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利用圖象求功之方法適用于當力對位移的關系為線性時;或在表示力對位移關系的F-s示功圖中F(s)圖線與s軸圍成的圖形“面積”有公式可依時;因為在F-s示功圖中，這種“面積”的物理意義就是功的大小．
方法 A
s
F
0
x
W
錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比．若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？
專題8-例1
本題中的阻力f為一與位移x成正比的變力，即f=kx
示功圖
x
F
0
x1
x2
x3
……
l
W0
W0
W0
圖中各陰影“面積” 表示第1、2、3……次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數值上等于錘傳給木樁的能量，設為W0．
由圖
當xn=l時，由
某質點受到F=6x2的力的作用，從x=0處移到x=2.0 m處，試求力F做了多少功？
專題8-例2
本題中的變力力F與位移x成F=6x2關系，F-x圖線為拋物線
示功圖
24
x/m
F/N
0
2
W
圖中 “面積” 表示F力做的功
“面積” 由阿基米德公式
由示功圖得F力做的功
　　　　　 如圖所示，一質量為m，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數為μ．⑴柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？⑵由這一位置開始運動，柔繩剛離開桌面時的速度多大？
⑴設柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為x0，則由
⑵柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由動能定理
其中，重力功等于繩重力勢能減少
摩擦力為線性變力：
示功圖
x
Ff
0
l-x0
Wf
x
　　　　　 一質點的質量為m，被固定中心排斥，斥力的大小F=μmr，其中r為質點離開此中心的距離．在開始時，r0=a，v=0，求質點經過位移a時所達到的速度大小．
斥力為線性變化力！
示功圖
r
F
0
a
a
WF
對示功圖求梯形陰影“面積”
對質點經過位移a的過程，由動能定理
　　　　　 跳水運動員從高于水面H＝10 m的跳臺自由落下，運動員的質量m＝60 kg，其體形可等效為長度l＝1.0 m、直徑d＝0.30 m的圓柱體，略去空氣阻力，運動員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，F量值隨入水深度y變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與OY和OF重合，為了確保運動員絕對安全，試計算水池中水的h至少應等于多少？
5mg/2
Y
F
0
h
對全過程運用動能定理:
其中阻力功根據示功圖為四分之一個橢圓“面積” :
示功圖
入水過程中，浮力隨入水深度y作線性變化
示功圖
Y
F浮
0
l
如果在某一位移區間，力隨位移變化的關系為F=f(s) ，求該變力的功通常用微元法，即將位移區間分成n（n→∞）個小區間s/n，在每個小區間內將力視為恒定，求其元功Fi· s/n ，由于功是標量，具有“可加性”，那么總功等于每個小區間內元功之代數和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：
方法 B
在數學上，確定元功相當于給出數列通項式，求總功即求數列n項和當n→∞時的極限．
半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，把池內的水完全吸盡，至少要做多少功？
專題8-例3
r
ri
沿著容器的豎直直徑，我們將水池內的水均勻細分成n層，每一元層水的高度
r
1
i
2
每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第i層水柱底面的半徑
這層水的質量
將這層水吸出至少應做的元功是
將池水吸盡至少要做的功是
一個質量為m的機動小車，以恒定速度v在半徑為R的豎直圓軌道繞“死圈”運動．已知動摩擦因數為μ，問在小車從最低點運動到最高點過程中，摩擦力做了多少功？
專題8-例4
小車沿豎直圓內軌勻速率運動到最高點的過程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一隨位置變化的力！
x
y
O
A
B
當小車運動在A處元圓弧段時
mg
NA
摩擦力在A處元功為
當小車運動在與A關于x軸對稱的B處元圓弧段時
mg
NB
續解
摩擦力在B處元功為
小車在關于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為
查閱
摩擦力在半圓周軌道上的總功
計算水平直徑以下段摩擦力的功：
續解
水平直徑以上段摩擦力的功：
將板沿板長均分為n（n→∞）等份
　　　　　 將木板在水平地面上繞其一端轉動角α，求所需要做的功．木板長度為L，質量為M，木板與地面之間的動摩擦因數為μ．
元摩擦力做功的位移為
摩擦力對i段做的元功為
則對木板的功
各元段摩擦力為
　　　　　 從一個容器里向外抽空氣，直到壓強為p．容器上有一小孔，用塞子塞著．現把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖進容器？設外界大氣壓強為p0，大氣密度為ρ．
p
p0
Δx
s
設小孔截面積為s，打開塞子后孔外側厚度為Δx的一薄層空氣在內、外壓強差作用下沖入容器，獲得速度v0，由動能定理:
這種求功方法依據功對能量變化的量度關系，只須了解初、未能量狀態，得到能量的增量便是相應的功量．
方法 C
如圖所示,一質量分布均勻的粗繩長2a，質量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點而懸垂靜止，其重心位于天花板下方b處.現施一力于繩之最低點C并將繩拉直至D點，求拉力所做的功．
D
由幾何關系拉直后兩段繩的重心位置距天花
重力勢能增加了
由功能原理，拉力功為
專題8-例5
由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量．
C
h
h
一質量為m的皮球，從高為h處自由下落（不計空氣阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回h高處，求每次拍球需對球做的功
專題8-例6
在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負功，使球的動能減少．地面對球的彈力功是變力功!
牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度v2－ v1與碰撞前兩者的接近速度v20－ v10成正比，比值e稱恢復系數（或反彈系數），比值由兩者的質料決定，即
從h高度自由下落再反彈的全過程,地面彈力功W1:
從h高度拍下再反彈原高的全過程,地面彈力功W2:
續解
從h高下落未速度即與地接近速度:
從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:
同一球與同一地面碰撞,恢復系數相同:
　　　　　 如圖所示，有兩個薄壁圓筒．半徑為R的圓筒繞自己的軸以角速度ω轉動，而另一個圓筒靜止．使兩圓筒相接觸并且它們的轉軸平行，過一會兒，由于摩擦兩圓筒開始做無滑動的轉動．問有多少機械能轉換成內能？（兩圓筒的質量分別為m1、m2）
m1
R
m2
ω1
ω
根據題意，一段時間內m1線速度從ωR→ ω1R,而m2線速度從0 → ω2r= ω1R
這種變化是因為兩者間有大小相等的一對力作用，這對力做功使系統機械能(動能)轉換成內能 !
對系統,由動能定理:
又,由牛頓第二、三定律,一對力大小相等:
功是力的空間積累作用，能是對物體運動的一種量度．功的作用效應是使物體的能量狀態發生變化，做功的過程就是物體能量轉化的過程，轉化了的能量都可以由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關系的基本認識，是我們從能量角度解決運動問題的依據．
功能關系基本認識
功能關系的具體認識
功能對應規律
借助功與能的具體對應關系，對運動的功的量度問題作出正確的操作.
⑵確定有哪些力對研究對象做了正功或負功，以代數和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表述；
⑶分析所研究過程的初、未兩狀態的動能，完成等號右邊對動能變化的表述 ；
⑴選定研究的對象與過程;
示例
※重力功量度重力勢能的變化：
※外力（可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它力）做的總功量度動能的變化：
※彈力功量度彈性勢能的變化：
動能定理
※引力功量度引力勢能的變化：
※非重力彈力功量度機械能的變化：
勢能定理
功能原理
※電場力功量度電勢能的變化：
（W非可以是摩擦力功、電場力功、安培力功或其它非重力、彈簧彈力的功）
返回
如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20 m，其橫斷面是半徑R=2 m的圓．儲水深h=1 m，如果用裝在高H1=5 m處、截面積為2 cm2的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？
專題8-例7
根據題意，水箱中的水從底部截面積為s的小孔流出，若流速為vi，則時間ti內的水流量Qi= vi ti S；總儲水全部流盡的時間應為
每層水放出時間的通項式為
全部水箱儲水放盡的總需時為
小孔流速
續解
1
i
2
n
示例
P0+P水
P0
設小孔處一小片厚Δx、面積S的液片,在內外壓力之合力作用下獲得速度v而離開小孔，由動能定理:
P0
返回
P
P+P水
質量為m的小球以某一初速度豎直上拋，若運動中所受阻力Ff=kv2，最大阻力為重力的0.44倍，試求小球上升的最大高度H及落回拋出點時的速度vt．
專題8-例8
本題通過元過程的動能定理,用微元法求得終解!
本題研究過程中有重力功與阻力功,其中阻力功為耗散功,且為一按指數規律變化的力!
取上升過程中的某一元過程：該過程小球上升了高度H/n(n→ ∞)，速度從vi減少為vi+1，各元過程中的阻力可視為不變為
合外力
根據動能定理，對該元過程有
即
對該式變形有
續解
在各相同的上升高度H/n微元中，合外力大小成等比數列遞減、因而動能的增量是成等比數列遞減的，其公比為
對上式兩邊取極限:
同理,對下落過程由
對此式兩邊取n次方當n→∞極限:
續解
由題給條件
小球落回拋出點時的速度是拋出時速度的六分之五
查閱
R
一質點在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點離開球面，求PQ兩點的高度差h．
專題8-例9
本題除重力外無非保守力的功,機械能守恒!
設球半徑為R
P
Q
H
mg
v
由機械能守恒:
Q點動力學方程為:
由幾何關系:
若質點從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個有趣又有用的模型．
x
y
　　　　　 如圖甲所示，把質量均為m的兩個小鋼球用長為2L的線連接，放在光滑的水平面上．在線的中央O作用一個恒定的拉力，其大小為F，其方向沿水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質量可忽略不計．試求：⑴當兩連線的張角為2θ時，如圖乙所示，在與力Ｆ垂直的方向上鋼球所受的作用力是多少？⑵鋼球第一次碰撞時，在與力Ｆ垂直的方向上，鋼球的對地速度為多少？⑶經過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態下運動，試求由于碰撞而失去的總能量為多少？
O
F
O
甲
F
θ
θ
乙
⑴在如示坐標中分解力F
F
在與F垂直方向上線對鋼球的力大小為
⑵設鋼球第一次碰撞時沿F方向速度為vx，垂直于F方向速度為vy，設力F的位移為x，由動能定理
在x方向上:
⑶達到終態時，兩球vy=0，F總位移X，有
　　　　　 軍訓中，戰士距墻S0以速度v0起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面一次使身體變為豎直向上的運動以繼續升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數為μ．求能使人體重心有最大總升高Hmax的起跳角θ．
S0
v0
θ
設抵達墻時戰士速度為v，蹬墻后速度為v′,各矢量間關系如示，
v
gt
v0
θ
v
從起跳至上升至最高H處，由機械能守恒:
由矢量圖所示關系:
　　　　　 質量為M、長為l的板放在冰面上，在板的一端坐著質量為m的小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度v0min應為多少？小貓為使跳到板的另一端所消耗的能量最少， 問它的初速度v0應該與水平面成多大角α？
貓消耗能量E，使貓及木板獲得初動能：
起跳時間Δt內m與M間水平方向相互作用力大小相等，故有
貓從跳離板一端到落至板另一端歷時由豎直方向分運動得
這段時間內貓對板的位移應滿足
利用基本不等式性質 ：
　　　　　 如圖所示，厚度不計的圓環套在粗細均勻、長度為L的棒的上端，兩者質量均為m，圓環與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數，為kmg（k＞1）．棒能沿光滑的豎直細桿AB上下滑動，棒與地碰撞時觸地時間極短，且無動能損失．設棒從其下端距地高度為H處由靜止自由下落，與地經n次碰撞后圓環從棒上脫落⑴分析棒第二次碰地以前的過程中，環與棒的運動情況，求出棒與環剛達到相對靜止時，棒下端距地高度h；⑵求出n、k、L、H四個量應滿足的關系．
⑴由機械能守恒，棒第一次碰地以前速度
A
B
L
H
棒與地相碰后瞬時速度大小不變、方向向上，
加速度為
環速度
環加速度
棒與環相對初速度
相對加速度
棒與環相對靜止時
環與棒的共同速度
從棒從地面向上到與環相對靜止的過程中，一對摩擦力做負功，重力分別對環、棒做負功，由動能定理：
續解
⑵棒與環一起以V1自由下落h至第二次落地時速度仍由機械能守恒
此后棒與環相對滑動
則若在碰n次后環脫離棒，n、k、L、H四個量應滿足的關系：
查閱
　　　　　 鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所示．每次與臺階碰撞時，球要損失η＝50％的機械能．試求小球拋出時的初速度v及其與豎直線的夾角φ．（梯子臺階的高度h＝10cm，寬l＝20cm）
l
h
φ
根據題意，第一次與平臺碰撞前后有
v
v
v落
v起
v
v
每次跳起到落到下一臺階的過程中,有
v起
v起
v落
由水平方向的勻速運動得鋼球每一次飛行時間
代入數據整理后得
說明起跳速度變為水平，除鋼球落在拐點情況外，應舍去此解
取元功作微元，以功能原理為基本依據求得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元功法”.這種解法所循基本原理是分析力學中的“虛功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單．
元功法
元功法處理平衡問題基本思路
取與原平衡狀態逼近的另一平衡狀態，從而虛設一個元過程，此過程中所有元功之和為零，以此為基本關系列出方程，通過極限處理，求得終解．
如圖所示，質量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩，穿過半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質量為M，且相互間無摩擦，求繩上最低點C處的張力．
專題8-例10
本題用元功法求解!
分析粗繩、滑輪和重物構成的系統的受力情況
A
O
C
R
B
TA
(M+m)g
分析繩之一半的受力情況
TC
設想在A處以力TA將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離Δx
由功能原理
Δx
a
b
如圖示，一輕三足支架每邊長度均為l,每邊與豎直線成同一角度，三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，現用一繩圈套在三足支架的三足上,使其不能改變與豎直線間的夾角，設三足支架負重為G，試求繩中張力FT．
專題8-例11
本題用元功法求解!
分析支架的受力情況
G
FT
FN
設想支架各邊足部在繩合力作用下向正三角形中心移動一極小位移 Δx:
Δx
Δy
支架每個足部繩合力元功
負重重力勢能增量
Δx與Δy幾何關系如示 :
θ
Δx
Δy
當Δx→0, Δθ →0,
由功能原理
B
A
β
α
C
　　　　　 如圖,所示的曲柄連桿機構中，設曲柄端A上所受的豎直力為Q，由活塞D上所受的水平力P維持平衡，試用元功法求P與Q的比值．圖中α、β為已知．
C
B
A
P
α
D
β
設想設活塞D（即連桿的B端）以速度v通過一微小位移Δx，與此同時，連桿A端以速度vA繞C點通過一小段弧
vn
v
vA
vA
v
v
α-β
Δx
vA 與v桿約束相關關系如示
vA方向與曲柄CA垂直，且是與B相同的水平速度v及對B點的轉動速度vn的矢量和
Q
Δy
在力P發生水平位移Δx的時間內,力Q發生的豎直位移為
由元功法得
　　　　　 如圖所示，均勻桿OA重G1，能在豎直面內繞固定軸O轉動，此桿的A端用鉸鏈連住另一重G2的均勻桿AB，在AB桿的B端施一水平力F，試用元功法求二桿平衡時各桿與水平所成的角度α及β．
F
O
A
B
分析連桿的受力情況
G1
G2
x
y
設想水平力使AB桿的B端移動極小位移Δx3
續解
同時，G1、G2力沿力方向的極小位移各為：
由元功法得
將各力的微小位移代入:
查閱
該等式成立須

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