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吉安市十校聯(lián)盟2024---2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考
九年級數(shù)學(xué)試卷答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 8.3 9. 10. 11.23
12. 1或或2（一個答案1分，見對給分）
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13.（1）
∴，；．…… 3分
(2)∵∴ ∴=3. ．…… 6分
14．∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．……4分
又∵，
∴．.............6分
15(1)……2分
(2)列表如下：
4 4 5 5 6
4 ﹣﹣﹣ 8 9 9 10
4 8 ﹣﹣﹣ 9 9 10
5 9 9 ﹣﹣﹣ 10 11
5 9 9 10 ﹣﹣﹣ 11
6 10 10 11 11 ﹣﹣﹣
所有等可能的情況有20種，其中抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)的情況有12種，
則P（抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)）＝＝．……6分
16.（1）證明：∵四邊形是菱形，
，，，
，，
∴四邊形是平行四邊形，……1分
．，
∴四邊形是平行四邊形．
，，，
∴平行四邊形是矩形．……3分
（2）解：由（1）知四邊形是矩形，
，
．
又，，
． ……4分
在中，，
，
……6分
17.

矩形ACBE為所求 ……3分 （2）菱形DEOF為所求……6分
解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18.（1）解：設(shè)平均增長率為，由題意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五這兩個月的月平均增長百分率為； .............4分
（2）解：設(shè)降價元，由題意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴當(dāng)商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元． .............8分
19.解：（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵AC2＝AB AD，
∴＝，
∴△ADC∽△ACB； .............4分
（2）∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵點E為AB的中點，
∴CE＝AE＝AB＝， .............5分
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD； .............6分
∴＝＝，
∴＝． .............8分
(1)過點E作EM⊥AD于點M,EN⊥AB于點N.
由題意易得四邊形ANEM是矩形，∴∠MEN=90°.
∵四邊形 ABCD 是正方形，∴∠EAD=∠EAB=45°
∵EM⊥AD,EN⊥AB ∴EM=EN,∠EMD=∠ENF=90°. ......3分
∵EF⊥DE,∠MEN=90° ∴∠MEN=∠DEF=90°,
∴∠DEF－∠MEF=∠MEN－∠MEF，即∠DEM=∠FEN,
∴△EMD≌△ENF(ASA) ∴ED=EF .............5分
∵四邊形DEFG是矩形 ∴矩形 DEFG是正方形； .............6分
(2)AE+AG=4 .............8分
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21.【詳解】（1）； .............1分
（2），，互為倒數(shù)； .............4分
（3）解：方程2024x2+bx+c=0的兩根是，，
該方程的“友好方程cx2+bx+2024 =0的兩根為，， .............6分
則方程可化為的兩根，
4，即，5.
關(guān)于x 的方程的兩根為5.． .............9分
22.（1）解：如圖，∵四邊形為矩形，，
∴，
∵點是的中點，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵動點的速度為每秒個單位長度，
∴（秒）． .............3分
（2）解：如圖，四邊形是矩形；
理由如下：由（1）可知，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形． .............5分
（3）解：如圖，點M在點N右側(cè)時，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
如圖，點M在點N左側(cè)時，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴（秒），
綜上所述：線段存在一點，使得以，，，為頂點的四邊形是菱形，t的值為12.5秒或6秒． .............9分
六、解答題（本大題共12分）
23．【詳解】（1）解：∵在中，，，，
∴AB＝2BC＝8，，
∵點，分別是邊，的中點，
∴AM＝CM＝AC＝，AN＝BN＝AB＝4，
∴，
故答案為：，； .............4分
（2）由（1）可知：AM＝，AN＝4，，AB＝8，
∴，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠CAB＝∠MAN，
∴∠CAM＝∠BAN，
∴△CAM∽△BAN，
∴； .............8分
（3）如圖，當(dāng)AN1∥BC時，連接CM1，BN1，
∵AN1＝AN＝4＝BC，
∴四邊形AN1BC是平行四邊形，
∵，
∴此時平行四邊形AN1BC是矩形，
同（2）可證：△CAM1∽△BAN1，
∴∠AM1C＝∠AN1B＝90°，
∵AC＝，AM1＝AM＝，
在Rt△CAM1中，；
當(dāng)AN2∥BC時，連接CM2，CN2，
∵AN2＝AN＝4＝BC，
∴四邊形AN2CB是平行四邊形，此時點N2、A、N1在一條直線上，
∵∠M2AN2＝∠M1AN1，∴點M2、A、M1在一條直線上，
∴M2M1＝2AM1＝，
在Rt△M2M1C中，，
綜上，線段的長為6或． .............12分2024 2025 8.已知方程 x
2 3x 1 0的兩個根是 x1, x2，則 1 x1 1 x2 = ．吉安市十校聯(lián)盟 --- 學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考
9.已知點 P是線段 AB的黃金分割點 (AP PB)，如果 AB的長為 4 ，那么 BP的長是 ．（保
九年級數(shù)學(xué)試卷 留根號）
考試時間：120分鐘、全卷滿分 120分 10. 如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，從①AC＝BD，②AC⊥BD，③AB＝BC，這三個條件中任意
選取兩個，能使平行四邊形 ABCD是正方形的概率為 ．
一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 11．已知，菱形 ABCD中， E、 F分別是 BC、 CD上的點，且 B EAF 60 ， BAE 23 ，
1．下列關(guān)于 x的方程中，一定是一元二次方程的為（ ） 則 FEC 度．
3
A．a(chǎn)x2 bx c 0 B． x2 2 (x 3)2 C． x2 5 0 D． x2 -1= 0 12．如圖，在菱形 ABCD中，AB=2， A 120 ，E、F分別是 AB、BC的中點，若點 P從點 E出發(fā)，x
沿E A D C的路線運動，則當(dāng) EPF 30 時，EP的長為 ．
2．如圖，已知直線 a∥b∥c，已知 AC 8，CE 12，BD 6，則 BF的值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．對角線相等 B．對角線互相平分
F
C．對角線互相垂直 D．對邊相等且平行
（第 10 題） （第 11 題 ） （第 12 題）
2
4．若關(guān)于 x的一元二次方程（m+1）x﹣2x+1＝0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m的取值范圍是（ ）
A．m≤0且 m≠﹣1 B．m≥0 C．m＜0且 m≠﹣1 D．m＜0 三、解答題（本大題共 5 小題，每小題 6 分，共 30 分）
a c e
5．小明在一次用頻率估計概率的實驗中，從一個裝有 1個紅球 3個白球袋子中，它們除顏色外都相 13.（1）3x 2x 1 4x 2 （2） 若 3,且b d f 0
a c e

b d f ，求 b d f 的值.
同，任意抽取一個球，把抽到紅球出現(xiàn)的頻率繪制的統(tǒng)計圖，則滿足題意的統(tǒng)計圖是（ ）
14．已知：如圖，在△ABC中，D、E分別在邊 AB、AC上，連接 DE，AD 12，
EC 2，BD 12， AE 16，求證：△ADE∽△ACB．
A． B．
15. 從一副普通的撲克牌中取出五張牌，它們的牌面數(shù)字分別是 4，4，5，5，6．
（1）將這五張撲克牌背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，則抽取的這張牌的牌面數(shù)字是 4的概
率是 ．
C． D． （2）將這五張撲克牌背面明上，洗勻后從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取第二張，
ABCD E AE BE DE A AE 請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)的概率．6．如圖，在正方形 外取一點 ，連接 、 、 ，過 作 的垂線
交 ED于點 P，若 AE＝AP＝1，PB＝ ，下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；
②EB⊥ED；③PD＝ ，其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16.如圖，在菱形 ABCD中，對角線 AC， BD相交于點 O，延長CB到點 E，使得
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） BE BC．連接 AE．過點 B作BF∥ AC，交 AE于點 F，連接OF ．
（1）求證：四邊形 AFBO是矩形；
a 3 a b （2）若 E 30 ， BF 1，求OF 的長．
7.已知 ，則 ．
b 5 b
九年級數(shù)學(xué)試卷第 1 頁 共 4 頁 九年級數(shù)學(xué)試卷第 2 頁 共 4 頁
{#{QQABTYQQggggABBAAQhCEQUgCgOQkgEACagGwAAEMAABSAFABAA=}#}
17．在圖 1、2 中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，O是斜邊 AB的中點，△ABD是等邊三角 cx2 bx a 0的兩根 x3， x4之間存在的一種特殊關(guān)系為 ；
形，BD∥AC，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖．
1
（1）在圖（1）中，畫出矩形 ACBE，使 E點在 BD上； （3）已知關(guān)于 x 的方程 2024x2+bx+c=0的兩根是 x1 1, x2 ，請利用（2）中的結(jié)論，求出2024
（2）在圖（2）中，畫出菱形 DEOF，使 E點在 BD上，F(xiàn)點在 AD邊上． 關(guān)于 x 的方程c(x 1)2 bx b 2024的兩根．
四、解答題（本大題共 3 小題，每小題 8 分，共 24 分）
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC為矩形, A 0,5 ，C 26,0 ．點 E是OC
18．今年超市以每件 25元的進(jìn)價購進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價為 40元時，三月份銷售 256件，四、五
的中點，動點 M在線段 AB上以每秒 2個單位長度的速度由點 A向點 B運動（到點 B時停止）．設(shè)
月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到 400件．
動點 M的運動時間為 t秒．
（1）求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率． （1）當(dāng) t為何值時，四邊形MOEB是平行四邊形？
（2）經(jīng)市場預(yù)測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式， （2）若四邊形MOEB是平行四邊形，請判斷四邊形MAOE的形狀，并說明理由；
經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價 1元，月銷量增加 5件，當(dāng)商品降價多少元時，商場六月份可獲 （3）在線段 AB上是否存在一點 N，使得以 O，E，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求
利 4250元？ 出 t的值；若不存在，請說明理由．
19．如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，
點 E為 AB的中點．
（1）求證：△ADC∽△ACB．
（2 AC）若 AD＝2，AB＝3，求 的值．
AF
20.如圖，在正方形 ABCD中，AB=4,E是對角線 AC上的一點，連接 DE．過點 E作 EF⊥DE，交 AB
于點 F，以 DE,EF為鄰邊作矩形 DEFG，連接 AG. 六、解答題（本大題共 12 分）
（1）求證：矩形 DEFG是正方形； 23．如圖 1，在 Rt△ABC中， ACB 90 ， BAC 30 ，BC 4，點M ，N 分別是邊 AC， 的
（2）直接寫出 AE AG AB+ 的值．
中點，連接MN．
CM
（1）觀察猜想：圖 1中，求 AC的長是 ， 的值為 ；
BN
BN CM
五、解答題（本大題共 2 9 18 （2）探究證明：把△AMN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到如圖 2所示的位置，連接CM ， ，請求出小題，每小題 分，共 分） BN
的值；
21．定義：我們把關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0與 cx2 bx a 0（ac 0，a c）稱為一 對 （3）拓展延伸：把△AMN繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)以 A,B,C,N為頂點的四邊形為平行四邊
“友好方程 ”．如 2x2 7x 3 0的“友好方程 ”是3x2 7x 2 0． 形時，請直接寫出線段CM .
（1）寫出一元二次方程 x2 3x 10 0的“友好方程 ” ；
（2）已知一元二次方程 x2 3x 10 0的兩根為 x1 2 , x2 5，它的“友好方程 ”的兩根
x3 ，x4 ．根據(jù)以上結(jié)論，猜想 ax2 bx c 0的兩根 x1 , x2，與其“友好方程 ”
九年級數(shù)學(xué)試卷第 3 頁 共 4 頁 九年級數(shù)學(xué)試卷第 4 頁 共 4 頁
{#{QQABTYQQggggABBAAQhCEQUgCgOQkgEACagGwAAEMAABSAFABAA=}#}

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