資源簡介

《角平分線相關問題的應對策略》自主學習單
桂園中學 余陽
角平分線是三角形中最重要的線段之一，它的概念簡單易懂，應用十分廣泛。作為中考熱點，角平分線相關性質的應用往往不是直接考查，而是需要同學們在日常學習中積累一定經驗，結合特定形式的條件找到切入點。
現階段角平分線的命題方向主要集中在角平分線與平行線相結合、角平分線中線段比例以及內心的性質這三方面。本專題的重點在于明確條件與方法的關聯性，幫助學生快速找到問題的突破口解決角平分線的相關問題。
模塊一：角平分線邂逅平行線
例1. （2020 靖江市校級模擬）如圖，在中，，且，，是的平分線，與相交于點，點是上一點，為線段的中點，于點，交于點，則的長為　 　．
例2. （2023 銅梁區校級一模）如圖，將矩形紙片沿折疊后，點、分別落在點、的位置，的延長線恰好經過點，若，，則等于　 　．
例3. （2021 深圳）如圖，在中，，分別為，上的點，將沿折疊，得到，連接，，，若，，，則的長為　 　．
模塊一：鞏固提升
1．（2021 寧波模擬）如圖，點，分別在的邊，上，且，過點作，分別交，的平分線于點，．若，平分線段，則　 　．
2．（2021春 芝罘區期末）如圖，平行四邊形中，，和的平分線交于、兩點，、交于點，則和面積的比值是　 　．
3．（2022春 周村區期末）如圖，在中，，，是的平分線，是的中點，交于，交的延長線于．則　 　．
4．如圖，在矩形中，，，將矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為，則的長為　 　．
角平分線相關問題的應對策略
模塊二：角平分線性質定理推論——角平分線的比例問題
例1．如圖，在中，平分，若，，則 ； .
小結：
例2．（2019 深圳）如圖，已知菱形，、是動點，邊長為4，，，則下列結論正確的有幾個　　
①；②為等邊三角形；③；④若，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．如圖，在中，，，平分交于點，，垂足為．若，則的長為 .
模塊二：鞏固提升
1．如圖，中，平分，，，的面積為，則的面積為　　
A． B．3 C．6 D．12
2．（2021秋 內江期末）如圖，菱形的邊長為4，、分別是、上的點，連接、、，與相交于點，若，，則的長為　　
A． B． C．1 D．
3．如圖，是的平分線，于點，的周長為29，，，，則的長是 .
角平分線相關問題的應對策略
模塊三：多角平分線問題——三角形內心的應用
例1．如圖，是的三條角平分線的交點，連接，，，若，，的面積分別為，，，則下列關系正確的是　　
A． B． C． D．無法確定
例2．如圖，在中，，點是、平分線的交點，且，，，則點到邊的距離為　　
A． B． C． D．
例3．（2018 深圳）在中，，平分，平分，、相交于點，且，，則　　．
模塊三：鞏固提升
1．如圖，的三邊、、的長分別為6、4、8，其三條內角平分線將分成3個三角形，則　　
A． B． C． D．
2．如圖，點在內，且到三邊的距離相等，連接、，若，則的是　　
A． B． C． D．
3．（2021 羅湖區校級模擬）如圖，已知在中，，是的角平分線，是上一點，且，連接，作于，連接．則下面的結論：
①；
②；
③；
④若，，則．其中正確結論的個數是　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
第1頁（共1頁）模塊一：角平分線邂逅平行線參考答案
例1．（2020 靖江市校級模擬）如圖，在中，，且，，是的平分線，與相交于點，點是上一點，為線段的中點，于點，交于點，則的長為 　　．
【解答】解：在中，，
，，
，
是的平分線，
，
，，
，
，
，
，
為線段的中點，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故答案為：．
例2. （2023 銅梁區校級一模）如圖，將矩形紙片沿折疊后，點、分別落在點、的位置，的延長線恰好經過點，若，，則等于 　8　．
【解答】解：四邊形是矩形，．
，，，，
，
由折疊可知，，，
，
，
設，則，．
則由勾股定理可得：，
即：，解得：．
則．
故答案為：8．
例3．（2021 深圳）如圖，在中，，分別為，上的點，將沿折疊，得到，連接，，，若，，，則的長為 　　．
【解答】解：方法一、如圖，延長交于，延長，交于點，
將沿折疊，得到，
，，，
，
又，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
方法二、延長和相交于點，
折疊，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
模塊一：鞏固提升
1．（2021 寧波模擬）如圖，點，分別在的邊，上，且，過點作，分別交，的平分線于點，．若，平分線段，則　　．
【解答】解：平分線段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分線，是的平分線，
，，
，
，
，
，
，，
設與交于，
，
，
，
，
，
故答案為．
2．（2021春 芝罘區期末）如圖，平行四邊形中，，和的平分線交于、兩點，、交于點，則和面積的比值是 　　．
【解答】解：，
設，則，
在平行四邊形中，
，，，
，
的角平分線交于，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
．
故答案為：．
3．（2022春 周村區期末）如圖，在中，，，是的平分線，是的中點，交于，交的延長線于．則　5　．
【解答】解：過點作交于點，
是的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
，
設，，則，
是的中點，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
故答案為：5．
4．如圖，在矩形中，，，將矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為，則的長為 　　．
【解答】解：四邊形為矩形，
，，
由折疊可知，，，
設，則，
在中，，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
如圖，過點作于點，
則，
四邊形為矩形，
，，
，
在中，．
故答案為：．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發布日期：2023
模塊二：角平分線性質定理推論——角平分線的比例問題參考答案
例1．如圖，在中，平分，若，，則 ； .
【解答】解：平分，
點到和的距離相等，
，
同高
小結：AD是的角平分線，則
例2．（2019 深圳）如圖，已知菱形，、是動點，邊長為4，，，則下列結論正確的有幾個　　
①；②為等邊三角形；③；④若，則．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①四邊形是菱形，
，，
，
，
，
，是等邊三角形，
，
，，
，正確；
②，
，，
，
，
是等邊三角形，
故②正確；
③；
，
，
故③正確；
④平分，
．
故④正確，
故①②③④都正確．
故選：．
例3．如圖，在中，，，平分交于點，，垂足為．若，則的長為 .
【解答】解：過點作于，如圖所示，
為的平分線，且于，于，
在中，，
，
在中，，
為等腰直角三角形，
，
設
解得：
模塊二：鞏固提升
1．如圖，中，平分，，，的面積為，則的面積為　　
A． B．3 C．6 D．12
【解答】解：如圖，過點作于，于，
平分，
，
，的面積為，
，解得，
，
，
的面積．故選：．
2．（2021秋 內江期末）如圖，菱形的邊長為4，、分別是、上的點，連接、、，與相交于點，若，，則的長為　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：過點作交于，于，如圖所示：
菱形的邊長為4，，
，，，
是等邊三角形，
，，
，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，
故選：．
3．如圖，是的平分線，于點，的周長為29，，，，則的長是 .
【解答】解：過作于點，如圖，
平分，，，
，
，周長
，
即，
解得．
又的周長為29
模塊三：多角平分線問題——三角形內心的應用參考答案
例1．如圖，是的三條角平分線的交點，連接，，，若，，的面積分別為，，，則下列關系正確的是　　
A． B． C． D．無法確定
【解答】解：過點作于，于，于，如圖，
是的三條角平分線的交點，
，
，，
而，
．
故選：．
例2．如圖，在中，，點是、平分線的交點，且，，，則點到邊的距離為　　
A． B． C． D．
【解答】解：過點作于，于，于，連接，如圖，
點是、平分線的交點，
，，
，
，
，
即，
解得，
即點到邊的距離為．
故選：．
例3．（2018 深圳）在中，，平分，平分，、相交于點，且，，則　　．
【解答】解：如圖，過點作于，連接，
，是分別是和的平分線，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，根據勾股定理得，，
平分，平分，
是的平分線，
，
，
，
，
，
故答案為．
模塊三：鞏固提升
1．如圖，的三邊、、的長分別為6、4、8，其三條內角平分線將分成3個三角形，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：過點作于，于，于，
平分，，，
，
同理，，
，
故選：．
2．如圖，點在內，且到三邊的距離相等，連接、，若，則的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：點在內，且到三邊的距離相等，
平分，平分，
，，
，
，
．
故選：．
3．（2021 羅湖區校級模擬）如圖，已知在中，，是的角平分線，是上一點，且，連接，作于，連接．則下面的結論：
①；
②；
③；
④若，，則．其中正確結論的個數是　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正確，
延長交于，連接．
，，，
，
，，
，
，
，
，，，四點共圓，（補充方法：不用四點共圓，可以作于，于，利用全等三角形的性質證明，推出平分即可）
，
，
解法二：連接，證明和全等，為內心．故③正確，
作于，
平分，，，
，
，
，故④正確，
如果①成立，則，
，
，但是題目沒有說明三角形為等腰直角三角形，所以①不成立．，故①錯誤，
故選：．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發布日期：2023/12/30 9:54:56；用戶：余陽；郵箱：tysyxx053@；學號：30613521
第1頁（共1頁）

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