資源簡介

(共28張PPT)
研究對象
不發生形變的理想物體
實際物體在外力作用下發生的形變效應不顯著可被忽略時,即可將其視作剛體．
具有剛體的力學性質，剛體上任意兩點之間的相對距離是恒定不變的;
剛體運動的速度法則
剛體上每一點的速度都是與基點(可任意選擇)速度相同的平動速度和相對于該基點的轉動速度的矢量和.
v=rω，r是對基點的轉動半徑，ω是剛體轉動角速度．
任何剛體的任何一種復雜運動都是由平動與轉動復合而成的.
剛體各質點自身轉動角速度總相同且與基點的選擇無關．
A
B
C
D
α
v2
v2d
v1
v1d
O
在同一時刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度.
沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時相同.
相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和.
桿或繩約束物系各點速度的相關特征是：
接觸物系接觸點速度的相關特征是：
線狀相交物系交叉點的速度是:
v1
θ
v0
v2
v1
θ
θ
v
vt
vn
vn
v1d
v0
v2d
如圖所示，AB桿的A端以勻速v運動，在運動時桿恒與一
半圓周相切，半圓周的半徑為R，當桿與水平線的交角為θ時，求桿的角速度ω及桿上與半圓相切點C的速度．
專題5-例1
這是桿約束相關速度問題
考察桿切點C,由于半圓靜止,C點速度必沿桿!
v
C
B
R
A
θ
v1
v2
vc
θ
桿A點速度必沿水平!
以C為基點分解v:
由桿約束相關關系:
v2是A點對C點的轉動速度,故
B2
A1
A2
如圖所示，合頁構件由三個菱形組成，其邊長之比為3∶2∶1，頂點A3以速度v沿水平方向向右運動，求當構件所有角都為直角時，頂點Ｂ2的速度vB2．
專題5-例2
這是桿約束相關速度問題
A0
A1
A2
A3
B1
B2
B3
v
vA2
vA1
v2
v1
分析頂點A2、A1的速度：
頂點B2，既是A1B2桿上的點，又是A2B2桿上的點，分別以A1、A2為基點，分析B2點速度：
v1
v2
vB2
由圖示知
由幾何關系
D
C
vx
B
A
vBA
這是繩約束相關速度問題
繩BD段上各點有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v；
設A右移速度為vx，即相對于A，繩上B點是以速度vx從動滑輪中抽出的，即
引入中介參照系-物A ，在沿繩BD方向上，繩上B點速度v是其相對于參照系A的速度vx與參照系A對靜止參照系速度vxcosθ的合成， 即
v
由上
vxcosθ
如圖所示，物體A置于水平面上，物A前固定有動滑輪B，D為定滑輪，一根輕繩繞過D、B后固定在C點，BC段水平，當以速度v拉繩頭時，物體A沿水平面運動，若繩與水平面夾角為α，物體A 運動的速度是多大？
專題5-例3
如圖所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點．求當∠AOP=α時，AB桿的速度．
專題5-例4
這是接觸物系接觸點相關速度問題
P
A
O
B
v0
α
α
vA
v0
α
根據接觸物系觸點速度相關特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即
如圖所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子A上，以恒定的速度v拉繩，當繩與豎直方向成α角時，求線軸中心O的運動速度v0．線軸的外徑為R、內徑為r，線軸沿水平面做無滑動的滾動．
專題5-例5
R
r
O
v
A
α
α
O
B
考察繩、軸接觸的切點B速度
軸上B點具有與軸心相同的平動速度v0與對軸心的轉動速度rω：
v0
rω
繩上B點沿繩方向速度v和與軸B點相同的法向速度vn：
vn
由于繩、軸點點相切，有
α
線軸沿水平面做純滾動
C
v0
若線軸逆時針滾動，則
如圖所示，線軸沿水平面做無滑動的滾動，并且線端A點速度為v，方向水平．以鉸鏈固定于B點的木板靠在線軸上，線軸的內、外徑分別為r和R．試確定木板的角速度ω與角α的關系．
專題5-例6
考察板、軸接觸的切點C速度
板上C點與線軸上C 點有相同的法向速度vn,且板上vn正是C點關于B軸的轉動速度 ：
C
A
B
α
C
vn
C
vn
線軸上C點的速度：它應是C點對軸心O的轉動速度vCn和與軸心相同的平動速度vO的矢量和，而vCn是沿C點切向的，則C點法向速度vn應是 ：
v0
v
vCn
v0
α
v
線軸為剛體且做純滾動，故以線軸與水平面切點為基點，應有
D
R
r
如圖所示，水平直桿AB在圓心為O、半徑為r的固定圓圈上以勻速u豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點處一小滑環M的速度，設OM與豎直方向的夾角為φ．
專題5-例7
這是線狀交叉物系交叉點相關速度問題
B
O
φ
M
將桿的速度u沿桿方向與圓圈切線方向分解:
φ
u
滑環速度即交叉點速度,方向沿圓圈切向;
根據交叉點速度是相交雙方沿對方切向運動分速度的矢量和，滑環速度即為桿沿圓圈切向分速度:
如圖所示，直角曲桿OBC繞O軸在圖示平面內轉動，使套在其上的光滑小環沿固定直桿OA滑動．已知OB=10 cm，曲桿的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°時，小環M的速度．
專題5-例8
這是線狀交叉物系交叉點相關速度問題
O
A
B
M
C
60°
由于剛性曲桿OBC以O為軸轉動，故BC上與OA直桿交叉點M的速度方向垂直于轉動半徑OM、大小是:
根據交叉點速度相關特征，該速度沿OA方向的分量即為小環速度，故將vBCM沿MA、MB方向分解成兩個分速度:
vBCM
小環M的速度即為vMA：
vMA
vMB
30°
O
A
B
C
d
O1
O2
如圖所示，一個半徑為R的軸環O1立在水平面上，另一個同樣的軸環O2以速度v從這個軸環旁通過，試求兩軸環上部交叉點A的速度vA與兩環中心之距離d之間的關系．軸環很薄且第二個軸環緊傍第一個軸環．
專題5-例9
d
O1
A
O2
v
本題求線狀交叉物系交叉點A速度
A
v1
θ
θ
v2
v
軸環O2速度為v，將此速度沿軸環O1、O2的交叉點A處的切線方向分解成v1、v2兩個分量:
O2
由線狀相交物系交叉點相關速度規律可知，交叉點A的速度即為沿對方速度分量v1!
由圖示幾何關系可得:
O
　　　　　 頂桿AB可在豎直滑槽K內滑動，其下端由凸輪M推動．凸輪繞O軸以勻角速ω轉動，在圖示時刻，OA＝r，凸輪輪緣與A接觸處法線n與OA之間的夾角為α，試求頂桿的速度．
M
n
α
A
K
B
桿與凸輪接觸點有相同的法向速度!
v桿
ωr
r
根據接觸物系觸點速度相關特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即
α
　　　　　 一人身高h ，在燈下以勻速率vA沿水平直線行走．如圖所示，設燈距地面高度為H，求人影的頂端Ｍ點沿地面移動的速度 ．
H
M
h
借用繩桿約束模型
設人影端點M移動速度為v影 ,以光源為基點,將vA和v影分解為沿光線方向“伸長速度”和對基點的“轉動速度”
vA
由幾何關系
由一條光線上各點轉動角速度相同：
α
α
v0
　　　　　 如圖所示,纏在線軸A上的線被繞過滑輪B以恒定速率v0拉出，這時線軸沿水平面無滑動地滾動．求線軸中心O點的速度隨線與水平方向的夾角α的變化關系．線軸的內、外半徑分別為R與r．
A
B
O
V
VA
α
V0
考察繩、軸接觸的切點A速度
軸上A點具有對軸心的轉動速度V=Rω和與軸心相同的平動速度V0：
v0
V0
C
繩上A點具有沿繩方向速度v0和與軸A點相同的法向速度vn：
vn
由于繩、軸點點相切，有
α
由于純滾動，有
　　　　　 圖中的AC、BD兩桿以勻角速度ω分別繞相距為l的A、Ｂ兩固定軸在同一豎直面上轉動，轉動方向已在圖上示出．小環M套在兩桿上，t=0時圖中α=β=60°，試求而后任意時刻t（M未落地）M運動的速度大小．
A
B
α
β
C
D
M
因兩桿角速度相同，∠AMB=60°不變
本題屬線狀交叉物系交叉點速度問題
套在兩桿交點的環M所在圓周半徑為
60°
O
l
R
θ
2θ
桿D轉過θ圓周角，M點轉過同弧上2θ的圓心角
環M的角速度為2ω!
環M的線速度為
　　　　　 如圖,一個球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做無滑動的滾動．AB等效于球的瞬時轉軸．試問球上哪些點的速度最大？這最大速度為多少？
本題屬剛體各點速度問題
A
C
B
球心速度為v， 則對瞬時轉軸AB:
O
則球角速度
球表面與瞬時轉軸距離最大的點有最大速度!
根據剛體運動的速度法則:
　　　　　 如圖，由兩個圓環所組成的滾珠軸承，其內環半徑為R2，外環半徑為R1，在二環之間分布的小圓球（滾珠）半徑為r，外環以線速度v1順時針方向轉動，而內環則以線速度v2順時針方向轉動，試求小球中心圍繞圓環的中心順時針轉動的線速度v和小球自轉的角速度ω，設小球與圓環之間無滑動發生．
R1
R2
ω
v
已知滾珠球心速度為v，角速度為ω，
v1
v2
A
rω
根據剛體運動的速度法則:
滾珠與內環接觸處A速度
滾珠與外環接觸處B速度
rω
B
∵滾珠與兩環無滑動，∴兩環與珠接觸處A、B切向速度相同
本題屬剛體各點速度及接觸點速度問題
　　　　　 一片膠合板從空中下落，發現在某個時刻板上a 點速度和b點速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同時還發現板上c點速度大小比速度v大一倍，c點到a、b兩點距離等于a、b兩點之間距離．試問板上哪些點的速度等于3v？
本題屬剛體各點速度問題
∵板上a、b兩點速度相同，故a、b連線即為板瞬時轉動軸!
v
v
c
a
b
l
根據剛體運動的速度法則,C點速度為:
vc=2v
v
vcn=lω
同理,速度為3v的點滿足
V=3v
vn=xω
　　　　　 如圖,A、B、C三位芭蕾演員同時從邊長為l的三角形頂點A、B、C出發，以相同的速率v運動，運動中始終保持A朝著B，B朝著C，C朝著A．試問經多少時間三人相聚？每個演員跑了多少路程？
A
B
C
由三位舞者運動的對稱性可知，他們會合點在三角形ABC的中心O
O
O
vn
每人的運動均可視做繞O轉動的同時向O運動，
vt
考慮A處舞者沿AO方向分運動考慮,到達O點歷時
由于舞者勻速率運動,則
　　　　　 如圖所示，一個圓臺，上底半徑為r，下底半徑為R，其母線AB長為L，放置在水平地面上，推動它以后，它自身以角速度ω旋轉，整體繞Ｏ點做勻速圓周運動，若接觸部分不打滑，求旋轉半徑OA及旋轉一周所需時間T．
A
B
L
O
r
R
設旋轉半徑為x，則由幾何關系:
接觸處不打滑，則A點（即接觸點）移動速度即為
vA
則
　　　　　 如圖所示，繩的一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為R，放在與水平面成α角的光滑斜面上，當繩變為豎直方向時，圓筒轉動角速度為ω(此時繩未松馳)，試求此刻圓筒與繩分離處A的速度以及圓筒與斜面切點C的速度．
α
A
O
繩豎直時設圓筒中心速度為v0
vO
以A為基點,由剛體速度法則,O點速度是
vA
vn
圓筒與繩分離處A速度vA如圖:
vA
C
考察圓筒與斜面切點C速度:
vO
vn
以O為基點,由剛體速度法則,C點速度是
　　　　　 如圖所示，長度l＝10 cm的棒在光滑水平面上轉動，同時，以速度v＝10 cm/s滑動，離棒的中心距離L＝50 cm處有豎直的墻．要使棒平著與墻相撞，試問棒的角速度ω應為多少？
L
v
ω
棒要平著與豎墻相撞應滿足
⑴棒中心完成L位移時，棒與墻平行；
⑵相撞時無沿棒法向向右的離開墻的速度（即棒上所有點速度方向均向墻）.
滿足⑴應有:
棒在向墻移動時每半周與墻平行一次
滿足⑵應有
v
v
　 一塊坯料夾在兩導板之間，導板水平運動．上板向右，速度為v1，下板向左，速度為v2，若v1＝2v2 ，某時刻切點１和２在同一條豎直線上，如圖所示．請作圖指出該時刻坯料上速度大小分別為v1和 v2 的點的集合．　
1(A)
2(B)
v1
v2
A
B
以1∶2截分AB得瞬時轉動中心O
剛體上與瞬時轉動中心距離相同的點對中心的轉動速度相同
A
B
C
D
α
O
　　　　　 如圖所示，兩只小環O和 分別套在靜止不動的豎直桿AB和CD上，一根不可伸長的繩子一端系在C點上，穿過環 ，另一端系在環O上．若環 以恒定速度v1向下運動，當∠AO =α時，求環O的速度．
v1
V繩對環　= v1
vO對　＝v1+v2
V繩對環　
設環O的速度為v2
以O′為參照繩抽出速度大小為v1,方向如示:
v2
則環O對環O′的速度大小為v1+v2,方向如示:
這個速度是O對O′沿繩“抽出”速度和對O′轉動速度的合成
由繩約束特征:在同一時刻必具有相同的沿繩方向的分速度.
　　　　　 如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內的水平軌道，相距為h．軌道上有兩個物體Ａ和Ｂ，它們通過一根繞過定滑輪Ｏ的不可伸長的輕繩相連接．物體Ａ在下面的軌道上以勻速率v運動．在軌道間的繩子與軌道成30°角的瞬間，繩子BO段的中點處有一與繩相對靜止的小水滴Ｐ與繩子分離，設繩長BO遠大于滑輪直徑，求：小水滴Ｐ恰脫離繩子落地時速度的大小．
O
A
B
P
v
h
30°
小水滴P剛與繩分離時應具有與OB繩中點相同的速度,這個速度是沿繩速度與繞O轉動速度的合成:
v
vPn
vB
vBn
小水滴沿繩方向速度即為v
整個OB段繩有相同繞O轉動角速度,故
則
以此速度斜拋落地
vP
　　　　　 如圖所示，AB桿以角速度ω繞A點轉動，并帶動套在水平桿OC上 的小環M運動．運動開始時，AB桿在鉛垂位置，設OA=h，求：⑴小環M沿OC桿滑動的速度；⑵小環M相對于AB桿運動的速度．
O
C
A
h
ω
M
B
⑴
經時間t，桿轉過角ωt，桿AB上 M點速度 :
由線狀交叉物系交叉點相關速度特征
環M的速度等于vM沿桿OC 分量:
⑵小環相對于AB桿的速度大小等于速度v桿M沿AB桿方向分量:
方向如圖!
　　　　　 如圖所示，曲柄滑桿機構中，滑桿上有圓弧形滑槽，其半徑為R，圓心在導桿BC上，曲柄OA長R，以角速度ω轉動，當機構在圖示位置時，曲柄與水平線交角θ=30°，求此時滑桿的速度．
C
O
B
ω
vA
vn
V
A
曲柄與水平線交角θ=30°時，曲柄滑桿機構上 A點速度 :
此時滑桿速度設為V，A在圓形槽中的轉動速度設為vn :
由剛體運動的速度法則,有
其中
速度矢量三角形為正△

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