資源簡介

羅湖區中考備考“百師助學”課程第八講
《用平行線解函數中的三角形面積問題》
自主學習
知識鋪墊1：任何兩條夾在平行線間的垂線段長度相等；
（1）如圖1，若直線a∥b，則有MN＝PQ
（2）如圖2，直線a∥b，則S△ABC= S△BCD
我們先來了解什么是平滑定理：兩個三角形共用同一底，且頂點都在與底平行的同一條直線上，那么由三角形的面積公式可知，這兩個三角形的面積必然相等。所以平滑定理需要兩個條件：（1）共底或者底在同一直線上但相等；（2）三角形的頂點都在與底平行的同一條直線上。
知識鋪墊2：一次函數y=k1x+b1圖像與一次函數y=k2x+b2圖像平行則可以推出k1=k2反之若k1=k2則可推出一次函數y=k1x+b1圖像與一次函數y=k2x+b2圖像平行，其中b1≠b2.
問題探究
模塊一（利用平行轉換面積）
典例精講： 如圖，已知二次函數y＝﹣x2+x+4的圖象與y軸交于點A（0，4）．與x軸交于點B，C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積等于5時，求此時點N的坐標；
學生練習：已知：如圖，拋物線y＝x2+4x+3交x軸于E、F兩點，交y軸于A點，若Q為拋物線上一點，連接QE，QA，設點Q的橫坐標為t（t＜﹣3），△QAE的面積為S，求S與t函數關系式；
模塊二（同底三角形面積比問題）
典例精講：1、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝-x2+2x+3與交x軸于點A，與y軸交于點C．點M的坐標為（4，-5），在拋物線上是否存在點P（不與點A重合），使△PMC的面積與△AMC的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
典例精講：2. 如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+8與x軸交于點A、B點，與y軸交于點C點，P是拋物線上第一象限上的動點，連接PB，PC，當時，求點P的坐標．
模塊三（利用直線與曲線相切解決面積最值問題）
例題精講：如圖，在平面直角坐標系內拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C．過點A的直線y＝x+2與拋物線交于點E．點P為第四象限內拋物線上的一個動點．在點P的運動過程中，是否存在點P使得△AEP的面積最大，若存在，請求出點P的坐標．
學生練習：如圖，一次函數y＝﹣x+4的圖象與反比例函數y＝（k為常數，且k≠0）的圖象交于A、B兩點．點P在反比例函數第三象限的圖象上，使得△PAB的面積最小，求滿足條件的P點坐標及△PAB面積的最小值．
三、課后作業
1、如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與BC相交于點E，連接PB．拋物線上是否存在一點Q，使△QPB與△EPB的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
2.已知二次函數與x軸交于A、B兩點，A在B點的左邊，與y軸交于C點，點P在第一象限的拋物線上，且在對稱軸右邊．S△PAC＝4，求P點坐標．
3．如圖，拋物線的頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B（0，3）. 拋物線上第一象限內是否存在一動點P，使S△PAB＝S△CAB ，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。
4.如圖，拋物線y＝x2﹣4x與x軸相交于另一點A．在第一象限內與直線y＝x交于點B，點E是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線OB下方的拋物線上的動點，EF與直線OB交于點G．設△BFG和△BEG的面積分別為S1和S2，求的最大值．
b1
b2
y=kx+b1
y=kx
y=kx+b2
第1頁（共4頁）羅湖區中考備考“百師助學”課程第八講
《用平行線解函數中的三角形面積問題》答案
模塊一（利用平行轉換面積）
典例精講： 如圖，已知二次函數y＝﹣x2+x+4的圖象與y軸交于點A（0，4）．與x軸交于點B，C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積等于5時，求此時點N的坐標；
解法1：A（0，4），B（-2，0）, C（8，0）
設NC=m，連接MC，
∵
∴
∴
∴
∵NM∥AC
∴S△AMN＝S△CMN= =
∴當△AMN面積是5時，m＝5，此時N點坐標為（3，0）
學生練習：已知：如圖，拋物線y＝x2+4x+3交x軸于E、F兩點，交y軸于A點，若Q為拋物線上一點，連接QE，QA，設點Q的橫坐標為t（t＜﹣3），△QAE的面積為S，求S與t函數關系式；
【解答】解: 易得A（0，3），E（-3，0），AE: y＝x+3．
作QH//AE， 交y軸于點H，
設Q（t，t2+4t+3），設HQ：y＝x+b
把Q點坐標代入 y＝x+b
可得HQ:
∴H（0 ，）， AH=，
模塊二（同底三角形面積比問題）
典例精講：1、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝-x2+2x+3與交x軸于點A，與y軸交于點C．點M的坐標為（4，-5），在拋物線上是否存在點P（不與點A重合），使△PMC的面積與△AMC的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A（3，0），
當x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3，則C（0，3）
設直線CM的解析式為y＝mx+n，
把C（0，3），M（4，﹣5）代入得m＝﹣2，n＝3，
∴直線MC的解析式為y＝﹣2x+3，
∵△PMC的面積與△AMC的面積相等，
∴AP∥MC，
設AP的解析式為y＝﹣2x+p，
把A（3，0）代入得p＝6，
∴AP的解析式為y＝﹣2x+6，
解方程組得或，此時P點坐標為（1，4）；
直線AP的解析式為y＝﹣2x+6與y軸的交點坐標為（0，6），
∵6﹣3＝3，
把直線CM向下平移3個單位得到y＝﹣2x，
解方程得或，
此時P點坐標為（2+，﹣4﹣2），（2﹣，﹣4+2），
綜上所述，P點坐標為（1，4）或（2+，﹣4﹣2）或（2﹣，﹣4+2），
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典例精講：2. 如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+8與x軸交于點A、B點，與y軸交于點C點，P是拋物線上第一象限上的動點，連接PB，PC，當時，求點P的坐標．
解：易得A（-2，0），B（8，0）， C（0，8）
作AD//BC，交y軸于D，
易求BC：y＝﹣x+8
AD：y＝﹣x-2，
∴CD=10，
在C點上方截取CE=6，過E作EP//BC,
交拋物線于點P，則P為所求的點
PQ：y＝﹣x+14，
聯立方程組，
可得點P的坐標為（2，12）或P（6，8）
模塊三（利用直線與曲線相切解決面積最值問題）
例題精講：如圖，在平面直角坐標系內拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C．過點A的直線y＝x+2與拋物線交于點E．點P為第四象限內拋物線上的一個動點．在點P的運動過程中，是否存在點P使得△AEP的面積最大，若存在，請求出點P的坐標．
解：存在點P使得△AEP的面積最大，理由如下：
在直線AE的下方作MN//AE，當MN與拋物線有唯一交點P時，
此時△AEP的面積最大，P為所求的點
設MN：
聯立方程組
可得
解得
聯立方程組可得P（2，﹣4）．此時S△APE＝32，
學生練習：如圖，一次函數y＝﹣x+4的圖象與反比例函數y＝（k為常數，且k≠0）的圖象交于A、B兩點．點P在反比例函數第三象限的圖象上，使得△PAB的面積最小，求滿足條件的P點坐標及△PAB面積的最小值．
【解答】解：
聯立方程組可得：，
∴點B（3，1）；
如圖，將直線AB平移，當與雙曲線第三象限的圖象只有一個交點P時，此時△PAB的面積有最小值，
設平移的直線解析式為y＝﹣x+b，
由題意可得：﹣x+b＝，
∴x2﹣bx+3＝0，
∵兩圖象只有一個交點，
∴Δ＝b2﹣4×3＝0，
∴b＝±2，
∵直線y＝﹣x+b與y軸交在負半軸，
∴b＝﹣2，
∴平移后的解析式為y＝﹣x﹣2，
∴﹣x﹣2＝，
∴x＝﹣，
∴y＝﹣，
∴點P（﹣，﹣ ），
過點P作PH⊥AB于H，設直線y＝﹣x+4與x軸交于點D，與y軸交于點C，設直線y＝﹣x﹣2 與x軸交于點E，與y軸交于點F，
∴點C（0，4），點D（4，0），點E（﹣2，0），點F（0，﹣2 ），
∴CO＝DO＝4，EO＝FO＝2，
∴CD＝4，EF＝2，△COD和△EOF是等腰直角三角形，
∴點O到EF的距離為，點O到CD的距離為2，
∴PH＝+2，
∵點A坐標為（1，3），點B（3，1），
∴AB＝＝2，
∴△PAB面積的最小值＝×2×（+2 ）＝2+4．
三、課后作業
1、如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與BC相交于點E，連接PB．拋物線上是否存在一點Q，使△QPB與△EPB的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
則頂點P（1，4），對稱軸為直線x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，
∴點E（1，2），
如圖，過點E作EQ∥BC，交拋物線于Q，此時△QPB與△PEB的面積相等，
由點P、B的坐標得，直線PB的表達式為：y＝﹣2（x﹣3），
則直線QE的表達式為：y＝﹣2（x﹣1）+2②，
聯立①②并整理得：x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2，
則點Q的坐標為（2﹣，2）或（2+，﹣2）；
對于直線QE，設QE交x軸于點R，
令y＝﹣2（x﹣1）+2＝0，
解得：x＝2，即點R（2，0），
則BR＝3﹣2＝1，
取點R′使BR＝BR′，過點R′作PB的平行線l，如上圖，則點R′（4，0），
則直線l的表達式為：y＝﹣2（x﹣4），
聯立y＝﹣x2+2x+3和y＝﹣2（x﹣4）得：x2﹣4x+5＝0，
則Δ＝16﹣20＜0，無解，
故在點B的右側不存在點Q，
綜上，點Q的坐標為（2﹣，2）或（2+，﹣2）
2.已知二次函數與x軸交于A、B兩點，A在B點的左邊，與y軸交于C點，點P在第一象限的拋物線上，且在對稱軸右邊．S△PAC＝4，求P點坐標．
如圖：解當y＝0時，＝0，
解得x1＝1，x2＝3，即A（1，0），B（3，0）．
當x＝0時，y＝2，即C（0，2）
過點P作PE∥AC，則S△PAC=S△EAC=4
設點E為（a，0）得
解得a=5，所以E（5，0）
設直線yac=kx+b，分別代入A（1，0）、C（0，2）得
解得k=-2，b=2.
所以yac=-2x+2
因為PE∥AC，所以可設ype=-2x+b代入E（5，0）得
0=-2x5+b，解得b=10
所以ype=-2x+10，聯立方程組得
y=-2x+10
解得： x1=4 x2=-3
y1=2 y2=16
答：P點坐標是（4，2）．
3．如圖，拋物線的頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B（0，3）. 拋物線上第一象限內是否存在一動點P，使S△PAB＝S△CAB ，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。
解：易得AB：y＝﹣x+3
作CD//AB，交y軸于D，可得 CD：y＝﹣x+5
∴BD=2，在B點上方截取BG=，
過G作GH//AB，交拋物線于點，，
則，,即為所求的點
GH：y＝﹣x+，
聯立方程組，
可得點P的坐標為P（，）
4.如圖，拋物線y＝x2﹣4x與x軸相交于另一點A．在第一象限內與直線y＝x交于點B，點E是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，點F是直線OB下方的拋物線上的動點，EF與直線OB交于點G．設△BFG和△BEG的面積分別為S1和S2，求的最大值．
解：如圖2，過點F作FW∥x軸交直線OB于點W，
設F（t，t2﹣4t），則W的縱坐標為t2﹣4t，
∵直線OB的解析式為y＝x，
∴W（t2﹣4t，t2﹣4t），
∴WF＝t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t，
∵易得B（5，5），點E是點B關于拋物線對稱軸直線x＝2的對稱點，
∴BE∥x軸，BE＝6，
∴BE∥WF，
∴△WFG∽△BEG，
∴＝＝，
∵＝＝＝＝﹣（t﹣）2+，
∴當t＝時，的最大值為．
P

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