資源簡介

羅湖區中考備考百師助學培優課程之《一線三等角模型》
羅湖實驗學校 熊夢玲
知識技能梳理
2022年版義務教育數學課程標準希望學生在初中階段形成模型觀念、數據觀念；數學學科核心素養也提到數學抽象和直觀想象，邏輯推理和運算能力，數學模型和數據分析.因此在數學學習中，我們有必要及時歸納一些數學模型，如“一線三等角”等, 幫助我們塑造模型觀念，增強數學能力，提高解題技巧，提升數學核心素養.
“一線三等角”是指三個相等的角的頂點在同一直線上，其中兩個角的一邊與該直線重合，第三個角的兩邊均不與直線重合，這樣會形成一組全等或相似三角形.根據等角的度數，此模型可分為銳角一線三等角、 直角一線三等角和鈍角一線三等角，其基本圖形如圖所示，可以得到△ACP△BPD或△ACP∽△BPD.
“一線三等角”模型一般不單獨出現，它通常與其他特殊圖形結合，如等腰三角形、等邊三角形、矩形、正方形，以及與翻折、坐標系結合等，從而考查這些圖形的性質.因此“一線三等角”模型可以出現在選擇題、填空題的最后一題，也可以出現在解答題的幾何證明、綜合題中，是一個使用頻率高、綜合性較強的模型.平時的訓練中，需要提升自己的模型思想，提煉問題的基本圖形，利用基本圖形的性質特點來突破考題，在具體分析過程中，也要結合數形結合思想，如根據題干信息提煉圖形的結構特點，然后結合圖形，采用代數運算的方式探求深層信息，促進信息的融合、轉化.
【一線三等角模型的基本分類】：
1）全等篇:條件：∠1=∠CPD=∠2, 結論：△ACP△BPD
同側
銳角 直角 鈍角
異側
2）相似篇：條件：∠1=∠CPD=∠2, 結論：△ACP∽△BPD
同側
銳角 直角 鈍角
異側
3）一線三等角模型（變異型）
圖1 圖2 圖3
①特殊中點型：條件：如圖1，當∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中點時.
結論：△BDE∽△CFD∽△DFE.
②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.
結論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.
結論：△ABM∽△NDE∽△NCM.
本課程共分三個模塊：
模塊一：三角齊見，模型自現 ，圖形中已經存在“一線三等角”，直接應用模型解題.
模塊二：模型隱藏，及時添補，圖形中存在“一線二等角”，補上“一等角”構造模型解題；圖形中只有直線上一個角，補上“二等角”構造模型解題.
模塊三：有直角，“K”型現，圖形中出現直角或45°，構造一線三直角（K型模型）
學習過程
模塊一 三角齊見，模型自現
典例精講
如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG＝6，則BE的長為________．
例1圖 例2圖
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是 ．（把你認為正確結論的序號都填上）
跟進練習
如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求證：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．
如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且點E為邊BC的中點．將∠DEF繞點E旋轉，在旋轉過程中，射線DE與線段AB相交于點P，射線EF與射線CA相交于點Q，連結PQ．
（1）如圖1，當點Q在線段CA上時，
①求證：△BPE∽△CEQ；
②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數量關系？請說明理由；
（2）當△APQ為等腰三角形時，求的值．
模塊二 模型隱藏，及時添補
知識鋪墊
找角、定線、構相似
如果直線上只有1個角，該角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考慮構造同側型一線三等角，當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角與線段的關系，過 C、D 兩點作直線 l 的垂線是必不可少的.兩條垂線通常情況下是為了“量化”的需要。
tan∠2=tan∠3=tan∠α，則∠1=∠2=∠3=α，
在NM的延長線上截取，在MN的延長線上截取，
典例精講
如圖所示，一次函數與坐標軸分別交于 A、B 兩點，點 P 是線段 AB 上一個動點（不包括 A、B 兩端點），C 是線段 OB 上一點，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形，求點 P 的坐標_______________________.
例2. 如圖，△ABC中，，∠B=90°，AD=2，BC=4，則BD=_________.
例3. 如圖，四邊形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，
則BC =______.
跟進練習
如圖，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3，CD=5，BD=___________.
閱讀材料：小胖同學遇到這樣一個問題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的長；
小胖經過思考后，在CD上取點F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進而得到∠EFD＝45°，試圖構建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續分析，又意外發現△CEF∽△CDE．
（1）請按照小胖的思路完成這個題目的解答過程．
（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：
如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
模塊三 有直角，“K”型現
知識鋪墊
圖1 圖2
其他特殊角，構造“一線三直角”
45o角構等腰直角三角形造“一線三直角”全等，如下圖；
2. 30o角構直角三角形造“一線三直角”相似，如下圖；
tanα=k→構直角三角形→造“一線三直角”相似，如下圖；
典例精講
如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E是AB上的動點，連接DE，將△AED沿著DE折疊，A點落在F處，若EF∥AC，則AE的長度是 　 　．
例2. 如圖所示，△ABC為等邊三角形，點A的坐標為(0，4），點B在x軸上，點C在反比例函數的圖像上，則點B的坐標為________________.
跟進練習
如圖，平面直角坐標系中，已知直線y＝x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點A，且BD＝3AD，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點Q，則點Q的坐標為　 　 ．
如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F分別是邊AB，BC，AC上的點，∠BED+∠C＝90°，△BED與△FED關于DE對稱，則DE的長為 　 　．
矩形ABCD在直角坐標系的位置如圖所示，點，點C（0，5），反比例函數的圖像交邊AB、BC于D、E兩點，且∠DOE=45°，則k=___________.羅湖區中考備考百師助學培優課程之《一線三等角模型》
（答案詳解）
模塊一 三角齊見，模型自現
典例精講
如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG＝6，則BE的長為________．
解析：由題意可得：∠FDG=∠FGE=∠GBE=60°
∵ FGD∽ GEB，
∴DG=2，代入得,
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cos∠α＝，下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD＝6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是 ．（把你認為正確結論的序號都填上）
【答案】①②④
【分析】①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據相似三角形對應邊成比例即可求得．
【詳解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正確；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，
∴BG＝ABcosB，
∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD與△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；
③當∠AED＝90°時，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，
當∠CDE＝90°時，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，
∴cosB＝＝，
∴BD＝，故③錯誤；
④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
設BD＝y，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2 16y＋64＝64 10x，
即（y 8）2＝64 10x，
∴0＜x≤6.4，故④正確；
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質，銳角三角函數等知識，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
跟進練習
如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．
（1）求證：△BED∽△CFE；
（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．
【答案】（1）見解析；（2）CF＝．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，然后根據三角形的外角的性質得到∠BDE＝∠CEF，從而證得結論；
（2）首先求出線段CE的長，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出結果．
【詳解】(1)證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°.
∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°，
∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE.
(2)∵D為AB的中點，∴AB＝2AD＝6，
∴BC＝AB＝6，
∴CE＝BC－BE＝4.
由(1)知△BED∽△CFE，∴=，
∴，
∴CF＝.
【點睛】本題考查了相似三角形判定與性質和等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握這些性質和判定．
如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且點E為邊BC的中點．將∠DEF繞點E旋轉，在旋轉過程中，射線DE與線段AB相交于點P，射線EF與射線CA相交于點Q，連結PQ．
（1）如圖1，當點Q在線段CA上時，
①求證：△BPE∽△CEQ；
②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數量關系？請說明理由；
（2）當△APQ為等腰三角形時，求的值．
【分析】（1）①推導角度關系可得∠CEQ＝∠BPE，結合∠B＝∠C即可得出結論．
②由①中相似可得，結合BE＝CE即可得出結論．
（2）Q點可能在線段CA上或者線段CA的延長線上，分兩種情況討論，結合（1）中的相似三角形即可得出結果．
【解答】解：（1）①∵∠DEF＝30°，∠B＝30°，
∴∠BED+∠CEQ＝150°，∠BED+∠BPE＝150°，
∴∠CEQ＝∠BPE，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
②BE2＝BP CQ，理由如下：
∵△BPE∽△CEQ，
∴，
∴BE CE＝BP CQ，
∵點E為邊BC的中點，∴BE＝CE，
∴BE2＝BP CQ；
（2）①當點Q在線段AC上時，
∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，為鈍角，
∴△APQ為等腰三角形時有AP＝AQ，
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴BP＝CQ，
∴；
②當點Q在線段CA的延長線上時，如圖：連接PQ，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAQ＝60°，
當△APQ為等腰三角形時，有△APQ為等邊三角形，
設AB＝AC＝2a，則BC＝，
BE＝CE＝，
設AQ＝AP＝x，則CQ＝2a+x，BP＝2a﹣x，
由（1）得：BE2＝BP CQ，
∴，
解得：x＝a，
∴BP＝a，CQ＝3a，
∴，
綜上，的值為1或3．
模塊二 模型隱藏，及時添補
典例精講
如圖所示，一次函數與坐標軸分別交于 A、B 兩點，點 P 是線段 AB 上一個動點（不包括 A、B 兩端點），C 是線段 OB 上一點，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形，求點 P 的坐標_______________________.
【解答】①當CP=CO時，
∠COP=∠OPC=45°，∠OCP=90°，即PC⊥y軸.
又∵一次函數與坐標軸分別交于A、B兩點，
∴中，令x=0，則y=4；令y=0，則x=4，
∴AO=BO=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，∴∠COP=∠CBP
∴OP=BP,
∴C是BO中點，∴CO=CP==2
∴P（2，2）
②當PC=PO時，過P作PD⊥y軸，
由①知，∴AO=BO=4，△AOB是等腰直角三角形，
∵∠ABO=∠BAO=∠OPC=45°，
∴△OAB△PBC（利用“一線三等角”模型所得，若大題，三角形全等需完整證明過程）
∴BP=AO=4
∴在Rt△BDP中，
∴OD=OB-BD=
∴P
綜上，P（2，2）或
例2. 如圖，△ABC中，，∠B=90°，AD=2，BC=4，則BD=_________.
【答案】分別延長BC、CB至F、E點，連接ED、AF，使得∠E=∠F=∠ACD，
∴
∴設BD=a，則BE=3a，ED=
∵AD=2，BC=4
∴BF=3（2+a），AF=，CF=BF-BC=2+3a
又∵∠E=∠F=∠ACD
∴△CDE∽△ACF(利用“一線三等角”模型所得，若大題，需推導兩角相等證明相似）
∴
∴，整理可得a2+2a-8=0，解得a=2或- 4（舍）
經檢驗：a＝2是原方程的根
∴BD=2
例 3. 如圖，四邊形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5，BC =______.
【答案】分別延長BC、CB至點E，H，連接AH，DE，使得∠H=∠E=45°，
∵∠H=∠E=45°，AB=3
∴HB=3，AH=
設BC=x，過D作DF⊥BC交BC于F，
∵AD=5，
∴FC=x-5，AC=
∵DF=AB=3，FC=x-5
∴DE=，CE=3-（x-5）=8-x
∵∠H=∠E=∠ACD=45°
∴△AHC∽△CED(利用“一線三等角”模型所得，若大題，需推導兩角相等證明相似）
∴
∴
整理可得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍）
經檢驗：x＝6是原方程的根
綜上，BC=6
本題還可作其他輔助線構造“一線三等角”模型：
跟進練習
如圖，△ABC中，∠B=90°，∠CAD=45°，AB=3，CD=5，BD=___________.
【答案】分別延長BA、AB至E、F點，連接EC、DF，
使得∠E=∠F=∠CAD=45°，
∴設BD=x，
則BF=x，DF=
∵BC=5，AB=3
∴EB=5+x，EA=5+x-3=2+x，EC=
又∵∠E=∠F=∠CAD=45°
∴△CAE∽△ADF(利用“一線三等角”模型所得，若大題，需推導兩角相等證明相似）
∴
∴，
整理可得，x2+5x-6=0，
解得x1=1，x2=-6（舍）
經檢驗：x＝1是原方程的根.
∴BD=1
閱讀材料：小胖同學遇到這樣一個問題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的長；
小胖經過思考后，在CD上取點F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進而得到∠EFD＝45°，試圖構建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續分析，又意外發現△CEF∽△CDE．
（1）請按照小胖的思路完成這個題目的解答過程．
（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：
如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．
【分析】（1）在CD上取點F，使∠DEF＝∠ADB，證明△ADB∽△DEF，求出DF＝4，證明△CEF∽△CDE，由比例線段可求出CF＝1，則CD可求出；
（2）如圖3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，通過證明∴△DBE∽△ATD，可得，可得，通過證明△ARE≌△ATD，△ABR≌△ACT，可得BR＝TC＝DT，即可求解．
【解答】解：（1）在CD上取點F，使∠DEF＝∠ADB，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴DE＝AD＝AE，
∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，
且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠BDA＝∠DEF，
∴△ADB∽△DEF，
∴，
∵AB＝，
∴DF＝4，
又∵∠CDE+∠C＝45°，
∴∠CEF＝∠CDE，
∴△CEF∽△CDE，
∴，
又∵DF＝4，CE＝，
∴，
∴CF＝1或CF＝﹣5（舍去），
∴CD＝CF+4＝5；
（2）如圖3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，
∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，
∴AB＝AC，AD＝CD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EAD+∠EBD＝90°，
∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，
∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，
∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，
∴△DBE∽△ATD，(“一線三角”模型）
∴，∠ADT＝∠BED，
∴，且AD＝DC，
∴，
∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，
∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，
∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，
∴△ARE≌△ATD（ASA）
∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，
∴∠BED＝∠AER，
∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，
∴RE＝RB＝DT，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，
∴△ABR≌△ACT（AAS）
∴BR＝TC，
∴DT＝TC，
∴CD＝2DT，
∴
模塊三 有直角，“K”型現
典例精講
如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E是AB上的動點，連接DE，將△AED沿著DE折疊，A點落在F處，若EF∥AC，則AE的長度是 　 　．
【分析】過點F作FM⊥AB，垂足為M，并延長MF交CD于點N，設AE＝x，根據矩形的性質可得AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DAE＝∠B＝90°，從而可得MN⊥CD，AC＝10，再利用折疊的性質可得AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，然后根據已知易證△FND∽△EMF，利用三角函數的性質可得MF＝，EM＝，從而表示出FN的長，最后根據相似比，列出關于x的方程進行計算即可解答．
【解答】解：過點F作FM⊥AB，垂足為M，并延長MF交CD于點N，
設AE＝x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB∥CD，∠DNM＝∠EMF＝90°，
∴MN⊥CD，
∵AB＝8，
∴AC＝
由折疊可得：
AE＝EF＝x，∠DAE＝∠DFE＝90°，
∵EF∥AC
∴cos∠CAB=cos∠EFM=，sin∠CAB=sin∠EFM=，
∴EM=，FM=，NF=
∵∠DNM＝∠EMF=∠DFE＝90°
∴△FND∽△EMF，(利用“一線三直角”模型所得，若大題，需推導兩角相等證明相似）
∴
整理可得，30-3x=24
∴x＝2，
經檢驗：x＝2是原方程的根，
∴AE＝2，
故答案為：2．
例2. 如圖所示，△ABC為等邊三角形，點A的坐標為(0，4），點B在x軸上，點C在反比例函數的圖像上，則點B的坐標為________________.
【解答】如圖，作CD⊥AB于D，CG⊥x軸于G，過D點作EF∥OB，交y軸于E，交CG于F，
∵△ABC是等邊三角形，CD⊥BA，
∴BD=AD，
設點C的坐標為，點B的坐標為（a，0），
∵A（0，4）
∴AB的中點D的坐標為
∵CD⊥AB，∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠DAE=90°
∴∠DAE=∠CDF
又∵∠ADE=∠CFD=90°
∴△AED∽△DFC（“一線三直角”模型）
∴
∴
∴整理可得 ①， ②，
由①②可得，，
解得，（舍去），
∴B
跟進練習
如圖，平面直角坐標系中，已知直線y＝x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點A，且BD＝3AD，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點Q，則點Q的坐標為　 　．
【分析】過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，證△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，設AD＝a，求出DN＝3a﹣1，得出3a﹣1＝1，求出a＝，得出D的坐標，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM，得出C的坐標，設直線CD的解析式是y＝kx+，把D（，2）代入求出直線CD的解析式，解由兩函數解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．
【解答】解：過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），（“一線三直角”模型）
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝3AD，
∴設AD＝a，BD＝3a，
∵P（1，1），
∴DN＝3a﹣1，則3a﹣1＝1，
∴a＝，即BD＝2．
∵直線y＝x，
∴AB＝OB＝，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝，
則C的坐標是（0，），
設直線CD的解析式是y＝kx+，
把D（，2）代入得：k＝，
即直線CD的解析式是，
即方程組得：，
即Q的坐標是.
如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F分別是邊AB，BC，AC上的點，∠BED+∠C＝90°，△BED與△FED關于DE對稱，則DE的長為 　 　．
【分析】由題意可得：∠DFE＝∠B＝90°，DF＝BD，EF＝BE，，想到構造一線三等角模型的相似三角形，所以過點F作FN⊥AB，垂足為N，過點E作EM⊥NF，交NF的延長線于點M，可證明證明△NDF∽△MFE，得到，然后證明A字型模型相似三角形△ANF∽△ABC，求出NF，ME的長，最后在Rt△NDF中利用勾股定理進行計算求出DF，即可解答．
【解答】解：過點F作FN⊥AB，垂足為N，過點E作EM⊥NF，交NF的延長線于點M，
∴∠FND＝∠FME＝90°，
∵∠B＝90°，
∴四邊形NBEM是矩形，
∴NB＝ME，
∵∠BED+∠C＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠BED＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∵△BED與△FED關于DE對稱，
∴△BED≌△FED，
∴∠DFE＝∠B＝90°，DF＝BD，EF＝BE，
∴，
∵∠FME＝90°，
∴∠MEF+∠MFE＝90°，
∵∠MFE+∠NFD＝90°，
∴∠MEF＝∠NFD，
∴△NDF∽△MFE，（“一線三直角”模型）
∴，
∴設NF＝3x，ME＝4x，
∵∠ANF＝∠B＝90°，∠A＝∠A，
∴△ANF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝1，
∴NF＝3，ME＝NB＝4，
設BD＝DF＝y，
則ND＝NB﹣BD＝4﹣y，
在Rt△NDF中，NF2+ND2＝DF2，
∴32+（4﹣y）2＝y2，
∴y＝，
∴BD＝，
∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝
∵△BED∽△BAC，
∴，
∴，
∴DE＝.
矩形ABCD在直角坐標系的位置如圖所示，點，點C（0，5），反比例函數的圖像交邊AB、BC于D、E兩點，且∠DOE=45°，則k=___________.
【解答】15
【提示】如圖，因為∠DOE=45°，構造等腰Rt ODF，補全矩形OAGH，利用一線三等角模型，得△OAD ≌ △DGF, 得OA=AG=，AD=FG=.
由A型相似，△OCE∽△OHF，得
解得k=15

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