資源簡介

羅湖區(qū)中考備考“百師助學(xué)”課程第17講
《45度角問題處理策略——構(gòu)造半角模型》
—— 段玲
自主學(xué)習(xí)單
（答案詳解）
模塊一： 45度角問題一
一、例題精講
例題1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點E、F分別在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，則AF的長為　 　．
【解答】解：如圖，在AD上取點M使得AM=AB=2，過點M 作MN垂直BC于點N，與AF 交于點G ，連接EG .
則由“半角模型常用結(jié)論”得EG=BE+MG.
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==1,
設(shè)EG＝x，則GN＝2﹣x，EG＝x+1，
Rt△ENG中，由勾股定理得
解得x=
∵∠FAD＝∠GAM，∠D＝∠AMG＝90°
∴△ADF∽△AMG
∴
∴ ，∴ DF=2
在Rt△ADF中，由勾股定理得AF==
例題2．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OCNM為矩形，如圖，M點坐標(biāo)為（m，0），C點坐標(biāo)為（0，n），已知m，n滿足．S，G，R，H分別為OC，OM，MN，NC上一點，SR，HG交于點D．若∠SDG＝135°，，則RS＝　 。
【解答】解：∵，
又∵≥0，|5﹣m|≥0，
∴n﹣5＝0，5﹣m＝0，
∴ n＝m＝5．
如圖，過C作CE∥SR，在x軸負(fù)半軸上取一點E′，使OE′＝EN，得 CSRE，且△CEN≌△CE′O，則CE＝SR，
過C作CF∥GH交OM于F，連接FE，得 CFGH，則CF＝GH＝，
∵∠SDG＝135°，
∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，
∴∠FCE＝∠SDH＝45°，
∴∠NCE+∠OCF＝45°，
∵△CEN≌△CE′O，
∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，
∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，
∴∠E′CF＝∠FCE，
∵CF＝CF，
∴△E′CF≌△ECF（SAS），
∴E′F＝EF
在Rt△COF中，OC＝5，F(xiàn)C＝，
由勾股定理得：OF＝＝，
∴FM＝5﹣＝，
設(shè)EN＝x，則EM＝5﹣x，F(xiàn)E＝E′F＝x+，
則（x+）2＝（）2+（5﹣x）2，
解得：x＝，即EN＝，
由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴SR＝CE＝．故答案為．
二、跟進練習(xí)
1．（2021.宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（　　）
A．2 B． C． D．3
【解答】解：如圖，延長EH交CF于點P，過點P作MN⊥CD于N，
∵將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，
∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，
在△CPH和△CPN中，
，
∴△CPH≌△CPN（AAS），
∴NP＝PH，CH＝CN＝4，
∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，
∴四邊形BCNM是矩形，
又∵CN＝CB＝4，
∴四邊形BCNM是正方形，
∴MN＝BM＝4，
∴EM＝2，
∵EP2＝EM2+PM2，
∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DCF＝，
∴，
∴DF＝2，故選：A．
2.如圖，邊長為3的正方形ABCD中，E、F、G分別是邊AB、CD、BC上的點，EF與AG相交于點O，且∠AOE＝45°，EF＝，線段AG的長為 ．
【解答】解：如圖，過點A作AH∥EF交CD于點H．
∵AE∥FH，AH∥EF，
∴四邊形AHFE是平行四邊形，
∴AH＝EF＝，
∵AD＝CD＝3，∠D＝90°，
∴DH＝＝＝1，
∴CH＝CD﹣DH＝3﹣1＝2，
設(shè)BG＝x，則由“半角模型常用結(jié)論”得GH＝DH+BG＝1+x，CG＝3﹣x，
∵∠HCG＝90°，
∴22+（3﹣x）2＝（x+1）2，
∴x＝，
∴BG＝，
∴AG＝＝＝．
3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，線段DM的長為 ．
【解答】解：如圖，延長AB至P，使BP＝BN＝1，過P作BC的平行線交DC的延長線于Q，延長AN交PQ于E，連接EM，
則四邊形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，
設(shè)DM＝x，則MQ＝4﹣x，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，
由“半角模型常用結(jié)論”得：EM＝PE+DM＝+x，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，
解得：x＝2，即DM的長是2．
4.如圖，邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點，動點G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，設(shè)AG＝m，求m的取值范圍．
【解答】解：如圖1，點H與點C重合，作CK∥EF，交AB于點K，連結(jié)GK，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∴EK∥CF，
∴四邊形EKCF是平行四邊形，
∴AE＝CF＝EK＝1，
∴AK＝2，BK＝5﹣2＝3，
∵CB＝CD，∠GCK＝∠GPE＝45°＝∠BCD，
∠BCD+∠A＝180°， 圖1
∵AG＝m，
∴DG＝5﹣m，
∴由“半角模型常用結(jié)論”得GK＝BK+DG＝3+5﹣m＝8﹣m，
由AK2+AG2＝GK2，得22+m2＝（8﹣m）2，解得m＝，
∴m的最大值為；
如圖2，點P與點O重合，則∠GOE＝45°，
過點O作MN∥BC，交AB于點M，交CD于點N，
則MN∥BC∥AD；
過點O作OQ∥AB，交AD于點Q，則OQ∥AB∥CD， 圖2
∵OE＝OF，
∴，
∴AQ＝DQ＝AD＝，OM＝ON，
∵∠AMN＝∠B＝90°，∠A＝∠D＝90°，
∴四邊形AMND是矩形，
∴AM＝DN，
∴BM＝CN，
∵∠EOM＝∠FON，OE＝OF，OM＝ON，
∴△EOM≌△FON（SAS），
∴EM＝FN，
∴AM＝AE+EM＝CF+FN＝CN，
∴AM＝BM＝AB＝，
∵AQ＝AM，∠AQO＝∠D＝90°，∠A＝∠AMO＝90°，
∴四邊形AMOQ是正方形，
∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°，
∴∠GOE＝∠MOQ，∠A+∠MOQ＝180°，
∵EM＝﹣1＝，GQ＝﹣m，
∴由“半角模型常用結(jié)論”得EG＝EM+GQ＝+﹣m＝4﹣m，
由AE2+AG2＝EG2，得12+m2＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴m的取值范圍是＜m≤．
模塊二： 45度角問題二
例題精講
例題1.如圖四邊形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°，
AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點，
且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：作AF⊥CB交CB的延長線于F，在CF的延長線上取一點G，使得FG＝DE．
∵AD∥BC，∴∠BCD+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，
∴四邊形ADCF是矩形，
∵∠CAD＝45°
∴AD＝CD，
∴四邊形ADCF是正方形，
∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADE＝90°，
∴△AFG≌△ADE，
∴AG＝AE，∠FAG＝∠DAE，
∴∠FAG+∠FAB＝∠EAD+∠FAB＝45°＝∠BAE，
∴△BAE≌△BAG，
∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，
設(shè)BC＝a，則AB＝4+a，BF＝4﹣a，在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2， a＝1，
∴BC＝1，BF＝3，設(shè)BE＝b，則DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．
在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，
∴BG＝BE＝，
∴S△ABE＝S△ABG
＝××4
＝．
例題2．如圖，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，
求S△AEF．
【解答】解：如圖，將△AEG沿AE折疊得到△AEB，
將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．
∴AD＝AG＝AB，∠D＝∠AGF＝90°，∠B＝∠AGE＝90°，
∠DAF＝∠GAF，∠BAE＝∠GAE，
∵∠EAF＝45°＝∠FAG+∠GAE，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠DAB＝45°+45°＝90°，
即∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴四邊形ABCD是正方形．
由折疊知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE＝EG＝3，DF＝FG＝2，
∵EF＝5，
設(shè)AG＝x，則AB＝BC＝CD＝AG＝x，CE＝CB﹣BE＝x﹣3，CF＝x﹣2．
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52．
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）．
∴AG＝6．
∴△AEF的面積＝EF AG＝×5×6＝15．
跟進練習(xí)
1．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．CE的長度為 ．
【解答】解：過B作DA的垂線交DA的延長線于M，M為垂足，
延長DM到G，使MG＝CE，連接BG，
易知四邊形BCDM是正方形，
則△BEC與△BGM中，
，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，
即∠ABE＝∠ABG＝45°，
在△ABE與△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE＝10，
設(shè)CE＝x，則AM＝10﹣x，
AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；
解得：x1＝4，x2＝6．
故CE的長為4或6．
2．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E為邊BC上一點，將△ABE沿AE翻折得△AHE，延長EH交邊CD于點F，連接AF．求證：∠EAF＝45°．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（a，0）、點B的坐標(biāo)為（b，0）且a，b滿足|a﹣4|+（b+6）2＝0，點C在y軸正半軸上，∠ACB＝45°．
①a＝　 　，b＝　 　；
②求點C的坐標(biāo)；
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵△ABE沿AE翻折得△AHE，
∴AH＝AB，∠HAE＝∠BAE，∠AHF＝∠AHE＝∠B＝90°，
∴AH＝AD，∠AHF＝∠D，
∵AH＝AH，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF＝∠HAF，
∵∠BAE+∠HAE+∠HAF+∠DAF＝90°，
∴2∠HAE+2∠HAF＝90°，
∴∠HAE+∠HAF＝45°，
∴∠ACB＝45°；
（2）解：①由題意得，
，
∴a＝4，b＝﹣6，
②如圖1，
分別作△BOC和△AOC的關(guān)于CB和AC的對稱△BDC和△AEC，延長DB和EA相交于點F．
∴∠D＝∠BOC＝90°，∠E＝∠AOC＝90°，CD＝OC＝CE，BD＝OB＝6，AE＝OA＝4，
∠BCD＝∠BCO，∠ACE＝∠ACO，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴四邊形CEFD是矩形，
∴矩形CDFE是正方形，
∴∠F＝90°，
∴BF2+AF2＝AB2，
設(shè)DF＝EF＝x，則BF＝x﹣6，AF＝x﹣4，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，
∴x1＝12，x2＝﹣2（舍去），
∴OC＝CD＝DF＝12，
∴C（0，12）.
模塊三：隱含45度角問題
一、例題精講
例題1 如圖，邊長為3的正方形ABCD中，點E在邊AD上，AE=1．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，則CG的長為 ．
【解答】解：如圖，延長EF與CD交于點H，連接BH；延長BF，與AD交于點M，與CD的延長線 交于點N
由折疊可知，AB=FB=3，AE=FE=1，∠BAE＝∠BFE=90°，
∴DE=3
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝BF＝3，∠ABC=∠BCH=90°，
由勾股定理得，AC=
又∵BH為公共邊
∴Rt△BFH≌Rt△BCH（HL），
∴CH＝FH
設(shè)CH＝FH＝x，
∴HD＝3﹣x，EH＝1+x，
∴在Rt△DEH中，
解得x＝，即CH＝FH＝，DH=
在Rt△NHF和Rt△EHD中，
∵FH=DH= ，∠NHF＝∠EHD，∠NFH＝∠EDH=90°
∴△NHF≌△EHD
∴NH=EH= ，CN=CH+NH=4
∵CN∥AB
∴∠N＝∠GBA，∠NCG＝∠BAG
∴△NCG∽△BAG
∴，
∴CG==
例題2如圖1，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上且EF⊥AB，AE＝2EB．將一個量角器擺放在矩形中，使它的0°線MN與EF重合，半圓與BC相切，現(xiàn)將該量角器繞點F順時針旋轉(zhuǎn)（如圖2所示），使得它的半圓與EF交于點P，過點M作GH⊥MF，分別交邊AE，AD于G，H，若＝，則的值為 。
【解答】解：如圖1，連O與切點H，OH⊥BC，
設(shè)半徑為r，EF＝BE＝2r，
∵AE＝2EB，
∴AE＝2r，AB＝3r，
如圖2，連接FG，F(xiàn)H，
∵EF＝MF＝DF＝2r，
又∵FG＝FG，
∴Rt△EFG≌Rt△MFG（HL），
同理，Rt△DFH≌Rt△MFH（HL），
∴MG＝EG，MH＝DH，
設(shè)MG＝EG＝x，
∵＝，
∴MH＝3x＝HD，AG＝2r﹣x，AH＝2r﹣3x，
∴（2r﹣x）2+（2r﹣3x）2＝（4x）2，
解得r＝x或r＝x（舍去），
連MP，MF是直徑，
∴∠MPF＝90°，
∵∠AGH+∠MGE＝180°，∠MFE+∠MGE＝180°，
∴∠AGH＝∠MFE，
∴＝＝＝，
二、跟進練習(xí)
1.如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝　 　cm．
【解答】解：如圖，連接DF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵點M是BC邊的中點，
∴CM＝BM＝BC＝2cm，
由折疊得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°，
∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE，
∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF，
設(shè)AF＝x cm，則EF＝x cm，
∴BF＝（4﹣x）cm，F(xiàn)M＝（x+2）cm，
在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2，
∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，解得：x＝，
∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，F(xiàn)M＝+2＝cm，
∵∠FEG＝∠DEM＝90°，
∴∠FEG＝∠B＝90°，
∵∠EFG＝∠BFM，
∴△FGE∽△FMB，
∴＝，即＝，
∴FG＝cm，故答案為：．
2．如圖，正方形ABCD邊長為6，點E為BC邊中點，沿直線DE折疊，點C落在點F處，延長EF交AB于點G，連接BF，則△BEF的面積為 　 　．
【解答】解：連接GD，如圖所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
根據(jù)折疊可知DC＝DF，∠C＝∠DFE＝90°，
∴AD＝DF，∠A＝∠DFG＝90°，
又GD＝GD，
∴△AGD≌△FGD（HL），
∴AG＝GF，
設(shè)AG＝GF＝x，則BG＝6﹣x，
∵正方形ABCD邊長為6，點E為BC邊中點，
∴BE＝EC＝EF＝3，
在Rt△GBE中，GE＝EF+FG＝3+x，BE＝3，
∴GE2＝BE2+BG2，
即（3+x）2＝（6﹣x）2+32，解得：x＝2，
∴GB＝6﹣2＝4，GE＝2+3＝5，
∴，
故答案為：．
3．如圖1，已知一個量角器的直徑MN與正方形ABCD的邊長相等，點N與點C重合，量角器的半圓弧與邊BC交于點P，過點M作GH⊥MN，交邊AB，AD于G，H．在量角器繞點C順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，若的度數(shù)為60°，則的值為 　 　．
【解答】解：如圖1，連接CH，CG，
在Rt△CGM和Rt△CGB中，
∴Rt△CGM≌Rt△CGB（HL），
∴GM＝BG，
在Rt△CHM和Rt△CHD中，
，
∴Rt△CHM≌Rt△CHD（HL），
∴MH＝DH，∠DCH＝∠MCH，
∵的度數(shù)為60°，
∴∠MCP＝30°，
∴∠MCD＝60°，
∴∠DCH＝∠MCH＝30°，
∴CD＝DH，
設(shè)HD＝MH＝x，則CD＝x＝AB，
∴AH＝x﹣x，
∵AG2+AH2＝GH2，
∴（x﹣GM）2+（x﹣x）2＝（x+GM）2，
∴GM＝（2﹣3）x，
∴＝＝2﹣3.
4．（1）如圖1，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則∠EAF＝　 　度；
（2）如圖2，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N．當(dāng)點N恰好落在折痕AE上，
則①∠AEF＝　 　度；
②若AB＝，求線段AP的長；
（3）如圖3，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點E、F分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE、AF折疊，點B落在M處，點D落在G處，點A、M、G恰好在同一直線上，若BE＝1，AB＝a，則＝　 　．（用含a、n的代數(shù)式表示結(jié)果）
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
由折疊得：∠BAE＝∠EAM，∠DAF＝∠FAM，
∴∠EAF＝∠EAM+∠FAM＝×90°＝45°，
故答案為：45°；
（2）①如圖2，由折疊得：∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠CEF＝∠AEB，
∵∠AEF+∠AEB+∠CEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，故答案為：60；
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴∠BAE＝∠EAM＝30°，
∵AB＝BC＝，
∴BE＝1，AE＝2，
∴EN＝EC＝﹣1，
∴AN＝AE﹣EN＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
Rt△ANP中，cos30°＝＝，
∴AP＝2﹣2；
（3）解：如圖3，延長EM交AF于點P，過點P作HN⊥AD于N，
∵將矩形紙片沿AE、AF折疊，點B落在M處，點D落在G處，
∴AB＝AM＝a，∠PAM＝∠PAN，BE＝EM＝1，∠B＝∠AME＝90°，
在△APM和△APN中，
，
∴△APN≌△APM（AAS），
∴NP＝PM，AN＝AM＝a，
∵∠B＝∠BAN＝90°，HN⊥AD，
∴四邊形ABHN是矩形，
又∵AN＝AB，
∴四邊形ABHN是正方形，
∴HN＝BH＝a，
∴EH＝a﹣1，
∵EP2＝EH2+PH2，
∴（1+NP）2＝（a﹣1）2+（a﹣NP）2，
∴NP＝，
∵tan∠DAF＝＝，
∴＝，
∴DF＝，
∴＝＝．
故答案為：．羅湖區(qū)中考備考“百師助學(xué)”課程第17講
《45度角問題處理策略——構(gòu)造半角模型》
—— 段玲
自主學(xué)習(xí)單
知識梳理
在初中幾何中，45°角是一個比較特殊的角，以45°角為載體的中考題層出不窮。構(gòu)造正方形半角模型(下文簡稱半角模型)，是初中平面幾何中處理有關(guān)45°角的問題的常見基本構(gòu)圖之一。半角模型蘊含很多優(yōu)美的結(jié)論，熟練掌握半角模型常見的結(jié)論和證明方法、能添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造半角模型、體會研究幾何圖形的方法，都有助于提高學(xué)生的解題能力。
1、半角模型原理 如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=∠BAC，則可將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)至△ACE處，使得AB和AC重合，連接EF，（如圖2）,進而可得△AED ≌△AEF. （共頂點、等線段，見了半角作旋轉(zhuǎn)）
圖1 圖2
2、正方形內(nèi)半角模型的部分常用結(jié)論
(1)如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接AE、AF、EF。利用半角模型研究原理（如圖4），則有以下結(jié)論成立：
①△AEG ≌△AEF②BE+DF=EF； ③∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AFD
圖3 圖4 圖5
進一步可推出：
如圖5，若AH⊥EF于點H，則
①△ABE ≌△AHE，△ADF ≌△AHF,，AH=AB
②點A、B、E、H四點共圓，點A、D、F、H四點共圓
③∠BAH=∠CEF，∠DAH=∠CFE
二、學(xué)習(xí)過程
模塊一： 45度角問題一
一、例題精講
例題1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點E、F分別在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，則AF的長為　 　．
例題2．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OCNM為矩形，如圖，M點坐標(biāo)為（m，0），C點坐標(biāo)為（0，n），已知m，n滿足．S，G，R，H分別為OC，OM，MN，NC上一點，SR，HG交于點D．若∠SDG＝135°，，則RS＝　 。
二、跟進練習(xí)
1．（2021.宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（　　）
A．2 B． C． D．3
2.如圖，邊長為3的正方形ABCD中，E、F、G分別是邊AB、CD、BC上的點，EF與AG相交于點O，且∠AOE＝45°，EF＝，線段AG的長為 ．
3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，線段DM的長為 ．
4.如圖，邊長為5的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點，動點G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，設(shè)AG＝m，求m的取值范圍．
模塊二： 45度角問題二
例題精講
例題1.如圖，四邊形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點，且∠BAE＝45°．若CD＝4，則△ABE的面積為（　　）
A． B．
C． D．
例題2．如圖，△AEF中∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，求S△AEF．
跟進練習(xí)
1．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．CE的長度為 ．
2．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E為邊BC上一點，將△ABE沿AE翻折得△AHE，延長EH交邊CD于點F，連接AF．求證：∠EAF＝45°．
（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（a，0）、點B的坐標(biāo)為（b，0）且a，b滿足|a﹣4|+（b+6）2＝0，點C在y軸正半軸上，∠ACB＝45°．
①a＝　 　，b＝　 　；
②求點C的坐標(biāo)；
模塊三：隱含45度角問題
一、例題精講
例題1 如圖，邊長為3的正方形ABCD中，點E在邊AD上，AE=1．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，則CG的長為 ．
例題2如圖1，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上且EF⊥AB，
AE＝2EB．將一個量角器擺放在矩形中，使它的0°線MN與EF重合，半圓與BC相切，現(xiàn)將該量角器繞點F順時針旋轉(zhuǎn)（如圖2所示），使得它的半圓與EF交于點P，過點M作GH⊥MF，分別交邊AE，AD于G，H，若＝，則的值為 。
二、跟進練習(xí)
1.如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點C落在點E處，分別延長ME、DE交AB于點F、G，若點M是BC邊的中點，則FG＝　 　cm．
2．如圖，正方形ABCD邊長為6，點E為BC邊中點，沿直線DE折疊，點C落在點F處，延長EF交AB于點G，連接BF，則△BEF的面積為 　 　．
3．如圖1，已知一個量角器的直徑MN與正方形ABCD的邊長相等，點N與點C重合，量角器的半圓弧與邊BC交于點P，過點M作GH⊥MN，交邊AB，AD于G，H．在量角器繞點C順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，若的度數(shù)為60°，則的值為 　 　．
4．（1）如圖1，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則∠EAF＝　 　度；
（2）如圖2，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N．當(dāng)點N恰好落在折痕AE上，
則①∠AEF＝　 　度；
②若AB＝，求線段AP的長；
（3）如圖3，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點E、F分別在邊BC、CD上，將矩形ABCD沿AE、AF折疊，點B落在M處，點D落在G處，點A、M、G恰好在同一直線上，若BE＝1，AB＝a，則＝　 　．（用含a、n的代數(shù)式表示結(jié)果）

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