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《相似三角形的共邊共角模型》答案
模塊一：一般三角形
模塊一：典例精講
例1．如圖，點D是△ABC的邊BC的中點，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周長為10，則△ACD的周長是（　　）
A．5 B．5 C． D．
【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝，即AC2＝CD CB，
設BD＝CD＝x，
則AC＝x，
∴＝＝＝，即＝，
解得，△ACD的周長＝5，
故選：B．
例2．已知：如圖（1），在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，過點C作CF∥AB，P是AD上一點，連接BP并延長，分別與AC，CF交于點E，F．
（1）求證：PB2＝PE PF；
（2）若點P在AD的延長線上，其他條件不變，如圖（2），那么（1）中的結論是否成立？請直接寫出結論，不需證明．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABP＝∠ACP，
∵AB‖CF，
∴∠ABP＝∠F，
∴∠F＝∠ACP，
∵∠EPC為公共角，
∴△PCE∽△PCF，
∴，
∴PC2＝PF PE
∵BP＝CP，
∴BP2＝PF PE；
（2）成立，
由（1）證得∠ABP＝∠ACP，
∵CF∥AB，
∴∠CFE＝∠ABP，
∴∠ACP＝∠CFE，
∴∠PCE＝∠CFP，
∵∠CPF＝∠CPF，
∴△CPF∽△PCE，
∴，
∴PC2＝PF PE
∵BP＝CP，
∴BP2＝PF PE．
模塊一：跟蹤練習
1．如圖，正方形ABCD中，△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′，AB′、AC′分別交對角線BD于點E、F，若AE＝4，則EF ED的值為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ADB＝45°，
∵把△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB'C'，
∴∠EAF＝∠BAC＝45°，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴EF ED＝AE2，
∵AE＝4，
∴EF ED的值為16，
故選：D．
2．如圖，在 ABCD中，E為AB延長線上一點，F為AD上一點，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，則BC的長是（　　）
A． B． C．6 D．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴，
∵DE＝4，AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝AD﹣，
∴，
∴42＝（AD一） AD，
∴AD＝或AD＝﹣3（舍去），
∴BC的長是，
故選：A．
3．如圖，AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的中線，AD，CE交于點F，若∠1＝∠B，則＝　 　．
【解答】解：∵∠1＝∠B，
而∠CAE＝∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AE AB，
∵CE是△ABC的中線，
∴AE＝AB，
∴AC2＝AE AB＝AB2，
∴AC＝AB，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD＝∠CAF，
而∠B＝∠1，
∴△ABD∽△ACF，
∴＝＝＝．
故答案為．
4．如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AF平分∠BAC，交BD于點E，交BC于點F，若BE＝BF＝2，則AD＝　 　．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BFE，
∵BE＝BF＝2，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，
∴AD＝DE，
設∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
設∠BAF＝∠CAF＝y，則∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，
∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF，
∴x﹣y＝∠DAC，∠ADO＝∠ADB，
∴△ADO∽△BDA，
設AD＝DE＝m，
∴，
∴BD＝BE+DE＝2+m，
∴DO＝BD＝（2+m），
∴，
∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，即m2﹣4m﹣4＝0，
∴m1＝2+2，m2＝2﹣2（舍去），
經檢驗m＝2+2是分式方程的解，
∴AD＝2+2．
5．約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關于該邊的“優美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關于邊BC的“優美三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關于邊BC的“優美三角形”；
（2）如圖3，已知△ABC為關于邊BC的“優美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點，以BD為直徑的⊙O恰好經過點A．
①求證：直線CA與⊙O相切；
②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；
（3）已知三角形ABC為關于邊BC的“優美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．
【解答】（1）證明：∵AD是中線，
∴BD＝BC＝AB，
∴＝＝，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC是關于邊BC的“優美三角形”；
（2）①證明：連接OA，
∵△ABC為關于邊BC的“優美三角形”，
∴△CAD∽△CBA，
∴∠CAD＝∠CBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠CBA，
∴∠CAD＝∠OAB，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠CAD+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半徑，
∴直線AC與⊙O相切；
②解：∵△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD BC，
∴AC＝4，
∵＝＝，
設AD＝x，則AB＝2x，
在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，即4x2+2x2＝24，
∴x＝2，
∴AB＝4；
（3）解：過點A作AE⊥BC交于E點，
①若△BAD∽△BCA，
∴AB2＝BD BC，
∴AB＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴AE＝AB＝，
∴S△ABC＝AE BC＝2；
②若△CAD∽△CBA，
∴AC2＝CD BC，
∴AC＝2，
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
設AE＝x，則BE＝x，
∴CE＝4﹣x，
在Rt△AEC中，AC2＝AE2+CE2，
∴x2+（4﹣x）2＝8，
解得x＝±1，
∴S△ABC＝ AE BC＝2±2；
綜上所述：△ABC的面積為2或2±2．
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模塊二：直角三角形
模塊二：典例精講
例3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高.
若AC＝6，AB＝9，則AD＝ ；
若AC＝4，BD＝6，則CD＝ ；
若AC＝5，CD＝4，則BC＝ .
【解答】解：（1）4（2）（3）
例4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D為AC中點，AE⊥BD，E為垂足，求證：∠CBD＝∠ECD．
【解答】證明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AE⊥BD，
∴∠AED＝∠BAD＝90°，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴AD：BD＝DE：AD，
∵D為AC中點，
∴AD＝CD，
∴CD：BD＝DE：CD，
∵∠CDE＝∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠CBD＝∠ECD．
模塊二：跟蹤練習
1．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長是　 　．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AGB＝90°＝∠ABC，
∵∠BAG＝∠CAB，
∴△ABG∽△ACB，
∴＝，
∴AG AC＝AB2（射影定理），
即（AC﹣1） AC＝12，
解得：AC＝或AC＝（不合題意舍去），
即AC的長為，
故答案為：．
2．如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，若tan∠ABE＝，AE＝3，求BD的長．
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝90°，
∵AE為⊙O的切線，
∴∠EAB＝90°，
∵∠E＝∠E，
∴△EAD∽△EBA，∴，
∴AE2＝ED EB，
在Rt△AEB中，AE＝3，tan∠ABE＝，
∴，∴AB＝6，
∴BE＝＝3
∴32＝ED 3，
∴ED＝，
∴BD＝BE﹣ED＝3﹣＝．
3．如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，點E在邊CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．求證：∠BOF＝∠BED．
【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF BE，
∴BO BD＝BF BE，
即 ＝，
∵∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED，
∴∠BOF＝∠BED．
4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點P，連接AC．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若OB＝2，OP＝，求BC的長．
【解答】（1）證明：∵BC∥OP
∴∠AOP＝∠B
∵AB是直徑
∴∠C＝90°
∵PA是⊙O的切線，切點為A
∴∠OAP＝90°
∴∠C＝∠OAP
∴△ABC∽△POA；
（2）解：∵△ABC∽△POA
∴
∵OB＝2，PO＝
∴OA＝2，AB＝4
∴
∴BC＝8
∴BC＝．
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模塊三：共邊共角模型的構造
模塊三：典例精講
例5．如圖，M、N分別是平行四邊形ABCD邊BC、CD的中點，若∠MAN＝∠B，則的值為　 　．
【解答】解：延長AM與DC的延長線交于點E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，
∵∠B＝∠MAN，
∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，
∵M是BC的中點，N是CD的中點，
∴BM＝CM，CN＝DN＝CD，
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（ASA），
∴AB＝CE，AM＝EM，
∴AE＝2AM，EN＝AB，ED＝2AB，
∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，
∴△EAN∽△EDA，
∴＝，即EA2＝ED EN，
∴（2AM）2＝2AB AB，
∴＝，
∴＝．
故答案為：．
例6．（1）問題背景：如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，若∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD AB；
（2）嘗試應用：如圖2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D為AB上一點，點E為CD上一點，且＝，∠ACD＝∠ABE，求BD的長；
（3）拓展創新：如圖3，平行四邊形ABCD中，E是AB上一點，且＝，EF∥AC，連接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接寫出AB的長．
【解答】（1）證明：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB；
（2）過點C作CF∥BE，交AB的延長線于點F，
∵BE∥CF，
∴∠ABE＝∠AFC，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACD，
在△AFC和△ACD中，
，
∴△AFC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD AF，
∵AB＝9，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣BD，
∵BE∥FC，
∴，
∵，
∴，
∴BF＝2BD，
∴AF＝AB+BF＝9+2BD，
∵AC＝6，
∴AC2＝AD AF，即62＝（9﹣BD）（9+2BD），
解得：BD＝或BD＝﹣3（不合題意，舍去），
∴BD＝；
（3）如圖，延長EF，交DC的延長線于點G，
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∵EF∥AC，
∴四邊形AEGC是平行四邊形，
∴∠BAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EF EG，
∵＝，EF∥AC，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∴FG＝EF，
∴EG＝EF+FG＝EF，
∴，
∴ED＝EF，
∵，
∴GD＝DF＝＝15，即GD＝AB+CG，
∵AB∥CD，
∴，
∴CG＝BE，
∵，
∴BE＝2AE，
∴AB＝3AE，
∴CG＝AE＝AB，
∴CG＝AB+AB＝15，
∴AB＝．
模塊三：跟蹤練習
1．如圖，在△ABC中，，∠B＝45°，以A為直角頂點作等腰直角三角形ADE，點D在BC上，點E在AC上，若，則CD的長為 ．
【解答】解：如圖，過點E作EF與CD交于點F，使∠EFD＝45°，
∵∠B＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，
∴，
∵，，
∴，
∵∠EFD＝45°，∠ADE＝45°，
∴∠EFC＝∠DEC＝135°，
∴△EFC∽△DEC，
∴
∵，
∴EC2＝FC CD＝FC×（4+FC），
∴5＝FC×（4+FC），
∴FC＝1，
∴CD＝5；
2．如圖，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F是△ABC 內一點，EF∥AC，AC＝2EF，若∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝6，則菱形ABCD的邊長為 　 　．
【解答】解：如圖，分別延長EF，DC相交于點G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四邊形AEGC是平行四邊形，
∴AC＝EG，CG＝AE＝2，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴＝，
∴DE2＝EF EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝EF，
又∵＝，
∴DG＝DF＝6，
∴DC＝DG﹣CG＝6﹣2，
故菱形ABCD的邊長為6﹣2．
3．問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以．
所以PD＝PB，所以．
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為　　；
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是上一點，求2PA+PB的最小值．
【解答】解：（1）如圖1，
連接AD，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值為AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值為，
故答案為：；
（2）如圖2，
連接CP，在CA上取點D，使CD＝，
∴，
∵∠PCD＝∠ACP，
∴△PCD∽△ACP，
∴，
∴PD＝AP，
∴AP+BP＝BP+PD，
∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值為BD＝＝；
（3）如圖3，
延長OA到點E，使CE＝6，
∴OE＝OC+CE＝12，
連接PE、OP，
∵OA＝3，OP
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴，
∴EP＝2PA，
∴2PA+PB＝EP+PB，
∴當E、P、B三點共線時，取得最小值為：BE＝＝13．《相似三角形的共邊共角模型》自主學習單
姓名： 班級： 學號：
知識梳理
相似三角形的性質和判定是中考必考知識點，本節課所介紹的共邊共角型相似是三角形常見的相似模型。共邊共角型相似又分為一般三角形中的相似和直角三角形中的相似，在一些壓軸題中，可根據題目中的條件特征，作輔助線構造共邊共角型相似，達到簡化問題的效果，進而解決問題。
一般三角形
條件：如圖，已知∠ACD=∠ABC．
結論：△ABC∽△ACD ， AC2＝AB AD．
直角三角形
條件：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD⊥AB，垂足為D．
結論： △ABC∽△ACD∽△CBD
①AC2＝AB AD；
②BC2＝AB BD；
③CD2＝AD BD．
記憶口訣：公共邊的平方等于共線邊的乘積．圖中共有6條線段AB，AC，AD，DB，CD，BC，已知任意兩條線段的長度，便可求出其余的四條線段的長度。
學習過程
模塊一：一般三角形
模塊一：典例精講
例1．如圖，點D是△ABC的邊BC的中點，且∠CAD＝∠B，若△ABC的周長為10，則△ACD的周長是（　　）
A．5 B．5 C． D．
例2．已知：如圖（1），在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，過點C作CF∥AB，P是AD上一點，連接BP并延長，分別與AC，CF交于點E，F．
（1）求證：PB2＝PE PF；
（2）若點P在AD的延長線上，其他條件不變，如圖（2），那么（1）中的結論是否成立？請直接寫出結論，不需證明．
模塊一：跟蹤練習
1．如圖，正方形ABCD中，△ABC繞點A逆時針旋轉到△AB′C′，AB′、AC′分別交對角線BD于點E、F，若AE＝4，則EF ED的值為（　　）
A．4 B．6 C．8 D．16
第1題 第2題 第3題 第4題
2．如圖，在 ABCD中，E為AB延長線上一點，F為AD上一點，∠DEF＝∠C．若DE＝4，AF＝，則BC的長是（　　）
A． B． C．6 D．
3．如圖，AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的中線，AD，CE交于點F，若∠1＝∠B，則＝　 　．
4．如圖，在 ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AF平分∠BAC，交BD于點E，交BC于點F，若BE＝BF＝2，則AD＝　 　．
5．約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關于該邊的“優美三角形”．例如：如圖1，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似，那么稱△ABC為關于邊BC的“優美三角形”．
（1）如圖2，在△ABC中，BC＝AB，求證：△ABC為關于邊BC的“優美三角形”；
（2）如圖3，已知△ABC為關于邊BC的“優美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點，以BD為直徑的⊙O恰好經過點A．
①求證：直線CA與⊙O相切；
②若⊙O的直徑為2，求線段AB的長；
（3）已知三角形ABC為關于邊BC的“優美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面積．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經書面同意，不得復制發布日期：2024/3/17 15:08:27；用戶：林翠鳳；郵箱：luohu83@；學號：31689425
模塊二：直角三角形
模塊二：典例精講
例3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高.
若AC＝6，AB＝9，則AD＝ ；
若AC＝4，BD＝6，則CD＝ ；
若AC＝5，CD＝4，則BC＝ .
如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D為AC中點，AE⊥BD，E為垂足，求證：∠CBD＝∠ECD
模塊二：跟蹤練習
1．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長是　 　．
2．如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，若tan∠ABE＝，AE＝3，則BD的長是 ．
3．如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，點E在邊CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．求證：∠BOF＝∠BED．
4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點P，連接AC．（1）求證：△ABC∽△POA；（2）若OB＝2，OP＝，求BC的長．
模塊三：共邊共角模型的構造
模塊三：典例精講
如圖，M、N分別是平行四邊形ABCD邊BC、CD的中點，若∠MAN＝∠B，則的值為　 　．
例6．（1）問題背景：如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，若∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD AB；
（2）嘗試應用：如圖2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D為AB上一點，點E為CD上一點，且，∠ACD＝∠ABE，求BD的長；
（3）拓展創新：如圖3，平行四邊形ABCD中，E是AB上一點，且，EF∥AC，連接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝，直接寫出AB的長．
模塊三：跟蹤練習
如圖，在△ABC中，，∠B＝45°，以A為直角頂點作等腰直角三角形ADE，點D在BC上，點E在AC上，若，則CD的長為 ．
如圖，在菱形ABCD中，E是AB上一點，F是△ABC 內一點，EF∥AC，AC＝2EF，若∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝6，則菱形ABCD的邊長為 　 　．
3．問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP．所以．所以，所以．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為　 　；
（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，P是上一點，求2PA+PB的最小值．

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