資源簡介

(共32張PPT)
穩定平衡
O
稍微偏離原平衡位置后能回到原位置
不穩定平衡
稍微偏離原平衡位置后不能回到原位置
隨機平衡
能在隨機位置保持平衡
O
對由重力與支持力作用下的平衡
設計一個元過程，即設想對物體施一微擾，使之稍偏離原平衡位置．
或從能量角度考察受擾動后物體重心位置的高度變化，根據重心是升高、降低還是不變來判斷物體原本是穩定平衡、不穩定平衡或是隨遇平衡；
為比較擾動前后物體的受力與態勢，要作出直觀明晰的圖示；由于對微擾元過程作的是“低細節”的描述，故常需運用合理的近似這一數學處理手段．
或從受力角度考察受擾動后重力作用點的側移量，即重力對擾動后新支點的力臂，從而判斷物體原來的平衡態屬于哪一種．
依問題的具體情況，擇簡而從．
如圖所示，一個熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為a、b且長軸的長度為l，蛋圓的一端可以在不光滑的水平面上穩定直立．求蛋尖的一端可以在一個半球形的碗內穩定地直立，碗的半徑r需滿足的條件．
專題3-問題1
考察質心位置的高度變化
蛋圓在水平面處穩定平衡,應滿足
B
A
b
a
C
l
R
低細節
描述
蛋尖在球形碗內處穩定平衡,應滿足
微擾情況下α、β為小量，
整理得
碗的半徑
續解
M
N
O
α-β
C
A
β
B
α
蛋尖在球形碗內處穩定平衡,應滿足
續解
續解
考察質心位置側移量
蛋處于穩定平衡的條件是:重力對擾動后新支點N的力矩可使蛋返回原位，即滿足
低細節
描述
碗的半徑
如圖所示，桿長l=a+b,質心在C點,桿的A、B兩端分別支于互相垂直的兩個光滑斜面上而處于平衡.試問在圖示位置時,此桿的平衡是穩定平衡、隨遇平衡還是不穩定平衡？并證明之.
專題3-問題2
先研究三力桿平衡時的幾何位置特點:
A
B
a
b
φ0
α
C
O
在△BOC中由正弦定理:
α
證明
FA
FB
G
考察質心位置的高度變化
A
B
φ
α
C
y
擾動后當桿處于與右斜面成夾角φ方位時
已有
結論
質心C的高度有最大值
受擾動后桿質心降低,屬
不穩定平衡
續解
考慮質心對桿的瞬時轉動中心的側移量
φ0
α
A
B
C
O
原平衡位置時桿的瞬時轉動中心為O
如示擾動后桿的瞬時轉動中心為O′
此時,重力對O的力矩為0
此時,
重力對 的力矩使桿繼續順時針遠離原平衡位置!
不穩定平衡
a
b
α
α
如圖所示，課桌面與水平面夾角成α，在桌面上放一支正六棱柱形鉛筆，欲使鉛筆既不向下滾動、又不向下滑動．試求：⑴在此情況下鉛筆與桌面的靜摩擦因數μ．⑵鉛筆的軸與斜面母線（斜面與水平面的交線）應成多大的角度放置？
專題3-問題3
考慮不滑動
鉛筆在斜面上恰不滑動,有
摩擦角恰為斜面傾角
α
φ
若滿足
筆不會因滑動而破壞平衡!
考慮不滾動
低細節
描述
筆所受重力作用線不超出斜面對筆的支持面!
應滿足
放置筆時筆的軸線與斜面母線所成角
筆不會因滾動而破壞平衡!
B1
B
O
A
α
C
a
過筆質心的橫截面
臨界狀態下
續解
重力作用線
1
2
7
飛檐問題：如圖所示，建造屋頂邊緣時，用長度為L的長方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長的1/8，如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻倒？這樣的幾層磚最多可使屋檐“飛”出多長？
專題3-問題4
G
L
若共堆n層、每塊伸出1/8的磚而恰未翻倒
C全
nG
1
2
3
n
最上1層磚恰不翻倒,最多伸出
最上2層磚恰不翻倒,最多伸出
2G
3G
最上3層磚恰不翻倒,最多伸出
G
G
以此類推，7層磚的最大伸出
如圖所示，一矩形導電線圈可繞其中心軸O轉動．它處于與軸垂直的勻強磁場中，在磁場的作用下，線框開始轉動，最后靜止的平面位置是圖中的
A
O
B
B
B
O
C
B
O
D
B
O
不穩定平衡
穩定平衡
不穩定平衡
不穩定平衡
圖中每一系統的兩個球都用一跨過滑輪的線聯結起來，問每一種情況各屬哪種平衡？
隨機平衡
穩定平衡
不穩定平衡
給兩小球線繩系統一擾動,從受力角度考察受擾動后,兩小球重力沿繩方向力的合力指向,從而判斷平衡種類!
l
l
m
L
α
m
如圖所示裝置，它是由一個長L的木釘、從木釘上端向左右斜伸出兩個下垂的、長為l的細木桿，以及在木桿的末端裝有質量同為m的小重球而組成．木釘及木桿的質量可忽略，木桿與木釘間夾角為α，此裝置放在硬質木柱上，則l、L、α間應當滿足______________關系才能使木釘由垂直位置稍微偏斜后，此裝置只能以O點為支點擺動而不致傾倒．
為滿足題意即系統處于穩定平衡,給系統一擾動, 兩小球重力對O的力矩應能使系統回到原位!
原平衡位置時
受一微擾后
α
α
O
2mg
不能回到原位
原平衡位置時
2mg
受一微擾后
能回到原位
如圖所示,長度為2L、粗細均勻的桿，一端靠在鉛直的墻上，而另一端靠在不動的光滑面上．為了使桿即使沒有摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個表面的橫截線的函數表達式Ｙ(x) （桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內）
為滿足題意即桿處于隨遇平衡,應使桿的重心始終在x軸!
O
y
x
C
(0,)
(x,y)
表面的橫截線滿足
該表面為橢球面的一部分
如圖所示,兩個質量分別為m1和m2的小環能沿著一光滑的輕繩滑動．繩的兩端固定于直桿的兩端，桿與水平線成角度θ．在此桿上又套一輕小環，繩穿過輕環并使m1、m2在其兩邊．設環與直桿的接觸是光滑的，當系統平衡時， 直桿與輕環兩邊的繩夾角為φ． 試證：
m2
θ
m1
同一光滑繩上張力處處相同設為FT,
m1g
φ
φ
FT
兩小環平衡,分析受力如圖:
m2g
FT
由力矢量三角形:
一根質量為m的均勻桿，長為L，處于豎直的位置，一端可繞固定的水平軸轉動．有兩根水平輕彈簧，勁度系數相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問彈簧的勁度系數k為何值時才能使桿處于穩定平衡？
為使桿處于穩定平衡,給桿一擾動,彈簧拉力對O的力矩應大于桿重力矩!
mg
FT
即
其中
得
FT
如圖所示,一塊厚d的木板位于半徑為R的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方．板與圓柱的一根摩擦因數為μ．試求板可以處于穩定平衡狀態的條件．
R
C
令板從原平衡位置偏轉一小角度α
α
板處于穩定平衡條件是重心升高!
以圓柱軸為參照,原板重心高度
擾動后重心高度
α
應有
考慮到
且
如圖所示,用均勻材料制成的浮子，具有兩個半徑均為R的球冠圍成的外形，像一粒豆子．浮子的厚度h＜2R，質量為m1．沿浮子對稱軸向浮子插入一細輻條，穿過整個厚度．輻條長l＞h，質量為m2．當將浮子輻條向上地浸于水中時，浮子只有少部分沒于水中．浮子的狀態是穩定的嗎？
先由同向平行力合成求浮子重力合力作用點－重心位置：
C
m1g
m2g
浮子偏轉小角度
低細節
描述
浮子為不穩定平衡!
浮子為隨遇平衡!
浮子為穩定平衡!
至題9
C
C
續解
C
C
C
O
O
K
D
h
R
K
D
β
α
C
K
O
如圖所示,兒童玩具不倒翁高h＝21cm，質量m＝300g，相對軸KD對稱分布．不倒翁的下部是半徑R＝６cm的球面，如果不倒翁放在與水平面成角α＝30°的粗糙面上，當它的軸KD與豎直方向傾角β＝45°，則處于穩定平衡狀態．為了使它在水平面上失去穩定平衡，試問最少需在頭頂Ｋ加多少塑泥？
C
先求原重心位置：
在三角形OCD中運用正弦定理：
在水平面上：
O
D
K
C
不倒翁失去穩定平衡條件是重心高于O!
Δm
有一長為0.2 m、截面積為2 cm2的均勻細棒，密度為5×102 kg/m3．
⑴在細棒下端釘上一小鐵片（不計體積），讓細棒豎立在水面，若細棒露出水面部分的長為0.02 m，則小鐵片質量為多少？
⑵不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長度，恰好使上端面與水面齊平？
⑶要使細棒豎在水面是穩定平衡，下端小鐵片至少要多重
⑴分析此時受力：
CM
⑵此時態勢為：
C1
⑶
低細節
描述
系統為穩定平衡條件是浮心高于合重心!
C總
至題11
C總
C總
C總
不穩定平衡
隨機平衡
穩定平衡
續解
a
b
兩個相同長方體處于圖示位置．問當α角為多少時它們才可能平衡？長方體與水平面間摩擦因數為μ，長方體長b寬a．長方體間無摩擦．
α
分析受力：
G
系統可能平衡條件是
在此條件下,對右物塊由力矩平衡
G
α
在此條件下,對左物塊由力矩平衡
在互相垂直的斜面上放置一勻質桿AB，設各接觸面的摩擦角均為φ（μ＝tgφ）,求平衡時桿AB與斜面AO交角θ的范圍．已知斜面BO與水平面交角為α．
α
A
B
O
θ
三力桿平衡時的幾何位置特點:
不穩定平衡
桿兩端約束力與重力三力匯交
當θ=α時
α
G
A
B
O
θ
fA=0 fB=0
續解
結論:
平衡時桿AB與斜面AO交角θ的范圍為α
當θ＜α時
α
G
O
A
B
θ
G
φ
φ-δ
α
fA=f m fA=f m
fA=f m fB ＜ f m
fB=f m fA ＜ f m
φ
桿平衡位置與左斜面的夾角
θ
續解
當θ＞α時
α
G
O
G
A
B
θ
φ
fA=f m fA=f m
fA=f m fB ＜ f m
φ
fB=f m fA ＜ f m
α
桿平衡位置與左斜面的夾角
返回
θ
φ-δ
4個半徑均為R的光滑球靜止于一個水平放置的半球形碗內．該4球球心恰在同一個水平面上，現將相同的第5個球放在前述4球之上，而此系統仍能維持平衡，求碗的半徑為多少？
幾何描述
上球對下各球壓力由對稱性得
C
A
E
各球三力構成閉合三角形
θ
由力三角形與幾何三角形相似求碗半徑!
碗半徑r由幾何三角形
動態分析
結論:
使系統平衡碗半徑
D
C
B
A
E
俯視圖
P
P
A
B
C
D
E
剖面圖
球心與切點空間位置
C
A
E
P
G
T
N
續解
θ
C
A
E
碗半徑增大,平衡破壞!
碗半徑減小,平衡可維持至此!
續解
C
A
E
P

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