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波的幾何描述
在波傳播的介質(zhì)中作出的某時刻振動所傳播到達(dá)的各點(diǎn)的軌跡稱為波前.
振動在介質(zhì)中傳播時，振動步調(diào)相同的點(diǎn)的軌跡，稱為波面．波前是各點(diǎn)振動相位都等于波源初相位的波面．
方向處處與該處波的傳播方向一致的線，叫波線．
球面波
平面波
波面
o
波線
波面
波線
波前
波前
　　介質(zhì)中波動到達(dá)的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時刻，這些子波的包跡就決定新的波前．
反射定律
M
N
A
B
A′
B′
兩種介質(zhì)界面上的波現(xiàn)象
折射定律
M
N
A
B
A′
B′
A1
B
A2
B2
A
B1
專題13-例1
一平面波遇到兩種介質(zhì)的界面時發(fā)生反射，設(shè)入射波與反射波的振動方向相同．如果入射波是一縱波，要使反射波是一橫波，設(shè)縱波在介質(zhì)中的傳播速度是橫波傳播速度的倍．問入射角為多少？
專題13-例2
A
C
B
φ
φ
彈道波的幾何描述如示:
設(shè)人在C處:
子彈與人的距離即為CB=10 m
子彈在離人5 m處以速度680 m/s水平飛過，當(dāng)人聽到子彈之嘯聲時，子彈離人多遠(yuǎn)？設(shè)聲速為340 m/s.
飛機(jī)超音速飛行，引起圓錐面波，故飛機(jī)速度
v＝V/sin37
站在地面上的觀測者發(fā)現(xiàn)一架飛機(jī)向他飛來，但聽不到聲音，一直到看見飛機(jī)的方向和水平成37°角時，才聽到轟嗚聲，若飛機(jī)沿水平直線飛行，當(dāng)時聲速為336 m/s，飛機(jī)的速度是多少？
=560 m/s
專題13-例3
依據(jù)惠更斯原理求解:
M
N
r0
r
O
實(shí)際的地表大氣密度滿足
假設(shè)大氣折射率n與空氣的密度有關(guān)系 ．式中a為常數(shù)，ρ0為地球表面的大氣密度，r0＝6400 km，c=8772 m，大氣折射率隨高度的增加而遞減．為使光線能沿著地球表面的圓弧線彎曲傳播，地表的空氣密度應(yīng)是實(shí)際密度的多少倍？已知地表空氣的實(shí)際折射率n0=1.0003．
依據(jù)惠更斯原理求解:
M
N
h0
h
O
R
某行星上大氣的折射率隨著行星表面的高度h按照n＝n0－ah的規(guī)律而減小，行星的半徑為R，行星表面某一高度h0處有光波道，它始終在恒定高度，光線沿光波道環(huán)繞行星傳播，試求高度h0．
駐波
兩列沿相反方向傳播的振幅相同、頻率相同的波疊加時，形成駐波．
靜止不動的波節(jié)和振幅最大的波腹相間，但波形不向任何方向移動，
從駐波的成因來看，駐波是一種干涉現(xiàn)象：波節(jié)與波腹分別是振動抵消與振動最強(qiáng)區(qū)域，它們的位置是不變的；
從駐波上各質(zhì)點(diǎn)的振動情況來看，實(shí)際上是有限大小的物體上有相互聯(lián)系的無數(shù)質(zhì)點(diǎn)整體的一種振動模式．
弦線或空氣柱以駐波的模式振動，成為聲源，并將這種振動形式在周圍空氣中傳播，形成聲波．
示例
規(guī)律
拍
兩個同方向的簡諧運(yùn)動合成時，由于頻率略有差別，產(chǎn)生的合振動振幅時而加強(qiáng)時而減弱的現(xiàn)象叫拍．在單位時間內(nèi)合振幅的極大值出現(xiàn)的次數(shù)叫做拍頻．
t＝T/4
t＝0,T
t＝T/2
t＝3T/4
t＝0
t＝T/2
t＝T/4
t＝3T/4
t＝T
返回
如圖所示，一端固定在臺上的弦線，用支柱支撐其R點(diǎn)和S點(diǎn)，另一端通過定滑輪吊一個1.6 kg的重物，彈撥弦的RS部分，使其振動，則R、S點(diǎn)為波節(jié)，其間產(chǎn)生三個波腹的駐波，這時，如在弦的附近使頻率為278 Hz的音叉發(fā)音，則5 s內(nèi)可聽到10次拍音，換用頻率稍大的音叉，則拍音頻率減小．測得RS＝75.0 cm，求該駐波的波長、頻率及弦線的線密度．
由駐波成因知該波波長為:
專題13-例6
弦振動頻率與音叉振動頻率差產(chǎn)生拍:
mg
R
S
規(guī)律
試手18
問題 一個脈沖波在細(xì)繩中傳播，若繩的線密度為ρ，繩中張力為T試求脈沖波在繩上的傳播速度．
v
v
v
T
T
返回
將一根長為100多厘米的均勻弦線沿水平的x軸放置，拉緊并使兩端固定．現(xiàn)對離固定的右端25 cm處（取該處為原點(diǎn)O，如圖1所示）的弦上施加一個沿垂直于弦線方向（即y 軸方向）的擾動，其位移隨時間的變化規(guī)律如圖2所示．該擾動將沿弦線傳播而形成波（孤立的脈沖波）．已知該波在弦線中的傳播速度為2.5 cm/s，且波在傳播和反射過程中都沒有能量損失．
⒈試在圖1中準(zhǔn)確地畫出自O(shè)點(diǎn)沿弦線向右傳播的波在t＝2.5 s時的波形．
⒉該波向右傳播到固定點(diǎn)時將發(fā)生反射，反射波向左傳播．反射點(diǎn)總是固定不動的．這可看成是向右傳播的波和向左傳播的波相疊加，使反射點(diǎn)的位移始終為零．由此觀點(diǎn)出發(fā)，試在圖1中準(zhǔn)確地畫出t＝12.5 s時的波形圖．
圖13-12-2
圖1
解答
圖2
6.25
波到達(dá)右端經(jīng)
再經(jīng)2.5S,即t=12.5s時
y/cm
x/cm
5
10
15
20
25
0.10
0.05
-0.10
-0.05
0
18.75
再經(jīng)0.5S,即t=10.5s時
18.75
6.25
y/cm
x/cm
5
10
15
20
25
0.10
0.05
-0.10
-0.05
0
脈沖波形成經(jīng)
23.75
一列橫波在弦線上傳播，到固定端時被反射，反射波在弦線上沿反方向傳播而形成駐波．反射時波長、頻率、振幅均不變，但反射波與入射波使反射點(diǎn)的振動相差半個周期，相當(dāng)于原波損失半個波再反射．在圖中已畫出某時刻入射波B，試用虛線畫出反射波C，用實(shí)線畫出駐波A．
B
C
A
當(dāng)聲波頻率f＝7 Hz時，波長 :
那么井深至少為波長四分之一即12.4 m時，空氣柱與音叉可發(fā)生共鳴
這樣一個井的深度，還可能與頻率大于7Hz、波長短于49.6 m、但波長的
倍恰等于12.4 m的某些聲波發(fā)生共鳴!
有一口豎直井，井底有水，它可與f≥７Hz的某些頻率發(fā)生共鳴．若聲波在該井里的空氣中的傳播速度為347.2 m/s，試問這口井至少有多深？
標(biāo)準(zhǔn)聲頻率為250 Hz，拍頻1.5 Hz，粘上橡皮后音叉頻率減小，與標(biāo)準(zhǔn)聲的拍頻增大，可知音叉原頻率為比標(biāo)準(zhǔn)聲頻率低，為248.5 Hz
由共鳴時空氣柱長度知
音叉與頻率為250 Hz的標(biāo)準(zhǔn)聲源同時發(fā)音，產(chǎn)生1.5 Hz的拍音．當(dāng)音叉叉股粘上一小塊橡皮泥時，拍頻增大了．將該音叉放在盛水的細(xì)管口，如圖所示，連續(xù)調(diào)節(jié)水面的高度，當(dāng)空氣柱高度相繼為0.34 m和1.03 m時發(fā)生共鳴．求聲波在空氣中的聲速，畫出空氣柱中的駐波波形圖．
設(shè)定： 波源相對于介質(zhì)的速度u；觀察者相對于介質(zhì)的速度v；波在介質(zhì)中速度V；觀察者接收到的頻率f ′；波源頻率f．
．
㈡波源固定，觀察者以v向著波源或背離波源運(yùn)動
．
㈢波源以速度u相對于介質(zhì)向著或背離觀察者運(yùn)動，觀察者靜止
如圖，此時相當(dāng)于波長縮短或增長為
，故
．
㈣波源與觀察者同時相對介質(zhì)運(yùn)動
此時相當(dāng)于波以速度V±v通過觀察者，故
㈠波源與觀察者相對介質(zhì)靜止
多普勒效應(yīng)
λ
u
設(shè)“哆”音頻率為f1；低“咪”音頻率為f2，有
對相向而行的乘客：
對靜止的路旁觀察者：
對同向而行的乘客：
專題13-例4
車以80 km/h速度行駛，從對面開來超高速列車，向背后奔駛而去．此間超高速車所發(fā)出的汽笛聲開始若聽取“哆”音，后來聽到的則是降低的“咪”音（假定“哆”音和“咪”音的頻率之比為8/5）．設(shè)聲速為1200 km/h，則超高速列車的時速是多少？這時，對站在路旁的人而言，超高速列車通過他前后聲音的頻率之比是多少？而對與超高速列車同向行駛、車速為80 km/h的車上乘客而言，他被超高速列車追過前后所聞汽笛聲音的頻率之比又是多少？
觀察者接收到的頻率先高后低，說明聲源與觀察者先接近后遠(yuǎn)離！作出示意圖:
專題13-例5
A
M
B
h
α
β
v
uA
v
uB
由幾何關(guān)系：
代入數(shù)據(jù)后得
飛機(jī)在上空以速度v＝200m/s做水平飛行，發(fā)出頻率為f0＝2000 Hz的聲波．靜止在地面上的觀察者測定，當(dāng)飛機(jī)越過觀察者上空時，觀察者４s內(nèi)測出的頻率從f1＝2400 Hz降為f2＝1600 Hz．已知聲波在空氣中速度為V＝330 m/s．試求飛機(jī)的飛行高度．
這是測定宇宙中雙星的一種方法
(1) 由于B星發(fā)出的光波波長在P點(diǎn)位比Q點(diǎn)位短，可知在P點(diǎn)位光源是朝著地球運(yùn)動的，故B星公轉(zhuǎn)的方向?yàn)檠貓D中逆時針方向
P
Q
A
B
P
Q
B
A
⑵
可得v＝42 km/s
⑶
有A、B兩個星球．B星以A星為中心做勻速圓周運(yùn)動，如圖．由于星球離地球非常遠(yuǎn)，而且地球位于B星的軌道平面上，所以從地球上看過去，B星好象在一條直線上運(yùn)動．測得B星從P點(diǎn)移動到Q點(diǎn)需要6.28×107 s．由于多普勒效應(yīng)，在測定B星發(fā)出的光的波長時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B星位于P點(diǎn)時比位于A點(diǎn)時短0.68×10-10 m，位于Q點(diǎn)時則比A點(diǎn)長同樣的值．若位于A點(diǎn)時的波長測量值為4861.33×10-10 m，光速c＝3.0×108 m/s．求⑴B星公轉(zhuǎn)的方向;
⑵ B星的公轉(zhuǎn)速度是多少km/s？ ⑶圓周軌道的半徑．
設(shè)人造衛(wèi)星朝地面接收站方向運(yùn)動的速度為u，此即波源移動速度，由于波源向著觀察者運(yùn)動，接收到的頻率變大，由
可得
某人造地球衛(wèi)星發(fā)出頻率為10 8 Hz的無線電訊號，地面接收站接收到的訊號頻率增大了2400 Hz．已知無線電訊號在真空中的傳播速度為c＝3.0×108 m/s，試估算人造衛(wèi)星朝地面接收站方向的運(yùn)動速度．
接收到來自樂隊(duì)的頻率
來自廣播聲的頻率
U≈1 m/s
在單行道上，交通川流不息，有一支樂隊(duì)沿同一方向前進(jìn)．樂隊(duì)后面有一坐在車上的旅行者向他們靠近，這時，樂隊(duì)正同時奏出頻率為440 Hz的音調(diào)．在樂隊(duì)前面街上有一固定廣播設(shè)施做現(xiàn)場轉(zhuǎn)播．旅行者發(fā)現(xiàn)從前面樂隊(duì)直接聽到的聲音和從廣播中聽到的聲音相結(jié)合產(chǎn)生拍，并測出三秒鐘有四拍．利用測速計(jì)可測出車速為18 km/h．試計(jì)算樂隊(duì)行進(jìn)的速度．已知在這個寒冷的天氣下，聲速為330 m/s．
一波源振動頻率為2040 Hz，以速度vs向墻壁接近，如圖，觀測者在A點(diǎn)所得的拍頻 =3 Hz，設(shè)聲速為340m/s，求波源移動的速度vs．如波源沒有運(yùn)動，而以一反射面代替墻壁，以速度=0.2 m/s向觀察者A接近，所得到的拍頻為 =4 Hz，求波源的頻率．
⑴A點(diǎn)從聲源直接接收到的聲波頻率
經(jīng)墻反射后的聲波頻率
觀測者
波源
A
S
續(xù)解
代入題給數(shù)據(jù)
⑵若反射面移動，則A點(diǎn)從聲源直接接收到的聲波頻率
反射面接收到的波頻率
反射到A接收到的波頻率
u
Rω
φ
θ
聲源移動速度為Rω，相對觀察者接近或背離速度設(shè)為u，
當(dāng)
時
有最值,
此時θ＝60°或θ＝300°
如圖，音叉P沿著半徑r＝8m的圓以角速度ω=4rad/s做勻速圓周運(yùn)動．音叉發(fā)出頻率為f0＝500 Hz的聲波，聲波的速度為v＝330 m/s．觀察者Ｍ與圓周共面，與圓心Ｏ的距離為d＝2r．
試問當(dāng)角θ為多大時，觀察到的頻率為最高或最低，并求其數(shù)值．
專題13-例7
到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導(dǎo)致聲速v隨高度y變化，假定變化規(guī)律為： ．式中v0是地面（y＝０處）的聲速，a為比例系數(shù)．今遠(yuǎn)方地面上某聲源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直成θ角．假定在聲波傳播范圍內(nèi) <<１，試求該聲波在空間傳播的軌跡，并求地面上聽得最清晰的地點(diǎn)與聲源的距離S ．
由于聲速沿y軸遞增，折射角θi逐漸增大，開始一段聲傳播的徑跡大致如圖!
夜間
寂靜區(qū)
寂靜區(qū)
白天
x
y
０
第i層
1
2
第i層
根據(jù)折射定律:
聲波波線即聲傳播軌跡!
續(xù)解
第i層聲波波線視為直線,有
查閱
可得波線方程為
續(xù)解
對待定方程
求斜率
于是得聲傳播軌跡方程:
可知地面上聽得最清點(diǎn)距聲源
比較
在海洋中聲速隨深度、溫度和含鹽量變化．已知聲速隨深度變化規(guī)律如圖，最小聲速出現(xiàn)在海洋表面與海底之間．坐標(biāo)原點(diǎn)取在聲速最小處，za、zb分別表示海面和海底的坐標(biāo)．則聲速v與z的關(guān)系為
其中b為常量．今在x=0，z=0處放置一聲源S，在xz平面內(nèi)，從S發(fā)出的聲波的傳播方向用初始發(fā)射角θ0表示．聲速的不均勻?qū)?dǎo)致波射線的彎曲．試證明在zx平面內(nèi)聲波的初始軌跡為圓，并求出其半徑．
O
za
zb
vo
v
z
在xz平面將海水分成與x軸平行的n薄層(n→∞)，各層的波速可視為不變，波在各層傳播時遵循折射定律，第i層的波速為vi，波在該薄層兩界面上的折射角為θi，在下一層的折射角為θi+1，每經(jīng)過一薄層，聲波傳播方向改變Δθ=θi+1－θi
續(xù)解
由折射定律：
△z
△s
對第i薄層海水有
設(shè)岸的坡度為m，水深h，下限水深度為h0，此處水波速率v0并平行于岸，y為離岸距離，又v=kh，波線設(shè)為如圖
y
岸
0
Δy
v0
根據(jù)折射定律:
由幾何關(guān)系:
vi
vi+1
走在岸邊，總可以看到水波平行于岸邊滾滾而來．設(shè)水波的速率與水深成正比，岸的斜度為常數(shù)，計(jì)算水波的軌跡．
ΔS

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