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(共34張PPT)
一、曲線運(yùn)動的發(fā)生條件
F
合外力方向與速度方向不在一直線
二、曲線運(yùn)動的特點(diǎn)
速度方向一定變化
切向力改變速度大小
法向力改變速度方向
v
Fn
Ft
三、求解曲線運(yùn)動問題的運(yùn)動學(xué)基本方法
矢量的合成與分解
微元法
曲線運(yùn)動的加速度
質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度定義為
A
vA
vB
為求一般的做曲線運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在任一點(diǎn)的瞬時(shí)加速度，通常將其分解為法向加速度an與切向加速度at．
O
A點(diǎn)曲率圓
A點(diǎn)曲率圓半徑
B
在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為v0，試求船在離岸邊s距離處時(shí)的速度與加速度的大小各為多少？
專題7-例1
依據(jù)實(shí)際運(yùn)動效果分解船的運(yùn)動：
v0
A
v
vn
h
s
vt
船及與船相系的繩端A的實(shí)際運(yùn)動是水平向左的，這可看作是繩之A端一方面沿繩方向向“前方”滑輪處“收短”，同時(shí)以滑輪為圓心轉(zhuǎn)動而成，即將實(shí)際速度v分解成沿繩方向“收短”的分速度vn和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動分速度vt;
注意到繩子是不可伸長的，人收繩的速率v0也就是繩端A點(diǎn)沿繩方向移動速率vn:
由圖示v、vt、vn矢量關(guān)系及位置的幾何關(guān)系易得：
求船的速度
續(xù)解
求船的加速度
在一小段時(shí)間Δt內(nèi),船頭位置從A移A′，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度Δθ→0:
A
v
v0
vt
v0
讀題
由加速度定義得：
由幾何關(guān)系得：
質(zhì)點(diǎn)沿圓周做速度大小、方向均變化的運(yùn)動．每個(gè)瞬時(shí)的加速度均可分解為切向加速度at與法向加速度an，前者反映質(zhì)點(diǎn)速率變化快慢，后者反映質(zhì)點(diǎn)速度方向變化快慢．
如圖所示，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)由靜止開始沿半徑為R的圓周做速率均勻增大的運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度與速度方向夾角為α，質(zhì)點(diǎn)通過的弧s所對的圓心角為β，試確定α與β間的關(guān)系．
專題7-例2
vA
a
A
O
β
s
at
an
由題給條件
而
又
　　　　　 如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿一圓周運(yùn)動，過M點(diǎn)時(shí)速度大小為v，作加速度矢量與圓相交成弦MA=l，試求此加速度的大?。?br/>將M點(diǎn)加速度沿切向與法向進(jìn)行分解!
v
a
M
A
l
O
at
an
法向加速度
　　　　　 如圖所示，曲柄OA長40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s繞O軸反時(shí)針方向轉(zhuǎn)動．由于曲柄的A端推動水平板B而使滑桿C沿豎直方向上升，求當(dāng)曲柄與水平線夾角θ=30°時(shí)，滑桿C的加速度．
桿A與B板接觸點(diǎn)有相同沿豎直方向的加速度 !
桿上A點(diǎn)加速度
O
A
B
C
ω
θ
aA
aAy
aC
θ
此即滑桿C的加速度
代入數(shù)據(jù)得滑桿C的加速度
　　　　　 有一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v2追擊，其運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍．某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD＝L，如圖．試求此時(shí)獵犬的加速度的大?。?br/>設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)，v2方向變化Δθ, Δθ→0時(shí):
F
L
A
B
D
v1
v2
v2
v2
v2
由加速度定義，獵犬 加速度
　　　　　 賽車在公路的平直段上以盡可能大的加速度行駛，在0.1 s內(nèi)速度由10.0m／s加大到10.5 m／s，那么該賽車在半徑為30 m的環(huán)形公路段行駛中，要達(dá)到同樣大的速度需要多少時(shí)間？當(dāng)環(huán)形公路段的半徑為多少時(shí)，賽車的速度就不可能增大到超過10 m/s？（公路的路面是水平的）
直線加速時(shí)車的加速度 :
在環(huán)形公路上，法向加速度
切向加速度
代入數(shù)據(jù)
當(dāng)軌道半徑令法向加速度大小等于a0:
無切向加速度，賽車速率不會增加
　　　　　 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動，初速度的大小為v0．在運(yùn)動過程中，點(diǎn)的切向加速度與法向加速度大小恒相等，求經(jīng)時(shí)間T質(zhì)點(diǎn)的速度v．
設(shè)速率從v0增加,取運(yùn)動過程中第i個(gè)極短時(shí)間Δt，由題意有
本題用微元法
若速率從v0減小, 有
y
質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是質(zhì)點(diǎn)相對槽的運(yùn)動及與槽一起轉(zhuǎn)動兩者之合運(yùn)動．
如圖所示，圓盤半徑為R，以角速度ω繞盤心O轉(zhuǎn)動，一質(zhì)點(diǎn)沿徑向槽以恒定速度u自盤心向外運(yùn)動，試求質(zhì)點(diǎn)的加速度．
專題7-例3
A
O
本題討論中介參考系以ω勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，質(zhì)點(diǎn)加速度的構(gòu)成
u
設(shè)某一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動到與O相距r的位置A
y
B
x
O
A
u
ωr
u
經(jīng)Δt時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)沿槽運(yùn)動到與盤心O相距r+uΔt 的位置B ，盤轉(zhuǎn)過了角度ωΔt，故質(zhì)點(diǎn)實(shí)際應(yīng)在位置B′
在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿y方向速度增量為
在Δt時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)沿x方向速度增量為
注意到Δt→0時(shí)
續(xù)解
讀題
方向與x成
牽連加速度
相對中介參考系的加速度
牽連加速度
y
x
O
A
由于參考系轉(zhuǎn)動及質(zhì)點(diǎn)對參考系有相對運(yùn)動而產(chǎn)生的，方向指向u沿ω方向轉(zhuǎn)過90°的方向
返回
試手
　　　　　 如圖所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面內(nèi)以等角速度ω繞頂點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，某一點(diǎn)M以等相對速度沿AB邊運(yùn)動，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時(shí)，M點(diǎn)走過了AB，如已知AB＝b，試求M點(diǎn)在A時(shí)的速度與加速度．
求質(zhì)點(diǎn)的速度
O
A
B
M
ω
引入中介參照系-三角形OAB
質(zhì)點(diǎn)對軸O的速度（相對速度）
三角形A點(diǎn)對軸的速度（牽連速度）
質(zhì)點(diǎn)對軸O的速度（絕對速度）vM
vMA
vA
三速度關(guān)系為
vM
方向與AB夾角
續(xù)解
求質(zhì)點(diǎn)的加速度
相對中介參考系的加速度
牽連加速度
O
A
B
M
ω
aA
a科
aM
方向與AO夾角
規(guī)律
曲線運(yùn)動軌跡的曲率
曲線的彎曲程度用曲率描述
曲線上某點(diǎn)的曲率定義為
圓周上各點(diǎn)曲率相同:
曲線上各點(diǎn)對應(yīng)的半徑為該點(diǎn)曲率倒數(shù)1/K的圓稱為曲率圓,該圓圓心稱曲線該點(diǎn)的曲率中心!
M1
用矢量分解法求橢圓長軸與短軸端點(diǎn)的曲率半徑,已知長半軸與短半軸為a和b.
專題7-例4
設(shè)質(zhì)點(diǎn)在M平面內(nèi)沿橢圓軌道以速率v運(yùn)動，這個(gè)運(yùn)動在M1平面的一個(gè)分運(yùn)動軌道恰成半徑為b的圓，則兩平面間夾角
對橢圓長軸端的A點(diǎn):
A1
aA1
對A點(diǎn)投影A1點(diǎn):
橢圓短軸端B點(diǎn)的曲率半徑由
B1
v
v
M
A
aA
B
v
aB
aB
用運(yùn)動分解法求拋物線上某點(diǎn)的曲率半徑.
專題7-例5
y
x
O
p
設(shè)質(zhì)點(diǎn)以速度v0做平拋運(yùn)動
平拋規(guī)律
消去t得
對軌跡上的P點(diǎn):
式中
拋物線上x=p/2點(diǎn)
試手
　　　　　 旋轉(zhuǎn)半徑為r、螺距為h的等距螺旋線，曲率半徑處處相同．試用運(yùn)動學(xué)方法求解曲率半徑ρ值．
設(shè)物體以v0做勻速率的圓周運(yùn)動、同時(shí)以vh沿垂直于v0方向做勻速直線運(yùn)動，每前進(jìn)一個(gè)螺距，完成一次圓周，即有
設(shè)螺旋線上任一點(diǎn)的曲率半徑為ρ
h
r
受恒力作用
力與初速度垂直
軌跡為半支拋物線
勻變速曲線運(yùn)動
◎物體在時(shí)刻t的位置
◎物體在時(shí)刻t的速度
水平方向勻速運(yùn)動與豎直方向自由落體運(yùn)動的合成
返回
平拋初速大小不同,落在斜面上時(shí)速度方向相同!
H
v0
g
空中飛行時(shí)間
距斜面最大高度
沿斜面方向的勻加速運(yùn)動與垂直斜面方向的上拋運(yùn)動之合成!
　　　　　 如圖所示，小冰球從高為H的光滑坡頂由靜止開始下滑，這個(gè)坡的末端形如水平跳板．當(dāng)跳板高h(yuǎn)為何值時(shí)，冰球飛過的距離s最遠(yuǎn)？它等于多少？
H
h
A
B
物體從坡末端B水平飛出后做平拋運(yùn)動:
由基本不等式性質(zhì)
　　　　　 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以加速度g在均勻重力場中運(yùn)動．開始時(shí)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于同一點(diǎn)，且其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有水平速度v1＝3.0 m／s；另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)水平速度v2＝4.0 m／s，方向與前者相反．求當(dāng)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度矢量相互垂直時(shí)，它們之間的距離．
當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)速度互相垂直時(shí)，速度矢量關(guān)系如圖示:
v1
vy
v1t
v2t
v2
vy
由矢量圖得
　　　　　 如圖，一倉庫高25 m，寬40 m．今在倉庫前l(fā) m、高5 m的A處拋一石塊，使石塊拋過屋頂，問距離l為多大時(shí)，初速度v0之值最??？（g取10 m/s2）
h
S
v0
l
vB
A
H
B
過B點(diǎn)時(shí)速度方向與水平成45°時(shí)，可以最小的vB越過40m倉庫頂 !
從A到B豎直方向分運(yùn)動有
從A到B水平方向分運(yùn)動有
x
岸
　　　　　 木排停泊在河上，到岸的距離L＝60 m．流水速度同離岸的距離成比例地增大，在岸邊u0=0，而在木排邊流速uL=2 m/s．小汽船離開岸駛向木排．船對水的速度v=7.2 km/h．問駕駛員在起航前應(yīng)該使船指向何方，使以后無須校正船速就能靠上與起航處正對面的木排？這時(shí)船航行多少時(shí)間？
V0=v
流水速度為
船的合速度為
在岸邊船的合速度大小
V0=v
方向如示 !
中間時(shí)刻船合速度沿x方向,航線如 示
v
u中
V
V
v
uL
通過L的時(shí)間
　　　　　 如圖所示，一個(gè)完全彈性小球自由下落，經(jīng)5m碰到斜面上的A點(diǎn)．同時(shí)斜面正以V＝10m／s在水平面上做勻速運(yùn)動，斜面與水平面的傾角為45°．問在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處，小球?qū)⑴c斜面發(fā)生第二次碰撞？
球以v=10 m/s入射，與斜面的接近速度
v
A
V
球與斜面的分離速度
球從與斜面分離到再次碰撞歷時(shí)
g
注意到球沿斜面體方向初速度為零，加速度gsin45°
球再與斜面碰撞處距A
　　　　　 如圖所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡與水平面成角度α．他與水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距離為L，求其拋出時(shí)初速度v0及以此大小初速度拋出的石子在斜坡上可以達(dá)到的最大距離．
v0
g
石子沿山坡方向做勻加速運(yùn)動
石子沿垂直山坡方向做勻加速運(yùn)動
設(shè)拋出石子的仰角為β
　　　　　 小球以恒定速度v沿水平面運(yùn)動，在A點(diǎn)墜落于半徑為r和深為Ｈ的豎直圓柱形井中．小球速度v與過Ａ點(diǎn)井的直徑成α，俯視如圖．問v、H、r、α之間關(guān)系如何，才能使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”（不計(jì)摩擦）
v
A
r
小球運(yùn)動軌跡的俯視圖如示
小球兩次與壁相碰點(diǎn)間水平射程為
歷時(shí)
從進(jìn)入至與底碰撞歷時(shí)
為使小球與井壁和井底彈性碰撞后，能夠從井里“跳出來”
(n、k均為正整數(shù))
小球在豎直方向做自由下落或碰底上拋至速度為零
小球在水平方向以v勻速運(yùn)動,碰壁“反射”
　　　　　 如圖，一位網(wǎng)球運(yùn)動員用拍朝水平方向擊球，第一只球落在自己一方場地上后彈跳起來剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地Ａ處．第二只球直接擦網(wǎng)而過，也落在Ａ處．球與地面的碰撞是完全彈性的，且空氣阻力不計(jì)，試求運(yùn)動員擊球高度為網(wǎng)高的多少倍？
B
A
C
O
H
設(shè)C點(diǎn)高度為h，由題意球1運(yùn)動時(shí)間為
由題意球2運(yùn)動時(shí)間為
∵水平射程相同
x
　　　　　 初速度為v0 的炮彈向空中射擊，不考慮空氣阻力，試求出空間安全區(qū)域的邊界的方程．
這個(gè)問題可抽象為一個(gè)求射出炮彈在空中可能軌跡的包絡(luò)線方程問題，包絡(luò)線以外即為安全區(qū)域．
如圖，在空間三維坐標(biāo)中，設(shè)初速度方向與xy平面成θ角，由拋體運(yùn)動規(guī)律可建立時(shí)間t的三個(gè)參數(shù)方程
x
z
y
O
v0
vx
vy
vz
續(xù)解
這是發(fā)射角θ各不相同的炮彈的空間軌跡方程
此方程式有解時(shí)，必滿足
包絡(luò)線方程為
這里我們運(yùn)用了曲線簇的包絡(luò)線的數(shù)學(xué)模型處理了一個(gè)有實(shí)際應(yīng)用背景的物理問題
整理該包絡(luò)線方程為所求安全區(qū)域的邊界方程
讀題
　　　　　 機(jī)車以等速率v0沿直線軌道行駛．機(jī)車車輪半徑為r．如車輪只滾動不滑動，將輪緣上的點(diǎn)M在軌道上的起點(diǎn)位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，并將軌道取為x軸，如圖所示，求M點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程以及軌跡的曲率半徑，并求當(dāng)M點(diǎn)所在的車輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度．
y
x
O
M
A
M點(diǎn)的兩個(gè)分運(yùn)動——
與輪心相同的勻速運(yùn)動
對輪心的勻速圓周運(yùn)動
O
y
x
續(xù)解
M點(diǎn)的軌跡方程為
求軌跡方程：
M
讀題
M點(diǎn)速度矢量與加速度矢量關(guān)系如示
求軌跡的曲率半徑ρ：
vM
aM
at
v0
v0
M點(diǎn)加速度即
法向分量
續(xù)解
M
求當(dāng)M點(diǎn)所在的車輪直徑在水平位置時(shí)，該點(diǎn)的速度與加速度：
vM
aM
at
v0
v0
方向與x軸成45°
方向+x

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