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高二期中數學試題答案
一、選擇
1．B 2.D 3. D 4.C 5. A 6. B 7.B 8．A
二、多選
9．BD 10.BC 11.ABC.
填空題
12．8 13．210. 14．①④.
四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟．
15．【答案】(1)(2)(3)448
【詳解】（1）由條件可得，解得
（2）
展開式的通項為：，
當，即時，項的系數為
（3），
①當即時，；②當即時，；
所求的常數項為．
16. 【答案】（1）應該選擇模型①，理由見解析 （2）
【小問1詳解】應該選擇模型①
模型①的殘差值的絕對值之和為，
模型②的殘差值的絕對值之和為，
∵，∴模型①的擬合效果較好，應該選模型①．
【小問2詳解】由題可知：，，，．
∴，
．∴y關于x的回歸方程為．
17．【解答過程】（1）設甲 乙通過兩輪制的初賽分別為事件，
則，
由題意可得，的取值有，
，，，
所以.
（2）依題意甲 乙搶到并答對一題的概率分別為，，
乙已得100分，甲若想獲勝情況有：
①甲得200分：其概率為；
②甲得100分，乙再得100分，其概率為；
③甲得0分，乙再得200分，其概率為，
故乙先得100分后甲獲勝的概率為.
18．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；
（2）（i）建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（ii）利用點到面距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）取的中點N，連接，如圖所示：為棱的中點，，
，∴四邊形是平行四邊形，，
又平面平面平面．
（2），
∵平面平面，平面平面平面，平面，
又平面，而，
∴以點D為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
如圖：則，
為棱的中點，
（i），
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
平面的一個法向量為，
，
根據圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為
（ii）假設在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，
設，則，
由（2）知平面的一個法向量為，，
∴點Q到平面的距離是， ．
19．【解答過程】（1）由頻率分布直方圖得：
，
解得，，所以日平均閱讀時間在內的概率為0.20；
（2）由頻率分布直方圖得：
這500名學生中日平均閱讀時間在，，，，，三組內的學生人數分別為：人，人，人，
若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時間在，內的學生中抽取：人，
現從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
的分布列為：
0 1 2 3
數學期望. D(X)=
（3），理由如下：
由頻率分布直方圖得學生日平均閱讀時間在內的概率為0.50，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，恰有k名學生日平均閱讀時間在內的分布列服從二項分布，，由組合數的性質可得時最大.2024-2025學年度上學期期中考試
高二數學試題
單選題（每小題5分，共40分）
1．某工廠生產三種不同型號的產品，它們的產量之比為，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本.若樣本中型號的產品有120件，則樣本容量為（ ）
A．250 B．200 C．180 D．150
2.黑龍江省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一．某校為了解學生的首選意愿，對部分高一學生進行了抽樣調查，制作出如下兩個等高條形圖，根據條形圖信息，下列結論正確的是（　　）
A．樣本中選擇物理意愿的男生人數少于選擇歷史意愿的女生人數
B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數多于男生選擇歷史意愿的人數
C．樣本中男生人數少于女生人數
D．樣本中選擇物理學科的人數較多
3. 從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數，事件A為“第一次取到的數是偶數”，事件B為“第二次取到的數是奇數”，則（ ）
A. B. C. D.
4. 給出下列說法中錯誤的是（ ）
A. 回歸直線恒過樣本點的中心
B. 兩個變量相關性越強，則相關系數就越接近1
C. 某7個數的平均數為4，方差為2，現加入一個新數據4，此時這8個數的方差不變
D. 在回歸直線方程中，當變量x增加一個單位時，平均減少0.5個單位
5. 現有4道填空題，學生張三對其中3道題有思路，1道題思路不清晰．有思路的題做對的概率為，思路不清晰的題做對的概率為，張三從這4道填空題中隨機選擇1題，則他做對該題的概率為（ ）
A. B. C. D.
6. .隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)= ，則D（3X﹣2）＝（　　）
X ﹣1 0 1
P a b
A．9 B．5 C． D．3
7．某次數學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．則下列說法錯誤的是（ ）
A．估計該年級學生成績的眾數約為75
B．
C．估計該年級學生成績的75百分位數約為85
D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數約為87.50
8．箱中有標號為1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8個球，從箱中一次摸出3個球，記下號碼并放回，如果三球號碼之積能被10整除，則獲獎.若有2人參加摸獎，則恰好有2人獲獎的概率是（ ）
A． B． C． D．
多選題（每小題6分，共18分）
9．有一散點圖如圖所示，在5個（x，y）數據中去掉D（3，10）后，下列說法中正確的是（　　）
A．相關系數r變小
B．殘差平方和變小
C．決定系數R2變小
D．解釋變量x與響應變量y的相關性變強
10．下列命題正確的是（ ）
A．數據4，5，6，7，8，8的第50百分位數為6
B．設隨機變量，若，則的最大值為
C．對于隨機事件A，B，若，，，則A與B相互獨立
D．已知采用分層隨機抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本
平均數為172，方差為120，女生樣本平均數為165，方差為120，則總體樣本方差為120
11．甲、乙、丙、丁四名同學每人從三種卡片中隨機選取一張（每種卡片有多張），每種卡片至少有一人選擇.事件為“甲選擇卡片A”，事件為“乙選擇卡片”，則下列結論正確的是（ ）
A．事件與不互斥 B．
C． D．
填空題（每小題5分，共15分）
12．若X服從正態分布N（10，σ2），且P（X≤8）＝P（X≥20﹣t），則t的值為 　 　．
13．在的展開式中，的系數為
14．已知袋子中有a個紅球和b個藍球，現從袋子中隨機摸球，則下列說法中正確的是 .
①每次摸1個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第2次摸到紅球的概率為
②每次摸1個球，摸出球觀察顏色后不放回，則第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為
③每次摸出1個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續摸n次后，摸到紅球的次數X的方差為
④從中不放回摸個球，摸到紅球的個數X的概率是
解答題（共計77分）
15．(13分)已知的展開式中所有項的二項式系數和為128，各項系數和為．
(1)求n和a的值；
(2)求展開式中項的系數
(3)求的展開式中的常數項．
16. (15分)共享汽車進駐城市，綠色出行引領時尚，某市有統計數據顯示，某站點5天的使用汽車用戶的數據如下，用兩種模型①：②分別進行擬合，進行殘差分析得到如表所示的殘差值及一些統計量的值：
日期（天） 1 2 3 4 5
用戶（人） 13 22 45 55 68
模型①的殘差值
模型②的殘差值
(1)殘差值的絕對值之和越小說明模型擬合效果越好，根據殘差，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪一個模型？并說明理由；
(2)求出（1）中所選模型的回歸方程．
（參考公式：，，參考數據：，）
17．(15分)4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數據分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從這500名學生中隨機抽取一人，日平均閱讀時間在內的概率；
(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數為X，求X的分布列和數學期望和方差；
(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有高一學生中隨機抽取10名學生，用表示這10名學生中恰有k名學生日平均閱讀時間在內的概率，其中，1，2，…，10．當最大時，寫出k的值．（寫出證明）
18．(17分)如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．
(1)證明：平面；
(2)若，
（i）求平面PDM與平面BDM的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
19．(17分)某中學舉辦“數學知識競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個班級派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲 乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲 乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個小組所有輪次比賽的結果互不影響.
(1)若高三（6）班獲得決賽資格的小組個數為，求的分布列；
(2)已知甲 乙兩個小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進行，搶到并答對一題得100分，答錯一題扣100分，得分高的獲勝.假設這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲 乙兩個小組搶到該題的可能性分別是，假設每道題搶與答的結果均互不影響，求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.2024～2025學年度上學期期中考試
考號： 姓名： 班級： 考場： 座號： 考號(班號)填涂區
高二數學試題答題卡
一、單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多選題（本題共3個小題，每小題6分，共18分）
9 10 11
三、填空題（本題共3個小題，每小題5分，共15分）
(
1
2
.
13
.
14
.
)
四、解答題（共77分）
(
15
.
（13分
）
)
(
15
.
（13分
）
)
(
16
.
（15分
）
)
(
（15分
）
)
(
（17分
）
)
(
18
.
（17分
）
)
(
19
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（17分
）
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