資源簡介

《隱圓模型》自主學習單
在中考數學中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會出現，明明圖形中沒有出現“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識點，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。隱圓題目常以動態問題出現，有點、線的運動，或者圖形的折疊、旋轉等，大部分學生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點定長模型、定邊定角模型、對角互補模型，上述三種動態問題的軌跡是圓。正所謂：有圓百般好，無圓萬事難。“隱圓模型”的題的關鍵突破口就在于能否看出這個“隱藏圓”。
模型一：動點定長模型
若P為動點，且AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑（動點軌跡是圓或圓弧）
口決：識動點，找定長，得到圓
例1．（2022·北京市·九年級專題練習）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．
例2．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
模型二：定邊定角模型
類型1：直徑對直角
固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓（直角頂點軌跡是圓或圓弧），AB為直徑.
口決：邊定值，角恒定，得到圓
例1．（2023·山西臨汾·九年級統考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）如圖，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為上一動點，作于點F．當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為（ ）

A． B． C． D．
類型2：定弦對定角
固定線段AB所對同側動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓.
若AB為定值，∠P為定角，則P點軌跡是一個圓．
口決：邊定值，角恒定，得到圓
例1．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（ ）
B．
C． D．
模型三：對角互補模型
若平面上A、B、C、D四個點滿足（四邊形對角互補)，則A、B、C、D四點共圓．
口決：找對角，驗互補，得到圓
例1．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為 ．
跟綜練習
1．（2023 北碚區自主招生）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，△ADC沿直線CD翻折至△ABC所在平面內得△A′DC，AA′與CD交于點E．若，，則點A′到AB的距離是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

3．（2023.江蘇九年級期末）如圖，在中，，，，點P為平面內一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋 包頭期末）如圖，在△ABC中，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，過點D分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F．連接EF交線段CD于點O，若CO＝2，CD＝3，則EO FO的值為（　　）
A．6 B．4 C．5 D．6
5．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在矩形中，已知，，點是邊上一動點點不與點，重合，連接，作點關于直線的對稱點，連接，則的最小值為 ．
6．（2023上·江蘇連云港·九年級校考期中）如圖，在矩形中，，N是矩形內一點，，點M是邊上的動點，則的最小值為 ．
7．（2023陜西中考模擬）如圖，在等邊中，，點P為AB上一動點，于點D，于點E，則DE的最小值為_____．《隱圓模型》自主學習單答案
在中考數學中，有一類高頻率考題，幾乎每年各地都會出現，明明圖形中沒有出現“圓”，但是解題中必須用到“圓”的知識點，像這樣的題我們稱之為“隱圓模型”。隱圓題目常以動態問題出現，有點、線的運動，或者圖形的折疊、旋轉等，大部分學生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點定長模型、定邊定角模型、對角互補模型，上述三種動態問題的軌跡是圓。正所謂：有圓百般好，無圓萬事難。“隱圓模型”的題的關鍵突破口就在于能否看出這個“隱藏圓”。
模型一：動點定長模型
若P為動點，且AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑（動點軌跡是圓或圓弧）
類型1 類型2
口決：識動點，找定長，得到圓
例1．（2022·北京市·九年級專題練習）如圖，四邊形中，、分別是，的中垂線，，，則___，___．
【答案】 ；
【分析】連接，根據線段垂直平分線的性質可得，從而得到、、在以為圓心，為半徑的圓上，根據圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質可得，即可求解．
【詳解】解：連接，
、分別是、的中垂線，，
、、在以為圓心，為半徑的圓上，，，
，，，，
，，
又，．故答案為：，．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，根據題意得到、、在以為圓心，為半徑的圓上是解題的關鍵．
例2．（2023·山東泰安·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為；中，，連接，點M是中點，連接．將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段的最小值是（ ）

A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如圖所示，延長到E，使得，連接，根據點A的坐標為得到，再證明是的中位線，得到；解得到，進一步求出點C在以O為圓心，半徑為4的圓上運動，則當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，據此求出的最小值，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，
∵的一條直角邊在x軸上，點A的坐標為，
∴，∴，∴，
∵點M為中點，點A為中點，∴是的中位線，∴；
在中，，∴，
∵將以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，∴點C在以O為圓心，半徑為4的圓上運動，
∴當點M在線段上時，有最小值，即此時有最小值，
∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．

【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的最值問題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．
模型二：定邊定角模型
類型1：直徑對直角
固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點共圓（直角頂點軌跡是圓或圓弧），AB為直徑.
口決：邊定值，角恒定，得到圓
例1．（2023·山西臨汾·九年級統考期末）如圖在四邊形中，，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據題意得到點A，B，C，D四點共圓，然后證明出，進而得到，然后利用直角三角形的性質得到，進而求解即可．
【詳解】如圖所示，∵ ∴點A，B，C，D四點共圓，

∵∴∵∴∴
∵，∴ ∴∴．故選：D．
【點睛】此題考查了四點共圓，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
例2．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）如圖，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，點E為上一動點，作于點F．當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，，，先由圓周角定理得到點F的運動軌跡是以為直徑的圓上，且點O在圓上，進而得到當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為的長；根據勾股定理和銳角三角函數求得，，則所對的圓心角的度數為，利用弧長公式求得的長即可求解．
【詳解】解：連接，，，

∵，∴，
∴點F的運動軌跡是以為直徑的圓上，且點O在圓上，當點E在點B處時，，點F與O重合；
當點E在點D處時，∵以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，
∴即，點F與A重合，
∴當點E從點B出發，順時針旋轉到點D時，點F所經過的路徑長為的長；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，則所對的圓心角的度數為，
∴的長為，即點F所經過的路徑長為，故選：B．
【點睛】本題考查圓周角定理、解直角三角形、弧長公式、坐標與圖形等知識，正確得到點F的運動軌跡以及點F所經過的路徑長為的長是解答的關鍵．
類型2：定弦對定角
固定線段AB所對同側動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點共圓.
若AB為定值，∠P為定角，則P點軌跡是一個圓．
口決：邊定值，角恒定，得到圓
例1．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）如圖，在邊長為6的等邊中，點E在邊上自A向C運動，點F在邊上自C向B運動，且運動速度相同，連接交于點P，連接，在運動過程中，點P的運動路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點A作于A，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，再由弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖，過點A作于A，作于，連接，交于，
是等邊三角形，，，，
，，，是的垂直平分線，，
在中，，，，
，，，
，，，
點的運動路徑是以點為圓心，以為半徑的弧，
點P的運動路徑長為．故選：A．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，扇形的面積，動點的運動軌跡等知識，確定點的運動軌跡是解本題的關鍵．
模型三：對角互補模型
若平面上A、B、C、D四個點滿足（四邊形對角互補)，則A、B、C、D四點共圓．
口決：找對角，驗互補，得到圓
例1．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一動點，滿足，若，，，則的長度為 ．
【答案】/
【分析】過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，點A,M,B,C四點共圓，得，解直角三角形，，面積法求解，，得．
【詳解】解析：過點B作交的延長線于點H，過點D作于點E，過點D作于點F，如圖所示：
∵∴點A,M,B,C四點共圓
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
【點睛】本題考查四點共圓，圓周角定理，解直角三角形，角平分線性質定理，添加輔助構造直角三角形是解題的關鍵．
跟綜練習
1．（2023 北碚區自主招生）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，△ADC沿直線CD翻折至△ABC所在平面內得△A′DC，AA′與CD交于點E．若，，則點A′到AB的距離是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質可得CD＝AD＝BD＝AB，根據勾股定理求出AB＝5，由折疊可得AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，于是得到A′D＝，因此△AA′B為直角三角形，進而可得A、B、A′、C四點共圓，以AB為直徑，D為圓心作圓，過點A′作A′F⊥AB，設CD與AA′交于點O，根據圓周角定理可得∠A′CO＝∠BAO，易證明△A′OC∽△BOA，得到，設OC＝x，則OB＝，代入式中求得OA＝，OA′＝2﹣，在Rt△AOC中，利用勾股定理解得x＝，則OA′＝，OB＝，在Rt△OA′B中，根據勾股定理求得A′B＝3，設DF＝a，則BF＝BD﹣DF＝，在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，以此即可建立方程，求出a值，再代入算出A′F的長即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∵，，
∴AB＝＝＝5，
∴AD＝BD＝，
根據折疊的性質可得，AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，
∴A′D＝AD＝，
∴△AA′B為直角三角形，
∴A、B、A′、C四點共圓，
以AB為直徑，D為圓心作圓，過點A′作A′F⊥AB，設CD與AA′交于點O，如圖，
∵，
∴∠A′CO＝∠BAO，
∵∠A′OC＝∠BOA，
∴△A′OC∽△BOA，
∴，
設OC＝x，則OB＝BC﹣OC＝，
∴，
∴OA＝，OA′＝2﹣，
在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，
∴，
解得：x＝或（舍去），
∴OA′＝2﹣＝，OB＝2＝，
在Rt△OA′B中，A′B＝＝＝3，
設DF＝a，則BF＝BD﹣DF＝，
在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，
在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，
∴，
解得：a＝，
∴A′F＝＝，
即點A′到AB的距離是．
故選：B．
【點評】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線、四點共圓、折疊的性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、勾股定理，根據題意證明A、B、A′、C四點共圓，并靈活運用所學知識解決問題是解題關鍵．
2．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

【答案】/
【分析】設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，證明，可知點F在以為直徑的半圓上運動，當點F運動到與的交點時，線段有最小值，據此求解即可．
【詳解】解：設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴點F在以為直徑的半圓上運動，
∴當點F運動到與的交點時，線段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據題意分析得到點F的運動軌跡是解題的關鍵．
3．（2023.江蘇九年級期末）如圖，在中，，，，點P為平面內一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可得A、B、C、P四點共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關，當PC最大時CQ即取最大值．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四點共圓，AB為圓的直徑，AB=
∵∴∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴當PC取得最大值時，CQ即為最大值
∴當PC=AB=5時，CQ取得最大值為故選：B．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質以及四點共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等確定四點共圓，利用相似三角形性質得到線段間等量關系是解題關鍵．
4．（2022秋 包頭期末）如圖，在△ABC中，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，過點D分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F．連接EF交線段CD于點O，若CO＝2，CD＝3，則EO FO的值為（　　）
A．6 B．4 C．5 D．6
【分析】根據題意可得C、E、D、F四點共圓，由圓周角定理可得∠CDE＝∠CFE，∠DEF＝∠DCF，以此可證明△ODE∽△OFC，再根據相似三角形的性質即可求解．
【解答】解：∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED＝∠DFC＝90°，
∴C、E、D、F四點共圓，
∴∠CDE＝∠CFE，∠DEF＝∠DCF，
∴△ODE∽△OFC，
∴，即OD OC＝OE OF，
∵CO＝2，CD＝，
∴OD＝CD﹣OC＝，
∴OE OF＝OD OC＝．
故選：B．
【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質、四點共圓、圓周角定理，熟練掌握四點共圓的條件是解題關鍵．
5．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在矩形中，已知，，點是邊上一動點點不與點，重合，連接，作點關于直線的對稱點，連接，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查圓外一點到圓上一點的最值，軸對稱的性質，矩形的性質．連接，得到，進而得到點在以點為圓心，為半徑的圓上，當，，三點共線時，線段的長度最小，求出此時的長度即可．解題的關鍵是確定點的運動軌跡．
【詳解】解：連接，點和關于對稱，，
在以圓心，為半徑的圓上，當，，三點共線時，最短，
，，，故答案為：．
6．（2023上·江蘇連云港·九年級校考期中）如圖，在矩形中，，N是矩形內一點，，點M是邊上的動點，則的最小值為 ．
【答案】9
【分析】根據矩形的性質得到，求得，得到點N在以為直徑的半圓上運動，設半圓的圓心為O，作點B關于直線的對稱點，連接交于M，交半圓于N，則此時的值最小，最小值，過O作于H，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴點N在以為直徑的半圓上運動，設半圓的圓心為O，
作點B關于直線的對稱點，連接交于M，交半圓于N，則此時的值最小，最小值，
過O作于H，則，，
∴，∴的最小值，故答案為：9．

【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關鍵．
7．（2023陜西中考模擬）如圖，在等邊中，，點P為AB上一動點，于點D，于點E，則DE的最小值為_____．
【答案】
【詳解】如解圖，，故四邊形PDCE對角互補，故P、D、C、E四點共圓，，故，要使得DE最小，則要使圓的半徑R最小，故直徑PC最小，當時，PC最短為，故，故．

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