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《等腰三角形相關題型》自主學習單
班級 姓名
知識梳理：
等腰三角形是一種常見的幾何圖形，等腰三角形的相關內容是中考的常見考點，題型變化多樣，經常跟正方形、一次函數、勾股定理、旋轉等知識點連在一起考，涉及分類討論思想和動點問題、最值問題等。特此做一個專題來幫大家一起回顧梳理一下。
1.等腰三角形的定義
2.等腰三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等，簡稱等角對等邊；
功能：用來判定兩個角相等。
（2）等腰三角形三線合一：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。
功能：知其一證其二
相關結論：
等腰三角形兩底角的平分線相等；
等腰三角形兩腰上的高相等； +60° 2x
等腰三角形兩腰上的中線相等。
模塊二：等腰三角形的判定和等邊三角形 x
3.有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡稱等角對等邊。
功能：用來判定兩條線段是否相等。
4.等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，均為60°
5.等邊三角形的判定：
（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；
（2）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。
功能：用來判定是否等邊三角形。
6.直角三角形中，如果一個角等于30°，那么他所對的直角邊等于斜邊的一半。
二、學習過程
模塊一：《等腰三角形的性質》
模塊一：典例精講
例1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50°，則這個等腰三角形的底角為（　　）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
例2．如圖，在中，的高BD、CE交于點，若，則AC的長為（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
模塊一：跟綜練習
1．（2023·開原模擬）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形的周長為(　　)
A．16 B．20或16 C．20 D．12
2．若等腰三角形的一個外角度數為100°，則該等腰三角形頂角的度數為（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
3．如圖，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E為BC上一點，DE平分∠AEC，則CE的長為　 　．
4．（選做）如圖，直線和直線都經過x軸負半軸上一點B，分別與y軸的交點分別為A、C，且．點E在x軸上，為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標
模塊二：等腰三角形的判定、等邊三角形
模塊二：典例精講
例1．（2021八下·棗莊期中）如圖，P是正三角形內的一點，且，，．若將繞點A逆時針旋轉后，得到，則等于（　　）．
A．120° B．135° C．150° D．160°
例2．（2017八下·涼山期末）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正確結論有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
模塊二：跟蹤練習
1．如圖，在7×7的正方形網格中，A，B兩點是格點，如果點C也是格點，且△ABC是等腰三角形，這樣的C點有　 　個．
2．（2017·深圳模擬）如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，則下面的結論：①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正確結論有（　　）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（選做）閱讀下面材料，并解決問題：
（1）如圖①等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數．
為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出∠APB＝　 　；
（2）基本運用
請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：
已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點O為Rt△ABC內一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
模塊三《綜合應用》
模塊三：典例精講
例1：如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點P從點A出發，以每秒 1個單位的速度沿A →B→C的方向運動；同時點Q從點B出發，以每秒2個單位的速度沿B→C→D的方向運動，當其中一點到達終點后兩點都停止運動．設兩點運動的時間為t秒．
（1）當t=　 　時，兩點停止運動；
（2）當t為何值時，△BPQ是等腰三角形？
例2．（2023八下·溫江期末）如圖，邊長為的等邊三角形中，是對稱軸上的一個動點，連接將線段繞點順時針旋轉得到，連接，則在點運動過程中，的最小值是　 　．
模塊三：跟蹤練習
1．（2022八下·龍崗期末）如圖，點E是等邊三角形△ABC邊AC的中點，點D是直線BC上一動點，連接ED，并繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，連接DF．若運動過程中AF的最小值為，則AB的值為（　　）
A．2 B． C． D．4
2．（選做）如圖，等邊的邊長為，動點從點出發，沿的方向以每秒個單位長度的速度運動，動點從點出發，沿的方向以每秒個單位長度的速度運動．
（1）若動點、同時出發，經過幾秒第一次相遇？
（2）若動點、同時出發，且其中一點到達終點時，另一點即停止運動．在的邊上是否存在一點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時運動的時間及點的具體位置；若不存在，請說明理由．
1 / 1《等腰三角形相關題型》答案
模塊一答案解析部分
模塊一典例精講答案
1．【答案】C
【知識點】等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：①如圖1，
當該等腰三角形為鈍角三角形時，
∵一腰上的高與另一腰的夾角是50°，
∴底角= （90°﹣50°）=20°，
②如圖2，
當該等腰三角形為銳角三角形時，
∵一腰上的高與另一腰的夾角是50°，
∴底角= [180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案為：C．
【分析】分2種情況：（1）當該等腰三角形為鈍角三角形時，底角=（90°﹣50°）；
（2）當該等腰三角形為銳角三角形時，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
例2．【答案】B
【知識點】三角形全等及其性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分別是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD與△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE與△PCD中，
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=
設AD=x，則AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案為：B.
【分析】先證明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再證明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.設AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，從而求出AC的長.
模塊一跟進練習答案
1．【答案】C
【知識點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質
【解析】【分析】因為已知長度為4和8兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論。
①當4為底時，其它兩邊都為8，4、8、8可以構成三角形，周長為20；
②當4為腰時，其它兩邊為4和8，∵4+4=8，∴不能構成三角形，故舍去。
∴答案只有20.
故選C.
2．【答案】D
【知識點】三角形內角和定理；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解：①若頂角的外角等于100°，那么頂角等于80°，兩個底角都等于50°；②若底角的外角等于100°，那么底角等于80°，頂角等于20°．
故答案為：D．
【分析】分類討論，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和等于180°進行計算求解即可。
3．【答案】
【知識點】等腰三角形的性質；勾股定理；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴
∴
∵DE平分∠AEC ，
∴
∴
∴
在中，
∴
故答案為：1.
【分析】根據矩形的性質和角平分線的性質得到：進而得到：在中利用勾股定理求出BE，進而可求出CE的長.
4．【答案】
∵直線交軸于點，
∴點坐標為，
又∵點坐標為，
∴，如圖：
當時，點的坐標為，點的坐標為；
當時，點與點是關于軸對稱，點的坐標為，
當時，設點坐標為，
則，解得：
點的坐標為，
綜上所述，點的坐標為、、、．
【知識點】兩一次函數圖象相交或平行問題；等腰三角形的性質
【解析】【分析】（1）令y=x+8=0，求出x的值，得到點B的坐標，然后求出OB的值，根據OB=2OC可得OC的值，然后表示出點C的坐標，接下來將B、C的坐標代入y=kx+b中求出k、b的值，據此可得直線CB的解析式；
（2）易得A（0，8），由勾股定理可得AB的值，然后分BE=AB=10、AB=AE、EA=EB，結合勾股定理進行計算就可求出點E的坐標.
模塊二答案解析部分
模塊二典例精講答案
1．【答案】C
【知識點】等邊三角形的性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：連接PM，如圖，
由旋轉性質可知，△APC≌△AMB，
∴AP=AM，MB=PC=10，
∵∠MAP=60°，
∴△APM是等邊三角形，
∴PM=AP=6，
∵PB=8，
∴MB2=PB2+MP2，
∴△PMB是直角三角形，
∴∠MPB=90°，
∵∠MPA=60°，
∴∠APB=150°．
【分析】連接PM，由旋轉性質可知，△APC≌△AMB，得出AP=AM，MB=PC=10，再證出△APM是等邊三角形，推出△PMB是直角三角形，即可得出答案。
2．【答案】C
【知識點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正確）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正確），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正確）．
設EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，（故④錯誤），
∵S△CEF= x2，
S△ABE= x2，
∴2S△ABE= x2=S△CEF，（故⑤正確）．
綜上所述，正確的有4個，
故選：C．
【分析】通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE，再通過比較大小就可以得出結論．
模塊二跟進練習答案
1．【答案】6
【知識點】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB==5，如圖所示：
符合條件的點C一共有6個；
故答案為：6．
【分析】先求出AB==5，再結合圖形求解即可。
2．【答案】C
【知識點】等邊三角形的判定；含30°角的直角三角形；矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等邊三角形，∴①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC，∴②錯誤；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等邊三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正確；
∵OA=OC，
∴根據等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=SCOE，∴④正確；
故選C．
【分析】根據矩形性質求出OD=OC，根據角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等邊三角形，求出AC=2AB，即可判斷②，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根據等底等高的三角形面積相等得出S△AOE=SCOE．
3．【答案】（1）150°
（2）解：如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，
由旋轉的性質得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠EAE′-∠EAF=45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）解：如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A′O′B處，連接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝ ，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，∠ABC=30°，
∴∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C＝ ，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝ ．
【知識點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；勾股定理；旋轉的性質
【解析】【解答】（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由題意知旋轉角∠PAP′＝60°，
∴△APP′為等邊三角形，
∴P′P＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
∵P′C=PB=4，PC=5，
∴PC2=P′C2+P′P2，
∴△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°.
故答案為：150°
【分析】（1）由△ACP′≌△ABP可得旋轉角∠PAP′＝60°，可得△APP′為等邊三角形，根據勾股定理逆定理可證明△PP′C為直角三角形，根據∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C即可得答案；（2）如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，由旋轉的性質可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，根據角的和差關系可得∠EAF＝∠E′AF，利用SAS可證明△EAF≌△E′AF，可得E′F＝EF，根據等腰直角三角形的性質可得∠E′CF＝90°，根據勾股定理即可得結論；（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A′O′B處，連接OO′，根據含30°角的直角三角形的性質及勾股定理可求出AB、BC的長，根據旋轉的性質可得∠A′BC=90°，△BOO′是等邊三角形，由∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，利用平角的定義可證明C、O、A′、O′四點共線，利用勾股定理求出A′C的長即可得答案.
模塊三答案解析部分
模塊三典例精講答案
例1．【答案】（1）7
（2）分情況討論：
當0當4當6綜上所述，當t為2或時，△BPQ是等腰三角形．
【知識點】等腰三角形的判定；矩形的性質；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：(1)四邊形是矩形，，，
，，
，，
當時，兩點停止運動.
故答案為：7.
【分析】(1)先利用矩形的性質求得BC、CD的邊長，再通過路程公式計算出兩點的運動時間即可.
(2)利用等腰三角形的性質進行分類討論，當0例2．【答案】
【知識點】等邊三角形的性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖所示，取AC的中點G，
∴CG=CD，
∵將線段繞點順時針旋轉得到，
∴CE=CF，∠ECF=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=∠ACF，
在△CDE和△CGF中，
，
∴△CDE≌△CGF（SAS），
∴∠FGC=∠EDC=90°，
∴點F在直線BG上運動，
過點D作DH⊥BG，此時DF的最小值即為DH，
∵BD=BC=1，
∴DH=，
故答案為：.
模塊三跟進練習答案
【答案】D
【知識點】等邊三角形的性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：連接BE，延長AC到N，使得，連接FN，
∵△ABC是等邊三角形，點E是AC的中點
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴點F在與AN成的直線上運動，
∴當時，有最小值為：，
即：，
∴，
∴，
故答案為：D
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定與性質計算求解即可。
2．【答案】（1）解：由題意得：，解得：；
（2）解：當時，點、、的位置如圖所示：
四邊形為平行四邊形，
，．
,
為等邊三角形，
,
B=3t
-2t，，
此時點在上，且或，
當時，此時、、三點在同一直線上，不能構成平行四邊形；
時，點、、的位置如圖所：
四邊形為平行四邊形，
，AN=2t-8
同，解得：，
此時點在上，且或，
當時，點、、的位置如圖所：
則，，
由題意可知：為等邊三角形，
，即：，解得，此時、重合，不能構成平行四邊形．
答：運動了或時，、、、四點能夠成平行四邊形，此時點在上，且或．
【知識點】等邊三角形的性質；平行四邊形的判定；三角形-動點問題
【解析】【分析】（1）設動點、同時出發，經過t秒第一次相遇，根據動點M與動點N走的路程和=AB+AC，建立方程并解之即可；
（2）分四種情況：當時，四邊形AMDN為平行四邊形，當時，此時、、三點在同一直線上，不能構成平行四邊形；時，四邊形為平行四邊形，當時，四邊形ANMD為平行四邊形，據此分別畫出圖形并解答即可.
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