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靜電場的兩大外觀表現(xiàn)
對引入電場的任何帶電體產(chǎn)生力的作用.
當(dāng)帶電體在電場中移動(dòng)時(shí),電場力做功,說明電場具有能量.
描述靜電場的基本規(guī)律
對一個(gè)孤立系統(tǒng)，電荷可在系統(tǒng)各部分之間遷移，但其總量保持不變——原來為零的始終為零，原來為某一量Q的，則始終為Q，此即電荷守恒定律．
在真空中的任何靜電場中，通過任一閉合曲面的電通量等于這閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的ε0分之一，這就是真空中靜電場的高斯定理．
等效處理方法
等效對稱替代法
等效電像變換法
示例
規(guī)律
規(guī)律
應(yīng)用
示例
示例
球在第一次與板接觸后獲得電量為q，說明有量值為q的正電荷從板上轉(zhuǎn)移到球上，由電荷守恒可知，此時(shí)板上電量為(Q-q),
球與板這一系統(tǒng)中的總電量是按比例
分配到球上與板上的．
當(dāng)多次操作直至最終板上電量又一次為Q但不能向與之接觸的球遷移時(shí)（此時(shí)兩者等電勢），球上電量達(dá)到最大:
一個(gè)金屬球借助導(dǎo)電薄板從起電機(jī)上獲得電荷，板在每次與球接觸后又從起電機(jī)上帶電至電量為Q．如果球在第一次與板接觸后帶電量為q，求球可獲得的最大電量.
專題17-例1
　　　　　 如圖所示，半徑相同的兩個(gè)金屬球A、B相距很遠(yuǎn)，原來不帶電，C球先與遠(yuǎn)處電池正極接觸，（負(fù)極接地），接著與球A接觸，再與B球接觸；然后又與電池正極接觸，重復(fù)上述過程，反復(fù)不已．已知C球第一次與電池接觸后的帶電量為q，第一次與A球接觸后A球的帶電量為Q1，求⑴A球與B球最后的帶電量Q與Q′；⑵設(shè) ，至少經(jīng)過幾次與C球接觸后，A球的帶電量可達(dá)最后帶電量的一半？
C
A
B
⑴設(shè)A、B球半徑為R,C球半徑為r,C球與A球第1次接觸后有
①
電荷不再從C球移向A球，故
C球與B球接觸最終亦有
⑵由①式及題給條件
若第２次C與A接觸后A又獲電量Q2，
n次C、A接觸后有
返回
r2
r1
m
O
M
Q
q
帶電球殼內(nèi)場強(qiáng)為零!
r
把兩個(gè)相同的電量為q的點(diǎn)電荷固定在相距l(xiāng)的地方，在二者中間放上第三個(gè)質(zhì)量為m的電量亦為q的點(diǎn)電荷，現(xiàn)沿電荷連線方向給第三個(gè)點(diǎn)電荷一小擾動(dòng)，證明隨之發(fā)生的小幅振動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)并求其周期T．
專題17-例2
FB
FA
qA
A
qB
B
O
l
l
x
質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O時(shí)：
質(zhì)點(diǎn)在距平衡位置x的某位置時(shí)：
點(diǎn)電荷q在兩側(cè)場強(qiáng)等值反向!
q
Eq
Eq
整個(gè)帶電球內(nèi)部場強(qiáng)為0;
外表面場強(qiáng)大小為
設(shè)球殼除A外其余部分在A處的場強(qiáng)為EA
A
在A內(nèi)側(cè)有
在A外側(cè)有
均勻帶電球殼半徑為R，帶正電，電量為Q，若在球面上劃出很小一塊，它所帶電量為q．試求球殼的其余部分對它的作用力．
專題17-例3
一個(gè)半徑為a的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心電勢為U0．將此環(huán)靠近半徑為b的接地的球，只有環(huán)中心O位于球面上，如圖．試求球上感應(yīng)電荷的電量 ．
專題17-例4
O點(diǎn)O1點(diǎn)電勢均為0;
環(huán)上電荷在O點(diǎn)的總電勢為U0
球上感應(yīng)電荷在O1點(diǎn)引起的電勢Ub
O1
a
b
O
O點(diǎn)O1點(diǎn)電勢均由環(huán)上電荷及球上感應(yīng)電荷共同引起！
環(huán)上電荷在O1點(diǎn)的總電勢為
　　　　　 正點(diǎn)電荷Ｑ1和正點(diǎn)電荷Ｑ2分別放置在A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間相距L．現(xiàn)以L為直徑作一半圓，電荷在此半圓上有一電勢最小的位置P，設(shè)PA與AB的夾角為α，則α＝ ．（用三角函數(shù)表示）
切向場強(qiáng)為0位置為電勢最小的位置！
　　　　　 電荷均勻分布在半球面上，它在這半球的中心O處電場強(qiáng)度等于E0．兩個(gè)平面通過同一條直徑，夾角為α，從半球中分出一部分球面，如圖所示．試求所分出的這部分球面上（在“小瓣”上）的電荷在O處的電場強(qiáng)度E．
E0
Ｏ
E
半球面均勻分布電荷在O點(diǎn)引起的場強(qiáng)可視為“小瓣”球面電荷與“大瓣”球面電荷在O點(diǎn)引起的電場的矢量和.
由對稱性及半球幾何關(guān)系可知E大與E小垂直，如圖所示:
　　　　　 有兩個(gè)異種點(diǎn)電荷，其電量之比為n，相互間距離為d．試證明它們的電場中電勢為零的等勢面為一球面，并求此等勢面的半徑及其中心與電量較小電荷的距離r ．
O
y
x
-q
nq
以小電量電荷所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)
-q與nq在坐標(biāo)為（x、y）的點(diǎn)電勢迭加為零，即有
球心坐標(biāo)
球半徑
　　　　　 半徑分別為R1和R2的兩個(gè)同心半球相對放置，如圖所示，兩個(gè)半球面均勻帶電，電荷密度分別為σ1和σ2，試求大的半球面所對應(yīng)底面圓直徑AOB上電勢的分布 ．
A
B
大半球面上電荷量為
大半球面上電荷在底面引起的電勢為整個(gè)大球面上電荷引起電勢的一半,即
小半球面上電荷量為
小半球面上電荷在其底面引起的電勢為整個(gè)小球面上電荷引起電勢的一半,即
根據(jù)電場疊加原理,直徑AB上電荷分布為:
小半球面上電荷在球面外引起的電勢亦為整個(gè)小球面上電荷引起電勢的一半,即
　　　　　 一半徑為R、帶電量為Q的均勻帶電球面，試求其上的表面張力系數(shù)σ，σ定義為面上單位長度線段兩側(cè)各向?qū)Ψ绞┘拥淖饔昧?．
R
E
T
T
在球面上取一面元
面元受力如示
面元周邊所受張力合力大小為
面元處于平衡,則
返回
q
點(diǎn)電荷電場
S
球面上各處場強(qiáng)大小均為
從該球面穿出的電通量
電場線的疏密表示電場的強(qiáng)弱，若場中某面元上有
條電場線垂直穿過，則
根據(jù)電場線的性質(zhì)——在電場中沒有電荷處電場線是連續(xù)的、不相交的，可以肯定包圍點(diǎn)電荷q的任意封閉曲面S′上的電通量也是
q
根據(jù)電場迭加原理，將上述結(jié)果推廣到任意點(diǎn)電荷系構(gòu)成的靜電場：若閉合曲面包圍的電荷的代數(shù)和為
返回
O
r
由高斯定理有
由高斯定理有
R
E
0
r
O
r
由高斯定理有
由高斯定理有
R
E
0
r
R
由高斯定理有
兩面積S、間距d平行板電容器當(dāng)帶電荷量Q時(shí)，板間電場由電場疊加原理可得為
　　　　　 半徑為r的圓板，在與其中心O距離為d處置一點(diǎn)電荷q，試求板上電通量．
專題17-例5
球冠面上的電通量與圓板的電通量相同！
距q為R處電場強(qiáng)度大小為
球冠面積為
　　　　　 在相距d的兩根平行細(xì)長導(dǎo)線上均勻地分布有異種電荷，其線密度為＋及－λ ．求在對稱平面上與導(dǎo)線所在平面相距為x的一點(diǎn)P的電場強(qiáng)度 ．
專題17-例6
由高斯定理有
　　　　　 如圖，有“無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為R，電荷面密度為σ，試求其場強(qiáng)，并作E（r）圖 ．
r
E
0
R
　　　　　 如圖，在一厚度為d的無窮大平板層內(nèi)均勻地分布有正電荷，其密度為ρ，求在平板層內(nèi)及平板層外的電場強(qiáng)度E，并作E（r）圖 ．
r
E
0
d/2
　　　　　 一點(diǎn)電荷q位于一立方體中心，立方體邊長為a，試問通過立方體一面的電通量是多少？如果點(diǎn)電荷移至立方體的一個(gè)角上，這時(shí)通過立方體每個(gè)面的電通量各是多少？
點(diǎn)電荷位于立方體中心時(shí)，通過立方體一個(gè)表面的電通量為
點(diǎn)電荷位于立方體頂點(diǎn)時(shí)，
通過立方體一個(gè)表面的電通量為
　　　　　 如圖，電場線從正電荷＋q1出發(fā)，與正點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷的連線成α角，則該電場線進(jìn)入負(fù)點(diǎn)電荷－q2的角度β是多大？
α
β
－
+q1
－q2
以點(diǎn)電荷+q1與-q2為中心，取一半徑r很小的球面，可視為其上電場線均勻分布，穿出2α角所對的球冠面的電場線應(yīng)完全穿入2β角所對的球冠面，兩面上電通量相等：
-4q
q
　　　　　 準(zhǔn)確地畫出兩點(diǎn)電荷＋q及－4q的電場線分布示意圖.
若兩電荷相距a，場強(qiáng)為零的點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線延長線距+q為x遠(yuǎn)處:
由上題，從+q出發(fā)，與兩電荷連線所成角度在[0,π]之間的電場線進(jìn)入-4q終止時(shí)與兩電荷連線夾角在[0,π/3]之間，如圖:
O點(diǎn)電勢為0：
由高斯定理知
Ｏ
　　　　　 如圖，兩個(gè)以O(shè)為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）的地方放一個(gè)點(diǎn)電荷q．問兩個(gè)球殼上的感應(yīng)電荷的電量各是多少？ .
Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
◎球殼內(nèi)、外表面感應(yīng)電荷電量總等于球殼中心電荷量
◎內(nèi)外感應(yīng)電荷在球殼中心引起的電勢為
◎從中心移動(dòng)極小電量過程中可認(rèn)為中心點(diǎn)電勢不變
在第i次移動(dòng)中的元功為
移動(dòng)Q到無窮遠(yuǎn)的總功為
　　　　　 如圖，兩個(gè)以O(shè)為球心的同心金屬球殼都接地，半徑分別是r、R．現(xiàn)在離O為l（r＜l＜R）的地方放一個(gè)點(diǎn)電荷q．問兩個(gè)球殼上的感應(yīng)電荷的電量各是多少？ .
返回
　　　　　 如圖所示，將表面均勻帶正電的半球，沿線分成兩部分，然后將這兩部分移開很遠(yuǎn)的距離，設(shè)分開后的球表面仍均勻帶電，試比較點(diǎn)與點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小 ．
專題17-例7
A
E1
E2
A
B
C
D
O
若正四面體的四個(gè)面電勢相同，四面體就是一個(gè)等勢體，其中心點(diǎn)電勢即可確定，現(xiàn)正四面體ABCD各面靜電勢均不同，其中心點(diǎn)的電勢難以直接確定.
　　　　　 如圖所示，正四面體ABCD各面為導(dǎo)體，但又彼此絕緣．已知帶電后四個(gè)面的靜電勢分別為　、　、　和　,求四面體中心Ｏ點(diǎn)的電勢φ0 ．
專題17-例8
進(jìn)行等效替代：另有同樣的三個(gè)四個(gè)面的靜電勢分別為φ1、 φ2 、 φ3和φ4的正四面體，將它們適當(dāng)?shù)丿B在一起，使四個(gè)面的電勢均為φ1+φ2 +φ3+φ4 ，中心點(diǎn)O共點(diǎn)，這個(gè)疊加而成的四面體是等勢體，其中心O點(diǎn)電勢4φ0=φ1+φ2 +φ3+φ4
　　　　　 如圖所示，在半徑為R、體密度為的均勻帶電球體內(nèi)部挖去半徑為r的一個(gè)小球，小球球心與大球球心O相距為a，試求點(diǎn)的場強(qiáng)，并證明空腔內(nèi)電場均勻 ．
專題17-例9
r1
O
A
E1
EA
E2
r2
帶電球內(nèi)半徑為r處場強(qiáng)
a
B
A
B
P
O
M
A
B
A
P處帶寬設(shè)為
帶面積為
均勻帶電球電荷面密度為
P處帶上電荷量為
P處弧上電荷線密度為
　　　　　 如圖所示，在半徑為R的細(xì)圓環(huán)上分布有不能移動(dòng)的正電荷，總電量為Q，AB是它的一條直徑，如果要使AB上的場強(qiáng)處處為零，則圓環(huán)上的電荷應(yīng)該如何分布？
專題17-例10
均勻帶電金屬球表面每一個(gè)面元受到整個(gè)球面其余部分電荷對它的靜電力大小是
則單位面積靜電力
設(shè)想另半球?qū)Υ税肭虻淖饔昧εc壓強(qiáng)亦為P的氣體作用在半球上的壓力相平衡，則
　　　　　 兩個(gè)半球合在一起組成一個(gè)完整的金屬球，球的半徑為R，如圖所示，求兩個(gè)半球間的靜電斥力.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
EQ
E-Q
E
r1
r2
d
d
　　　　　 在強(qiáng)度為E的均勻電場中放著一個(gè)均勻的金屬球，其半徑為R，由于感應(yīng)，在球上產(chǎn)生了表面密度為σ的電荷，σ與圖中標(biāo)出的角α有關(guān)系．求關(guān)系式σ(α)
　　　　　 如圖所示，平面上有一段長為l的均勻帶電直線AB，在該平面取直角坐標(biāo)Oxy，原點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AB沿x軸．⑴試證明該平面上任一點(diǎn)P的電場線方向沿∠APB的角平分線；⑵試求該平面上的電場線方程⑶試求該平面上的等勢線方程.
P
C
EP
B
A
h
元電荷在P點(diǎn)引起的場強(qiáng)
各點(diǎn)合場強(qiáng)均沿該點(diǎn)對AB張角的角平分線 !
利用雙曲線性質(zhì)：雙曲線上各點(diǎn)切線沿該點(diǎn)與雙曲線兩焦點(diǎn)夾角平分線，而所研究的電場其各點(diǎn)電場線切線沿各點(diǎn)對A、B張角平分線，則電場線為一簇焦距為l /2的雙曲線
利用橢圓性質(zhì)：橢圓上各點(diǎn)法線為該點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)夾角平分線，所研究的電場其各點(diǎn)電場線切線沿各點(diǎn)對A、B張角平分線，而等勢線與電場線處處垂直，則其等勢線即為一簇焦距為 l /2的橢圓
返回
如圖，無限大的接地導(dǎo)體板，在距板d處的A點(diǎn)有一個(gè)電量為Q的正電荷，求板上的感應(yīng)電荷對點(diǎn)電荷Q的作用力．
專題17-例11
Q
A
-Q
由于導(dǎo)體板接地，板上電勢為零，在點(diǎn)電荷Q的作用下，板的右側(cè)出現(xiàn)感應(yīng)電荷.
由于導(dǎo)體為一等勢面，從點(diǎn)電荷Q出發(fā)的電場線應(yīng)處處與導(dǎo)體面正交而終止，因而導(dǎo)體板右側(cè)電場線分布大致如圖所示．
聯(lián)想到等量異種電荷的電場：
導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷對板右側(cè)電場的影響，可用與點(diǎn)電荷Q關(guān)于導(dǎo)體面成鏡像對稱的另一虛設(shè)點(diǎn)電荷-Q替代，板上感應(yīng)電荷對Q的作用亦等效于像電荷-Q對Q發(fā)生的作用
由庫侖定律，板上感應(yīng)電荷對點(diǎn)電荷Q的作用力大小為
專題17-例12
R
O
r
P
＋q
由導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷總電量在O點(diǎn)引起的電勢與點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)引起的電勢之和為零得
根據(jù)唯一性原理可知，等效的像電荷量即為
像電荷位置，應(yīng)令其在球面上任意點(diǎn)引起的電勢與q在同一點(diǎn)電勢疊加為零，即滿足
對任意角位置等式均成立必有
　　　　　 如圖所示，設(shè)在一接地導(dǎo)體球的右側(cè)P點(diǎn)，有一點(diǎn)電荷q，它與球心的距離為d，球的半徑為R，求導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為多少？點(diǎn)電荷q受到的電場力為多大？
　　　　　 半徑為R2的導(dǎo)電球殼包圍半徑為R的金屬球，金屬球原來具有電勢為U，如果讓球殼接地，則金屬球的電勢變?yōu)槎嗌伲?br/>U
金屬球上電量設(shè)為Q
球殼接地后設(shè)感應(yīng)電荷的像電荷電量為q，由高斯定理
殼接地后球的電勢為Q與q引起的電勢疊加
Ec
q
a
b
-q
q
-q
Ea
Eb
c
像電荷在c點(diǎn)引起的場強(qiáng)大小
　　　　　 兩個(gè)電量q相等的正點(diǎn)電荷位于一無窮大導(dǎo)體平板的同一側(cè)，且與板的距離均為d，兩點(diǎn)電荷之間的距離為2d．求在兩點(diǎn)電荷聯(lián)線的中點(diǎn)處電場強(qiáng)度的大小與方向．
　　　　　 如圖，速調(diào)管用于甚高頻信號的放大．速調(diào)管主要由兩個(gè)相距為b的腔組成，每個(gè)腔有一對平行板．初始速度為v0的一束電子通過板上的小孔橫穿整個(gè)系統(tǒng)．要放大的高頻信號以一定的相位差（一個(gè)周期對應(yīng)于2π相位）分別加在兩對電極板上，從而在每個(gè)腔中產(chǎn)生交變水平電場．當(dāng)輸入腔中的電場方向向右時(shí)，進(jìn)入腔中的電子被減速；反之，電場方向向左時(shí)，電子被加速．這樣，從輸入腔中射出的電子經(jīng)過一定的距離后將疊加成短電子束．如果輸出腔位于該短電子束形成處，那么，只要加于其上的電壓相位選擇恰當(dāng)，輸出腔中的電場將從電子束中吸收能量．設(shè)電壓信號為周期T=1.0×10-9 s，電壓V=0.5 V的方波．電子束的初始速度v0=2.0×106 m/s，電子荷質(zhì)比e/m=1.76×1011 C/kg．假定間距a很小，電子渡越腔的時(shí)間可忽略不計(jì)．保留４位有效數(shù)字，計(jì)算：(a)使電子能疊加成短電子束的距離b．(b)由相移器提供的所需的輸出腔與輸入腔之間的相位差．
專題17-例13
～
相移器
輸入腔
v0
a
a
b
輸出腔
解答
～
相移器
輸入腔
v0
a
a
b
輸出腔
通過輸入腔的電子
電場向左時(shí)被電場加速
電場向右時(shí)被電場減速
由動(dòng)能定理：
要形成短電子束，應(yīng)使后半周期通過輸入腔被加速的電子經(jīng)過一段距離b在輸出腔“追”上前半周期通過輸入腔被減速的電子，從而疊加成短電子束，故此應(yīng)有：
讀題
b)為使輸出腔中的電場從短電子束中吸收能量，應(yīng)使電場方向向右，電場力對電子束做負(fù)功．當(dāng)輸入腔電場方向向右時(shí)滿足
讀題
　　　　　 如圖所示，N個(gè)一價(jià)正離子和N個(gè)一價(jià)負(fù)離子交錯(cuò)排列成一維點(diǎn)陣，相鄰離子間的間距為a．計(jì)算這個(gè)相互靜電作用的點(diǎn)陣總靜電能．（N→∞）
除兩端處的一些離子外，每個(gè)離子與其周圍離子的相互作用情形都相同，任取一正離子記為A0，兩側(cè)各對離子依次為A-1、A+2……
這是與第1 對負(fù)離子所共有的!
A0在第2對正離子中間位置具有電勢能
A0在第1對負(fù)離子中間位置具有電勢能
A0
這是與第2 對正離子所共有的!
　　　　　 如圖所示，質(zhì)子加速器使每個(gè)質(zhì)子得到的動(dòng)能為E．很細(xì)的質(zhì)子束從加速器射向一個(gè)遠(yuǎn)離加速器的半徑為r的金屬球，并留在球上．球中心并不處在加速器發(fā)射出的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)方向的直線上，而與該直線的垂直距離為d，且d＜r，加速器工作足夠長時(shí)間后，球能充電到多高的電勢？計(jì)算中取E=2keV，．
設(shè)質(zhì)子初速度為v0，當(dāng)金屬球充電到電勢為U時(shí)，質(zhì)子與金屬球相切而過，設(shè)此時(shí)速度設(shè)為v，由于質(zhì)子在向球運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受庫侖力且力的方向沿球徑向，故對球心O，沖量矩為零，質(zhì)子角動(dòng)量守恒：
U
mv0
mv
d
r
由動(dòng)能定理：
　　　　　 需要凈化空氣中的灰塵，但在一般條件下灰塵沉積下來是較緩慢的，為此可利用這樣一個(gè)事實(shí)，即灰塵是帶電的．為模擬凈化過程，提出兩種裝置．
第一個(gè)裝置是，將含有灰塵空氣的玻璃圓桶（高h(yuǎn)＝1 m，半徑R＝0.1 m，如圖示）放在場強(qiáng)E1＝1×104 V/m的電場中，場強(qiáng)方向沿著圓柱形桶的軸向．經(jīng)時(shí)間t1＝120 s后，可以觀察到容器中所有的灰塵均已沉積在底部．
第二個(gè)裝置是這樣的：沿圓柱桶的軸線緊拉著一根細(xì)導(dǎo)線，且將此導(dǎo)線跟高壓電源相連，電源電壓是這樣選取的，使在容器壁上場強(qiáng)值恰好等于第一個(gè)裝置的場強(qiáng)值1×104 V/m．已知在這種情況下場強(qiáng)E∝1/r，r為離軸線的距離．
假設(shè)塵粒是同種的，其所帶電荷量也相等，試確定第二個(gè)裝置中塵粒沉積到容器壁所需時(shí)間．由于空氣中的塵粒不多，體電荷可以忽略，認(rèn)為塵粒沉積過程動(dòng)態(tài)平衡，空氣阻力與速度成正比，不計(jì)重力
解答
h
2R
第一個(gè)裝置中，電場力恒定，故塵粒勻速下降時(shí)有
第二個(gè)裝置中，在距離軸心r處塵粒速度設(shè)為vr，則
讀題

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