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第十二講 相似多邊形相關(guān)專(zhuān)題3：《平行構(gòu)造相似》答案
模塊一：作平行線構(gòu)造雙A型
例1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
解法1 ：過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE，交AC于點(diǎn)G
證，設(shè)CD=EG=m， 則EC=2m
又 ∴
∴
解法2 ：過(guò)點(diǎn)E作EG∥AD，交BC于點(diǎn)G
證，設(shè)EG=4m， 則AD=6m
又 ∴
∴ ∴
∴
例2．如圖，E是AC的中點(diǎn)，直線EH交AD于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且BC=3BD。
求的值。
解法1 ：過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線
過(guò)點(diǎn)E作EN∥AD交CD于點(diǎn)N
易得△CEN∽△CAD，△BDH∽△BNE
∴
∵BC=3BD ， ∴ ∴
∴ ∴
解法2 ：過(guò)點(diǎn)A作BE的平行線
過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q
∴
∵BC=3BD , ∴
∴
練習(xí)1
1．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OM∥AD交AB于M
∴＝，
∴AM＝×7＝，BM＝×7＝，
∵△BOM∽△BDA，
∴，
∴OM＝，
∵∠BAD+∠OMA＝180°，∠BAD+∠ACB＝180°，
∴∠OMA＝∠ACB， ∴△AMO∽△ACB，
∴，
∴BC＝
2．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD交BC于H，則＝，
∵BE是△ABC的中線，∴CE＝EA，∴CH＝HD，
∵EH∥AD，∴＝＝3，∴＝，
故選：B．
3.【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE，則＝＝，
∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，
當(dāng)CG⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大為：4×2＝4，
此時(shí)△ABO的面積最大為：×4＝．
故答案為：．
模塊二：作平行線構(gòu)造雙X型
例1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
解法1 ：過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。
證，又BD=BC∴AG=BD
∴
解法2 ：過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
證AC=BG，
設(shè)AF=m， 則AG=4m ，AD=DG=2m
∴ ∴
例2．如圖，E是AC的中點(diǎn)，直線EH交AD于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且BC=3BD。
求的值。
解 ：過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線
過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M
易得△BDM∽△CDA，△BHM∽△EHA
∴
∴
∴ ∴
∴ ∴
練習(xí)2
1．【解答】解：過(guò)D作DG∥BC，交AE于G，AH于H，
∵D為AC中點(diǎn)，∴DH是△AFC的中位線，
∴DH＝CF，CF＝2DH，
∵BE＝EF＝CF，∴BF＝2CF＝4DH，
∵DG∥BC，∴＝＝，∴QB＝4DQ，
∵DG是△AEC的中位線，∴DG＝CE＝EF＝BE，
∵DG∥BC，∴BP＝PD，
∴PQ＝1.5DQ，BP＝2.5DQ，
∴BP：PQ：QD＝5：3：2．
2．【解答】
過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC交BN于點(diǎn)H，
∵PH∥AC，∴∠PHM＝∠ANM，
∵∠PMH＝∠AMN，AM＝PM，∴△PMH≌△AMN（AAS），
∴MH＝MN，S△PMH＝S△AMN＝3，
∵PM∥CN，BP：PC＝2：1，∴，∴，
∴S△PBH＝4S△PMH＝12，
∴S△PBM＝S△PBH+S△PMH＝12+3＝15．
故答案為：15．
3．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，當(dāng)DF∥AC時(shí)，四邊形DFCE是平行四邊形．
∴，∵AD＝BF＝t，∴BD＝5﹣t，∴，∴．
（2）證明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，
∵AD＝BF，DE＝DB，∴，
∵∠ABF＝∠CBD，∴△ABF∽△CBD，∴∠BAF＝∠BCD．
（3）①證明：∵DE∥BC，∴△ADM∽△ABF，∴，
同理得：，∴．∴，
∵M(jìn)N∥EC，∴，∴．
②與①可知，F(xiàn)N∥AB，
∵NM＝NF，∴∠NMF＝∠NFM，
∵∠BAF＝∠NFM，∠CAF＝∠NMF，∴∠BAF＝∠CAF，∴＝＝，
∴t＝BF＝×6＝．
模塊三：做平行線構(gòu)造A，X型
例1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
解法1 ：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BE于點(diǎn)G
證，又 ∴
∴
解法2 ：過(guò)點(diǎn)C作CG∥AD，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
證， ∴
∴
例2．如圖，E是AC的中點(diǎn)，直線EH交AD于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且BC=3BD。
求的值。
解法 1 ：過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線
過(guò)點(diǎn)C作CG∥AD交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
易得△BDH∽△BCG，△AEH∽△CEG
∴
∵BC=3BD, AE = CE ∴
∴
解法2 ：過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線
過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交BE于點(diǎn)F
易得△BDF∽△BCE，△FDH∽△EAH
∴
∵BC=3BD , AE = CE
∴
練習(xí)3
1．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC交AD于G．
∵FH∥BC∴△AFG∽△ACD
∵F是AC的中點(diǎn)．∴＝＝
又∵D、E是BC的分點(diǎn)．∴CD＝DE∴＝
又∵FH∥BC∴△GOF∽△DOE∴＝＝．
故選：A．
2．【解答】解：如圖，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，∴△ADC∽△EDB，
∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BE∥AC，∴∠DBE＝∠C，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴＝＝，
設(shè)AB＝AC＝6（個(gè)單位長(zhǎng)度），
∴BE＝14，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAH＝60°，
∴AH＝3，BH＝3，
∴EH＝AH+AE＝3+AE，
在Rt△BEH中，根據(jù)勾股定理，得
∵EH2＝BE2﹣BH2，
∴，
∴AE＝10，
∴AD＝3，
∴＝＝．
故答案為：．
3 .【解答】
解法1 ：
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F
∴∠CED=∠PFD=90° ∴PF∥CE
∴△DPF∽△DCE
∴
∵ ∴
∴ ∴
∵
∴C（1,4） ∴CE=4 ∴
把 ，解得
∵點(diǎn)P在第一象限 ∴x＞0 ∴
解法2 ：
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PN于點(diǎn)M
∴∠CMP=∠BNP=90°
∵∠MPC=∠NPD ∴△CMP∽△DNP
∴
∵
∴ ∴
∵ ∴C（1,4）
∵CM∥y軸 ∴M與P縱坐標(biāo)相同 即MN=4
∴
把 ，解得
∵點(diǎn)P在第一象限 ∴x＞0 ∴第十二講 相似多邊形相關(guān)專(zhuān)題3：《平行構(gòu)造相似》自主學(xué)習(xí)單
知識(shí)技能梳理
相似三角形是初中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，應(yīng)用廣泛：可以證明線段的比例式；也可證明線段相等、平行、垂直等；還可計(jì)算線段的長(zhǎng)、比值，圖形面積及比值。作平行線構(gòu)造成比例線段及相似三角形是常見(jiàn)的添加輔助線的規(guī)律，其本質(zhì)是構(gòu)造“A”型或“X”型圖形。
學(xué)習(xí)過(guò)程
模塊一：作平行線構(gòu)造雙A型
例1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
例2．如圖，E是AC的中點(diǎn)，直線EH交AD于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且BC=3BD。
求的值。
練習(xí)1
1．如圖，點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，∠BAD與∠ACB互補(bǔ)，＝，AD＝6，AB＝7，AC＝5，則BC的長(zhǎng)為　　．
2．如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D，若BF＝3EF，則＝（　　）
A． B． C． D．
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點(diǎn)O，則△ABO面積最大值為　　．
模塊二：作平行線構(gòu)造雙X型
例1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
例2．如圖，E是AC的中點(diǎn)，直線EH交AD于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且BC=3BD。
求的值。
練習(xí)2
1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF，AC于P，Q，D，求BP：PQ：QD．
2．[閱讀材料]
想一想在例3中，如果點(diǎn)D恰好是邊AB的中點(diǎn)，那么點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)嗎？此時(shí)，DE和BC有什么關(guān)系？△ADE與△EFC又有什么特殊關(guān)系呢？ 例3如圖23.3.9，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．求證：△ADE∽△EFC．
[問(wèn)題解決]
如圖③，在△ABC中，P是邊BC上的一點(diǎn)，且BP：PC＝2：1，連接AP，取AP的中點(diǎn)M，連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，若△AMN的面積為3，則△PMB的面積為 　　．
3．在△ABC中，點(diǎn)D從A出發(fā)，在AB邊上以每秒一個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從B出發(fā)，在BC邊上以相同的速度向C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若AB＝5，BC＝6，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DFCE為平行四邊形；
（2）連接AF、CD．若BD＝DE，求證：∠BAF＝∠BCD；
（3）AF交DE于點(diǎn)M，在DC上取點(diǎn)N，使MN∥AC，連接FN．
①求證：＝；
②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，當(dāng)MN＝FN時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．
模塊三：做平行線構(gòu)造A，X型
例1. 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=DC，，求的值。
例2．如圖，E是AC的中點(diǎn)，直線EH交AD于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且BC=3BD。
求的值。
練習(xí)3
1．如圖，D、E是△ABC中BC邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，AD與EF交于O，則等于（　　）
A． B． C． D．
2．如圖，已知AB＝AC，∠B＜30°，BC上一點(diǎn)D，滿足∠BAD＝120°，，則＝　　．
3 .拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，頂點(diǎn)為C。點(diǎn)P在第一象限拋物線上，連接CP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，連接AC，AP．若S△ACP：S△ADP＝4：5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

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