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開普勒三定律
面積定律
軌道定律
周期定律
萬有引力定律
牛頓運(yùn)動(dòng)定律
t3
t4
B
t2
t1
A
行星
太陽
b
a
機(jī)械能守恒
赤道平面軌道
極地軌道
其它軌道
角速度
周期
速度
加速度
與軌道半徑關(guān)系
軌道半徑R
中心天體半徑R0
F引
m
ω
F向
m
F引
F向
地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力只是地心引力極小一部分
天上衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力由全部地心引力提供！
★模型特征：
故有　
　　
之二：∵角速度相同，即
之三：∵兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，
之四：
之一：兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力均為兩天體間的萬有引力，大小相等，即
★模型規(guī)律：
O
Rm
m
M
RM
vM
vm
ω
兩顆相近的天體繞它們連線上的某點(diǎn)（質(zhì)心Ｏ）以共同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng) .
之五：雙星系統(tǒng)動(dòng)量守恒
地球公轉(zhuǎn)軌道平面
日
D
X
Q
Ch
　對北半球而言,在冬季過近日點(diǎn),夏季過遠(yuǎn)日點(diǎn)
t3
t4
B
t2
t1
A
行星
太陽
b
a
如圖所示為地球繞太陽運(yùn)行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉(zhuǎn)軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、冬至?xí)r地球所在的位置．試說明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因．
地球公轉(zhuǎn)軌道平面
日
D
X
Q
Ch
由面積定律:
同步軌道半徑設(shè)為R1
同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對圓心角2θ，有
θ
因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽光而看不到的時(shí)間為
2θ
R
某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長時(shí)間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射．
R1
極地衛(wèi)星周期為
每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為
每次應(yīng)拍攝
偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R，地面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T.
⑴由
衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)
0
180
⑵移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道上空，此間地球自轉(zhuǎn)了θ角，有
　　 電視轉(zhuǎn)播用的“地球同步衛(wèi)星”的軌道高度為h，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0；衛(wèi)星定位系統(tǒng)用的某“移動(dòng)衛(wèi)星”沿通過地球的南北兩極的圓形軌道運(yùn)行，離地面高度為H，地球半徑為R0 ．⑴該移動(dòng)衛(wèi)星連續(xù)兩次通過地球北極點(diǎn)上空的時(shí)間間隔是多少？⑵該移動(dòng)衛(wèi)星某時(shí)刻恰位于經(jīng)度為0度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上空時(shí)，下方地面的經(jīng)度是多少？
　　 要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經(jīng)75.0°到東經(jīng)135.0°之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個(gè)經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑R = 6.37×106m．地球表面處的重力加速度g = 9. 80m/s2．
解答
同步軌道半徑設(shè)為R同步,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖:
R
R同步
75°
135°
0 °
180°
恰能覆蓋東經(jīng)75°的衛(wèi)星定位:
恰能覆蓋東經(jīng)135°的衛(wèi)星定位:
讀題
同步軌道半徑設(shè)為R0：
得
衛(wèi)星在同步軌道的引力勢能為
動(dòng)能：
衛(wèi)星在空間站的引力勢能為
由機(jī)械能守恒：
　　 地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢能可表示為．可供航天員居住與進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)的空間航天站離地面高度為h，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，則該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？
L
M
M
　　 根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M,兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．⑴試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；⑵若實(shí)驗(yàn)上觀測到運(yùn)動(dòng)周期為，且 ,為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)．作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．
　　 天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個(gè)大“黑洞”，距黑洞60億千米的星體以2000km/s的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近“黑洞”的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，試計(jì)算“黑洞”的質(zhì)量和最大半徑．
　　 “大爆炸學(xué)說”認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開來而成的，直到現(xiàn)在，這大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相對速率相互遠(yuǎn)離．觀察表明：離我們越遠(yuǎn)的星系遠(yuǎn)離我們飛去的速度越大．例如，牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為2.74×109　Ly(Ly為“光年”，而1 Ly=9.46×1015 m)，它正以3.93×107 m/s的速率飛離銀河系．若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)的聚集處沿各個(gè)方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T． ⑴假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；⑵假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和V2沿夾角為θ的兩個(gè)方向飛離在大爆炸前物質(zhì)的聚集處．
⑵兩天體分離速度成角度時(shí)，相對速度情況如圖所示
v1
v2
v相對
θ
M1
M2
C
R
60°
60°
　　 地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連線上的一點(diǎn)C做等角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)．太空城的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示．這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對于地、月均處于平衡．試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向Ｃ．
地球
月球
太空城
C
設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2 ，地球與月球間距離為R，如圖
設(shè)太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為α，太空城所在位置和C點(diǎn)的連線與中垂線夾角為β，則
F1
F2
估算空間太陽能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發(fā)電的最長時(shí)間．取地球本影長為地球半徑的216倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍．
日
地
衛(wèi)星
影
R
R0
nR0
估算從地球表面向火星發(fā)射火星控測器．設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑約為地球軌道半徑R0的1.5倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使得探測器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲．當(dāng)探測器脫離地球引力并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖乙所示．已知地球半徑為：Rr=6.4×106 m；地球公轉(zhuǎn)周期為：Te=365天，　　　　　　（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）⑴求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測器沿半個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；⑵通過計(jì)算說明在何年何月何日點(diǎn)燃探測器上火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測器恰好落在火星表面？
解答
飛船
太陽
地球
火星
地球
探測器
甲
乙
⑴由開三律:
則探測器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
⑵探測器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)火星通過的角度為
則探測器開始進(jìn)入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成43°!
從3月1日探測器與火星的角距離成60°經(jīng)38天到4月8日時(shí)成 43°
讀題
v0
b
a
c
d
e
軌道與能量
引力勢能
軌道與能量
　　兩個(gè)天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對它們的作用可以忽略的話，這兩個(gè)天體的總動(dòng)量守恒，兩個(gè)天體從相距很遠(yuǎn)到相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對速度遵守“反射定律”，如果是一維方向上的“彈性碰撞”，則相對速度等值反向．若一個(gè)飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的動(dòng)量守恒而機(jī)械能不守恒．
角動(dòng)量
　　若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對某定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對該定點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律．物體在受有心力作用而繞著中心天體運(yùn)動(dòng)，或幾個(gè)天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于有心力必過力心，對力心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒．即 ．
示例
模型與方法
A1
A2
An
A3
r1
rn
M
m
物體只在引力作用下繞中心天體運(yùn)行，其機(jī)械能守恒．引力是保守力，引力場是勢場，在平方反比力場中，質(zhì)點(diǎn)的引力勢能取決于其在有心力場中的位置．
在中心引力場中，m從A1移至無窮遠(yuǎn)處，引力做負(fù)功為：
以無窮遠(yuǎn)處為零引力勢能位置，物體在距中心天體r遠(yuǎn)處的引力勢能為
返回
O
p
m
O
矢量r稱位置矢量，或稱矢徑
繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（線）動(dòng)量為
方向總是與矢徑r垂直
定義: 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量大小mv與矢徑大小r的乘積為質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)（圓心）O的角動(dòng)量：L=pr
當(dāng)p與r方向不垂直而成角度θ：
p
r
θ
A
角動(dòng)量大小
等于動(dòng)量大小與O點(diǎn)到動(dòng)量矢量p的垂直距離的乘積 ;方向遵守右手定則,矢量定義式為
返回
r2
r1
m
O
M
兩面元質(zhì)量各為
r
兩面元對殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)m的引力各為
由幾何關(guān)系:
整個(gè)球殼對球殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力為零!
對于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為R的實(shí)心球，在距球心r（＜R）處質(zhì)點(diǎn)只受半徑為r的球內(nèi)質(zhì)量的萬有引力，而r以外球殼（即R為外徑r為內(nèi)徑的球殼）則對質(zhì)點(diǎn)無引力的作用．
r
M
R
m
距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)受到引力大小
距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)的引力勢能
返回
理想化方法
軌道極限模型
矢量法與微元法
試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度v3．
專題11-例1
地球質(zhì)量M 太陽質(zhì)量MS 地球半徑R 日地距離r 物體質(zhì)量m
第一宇宙速度v1：
(地球環(huán)繞速度)
這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ柕墓D(zhuǎn)速度=29.8 km/s；則以地球?yàn)閰⒄瘴铮@個(gè)速度為
第二宇宙速度v2：
(地球逃逸速度)
由能量守恒
第三宇宙速度v3：
(太陽逃逸速度)
原處于太陽系中地球軌道位置的物體離開太陽系所需“逃逸速度”
由能量守恒：
R
R
b
v0
vp
要發(fā)射一臺(tái)探測太陽的探測器，使其與地球具有相同的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測資料．由地球發(fā)射這樣一臺(tái)探測器，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？
專題11-例2
取發(fā)射時(shí)的一小段時(shí)間Δt
火箭矢徑的“面積速度”為:
火箭飛行期間矢徑掃過的面積:
則
v1
火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時(shí)落回離發(fā)射場不遠(yuǎn)處．空氣阻力不計(jì)，試估算火箭飛行的時(shí)間，地球半徑取R0=6400 km．
專題11-例3
豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，以T表示到達(dá)最高點(diǎn)所用時(shí)間，以H表示最高點(diǎn)離地球表面的距離，R表示地球半徑，M表示地球質(zhì)量，G為萬有引力恒量，不計(jì)空氣阻力，從考慮萬有引力是“平方反比力”出發(fā)，確定時(shí)間T的數(shù)學(xué)表達(dá)式．
專題11-例4
從考慮萬有引力出發(fā)，物體在平方反比力作用下所做的“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”，其軌跡應(yīng)是以地心為焦點(diǎn)的一個(gè)狹長的橢圓上的一部分，該橢圓的長軸可取作R+H，該橢圓是許多繞地衛(wèi)星可能的開普勒軌道中的一個(gè)，如圖示:
地心
v1
R
H
設(shè)在這樣的軌道上運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)行周期為T′,
物體的“面積速度”為:
續(xù)解
物體的“面積速度”為:
物體運(yùn)動(dòng)的周期與“貼地”衛(wèi)星周期關(guān)系由開三律：
物體飛行期間矢徑掃過的面積:
y
x
由橢圓方程
讀題
讀圖
其中
設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為m1、m2……mN的星體1、2…N構(gòu)成的孤立星團(tuán)，各星體空間位置間距離均為a，系統(tǒng)總質(zhì)量為M．由于萬有引力的作用，Ｎ個(gè)星體將同時(shí)由靜止開始運(yùn)動(dòng)．試問經(jīng)過多長時(shí)間各星體將會(huì)相遇？
專題11-例5
設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O
星體1與i位矢如圖
r1
ri
星體1與i的萬有引力大小為
a
同理
系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒
設(shè)矢量r1大小r1=ka,
質(zhì)點(diǎn)1在這個(gè)平方反比力作用下，在以O(shè)為一個(gè)焦點(diǎn)，以ka/2為長半軸而短半軸逼近于零的“橢圓軌道”運(yùn)動(dòng)．
1
i
質(zhì)心
遠(yuǎn)點(diǎn)在木星軌道而繞日運(yùn)行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽的彗星，求其近日點(diǎn)．（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R）
專題11-例6
理想化模型：從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體在木星軌道經(jīng)與木星發(fā)生“彈性碰撞”改變運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)入繞日軌道，如圖．
木星軌道
太陽
v0
v
V
v1
得木星“碰撞”前速度為
由機(jī)械能守恒，從無限遠(yuǎn)處被太陽吸引到木星軌道附近時(shí)速度v滿足
與木星 “完全彈性碰撞” 過程速度矢量關(guān)系如圖：
續(xù)解
v0
v
V接近
V分離
V
“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相等！
天體進(jìn)入太陽彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點(diǎn)距太陽r，過近日點(diǎn)時(shí)速度為v1
讀圖
由機(jī)械能守恒有
由角動(dòng)量守恒有
y
x
如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽運(yùn)動(dòng)，彗星繞太陽沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)．已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計(jì)地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間．
專題11-例7
準(zhǔn)線
v0
v
O
x
y
y=R0
A
B
C
C0
S
續(xù)解
太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0
解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！
彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式
而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式
設(shè)彗星以速率v通過其軌道頂點(diǎn)C歷時(shí)Δt（ Δt →0）
讀圖
地球以速率v0通過其軌道頂點(diǎn)C0歷時(shí)Δt 0（ Δt0 →0）
兩者的“面積速度”相同！
一衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)周期為Ｔ，如果給衛(wèi)星一個(gè)附加的徑向速度un或一個(gè)附加的切向速度ut，衛(wèi)星都將沿一個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)．⑴ 確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期．⑵ 所附加的徑向速度un和切向速度ut必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？
專題11-例8
⑴衛(wèi)星在半徑r軌道圓運(yùn)動(dòng)速度為
中心天體質(zhì)量為M、“遠(yuǎn)(近)地點(diǎn)”速度為V、矢徑為rn（t）
衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)
讀圖
機(jī)械能守恒
角動(dòng)量守恒
對同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足
衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)
⑵要使Tn=T，根據(jù)開普勒第三定律，必有an=at，即有
小試
原軌道
原軌道
v
u
r
變軌道
rn
V
2an
續(xù)解
v
u
變軌道
2at
V
rt
衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)
衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)
　　　　　 設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星M和N沿同一橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心在這橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F上，又設(shè)M和N相距不遠(yuǎn)，因此可將橢圓弧看作直線．已知MN的中點(diǎn)經(jīng)近地點(diǎn)時(shí)MN=a，近地點(diǎn)到地心的距離為r，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為R，求M、N的中點(diǎn)經(jīng)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩顆衛(wèi)星間的距離．
設(shè)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩衛(wèi)星距離l
F
N
M
M
N
r
R
在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同
a
l
　　　　　 空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間．
r1
r2
r0
m1
m2
質(zhì)心O
設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O
質(zhì)點(diǎn)1與2位矢如圖
質(zhì)點(diǎn)1與2的萬有引力大小為
令矢量r1大小r1=kr0,
等效于中心質(zhì)量k3 (m1+m2 )，兩質(zhì)點(diǎn)各在以中心為焦點(diǎn)、到中心距離為長軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周期相遇，故
一質(zhì)點(diǎn)受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線上運(yùn)動(dòng)．試證此質(zhì)點(diǎn)自無窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)的速率與從a處由靜止出發(fā)，到達(dá)a/4處時(shí)的速率相同．
導(dǎo)出此力場中的勢能公式：
B
A
ri-ri+1
rA
M
rB
在引力作用下質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)向力心移到B點(diǎn)
引力做元功為：
由從A移至B，引力做功為：
由機(jī)械能守恒，質(zhì)點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)
a處由靜止出發(fā)，到達(dá)/4處時(shí)
有一個(gè)質(zhì)量大而體積小的星球，一個(gè)物體離這個(gè)星球的距離為r，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個(gè)星球上經(jīng)歷多少時(shí)間？（已知星球的質(zhì)量為M）
將此星球視作質(zhì)點(diǎn)，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長軸為
若周期為T，則自由下落到星球歷時(shí)
設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在半徑為r的圓軌道運(yùn)動(dòng)，其周期
圓軌道
星球
根據(jù)開普勒第三定律
根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）在萬有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的．試估算由密度ρ=2×10-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團(tuán)到生成一顆星球需要多長時(shí)間？
取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大云團(tuán)是密度均勻分布的質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由落向云團(tuán)中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時(shí)間即是最外層塵埃落至中心的時(shí)間即
如行星突然在其軌道上某處停止運(yùn)動(dòng)（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時(shí)間，設(shè)太陽的高斯常數(shù)（GM）為k，行星質(zhì)量為m．
設(shè)行星原在力
作用下繞日做半徑為r
勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有
從距日為r處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點(diǎn)，經(jīng)半個(gè)周期(T′/2)到近日點(diǎn)，其半長軸為
根據(jù)開普勒第三定律
某彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運(yùn)行時(shí)，在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間．
解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！
太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0
讀圖
地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式
彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式
設(shè)彗星、地球各以速率v和v0通過其軌道頂點(diǎn)歷時(shí)各Δt（ Δt →0）和Δt 0（ Δt0 →0）
兩者的“面積速度”之比為
續(xù)解
y
x
v0
v
返回
續(xù)解
慧星從A到B時(shí)間由
地球矢徑掃過面積
讀圖
如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進(jìn)行探測，發(fā)射后火箭繞太陽橢圓軌道運(yùn)行．為了節(jié)省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時(shí)機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)為火星，軌道近日點(diǎn)為地球．假定地球和火星均繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道半徑分別為r與R，忽略其它行星對火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對地速度離開地球？火箭到達(dá)火星要用多長時(shí)間？
日
地球軌道
火星軌道
R
r
設(shè)太陽、火箭質(zhì)量依次為M、m
v1
v2
由機(jī)械能守恒有
由角動(dòng)量守恒有
對日速度!
火箭離地速度應(yīng)為
到達(dá)火星的時(shí)間是火箭運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期T
假設(shè)地球是一個(gè)均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯30°的a處開一個(gè)穿過地軸的直線隧道直通西半球北緯30°的b處，如圖所示．已知地球的半徑是6370 km，地面的重力加速度g=9.8 m/s2，第一宇宙速度v1=7.9 km/s，假設(shè)隧道光滑．現(xiàn)將一個(gè)物體以v=v1/3的初速度從a處拋入隧道，問物體從b處出來后能飛離地面的最大高度是多少？
a
b
30°
解題方向 考慮對稱性，物體從b處飛出的速度大小為v1/3，此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運(yùn)動(dòng)；由守恒定律求最大高度.
由機(jī)械能守恒有
h
V
由角動(dòng)量守恒有
R
R+h
有一航天器（不帶動(dòng)力裝置）自遠(yuǎn)方以速度v0射向某一行星，計(jì)劃在行星上著陸，如圖示．如以b表示v0與行星的垂直距離（稱為瞄準(zhǔn)距離），求b最大值為多少時(shí)，航天器可以在行星上著陸．已知航天器質(zhì)量為m，行星的質(zhì)量為M，半徑為R．
m
O
R
b
由機(jī)械能守恒有
由角動(dòng)量守恒有
r
b
v0
X
A
O
如圖，一質(zhì)量為m＝12 t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h＝100 km．為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在X點(diǎn)做一次短時(shí)間發(fā)動(dòng)．從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u＝10 km/s．月球半徑R＝1700 km，月球表面上自由落體的重力加速度為g月=1.7 m/s2．飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球：⑴到達(dá)月球上的A點(diǎn)，該點(diǎn)正好與X點(diǎn)相對；⑵在X點(diǎn)給一指向月球中心的動(dòng)量后，與月球表面相切于B點(diǎn)．試計(jì)算上述兩種情況下所需的燃料量．
⑴按此方式，飛船橢圓軌道X為遠(yuǎn)月點(diǎn)，A為近月點(diǎn)，XA為長軸，月心為焦點(diǎn)，
vX
由牛頓草圖可知，飛船在X點(diǎn)是向運(yùn)動(dòng)方向噴氣減速而成
設(shè)飛船做圓運(yùn)動(dòng)時(shí)速率為v0
vA
由機(jī)械能守恒有
由角動(dòng)量守恒有
飛船噴氣過程動(dòng)量守恒:
代入題給數(shù)據(jù)得:
X
A
X
A
B
⑴
⑵
續(xù)解
讀題
X
B
O
vB
vR
⑵按此方式，飛船向背離月球方向噴氣后獲得的指向月心的速度vR，飛船在X點(diǎn)的速度變?yōu)?br/>vX
由機(jī)械能守恒有
由角動(dòng)量守恒有
飛船噴氣過程沿徑向動(dòng)量守恒:
地心
質(zhì)量為M的宇航站和與其對接上的質(zhì)量為m的飛船一起沿圓形軌道圍繞地球運(yùn)動(dòng)著，其軌道半徑為地球半徑R的n倍（n＝1.25）．某一瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心的距離為8nR．質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇？（一般認(rèn)為M＞m）
在半徑為5R/4繞地圓軌道時(shí)宇航站及飛船速度
飛船與宇航站分離時(shí)，飛船速度vm，宇航站速度vM
vm
Vm
vM
VM
飛船
宇航站
分離時(shí)兩者動(dòng)量守恒:
續(xù)解
2RM
讀題
飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇,兩者周期滿足:
k可取10，11
質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星沿半徑為r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為M．若衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中受到微弱的摩擦阻力f（大小恒定），則將緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球．將每周的旋轉(zhuǎn)近似處理成半徑為ri的圓軌道．試求每旋轉(zhuǎn)一周，軌道半徑的改變量Δr及衛(wèi)星軌道減少一半時(shí)減少的機(jī)械能．
M
ri
在第i圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力的功
引力的功
由動(dòng)能定理
衛(wèi)星軌道減少一半時(shí)減少的機(jī)械能
如圖，宇宙飛船沿圓軌道運(yùn)行，運(yùn)動(dòng)速度為v0．已知火星半徑為R，飛船圓軌道離火星表面的高度為H．今飛船在極短時(shí)間內(nèi)，沿圓軌道徑向向外側(cè)點(diǎn)火噴氣，使飛船獲得指向火星的徑向速度av0，a是遠(yuǎn)小于1的常數(shù)．因噴氣量很小，噴氣后飛船的質(zhì)量可視作不變．噴氣后，飛船繞火星沿新的軌道運(yùn)行．試求飛船橢圓軌道近火星點(diǎn)距火星表面的高度hA以及遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星表面的高度hB，以及飛船繞橢圓軌道的運(yùn)行周期．
H
hB
v0
R
A
B
hA
vR
V0
飛船進(jìn)入橢圓軌道的初速度
由機(jī)械能守恒有
VA
VB
由角動(dòng)量守恒有
由開三律，飛船前后周期之比為
v0
一宇宙飛船環(huán)繞一行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為R，飛船速率為v0．飛船上發(fā)動(dòng)機(jī)突然點(diǎn)火，使飛船速率從v0變到 v0，加速度方向與速度方向相同，飛船沿新軌道運(yùn)動(dòng)．設(shè)φ為發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)飛船速度方向與飛船在最遠(yuǎn)離行星時(shí)速度方向之間的夾角，求角φ ，并畫出飛船運(yùn)動(dòng)軌跡的圖示．
計(jì)算加速后飛船的總機(jī)械能E
飛船將沿雙曲線軌道遠(yuǎn)離行星
圖示
由機(jī)械能守恒有
由角動(dòng)量守恒有
由雙曲線解析性質(zhì)得
y
x
V
續(xù)解

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