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(共32張PPT)
電容
導體得到單位電勢所必須給予的電量
從定義式
出發
通過等效變換
基本聯接
電容器聯接
C1
C2
C3
U1
U2
U3
U
C1
q1
q2
q3
C2
C3
U
電 量
電 壓
等效電 容
電壓電流
分配律
電壓按電容反比例分配
電荷按電容正比例分配
示例
示例
電容器相關研究
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
-
+
+
+
+
+
+
電介質的介電常數定義為
到例４
到例6
示例
由高斯定理,無限大均勻帶電平面的電場由
兩面積S、間距d平行板電容器當帶電荷量Q時，板間電場由電場疊加原理可得為
兩板間電勢差
+
+
+
+
+
+
+
+
O
ri
由高斯定理,在距球心ri處場強
在距球心ri處
其上場強視作恒定,則元電勢差為
電容器兩極間電勢差為
兩個半徑均為R的導體球相互接觸形成一孤立導體，試求此孤立導體的電容．
O1
R
O1
O2
+q1
解題方向: 若能確定系統電勢為U時的電量Q,可由定義求得C
考慮其中1球,電勢為U時,電量
+q1
O2
R
+q1
引入同樣的第2球,1球將電勢疊加,為維持U,
+q1
-q2
-q2
對稱地,為維持球2電勢U,亦設置像電荷予以抵消
為抵消像電荷引起的電勢,再設置下一級像電荷
+q3
+q3
-q4
-q4
專題18-例2
　　　　　 半徑分別為a和b的兩個球形導體，相距很遠地放置，分別帶有電荷qa、qb，現用一金屬導線連接，試求連接后每球上的電荷量及系統的電容.
解題方向: 系統總電量守恒，只要確定導線連接后系統的電勢,可由定義求得C
設連接后兩球各帶電
由電荷守恒有
由等勢且相距很遠
解得
返回
i
i+1
1
2
3
d
h
解題方向: 不平行電容器等效為無窮多個板間距離不等的平行板電容器并聯!
若無窮均分b
若無窮均分C
等式兩邊取n次方極限得
如圖，兩塊長與寬均為a與b的導體平板在制成平行板電容器時稍有偏斜，使兩板間距一端為d，另一端為（d＋h），且h d，試求該空氣電容器的電容 ．
專題18-例1
　　　　　 如圖所示，由五個電容器組成的電路，其中C1＝4μF，C2＝6μF，C＝10μF，求AB間的總電容．
C1
C1
C2
C2
C3
A
M
N
B
設在A、B兩端加一電壓U，并設UM＞UN
M(N)處連接三塊極板總電量為０
則有
解得
于是有
五電容連接后的等效電容為
五電容連接直觀電路如圖
A
B
C1
C1
C2
C2
C3
　　　　　 如圖是一個無限的電容網絡，每個電容均為C，求A、B兩點間的總電容．
設n個網格的電容為Cn,
則有
整理得
該無窮網絡等效電容為
n
A
B
返回
如圖，一平行板電容器，充以三種介電常數分別為ε1、ε2和ε3的均勻介質，板的面積為S，板間距離為2d．試求電容器的電容 ．
專題18-例3
d
d
等效于C1與串聯的C2、C3 并聯:
　　　　　 在極板面積為S，相距為d的平行板電容器內充滿三種不同的介質，如圖所示．⑴如果改用同一種介質充滿板間而電容與之前相同，這種介質的介電常數應是多少？⑵如果在ε3和ε1、ε2之間插有極薄的導體薄片，⑴問的結果應是多少？
a
b
c
d
⑴將電容器劃分為如圖所示a、b、c、d四部分
所求等效電容為a與b串聯、c與d串聯后兩部分并聯而成，由C∝ε可得
⑵插入導體薄片
所求等效電容為1與2并聯與3串聯，由C∝ε可得
　　　　　 球形電容器由半徑為r的導體球和與它同心的球殼構成，球殼內半徑為R，其間一半充滿介電常數為ε的均勻介質，如圖所示，求電容.
球形電容器的電容
本題電容器等效于介電常數為１和ε的兩個半球電容器并聯，每個半球電容各為
該球形電容器的等效電容為
R
r
ε
　　　　　 如圖所示為共軸的兩導體圓柱面組成的電容器．長l、半徑分別為r和R．兩圓筒間充滿介電常數為ε的電介質．求此電容器的電容．
設圓柱面電容器電容為C，它由n個電容為nC的元圓柱面電容串聯而成，元圓柱面電容器可視為平行板電容器，第i個元電容為
ri
ri-1
　　　　　 平行板電容器的極板面積為S，板間距離為D．其間充滿介質，介質的介電常數是變化的，在一個極板處為ε1 ，在另一個極板處為ε2 ，其它各處的介電常數與到介電常數為ε1處的距離成線性關系，如圖，試求此電容器的電容C ．
解題方向: 介質變化的電容器等效為無窮多個介質不同的平行板電容器串聯!
無窮均分C
等式兩邊取n次方極限得
x
0
D
ri-1
ri
…
i
1
2
n
…
ε1
ε2
返回
1
2
3
4
+q1
-q2
+q2
-q1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
解題方向:利用電容對兩板間的電壓及極板上的電量的制約
四塊同樣的金屬板，每板面積為S，各板帶電量分別為q1、-q1、q2、-q2．各板彼此相距為d，平行放置如圖，d比板的線尺寸小得多，當板1、板4的外面用導線連接，求板2與板3之間的電勢差 ．
專題18-例4
如圖所示，兩塊金屬平板平行放置，相距D=1 cm，一板上電荷面密度σ1=3μC/m2，另一板上電荷面密度σ2=6μC/m2 ，在兩板之間平行地放置一塊厚d=5 mm的石蠟板，石蠟的介電常數ε=2．求兩金屬板之間的電壓 ．
專題18-例5
+σ2
+σ1
D
d
如果在每個金屬板上附加面密度為-4.5μC/m2的電荷，電容器的帶電就成為“標準狀況”了——兩板帶等量異種電荷:
附加電荷在板間引起的電場互相抵消，并不影響原來的板間電場，也不會改變電容器的電勢．
等效電容為:
　　　　　 電容為C的平行板電容器的一個極板上有電量＋q，而另一個極板上有電量+4q，求電容器兩極板間的電勢差．
如果在每個金屬板上附加-2.5q的電荷，電容器的帶電就成為兩板帶等量異種電荷1.5q 的“標準狀況”：
　　　　　 三個電容分別為C1、C 2、C 3的未帶電的電容器，如圖方式相連，再接到點A、B、D上．這三點電勢分別為ＵA、UB、ＵD．則公共點O的電勢是多大？
C1
C3
C2
O
D
B
A
解題方向:考慮電容器電容、電壓與電量之間的關系
設三個電容帶電量分別為
　　　　　 如圖所示的兩塊無限大金屬平板A、B均接地，現在兩板之間放入點電荷q，使它距A板r，距B板R．求A、B兩板上的感應電荷電量各如何？
解題方向:與設想將q均勻細分n份，均勻分布在距板r處的平面M后等效
B
A
M
+
+
+
+
+
+
+
+
這是兩個電容并聯!
兩電容器電容之比
并聯電容總電量
每個電容帶電量
設三塊板上電量依次為＋q1、－q2、
＋q3，由電荷守恒：
1、2兩板間的電場是三板上電荷引起電場的疊加：
3、2兩板間的電場也是三板上電荷引起電場的疊加：
①
②
③
　　　　　 三塊相同的平行金屬板，面積為S，彼此分別相距d1和d2．起初板1上帶有電量Q，而板2和板3不帶電．然后將板３、２分別接在電池正、負極上，電池提供的電壓為U．若板1、3用導線連接如圖，求1、2、3各板所帶電量 ？
返回
S4斷開， S1、S2、S3接通的條件下，三電容器并聯在電源上，電路情況如圖所示：
C1
C2
C3
S4
S2
S3
R
S1
每個電容器電量為
斷開 S1、S2、S3接通S4的條件下，三電容器串聯在電源上，電路情況如圖所示：
C1
C2
C3
S4
R
由電荷守恒：
q1
-q2
q2
-q1
q3
-q3
由電勢關系：
如圖所示的電路中，C1＝4C0，C2＝2C0，C3＝C0，電池電動勢為，不計內阻，C0與為已知量．先在斷開S4的條件下，接通S1、S2、S3，令電池給三個電容器充電；然后斷開S1、S2、S3，接通S4，使電容器放電，求：放電過程中，電阻R上總共產生的熱量及放電過程達到放電總量一半時，R上的電流 ．
專題18-例6
S
A
B
原來電容以C0表示，由電容器電容公式
板間距離為0.9d時
情況1中電容器兩板間電壓恒為U
情況2中電容器板上電量恒為C0U
A板引起的場強是電容器板間場強的一半！
B板上的電量
比較兩式得
在光滑絕緣水平面上，平行板電容器的極板A固定，極板B用絕緣彈簧固定在側壁上，如圖所示，若將開關S閉合，極板B開始平行地向極板A移動，到達新的平衡位置時兩極板間距離減少了d1=10%．如果開關閉合極短時間后就立刻斷開（此間設極板B未及從原位置移動），求此后極板B到達新的平衡位置時兩極板間距離減少的百分比d2 ．
專題18-例7
解題方向: 把介質拉出的過程,視為外力克服電場力做功消耗電場能的過程!
設將介質沿b拉出兩板邊緣x,外力大小為F,由功能關系：
兩塊平行金屬板，面積都是a×b，相距為d，其間充滿介電常數為ε的均勻介質，把兩塊板接到電壓為U的電池兩極上．現在把板間介質沿平行于b邊慢慢抽出一段，如圖，略去邊緣效應及摩擦，求電場把介質拉回去的力 ．
專題18-例8
U
b
d
ε
相互插入前：
故兩電容器總電能
按第1種方式 插入:
+Q
-Q
+
+
+
+
+
+
+Q
-Q
+
+
+
+
+
+
+2Q
-2Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+Q
-Q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
按第2種方式 插入:
-Q
+Q
-Q
+Q
　　　　　 極板相同的兩個平行板空氣電容器充以同樣電量．第一個電容器兩極板間的距離是第二個電容器的兩倍．如果將第二個電容器插在第一個電容器的兩極板間，并使所有極板都互相平行，問系統的靜電能如何改變？
電容器帶電時，上極板所受電場力矩與質量為m的砝碼重力矩平衡，即
　　　　　 靜電天平的原理如圖所示，一空氣平行板電容器兩極板的面積都是S，相距為x，下板固定，上板接到天平的一頭，當電容器不帶電時，天平正好平衡．然后把電壓U加到電容器的兩極上，則天平的另一頭須加上質量為m的砝碼，才能達到平衡．求所加的電壓U ．
x
S
m
充電完畢時各塊板上電量均為
C
R
R
C
C
接入兩電阻,電荷重新分布!
三電容成并聯,故每個電容帶電量為
釋放的熱量即減少的電場能,為
每個電阻放熱
　　　　　 三只電容均為C 的電容器，互相串聯后接到電源上，電源電動勢為ε．當電容器完全充電后跟電源斷開，然后接入兩只電阻均為R的電阻器，如圖所示．試問每只電阻上釋放的熱量有多少？當中間一只電容器的電壓減小到電源電動勢ε的1/10的瞬間，流過電阻R的電流i1和i2各為多大？
雙刀雙擲開關
a
b
c
C1
d
C2
C2輸出電壓U1=U/2
C2充電至q1=CU/2
雙刀雙擲開關
C1充電至電壓U、電量CU
雙刀雙擲開關
e
f
C2充電至q2=5CU/4
C2輸出電壓U22=5U/4
雙刀雙擲開關
C2充電至q3=13CU/8
C2輸出電壓U23=13U/8
　　　　　 如圖所示，兩個電容均為C的電容器C1和C2，一個雙刀雙擲開關S，一個可提供恒定電壓U的蓄電池E．將它們適當聯接并操作開關，以使這個電路的輸出端得到比U高的電壓，試求出這個最高輸出電壓 ？
　　　　　 １．(a)兩塊邊長為15 cm的正方形平板，相距為5 cm，組成一個空氣平行板電容器．＝8.85×10-12 F/m．試求該電容器的電容．電容器平板被豎直固定在絕緣支撐物上．（b）涂有導電漆的球形木髓小球被長為10 cm的一段絲線懸掛，絲線上端固定于A板上，如圖所示，木髓小球開始時和A板接觸．它的質量m＝0.1 g，半徑r＝0.3 cm，求木髓小球的電容． ２．平板電容器的B板接地，A板與電勢為60000V范德格喇夫起電機做瞬時接觸，然后平板電容器再次絕緣．這時可觀察到木髓小球離開A板運動到B板，然后再返回到A板，往復幾次以后，木髓小球處于平衡位置，并且懸掛絲線與A板夾角為θ．
(a)解釋木髓小球為什么會這樣運動并求出它最后的平衡位置；
(b)計算兩平行板之間最終電勢差；
(c)試求木髓小球在靜止前來回擺動的次數k；
(d)作一草圖，表示兩板電勢差與小球在兩板間來回次數的函數關系UAB＝f (k)
接范德格喇夫起電機
A
B
解答
⑴(a)由平行板電容器公式得空氣平行板電容器電容：
(b)由孤立導體球電容器公式得木髓球電容器電容：
⑵(a) 球帶電后被A板靜電推斥，與B板接觸時放電．而后受重力作用擺回A板充電，再被推到B板放電，如此往復k次，使板間電壓減小、場強減小，直至小球所受電場力與重力及絲線張力平衡而靜止在將要接觸B板但未放電的位置，則絲線與A板夾角為
(b)由于球平衡，有
(c)初時A板與球電勢均為U0=60000 V，球推開后A的電勢變成U1，板上電量CU1，球上電量C0 U0，由電荷守恒：
電勢差
次數
22
60000V
8840V
(d)
讀題
要使總電容最大，采用并聯形式為好，故首先設計將小板聯在一個電勢點，大板聯在一個電勢點，這就相當于51個電容為
并聯!
增大正對面積是增大電容的又一途徑:
A
B
1
1
2
2
A
B
1
1
4
26
2
2
3
3
4
26
25
25
……
　　　　　 有26塊半徑為R和26塊半徑為r（R＞r）的薄金屬板，它們被平行地放置，如圖所示．任何兩塊鄰近的平板之間的距離均為d（d＜r）．用這種方式可形成一電容器，問應該如何把這些板連接成兩組，使所得的電容量成為最大？求出這個最大電容量.
R
r
d
對稱軸
　　　　　 如圖所示，恒溫的矩形盒內裝有理想氣體，當隔板將盒等分為二時，兩側氣體壓強均為P0，當隔板平移時無摩擦、無漏氣，兩側氣體經歷準靜態過程．隔板是面積為A的金屬板，帶電量為Q，矩形盒上與它平行的兩塊板也是金屬板，面積同樣是A，相距為2L，固定并接地．隔板兩側電場均勻．盒的其余部分是絕緣板．現將隔板拉離原平衡位置一小位移，確定隔板的運動狀況 .
設隔板向右發生一小位移x，兩側氣體對隔板的壓力：
隔板上電荷受兩側電場靜電力合力：
隔板所受合力：
一直向右（左）靠到盒右（左）側
靜止在新位置
P0
P0
A
隔
板
-Q

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