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高三期中數學試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.復數的虛部是（ ）
A. B. C. D.
2.式子的值為（ ）
A. B.2 C. D.
3.由正數組成的等比數列，為其前項和，若，，則等于（ ）
A. B. C. D.
4.在的展開式中，含項的系數是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函數對都有，且其導函數滿足當時，則當時，有（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函數為，在R上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7.已知是函數在上的兩個零點，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知函數的定義域為，且為奇函數，為偶函數，且對任意的，且，都有，則下列結論錯誤的為（ ）
A．是偶函數 B．
C．的圖象關于對稱 D．
二 多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．對于函數和，則（ ）
A．與的零點相同 B．與的最小值相同
C．與的最小正周期相同 D．與的極值點相同
10．拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，
C．當時， .D．滿足的點有且僅有2個
11．設函數且，則（ ）
A．函數和的圖像關于直線對稱
B．函數和的圖像一定有交點，且交點在直線上
C．若，方程的根為，方程的根為，則
D．已知，若恒成立，則的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則曲線在點處的切線方程為__________.
13. 若定義在上的函數滿足：，且，則______.
14. 如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區域的面積等于__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.
（1）求角C大小；
（2）若向量與共線，求的周長.
16. 已知是等比數列，是等差數列，且，，，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，，求數列的前n項和.
17已知函數.
（1）若在定義域上單調遞增，求的取值范圍；
（2）若恒成立，求實數的值.
18.
已知函數.
（1）當時，求的單調區間；
（2）若在其定義域內不存在極值，求實數的值.
19.
已知函數，當的值能使在區間上取得最大值時，我們就稱函數為“關于的界函數”.
（1）若為“關于的界函數”，求實數的取值范圍；
（2）在數列中，已知，且，判斷時，是不是“關于的界函數”？若是，請證明：當時，的值不小于“關于的界函數”；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，求證：.
DABCD DBD 9BC 10ABD 11AC
12 13 3 14
15 （1），（2）.
16 （1）,（2）
17（1）
（2）4
18（1）函數的定義域為，
.
因為，所以由，
得或.
又，
所以隨的變化情況如下表：
0
- 0 + 0 -
減函數 極小值 增函數 極大值 減函數
由上表可知，的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（2）函數的定義域為，
若在其定義域內不存在極值，則在上為單調函數，
即恒成立，或恒成立.
當時，，不符合題意；
當時，令，當時，或恒成立，
即為或在時恒成立.
設，
若的圖象是開口向上的拋物線，
只需使恒成立.
又，所以當時，不可能恒成立.
所以不符合題意；
若的圖象是開口向下的拋物線，
只需使恒成立.
又對稱軸為，
所以要使，恒成立，
只需使.
所以.
19（1）由，
得.
因為，所以當時，在上單調遞減，無最值，不符合題意.
當時，時，；時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
所以當時，取得最大值.
故若為“關于的界函數”，則實數的取值范圍是.
（2）因為，由（1）可知，當時，為“關于的界函數”.
當時，.（*）
要證當時，的值不小于“關于的界函數”，
即證.
又，得，
所以.
又，所以數列是首項為，公比為的等比數列.
所以，即有.
檢驗知時，結論也成立，故.
所以.
所以由（*）式知，.
所以當時，的值不小于“關于的界函數”.
（3）由（2）知，當時，，有成立，
所以
.
由（1）可知時，上式取得最大值，
所以.
所以.
所以原不等式成立.

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