資源簡介

(共52張PPT)
電流元引起的磁場的畢薩拉定律
示例
B
q,m
v0
勻變速直線運動
速度為vo的勻速直線運動
勻變速曲線運動(類平拋)
(軌跡為半支拋物線)
勻速圓周運動
(軌道圓平面與磁場垂直)
勻變速曲線運動(類斜拋)
勻速圓運動與勻速直線運動合成(軌跡為等距螺旋線)
v0方向與場方向成θ角
v0方向與場的方向垂直
v0方向與場的方向平行
勻強磁場中
勻強電場中
比較
v0
θ
q,m
E
θ
磁場對運動電荷及電流的力
示例
由畢薩拉定律,距無限長直線電流a處磁感應強度
P
a
I
I
a
取元電流
BO
r
P
專題21-例1
O
A
解題方向: 兩電流在O點引起的磁場疊加
I1
AB的優弧與劣弧段電流與電阻成反比,即
由畢薩拉定律知,兩弧上電流在O點引起的磁場磁感應強度大小關系為:
B
I2
　　　　　 兩根長直導線沿半徑方向引到鐵環上A、B兩點，并與很遠的電源相連，如圖所示,求環中心的磁感應強度．
專題21-例2
解題方向: 變端點為無限長通電螺線管內部!
P
B0
　　　　　 如圖所示，一恒定電流沿著一個長度為L，半徑為R的螺線管流過，在螺線管內部產生了磁感應強度大小為B0的磁場，試求線圈末端即圖中P點的磁感應強度及以P為中心的半徑為R的圓上的磁通量 ．
專題21-例3
解題方向: 利用對稱性及磁場疊加!
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
10
I
O
　　　　　 由相同導線構成的立方形框架如圖所示，讓電流I從頂點A流入、B流出，求立方形框架的幾何中心O處的磁感應強度．
專題21-例4
電流元所在處磁場設為B其它;
Bi
B
電流元內側有
電流元外側有
解題方向: 求出電流元所處磁場磁感應強度,即可求安培力及其對螺線管側面壓強
　　　　　 一N匝密繞的螺線管長L，半徑r，且L r．當通有恒定電流I時，試求作用在長螺線管側面上的壓強p ．
5
1
2
3
4
6
B1
B2
B3
B4
B5
B6
O
5
　　　　　 如圖，在半徑為R的圓周上沿諸大圓繞有細導線，諸導線相交于同一直徑AB的兩端，共有六個線圈，每相鄰兩線圈平面的夾角均為30°，導線上流過電流I，求在木球球心O處磁感應強度的大小與方向 ．
A
B
O
I0
h
取元線電流,對P張角為
P
第i對元線電流之一在P處的磁感應強度
第i對元線電流在P處的磁感應強度
　　　　　 有一個寬為b、無限長薄銅片，通有電流I0．求銅片中心線正上方h（b h ）處的P點的磁感應強度 ．
電荷隨盤運動,形成環形電流:
電流隨盤半徑分布為:
元環電流在盤軸心處引起的磁感應強度為:
盤軸心處的總磁感應強度為:
　　　　　 一個塑料圓盤，半徑為R，帶電q，均勻分布在盤表面上，圓盤繞通過圓心垂直于盤面的軸轉動，角速度為ω，試求圓盤中心處O 的磁感應強度．
x
y
O
在通電橢圓導線上取元電流I.Δl
元電流I.Δl對一個焦點的張角為
元電流I.Δl在焦點處引起的元磁感應強度為
Bi
由幾何關系得
則焦點處
　　　　　 試應用畢奧—薩伐爾定律，求解方程為 （ A＞B，其中A和B均為已知量）的橢圓形閉合導線當導線中通以穩恒電流I時，橢圓導線焦點處磁感應強度B1的大小 ．
　　　　　 長直圓柱形載流導線內磁場具有軸對稱性，離軸r處的磁感應強度 ．現有半徑為a的金屬長圓柱體內挖去一半徑為b的圓柱體，兩圓柱體的軸線平行，相距d，如圖所示．電流I沿軸線方向通過，且均勻分布在柱體的截面上，試求空心部分中的磁感應強度 ．
O
ja
有空洞的圓柱體電流密度為
空洞處視作電流密度為j的兩反向電流疊加:
ra
A
Ba
BA
Bb
rb
d
jb
完整電流j與反向電流-j在空洞中A處引起磁場Ba、Bb:
返回
α
d
M
α
M
d
α
φ
T
d
M
　　　　　 如圖所示，經U＝1000 V電壓加速的電子（加速前靜止）從電子槍T射出，其初速度沿直線α方向．若要求電子能擊中在φ＝60°方向，與槍口相距d＝5.0 cm 的靶M，試求以下兩種情況下，所需的勻強磁場的磁感應強度的大小．⑴磁場B1垂直于直線α與靶M所確定的平面；⑵磁場B2平行于槍口T向靶M所引的直線TM ．
專題21-例5
⑴
⑵
專題21-例6
x
y
O
R
軌道設計：離子在進入磁場前離子做直線運動，進入磁場區后，在洛倫茲力作用下沿一段圓弧運動，而后離開磁場區，沿直線運動至R．對不同的離子射出角，以適當的圓弧與之銜接，各軌道直線與圓弧對接點，即離子出、入磁場的點的集合為所求磁場的邊界．
P
x
y
O
R
P
r
(x,y)
射出角范圍為
　　　　　 如圖所示，一簇質量均為m，電量均為q的離子在P點以同一速率v沿xy上半平面中的各個方向射出，垂直于xy平面的勻強磁場B將這些離子聚焦在R點，P點與R點相距為2a，離子軌道應是軸對稱的．試確定磁場區的邊界．討論當a＝ 情況下可聚焦的離子發射角范圍 ．
T
T
F
a
b
通電導線受力如圖
其中安培力大小 為
兩端繩張力的合力為
帶電粒子要沿弧ab運動，須滿足
　　　　　 如圖所示，質量不計的柔韌細導線的一端懸掛質量為M的重物，給細線提供張力T，另一端固定于天花板上．它的一段處于圖中所示勻強磁場B中并通有電流I，求弧線的曲率半徑R．若帶電量q、質量m的粒子從a點入射磁場，其動量如何才能使它沿弧線運動？
M
a
b
I
B
T
T
FT
設阻力Ff=kv，第一次位移為S1=10 cm，
由動量定理：
加一磁感應強度為B的勻強磁場，粒子受阻力與洛侖茲力共同作用，兩力方向始終互相垂直，軌跡為曲線，元過程中有
全過程中有：
同理過程3中有：
由上三式得
①
②
③
　　　　　 帶電粒子進入介質中，受到的阻力跟它的速度成正比．在粒子完全停止前，所通過的路程為S1＝10cm，如果在介質中有一個跟粒子速度方向垂直的磁場，當粒子以跟原來相同的初速度進入這一帶有磁場的介質時，它則停止在距入射點的距離為S2＝6 cm的位置上，如果磁場強度減少1/2，那么該粒子應停留在離開入射點多遠（S3）的位置上？
　　　　　 如圖所示，S為一離子源，它能機會均等地向各個方向持續發射大量質量為m、電量為q、速率為v的正離子，在離子源的右側有一半徑為R的圓屏，離子源在其軸線上．在離子源與圓屏之間的空間有范圍足夠大的方向水平向右并垂直于圓屏的勻強磁場，磁感應強度為B，在發射的離子中有的離子不管SO距離如何改變，總能打在圓屏上．求這樣的離子數目與總發射離子數目之比．
離子的運動是一系列等螺距的螺旋運動，若離子的初速度v與SO成θ角，則其軌跡的螺距為
螺旋截面圓的半徑為
只要向屏方向
B
q,m
v
θ
B
O
認為離子源附近射出離子各向均勻
總能打在屏上的離子占總數的比為
S
O
電子軌道半徑均為
(x,y)
H
x
y
R
B
同樣方法，在x＞０處，
　　　　　 如圖所示，在xy平面上有一束稀疏的電子（其間的相互作用可以忽略），在－H＜y＜H范圍內，從x負半軸的遠處以相同的速率v沿著x軸方向平行地向y軸射來．試設計一磁場區域，使得⑴所有電子都能在磁場力的作用下通過坐標原點O；⑵這一片電子最后擴展到－2H＜y＜2H范圍內繼續沿著x軸方向向x 正半軸的遠處平行地以相同速率射去．
兩種離子經同一有界磁場偏轉的軌道半徑不同,故離開磁場時發散
φ
R1
α
α
O
D
由圖示幾何關系:
發散角很小,故
兩同位素的發散角
　　　　　 如圖所示，一窄束單能氬離子通過一扇形勻強磁場，此束射線的軸在進、出磁場時離子束的軸線都與場的邊界垂直．求質量數m1＝36和m2＝40的氬同位素的發散角．已知φ=60°．
※在正交的勻強電場與勻強磁場中，電荷以垂直于兩場
方向進入，可能做勻速直線運動：
Fe
E
B
v0
fB
※在正交的勻強電場與勻強磁場中，電荷以垂直于兩場
方向進入，可能做軌跡為擺線的運動：
示例
規律
如圖(a)所示，兩塊水平放置的平行金屬板A、B，板長L=18.5cm，兩板間距d=3 cm，兩板之間有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感在強度B=6.0×10-2 T，兩板間加上如圖(b)所示的周期性電壓，帶電時A板帶正電，當t=0時，有一個質量m=1.0×10-12 kg，帶電荷量q=1.0×10-6 C的粒子，以速度v=600 m/s，從距A板2.5 cm處沿垂直于磁場、平行于兩板的方向射入兩板之間，若不計粒子重力，取，求⑴粒子在0～1×10-4 s內做怎樣的運動？位移多大？⑵帶電粒子從射入到射出極板間所用時間？
B
A
有電場時：
粒子做勻速直線運動！
無電場時，粒子做勻速圓周運動：
1cm
0.5cm
返回
O
1
2
3
4
B
E
(x,y)
x
y
ωt
O
x
y
O
2m
B
a
b
E
P
小球必帶正電!小球從A點下滑進入板間做直線運動必有
小球從b點下滑進入板間時速度小于va
mg
Fe
fB
故軌跡開始一段向下彎曲!
如圖所示，帶電平行板間勻強電場方向豎直向上，勻強磁場方向垂直紙面向里．一帶電小球從光滑絕緣軌道上的a點自由下滑，經軌道端點P進入板間后恰好沿水平方向做直線運動．現使小球從較低的b點開始下滑，經P點進入板間后，下列判斷正確的是
A．在開始一段時間內，小球動能將會增大
B．在開始一段時間內，小球勢能將會增大
C．若板間電場和磁場范圍足夠大，小球始終克服電場力做功
D．若板間電場和磁場范圍足夠大，小球所受洛侖茲力將一直增大
則重力與電場力的總功為正功,動能增加!
小球重力勢能減少,電勢能增加!總勢能減少!
⑴∵洛倫茲力不做功，電場力做功與路徑無關,則由動能定理：
c
O
x
B
E
a
b
d
y
⑵離子的運動是x方向勻速運動與勻速圓周運動的合成，兩運動速率均為
在a點時兩分速度方向均為+x方向,則
又解：
　　如圖所示，質量為m、電量為q的正離子，在互相垂直的勻強電場和勻強磁場中沿曲線oabcd從靜止開始運動．已知電場強度E與y 平行，磁感應強度B垂直于xoy平面，試求 ⑴離子經過任意點b(x,y)時速度的大小；⑵若a點是曲線上縱坐標最大的位置，且曲線在a點的曲率半徑是a點縱坐標的兩倍，則離子經過a點時的速率是多大？
解題方向: 將兩帶電質點視為雙星系統,其質心初速度為零，在磁場中做軌跡為擺線的運動
專題21-例7
未加磁場時,雙電荷質心速度為零,角速度由
加磁場后,雙電荷質心初速度為零,受到洛倫茲力大小為
方向在xy平面,是有心力!
x
y
O
2m
將質心初速度分解為大小為
軌跡方程:
　　 如圖所示，質量均為m，電量為-q和+q的兩個帶電質點相距2R．開始時，系統的質心靜止地位于坐標原點O處，且兩帶電質點在xOy平面上繞質心C沿順時針方向做圓周運動．設當系統處于圖示位置時，規定為t＝０時刻，從該時刻起在所討論的空間加上沿z軸方向的弱勻強磁場B．試求：質心C的速度分量vx和vy隨時間t的變化關系及運動軌跡方程，定性畫出質心C的運動軌跡．設兩帶電質點繞質心的圓周運動保持不變，忽略一切萬有引力．兩帶電質點間的相互作用力視作庫侖力．
v0
　z
　y
x
x0
　O
帶電微粒處于勻強磁場與重力場中，B、g、v0三矢量兩兩垂直，可將v0分解為
mg
fB1
fB2
帶電微粒的運動為v1勻速運動與v2勻速圓周運動的合成
能到達x0須滿足
（與v0無關）
　　 如圖所示的空間直角坐標系中，z軸為豎直方向，空間存在著勻強磁場，磁感應強度B的方向沿y軸正方向，一個質量為m、帶電量為q的帶電微粒從原點O處以初速度v0射出，初速度方向為x軸正方向，試確定各物理量間滿足什么條件，就能保證v0的大小不論取何值，帶電微粒運動過程中都可以經過x軸上的x0點？
初速為零的帶電小球處在重力場與磁場的復合場將做軌道跡為滾輪線的運動!
mg
fB1
fB2
若小球滾輪線軌道恰與地面相切，就不會和地面相碰 !
v1
v2
圓運動半徑應滿足
軌跡方程:
B
　　　　　 質量為m、電量為q（q＞０）的小球，在離地面高度為h處從靜止開始下落，為使小球始終不會和地面相碰，可設想在它開始下落時就加上一個足夠強的水平勻強磁場．試求該磁場磁感應強度的最小可取值B0，并求出當磁場取B0時小球的運動軌道．
槽下部與水銀接觸面達到穩定時，其電流所受磁場力（豎直向上）與水銀柱壓力平衡：
h
l
B
H
如圖所示的磁動力泵是高h＝0.1 m的矩形槽，槽相對的兩壁是導電的，它們之間距離＝0.05 m．兩導電壁加上電勢差U＝1.4 V，垂直于兩非導電壁加上磁感應強度B＝0.1 T的均勻磁場．槽的下部與水銀面接觸，上部與豎直的非導電管相連．試問水銀上升多高？（水銀的電阻率 ，水銀密度 ， 重力加速度g=10m/s2 ）
a
B
vx
若電子沿縱向磁場的運動路徑長l，可以調節磁感應強度B，使所有電子在l 路徑上完成整數個圓周運動，即比值為整數，這樣，被橫向交變電場偏轉發散的電子束經磁場作用，可會聚到離入射點l 遠的同一處，這就是磁聚焦．
閱讀:利用磁聚焦測電子的比荷
~
專題21-例8
　　　　　 如圖所示，在螺線環的平均半徑R處有電子源P，由P點沿磁感線方向注入孔徑角2α（2α 1°）的一電子束，束中的電子都是以電壓U0加速后從P點發出的．假設螺線環內磁場磁感應強度B的大小為常量，設U0＝3 kV，R＝50 mm． ，并假設電子束中各電子間的靜電相互作用可以忽略． ⑴為了使電子束沿環形磁場運動，需要另加一個使電子束偏轉的均勻磁場B1．對于在環內沿半徑為R的圓形軌道運動的一個電子，試計算所需的B1大小； ⑵當電子束沿環形磁場運動時，為了使電子束每繞一圈有四個聚焦點，即如圖所示，每繞過π/2的周長聚焦一次，環內磁場B應有多大？（這里考慮電子軌道時，可忽略B1，忽略磁場B的彎曲）
R
2α
P
v
解答
⑴對于在環內沿半徑為R的圓形軌道運動的一個電子,維持其運動的向心力是垂直于環面的磁場洛倫茲力,其大小滿足
代入數據得
⑵電子束與B有一小角度,故做軌跡為螺旋線的運動:
電子束每四分之一周聚焦一次即應沿B方向繞行一周的同時沿滿足: 垂直B方向完成四個圓周
讀題
B
b
+ + + + + + + + + + + + + + +
Fm
Fe
h
v
－－－－－－－－－－－
EH
I
樣品中多數載流子是電子，是N型半導體!
專題21-例9
B
b
Fm
a
E
Fe
　　　　　 如圖所示的一塊半導體樣品放在垂直于豎直面向外的勻強磁場中，磁感應強度為B=5×10-3 T，當有恒定電流I=2.0 mA通過樣品時，產生的霍耳電勢差UH=5.0mV，極性如圖中標示，a=1.00 mm，b=3.00 mm．這塊樣品是N型半導體還是P型半導體？載流子密度是多少，載流子定向運動速度是多少？
帶電粒子在非勻強磁場中向磁場較強方向運動時，做半徑漸小的螺旋運動！
Fm
v
Fm
v
　　　　　 圍繞地球周圍的磁場是兩極強、中間弱的空間分布．1958年，范·阿倫通過人造衛星搜集到的資料研究了帶電粒子在地球磁場空間中的運動情況后，得出了在距地面幾千公里和幾萬公里的高空存在著電磁輻射帶（范·阿倫輻射帶）的結論．有人在實驗室中通過實驗裝置，形成了如圖所示的磁場分布區域MM′，在該區域中，磁感應強度B的大小沿z軸從左到右，由強變弱，由弱變強，對稱面為PP ′ ．已知z軸上Ｏ點磁感應強度B的大小為B0，兩端M(M′)點的磁感應強度為BM．現有一束質量均為m，電量均為q，速度大小均為v0的粒子，在O點以與z軸成不同的投射角α0向右半空間發射．設磁場足夠強，粒子只能在緊鄰z軸的磁感線圍成的截面積很小的“磁力管”內運動．試分析說明具有不同的投射角α0的粒子在磁場區MM ′間的運動情況．
提示：理論上可證明：在細“磁力管”的管壁上粒子垂直磁場方向的速度v⊥的平方與磁力管軸上的磁感應強度的大小B之比為一常量．
專題21-例10
解答
O
v0
M
z
v0
P
由題給條件
O
v0
M
z
v0
做螺旋運動速度不變,在磁感應強度為B處
隨著B增大
討論:
可約束在管內
讀題
電中性的液體以速度v通過兩板之間
若介質 ，則兩板之間不會有電勢差;，
若為“容易”極化的介質即導體，則產生霍耳電勢差
板間電場為
介電常數εr>1的中性分子進入磁場在洛倫茲力作用下被極化
B
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
　　　　　 一個初始時未充電的電容器的兩個極板之間的距離為d ．有一個磁感應強度為B的磁場，平行于電容器的極板，如圖所示．當一電中性的相對介電常數為的液體以速度v流過兩個極板之間時，連接在電容器兩個極板間的電壓表的讀數是多少？
⑴電流方向沿軸向,在距軸r處磁場有
在距軸r處粒子受到洛倫茲力
q m
粒子到達右端面歷時
粒子出右端面時徑向速度
粒子到達軸線時有
各處粒子到達軸線有共同的S!
　　　　　 如圖所示,長為L、截面半徑為R的圓柱體內，沿軸向流過均勻電流I，忽略邊緣效應，已知L R．一束質量為m、電量為+q的粒子以速度v平行于主軸從圓柱體左端入射，不考慮粒子間的相互作用及與圓柱體內部微粒的作用，且忽略圓柱體內電場；⑴忽略粒子在圓柱體內的徑向移動距離及粒子軸向速度的變化，試證明通過圓柱體后粒子將聚焦于一點；⑵考慮粒子在圓柱體內的徑向運動而不計粒子軸向速度的變化求粒子束聚焦在圓柱右端所需滿足的條件．
解答
⑵考慮粒子徑向運動,由于粒子徑向所受洛倫茲力為
所有粒子徑向運動為
聚焦在右端面應滿足
讀題
　　　　　 有一正點電荷Q和細長磁棒的磁極處于同一位置，在它們所生成的電磁場中，有一質量為m、電量為q的質點，沿圓軌道運動，圓軌道直徑對產生電磁場的電荷及磁極所在點張角為2θ，已知細長磁鐵的一個磁極產生的磁場 ，a為常量，求質點運動的軌道半徑．（質點重力不計）
磁單極的磁感線分布與點電荷的電場線分布相似
r
v
Fm
F
q
Fe
S
⑴把兩個相互作用（吸引）的磁極視為“點磁荷”，對A而言，處于準靜態平衡中，受力分析如圖 ：
mg
A
Fm
當x=d時，
當有一小位移Δx時,
⑵此時B 處于懸浮平衡狀態
　　　　　 如圖所示,一個非常短的磁鐵A，質量為m，被一根長l=1 m的線水平地懸起．移動另一個非常短的磁鐵B慢慢地靠近A保持兩磁鐵的磁極相互之間始終在同一水平線上．當兩個磁極間的距離為d=4 cm時，磁鐵A與最初的水平距離s=1 cm，此后磁鐵A可自發地慢慢向B移動．⑴磁鐵間的相互作用力與其間距離的關系為Fm(x)= ，正負表示兩磁鐵磁極間為引力或斥力．試確定n的值；⑵現將兩磁鐵放在開口向上的玻璃管中，B在上方，并使兩個磁鐵相互排斥，磁鐵A在玻璃管中有掉轉方向的趨勢，求兩個磁鐵處于平衡時所能分開的距離．
　　　　　 如圖所示的無限大勻強磁場磁感應強度為B，一個質量為m、電量為q＜0的粒子以初速度v0從y軸上Q點開始運動，運動中受到大小恒定的阻力F，已知出發點坐標為(0， )．⑴試確定粒子運動的軌跡方程；⑵若 ，求粒子的最終位置．
⑴粒子在運動切向受阻力F，法向受洛倫茲力，則
x
y
Q
O
D
曲率半徑設為ρ
質點做半徑均勻減小、速率均勻減小、角速度不變的曲線運動！
v0
曲率中心以速率
做半徑為
的勻速圓周運動
續解
⑵由動能定理：
讀題
直線電流的磁場
r
x
O
Fm
v0
r0
v0
v0
磁場洛倫茲力的x分量使電子速度從0→v0; r分量使電子速度從 v0 → 0！速度方向變化90°！
取一元過程
沿-r方向由運動學導出公式
　　　　　 在一個真空箱內，電流I流過一根電阻很小的長直導線，初速度為v0的電子垂直于導線從距導線的徑向距離為r0的一點開始運動．已知電子不能比r0/2更靠近導線，試確定電子初速度v0．不考慮地磁場的影響．
　　　　　 在外磁場中的超導體，平衡后超導體內部的磁感應強度處處為零，超導體表面外側的磁感應強度與表面平行．如圖所示的O—xyz直角坐標中，xy平面是水平面，其中有一超導平板，z軸豎直向上，超導平板在z＝0處，在z＝h處有一質量為m、半徑為r、環心在z軸上、環平面為水平面的勻質金屬圓環，且有r h ．在圓環內通以穩恒電流，剛好使圓環漂浮在z＝h處．⑴試求圓環中的電流強度；⑵若使圓環保持水平，從平衡位置稍稍偏上或偏下，則圓環將上、下振動，試求振動周期T1；⑶當圓環處在平衡位置時，其中與x 軸平行的直徑標為P1P2，與y軸平行的直徑標為Q1Q2．若保持P1P2不動，使圓環繞P1P2稍有傾斜，即使Q1Q2與y軸有很小的夾角，
則圓環將以P1P2為軸擺動，試求周期T2．
O
x
y
z
Q1
Q2
P2
P1
h
I
m
超導平板
解答
⑴通電圓環懸浮在z=h處，超導體的內部磁感應強度為零而表面外側磁感應強度與表面平行，這可等效為通電圓環與它的像電流——在z=－h虛設一個相同的通以反向電流的環——共同產生的結果，如圖，通電圓環必有其所受重力與像電流施予的磁場力相平衡，由r<< h這個條件，將兩環形電流近似為反向平行電流：
I
I
⑵ 若令圓環水平地上下振動，當與平衡位置有任一位移（如向下x）時:
讀題
續解
⑶當以P1P2為軸做小幅擺動時，圓環轉動慣量
I
I
F1
F2
當圓環轉離平衡面一小角度時
讀題

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