，AB＝3BC，雙曲線y＝（m＞0）經過A點，雙曲線y＝﹣經過C點，則m的值為（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
【解答】解：過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，
∵A點的橫坐標是2，且在雙曲線y＝上，
∴A（2，2m），∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴△ABE∽△BCF，
∴＝＝＝，
∴CF＝1，BF＝，
∴C（﹣1﹣，1），
∵雙曲線y＝﹣經過C點，
∴﹣1﹣＝﹣m，
∴m＝3，
故選：D．
【例題2】. 如圖所示，△ABC為等邊三角形，點A的坐標為(0，4），點B在x軸上，點C在反比例函數的圖像上，則點B的坐標為________________.
【解答】如圖，作CD⊥AB于D，CG⊥x軸于G，過D點作EF∥OB，交y軸于E，交CG于F，
∵△ABC是等邊三角形，CD⊥BA，
∴BD=AD，
設點C的坐標為，點B的坐標為（a，0），
∵A（0，4）
∴AB的中點D的坐標為
∵CD⊥AB，∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠DAE=90°
∴∠DAE=∠CDF
又∵∠ADE=∠CFD=90°
∴△DFC∽△AED（“一線三直角”模型）
∴
∴
∴整理可得 ①， ②，
由①②可得，，
解得，（舍去），
∴B
跟進練習
(1).如圖，直線y＝﹣3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為邊在直線AB的左側作正方形ABDC，反比例函數y＝的圖象經過點D，則k的值是（　　）
﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【解析】根據題意，作出合適的輔助線，然后根據全等三角形的判定和性質可以求得點D的坐標，從而可以求得k的值．
作DF⊥x軸，交x軸于點F，作EB⊥y軸交DF于點E，
∵直線y＝﹣3x+3，
∴當x＝0時，y＝3，當y＝0時，x＝1，
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，3），
∵BD＝BA，∠BED＝∠BOA，∠EBD＝∠OBA，
∴△BED≌△BOA（AAS），
∴BE＝BO＝3，ED＝OA＝1，∴DF＝2，
∴點D的坐標為（﹣3，2），
∵反比例函數y＝的圖象經過點D，
∴2＝，得k＝﹣6，
（2）.如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，AO＝2BO，若點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．2
解答】解：如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOC：S△BOD＝（）2，
∵AO＝2BO，
∴S△AOC：S△BOD＝4，
∵點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，
∴S△AOC＝×4＝2，
∴S△BOD＝×|k|＝﹣k，
∴2＝﹣4×，解得k＝﹣1．
故選：C．

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