資源簡(jiǎn)介

第05講 1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量. ②會(huì)用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會(huì)用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問(wèn)題. 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念并會(huì)求出直線的方向向量與平面的法向量. 能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間幾何體的平行、垂直關(guān)系的證明明.
知識(shí)點(diǎn)01：用向量表示點(diǎn)、直線、平面的位置
1、用向量表示點(diǎn)的位置：
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)就可以用向量表示.我們把向量稱為點(diǎn)的位置向量.如圖.
2、直線的方向向量
如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得，即
3、空間直線的向量表示式
如圖②,取定空間中的任意一點(diǎn),可以得到點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①
或②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.
4、用向量表示空間平面的位置
根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，如圖；取定空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，，使.
知識(shí)點(diǎn)02：平面的法向量及其應(yīng)用
1、平面法向量的概念
如圖，若直線 ，取直線 的方向向量 ，我們稱為平面的法向量；過(guò)點(diǎn)且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:
設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為
選向量：選取兩不共線向量
列方程組：由列出方程組
解方程組：解方程組
賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取)
得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.
【即學(xué)即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，令，可得，則.
故選：B．
知識(shí)點(diǎn)03：空間中直線、平面的平行
設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則
線線平行 ()
線面平行
面面平行
【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知平面α的一個(gè)法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（　　）.
A． B．
C． D．l與α相交但不垂直
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋裕矗?
故選：A
知識(shí)點(diǎn)04：空間中直線、平面的垂直
設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則
線線垂直
線面垂直
面面垂直
【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是直線l的一個(gè)方向向量，是平面α的一個(gè)法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為________.
【答案】
【詳解】∵l⊥α，則∥，
則，解得.
故答案為：.
題型01平面的法向量及其求法
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則平面的一個(gè)法向量可以是（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為 1， 以為原點(diǎn)， 為單位正交基底， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖的空間直角坐標(biāo)系中，垂直于正方形所在平面，與平面的所成角為，為中點(diǎn)，則平面的單位法向量______．（用坐標(biāo)表示）
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知四邊形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一個(gè)法向量．
題型02利用向量方法證明線線平行
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知在正四棱柱中，,，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．
(1)求證：且；
(2)求證：．
【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)、在棱、上，且，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)．求證：直線直線．
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面是一個(gè)直角梯形，其中,,,，且底面，與底面成角．

(1)若，求該幾何體的體積；
(2)若垂直于，證明：；
(3)在（2）的條件下，上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，線段與直線和都垂直，求證：.
題型03利用向量方法證明線面平行
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，，且平面，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面.
【典例4】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．證明：平面；
【典例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在斜三棱柱 中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，分別是，的中點(diǎn)，平面⊥平面.
(1)求證：平面；
(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，為中點(diǎn)，若直線平面，則點(diǎn)的位置可能是（ ）
A．線段中點(diǎn) B．線段中點(diǎn) C．線段中點(diǎn) D．線段中點(diǎn)
【變式2】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，．若直線平面，則實(shí)數(shù)的值為__________．
【變式3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在上，且，，求證：平面.
【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求證：；
(2)在上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，確定點(diǎn)位置并說(shuō)明理由，若不存在，說(shuō)明理由．
題型04利用向量方法證明面面平行
【典例1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是平面的法向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．7
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點(diǎn)，求證：平面平面．
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是,的中點(diǎn)，
求證：（1）平面；
（2）平面平面.
【典例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
(1)用向量法證明平面平面；
【變式2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)，分別是正方形和正方形的中心．求證：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
題型05 利用向量方法證明線線垂直
【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知下面給出的四個(gè)圖都是各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱，為一個(gè)頂點(diǎn)，，，分別是所在棱的中點(diǎn)．則滿足直線的圖形個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（多選）（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，若正方體邊長(zhǎng)為，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點(diǎn)．求證：；
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在上，為的中點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023秋·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，其中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)求證：.
【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且.
(1)求證：；
題型06利用向量方法證明線面垂直
【典例1】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）已知是直線的方向向量，是平面的法向量．若，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江蘇南通·高二海門中學(xué)校考期中）正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，且．點(diǎn)在平面上，且平面，則線段的長(zhǎng)為________．
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，為的中點(diǎn)．求證：平面.
【典例4】（2023春·四川達(dá)州·高二校考階段練習(xí)）在直四棱柱 中，四邊形為平行四邊形,為的中點(diǎn)，.
(1)求證: 面；
(2)求三棱錐 的體積.
【典例5】（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，
平面，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面．
(2)若，線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)校考期末）已知直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則______．
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上的一點(diǎn)，且,若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn).請(qǐng)用空間向量知識(shí)解決下列問(wèn)題：
(1)求證：；
(2)求證：平面.
【變式4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
【變式5】（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點(diǎn)，．
(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
題型07利用向量方法證明面面垂直
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，分別為，的中點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．點(diǎn)在直線上，若平面平面，則線段的長(zhǎng)為_________．
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是一個(gè)正三角形，平面，，且，是的中點(diǎn)．求證：平面平面.
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．證明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【典例4】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2．
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，，為的中點(diǎn)，求證：平面平面.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接、，設(shè)中點(diǎn)為．
(1)證明：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或直線在平面內(nèi)B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（ ）
A． B．或 C． D．
3．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，平面，其中是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面，，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，為平面的一個(gè)法向量，則的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江杭州·高一杭師大附中校考期中）在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為棱的中點(diǎn)，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知直線，且l的方向向量為，平面的法向量為，則（ ）
A．1 B． C． D．8
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考三模）在正方體中，M是線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．平面平面
C．平面 D．平面
8．（2023秋·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）如圖， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．1
二、多選題
9．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知直線的方向向量為，兩個(gè)不重合的平面，的法向量分別為，，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．
B．若為線段的中點(diǎn)，則平面
C．點(diǎn)B到平面CEF的距離為
D．的最小值為48
三、填空題
11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為，若l⊥α，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
12．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是______________ （填寫正確的序號(hào)）
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點(diǎn)，且．
(1)求證：平面PBC；
(2)求證：平面BDE．
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).證明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
B能力提升
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）
A．平面
B．存在點(diǎn)，使平面
C．存在點(diǎn)，使
D．
2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖，在陽(yáng)馬中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（多選）（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的有（ ）

A．存在點(diǎn)，使得
B．過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面面積為
C．四面體的內(nèi)切球的表面積為
D．點(diǎn)在棱上，且，若，則滿足條件的的軌跡是圓
4．（多選）（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).若點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面
B．當(dāng)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，平面
C．在線段的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)，使得平面
D．不存在點(diǎn)，使與平面垂直
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在多面體中，，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，四邊形是過(guò)兩點(diǎn)的截面，且平面，是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.
第05講 1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量. ②會(huì)用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會(huì)用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問(wèn)題. 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握直線的方向向量，平面的法向量的概念并會(huì)求出直線的方向向量與平面的法向量. 能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間幾何體的平行、垂直關(guān)系的證明明.
知識(shí)點(diǎn)01：用向量表示點(diǎn)、直線、平面的位置
1、用向量表示點(diǎn)的位置：
在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)就可以用向量表示.我們把向量稱為點(diǎn)的位置向量.如圖.
2、直線的方向向量
如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得，即
3、空間直線的向量表示式
如圖②,取定空間中的任意一點(diǎn),可以得到點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①
或②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.
4、用向量表示空間平面的位置
根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，如圖；取定空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)，，使.
知識(shí)點(diǎn)02：平面的法向量及其應(yīng)用
1、平面法向量的概念
如圖，若直線 ，取直線 的方向向量 ，我們稱為平面的法向量；過(guò)點(diǎn)且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:
設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為
選向量：選取兩不共線向量
列方程組：由列出方程組
解方程組：解方程組
賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取)
得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.
【即學(xué)即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，令，可得，則.
故選：B．
知識(shí)點(diǎn)03：空間中直線、平面的平行
設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則
線線平行 ()
線面平行
面面平行
【即學(xué)即練2】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知平面α的一個(gè)法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（　　）.
A． B．
C． D．l與α相交但不垂直
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋裕矗?
故選：A
知識(shí)點(diǎn)04：空間中直線、平面的垂直
設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則
線線垂直
線面垂直
面面垂直
【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是直線l的一個(gè)方向向量，是平面α的一個(gè)法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為________.
【答案】
【詳解】∵l⊥α，則∥，
則，解得.
故答案為：.
題型01平面的法向量及其求法
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則平面的一個(gè)法向量可以是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，即.
對(duì)A：若，由，可得：與不共線，
故不是平面的法向量，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：若，由，可得：與不共線，
故不是平面的法向量，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：若，則，即與共線，
故是平面的法向量，C正確；
對(duì)D：若，由，可得：與不共線，
故不是平面的法向量，D錯(cuò)誤；
故選：C.
【典例2】（2023秋·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為 1， 以為原點(diǎn)， 為單位正交基底， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即 ，
取，則，
∴平面的一個(gè)法向量為∶,
選項(xiàng)中的向量與不共線，D中向量符合題意，
故選︰D．
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖的空間直角坐標(biāo)系中，垂直于正方形所在平面，與平面的所成角為，為中點(diǎn)，則平面的單位法向量______．（用坐標(biāo)表示）
【答案】
【詳解】如圖，連接BD，因平面，則是與平面所成的角，即，
在正方形中，，而，則有，
于是得，PB中點(diǎn)，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，
與共線的單位向量為，
所以平面的單位法向量.
故答案為：
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
【答案】C
【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)，
則有，即，
令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以＝(－2，1，1)，故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知四邊形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一個(gè)法向量．
【答案】
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，
，
設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為，
則有，
是平面SCD的一個(gè)法向量．
題型02利用向量方法證明線線平行
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知在正四棱柱中，,，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．
(1)求證：且；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）在正四棱柱中，可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，．
（1）由，，，
得且，
所以且．
（2），由于，顯然，故．
【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)、在棱、上，且，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)．求證：直線直線．
【答案】證明見(jiàn)解析.
【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以、與的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
則、、、、、、、，
由題意知、、、，
∴，．
∴，又，不共線，
∴.
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面是一個(gè)直角梯形，其中,,,，且底面，與底面成角．

(1)若，求該幾何體的體積；
(2)若垂直于，證明：；
(3)在（2）的條件下，上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)存在．
【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，
，
，
此時(shí)；
（2），
，
；
（3）由，E點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，
設(shè)，由，得，存在．

【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，線段與直線和都垂直，求證：.
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，設(shè)=(a，b，c)，
則即取=(1，1，-1).
易知，
∴，
∴，
即PQ∥BD1.
題型03利用向量方法證明線面平行
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，
若直線與平面平行，則，即，即，解得.
故選：C．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，，且平面，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)椋S為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，，
則，，，，
所以，，，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以，當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以，解得，
故選：B
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
若，則，，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面
平面的其中一個(gè)法向量為，
所以，即，
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面.
【典例4】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．證明：平面；
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】證明：因?yàn)锽C⊥CD，AD⊥平面BCD，故以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，
過(guò)點(diǎn)C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè) ,， ，， ,，Q，
(,,0)，
∵平面BCD的法向量可取為，
則，又平面BCD，
∴PQ平面BCD．
【典例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在斜三棱柱 中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，分別是，的中點(diǎn)，平面⊥平面.
(1)求證：平面；
(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)存在，.
【詳解】（1）在斜三棱柱 中，連接，如圖，
因四邊形是菱形，則，又D，E分別是AC，的中點(diǎn)，有，因此，，
因△ABC為正三角形，則，又平面⊥平面，平面平面，平面，
于是得平面，又平面，從而得，
而，平面，
所以平面.
（2）連接，菱形中，，則是正三角形，而D是AC的中點(diǎn)，即有，
由(1)知，兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
令，則，
，，
令是平面的一個(gè)法向量，則，令得，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)M，使得平面，則，令，
，因平面，則，，解得，
所以在線段上存在點(diǎn)M，使得平面，此時(shí).
【變式1】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，為中點(diǎn)，若直線平面，則點(diǎn)的位置可能是（ ）
A．線段中點(diǎn) B．線段中點(diǎn) C．線段中點(diǎn) D．線段中點(diǎn)
【答案】ABD
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)分別為，
不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，
，設(shè)平面的法向量，則，
令，則，又，
則，
，
又平面，則都平行于平面，即若直線平面，
則點(diǎn)F的位置可能是線段中點(diǎn)，線段中點(diǎn)或線段中點(diǎn).
故選：ABD.
【變式2】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）設(shè)直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，．若直線平面，則實(shí)數(shù)的值為__________．
【答案】-4
【詳解】若直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直，
由此可得，解得.
故答案為：
【變式3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在上，且，，求證：平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】因?yàn)榫匦魏途匦嗡谄矫婊ハ啻怪保曰ハ啻怪保?br/>不妨設(shè)的長(zhǎng)分別為，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則， ， ， ，
所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
又平面的一個(gè)法向量是
由,得.
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面.
【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求證：；
(2)在上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，確定點(diǎn)位置并說(shuō)明理由，若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)在上存在點(diǎn)使得平面，且為的中點(diǎn)．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>如圖所示，在直三棱柱中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
因?yàn)椋?br/>所以，，即.
（2）若存在點(diǎn)使平面，則，，
，，，，
因?yàn)槠矫妫源嬖趯?shí)數(shù)、，使成立，
則，解得，
故在上存在點(diǎn)使平面，此時(shí)點(diǎn)為中點(diǎn).
題型04利用向量方法證明面面平行
【典例1】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知，分別是平面的法向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋謩e是平面的法向量，且，
所以，即，解得
故選：B
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點(diǎn)，求證：平面平面．
【答案】證明過(guò)程見(jiàn)詳解
【詳解】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD兩兩垂直，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以，，，，
設(shè)是平面EFG的法向量，
則，，即，得，
令，則，，所以，
設(shè)是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，則，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是,的中點(diǎn)，
求證：（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）設(shè)=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則⊥，⊥，
即得令z1=2，則y1=-1，
所以=(0，-1，2).因?yàn)椤?-2+2=0，所以.
又因?yàn)镕C1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
設(shè)=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，則y2=-1，所以=(0，-1，2).
因?yàn)?，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【典例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，為底面的中心，是的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】存在，為的中點(diǎn).
【詳解】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．
證明如下：設(shè)符合題意．連接，，．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，，
∴，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，∴平面的一個(gè)法向量為．
若平面平面，則也是平面的一個(gè)法向量．
∵，
∴，∴，
又，
∴當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
(1)用向量法證明平面平面；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，，
故，，，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令，則，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令，則，
所以，即，
故平面平面；
【變式2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)，分別是正方形和正方形的中心．求證：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
，
，
所以，
由于，所以平面.
（2）設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè).
，
，平面，
所以平面.
（3），
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè).
，
顯然，平面與平面不重合，所以平面平面.
題型05 利用向量方法證明線線垂直
【典例1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知下面給出的四個(gè)圖都是各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱，為一個(gè)頂點(diǎn)，，，分別是所在棱的中點(diǎn)．則滿足直線的圖形個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】令棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱為，令的中點(diǎn)為O，的中點(diǎn)為，，
連接，顯然，而平面，則平面，而，
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
對(duì)于①，點(diǎn)A，D，F(xiàn)分別與點(diǎn)P，O，重合，點(diǎn)E為棱中點(diǎn)，則，
，有，因此，圖①滿足；
對(duì)于②，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別棱的中點(diǎn)，
有，，
，與不垂直，圖②不滿足；
對(duì)于③，點(diǎn)A，D，E分別與點(diǎn)P，，O重合，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，
有，，
，與不垂直，圖③不滿足；
對(duì)于④，點(diǎn)A，F(xiàn)分別與點(diǎn)N，重合，點(diǎn)D，E分別棱的中點(diǎn)，
有，，
，因此，圖④滿足，
所以滿足直線的圖形個(gè)數(shù)是2.
故選：B
【典例2】（多選）（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)校考期中）點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，若正方體邊長(zhǎng)為，則的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，
，，
因?yàn)椋瑒t，所以，，
所以，.
故選：BC.
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

【答案】證明見(jiàn)詳解
【詳解】證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，分別是的中點(diǎn)，
所以，
所以，
所以，
由，
所以，
即.
【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，，，分別是，，的中點(diǎn)．求證：；
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】因?yàn)槿庵侵比庵?br/>所以面，又面，故，
因?yàn)椋裕瑒t兩兩垂直，
故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
故，所以，
所以，故.
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>則，解得.
故選：B.
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在上，為的中點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由于直三棱柱，且，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則．由，可得．
設(shè)，則
，，即，解得．
所以
故選：B
【變式3】（2023秋·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，其中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)求證：.
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系可得，.
（2）∵，，
∴，.
即，
∴，
故.
【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且.
(1)求證：；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）證明：如圖建立坐標(biāo)系
設(shè)，則，，，
所以，，
所以，
所以；
題型06利用向量方法證明線面垂直
【典例1】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）已知是直線的方向向量，是平面的法向量．若，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】若，則，
即，解得，且，即.
故選：C.
【典例2】（2023春·江蘇南通·高二海門中學(xué)校考期中）正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線段上，且．點(diǎn)在平面上，且平面，則線段的長(zhǎng)為________．
【答案】/
【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，則是靠近的線段的三等分點(diǎn)，，
，，
在平面上，設(shè)，則，
由AP⊥平面MBD1，得，解得，
所以，．
故答案為：．
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，為的中點(diǎn)．求證：平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，
所以AO⊥BC，
因?yàn)樵谡庵鵄BC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
平面ABC，則，
，平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
則，
可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，平面，
所以AB1⊥平面A1BD.
【典例4】（2023春·四川達(dá)州·高二校考階段練習(xí)）在直四棱柱 中，四邊形為平行四邊形,為的中點(diǎn)，.
(1)求證: 面；
(2)求三棱錐 的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)三棱錐 的體積為.
【詳解】（1）方法一：四邊形為平行四邊形，
，又，
，，又平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
，即，，
，平面，平面.
方法二：因?yàn)椋傻茫?br/>，
又 ， .
又是直四棱柱，
平面，平面，.
，平面，
平面，平面，
，
取中點(diǎn)，連接，
且，為平行四邊形，，
= ，，
，，
又，，
又，平面，
平面；
（2）在中，，
所以，
在中，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以為直角三角形，其面積，
因?yàn)槊妫?br/>所以三棱錐 的底面上的高為，
在中，，
所以，
所以.
所以三棱錐 的體積為.
【典例5】（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，
平面，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面．
(2)若，線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，理由見(jiàn)解析.
【詳解】（1）
如圖1，連結(jié)交于點(diǎn).
因?yàn)槭钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面.
（2）存在，理由如下：
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>因?yàn)闉檎叫危裕?br/>又，平面，平面，
所以平面．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，分別以為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2，
則，，，，，，
所以.
令，
則,
所以，所以.
因?yàn)椋?br/>設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，所以，
取，則是平面的一個(gè)法向量.
因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以有，解得，所以.
因?yàn)椋?br/>所以.
【變式1】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)校考期末）已知直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則______．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，解得，
所以.
故答案為：.
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上的一點(diǎn)，且,若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則 ,
所以，
由,可得，
所以,
平面,
所以,
所以,
即，
解得，
當(dāng)為線段上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，平面.
故選:.
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn).請(qǐng)用空間向量知識(shí)解決下列問(wèn)題：
(1)求證：；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)槊婷妫婷妫妫?br/>所以面，又面，所以，
又因?yàn)樵谡叫沃校詢蓛纱怪保?br/>以D為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，所以，
故，，
所以，故即.
（2）由（1）得，，，
所以，則即，
又，故即，
又，平面，
所以平面.
【變式4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
，易知平面的一個(gè)法向量為，
，則，
平面，故平面；
（2）設(shè)平面的法向量為，，，
由，得，取，可得，
所以，，故平面.
【變式5】（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點(diǎn)，．
(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)不存在，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）連接AC，因?yàn)镕為BD中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，所以F為AC中點(diǎn)，
又E為PA中點(diǎn)，所以，
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
（2）不存在．
假設(shè)存在，連接AC，BD，交于點(diǎn)F，EF為平面EDF和平面PAC的交線，
取的中點(diǎn)O，連接，則，
因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，面底面，面，
所以面，又因?yàn)槊妫裕?br/>以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量是，
∵，即，令，則，
∵因?yàn)槠矫鍱DF，∴，∴，，，
∵，共線，，，
∴，
∴，無(wú)解，
故在棱PC上不存在一點(diǎn)G，使平面EDF．
題型07利用向量方法證明面面垂直
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，分別為，的中點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．點(diǎn)在直線上，若平面平面，則線段的長(zhǎng)為_________．
【答案】/
【詳解】連接EO，因，則，而平面，且平面平面，
平面平面，于是得平面，又平面，平面，
即有，，而四邊形BCDO是邊長(zhǎng)為1的正方形，
以O(shè)為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
因，，則，
則，
設(shè)，，，
設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量，則，令，得，
設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量，則，令，得，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BE，則有，即，解得，
所以線段AN的長(zhǎng)為．
故答案為：
【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是一個(gè)正三角形，平面，，且，是的中點(diǎn)．求證：平面平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，
則，
所以，
設(shè)平面ECA的一個(gè)法向量是，
則，
取，則，即，
設(shè)平面DEA的一個(gè)法向量是，
則，
取，則，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以平面DEA⊥平面ECA.
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．證明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解
(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解
【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1)，則，
所以為平面PAD的一個(gè)法向量，
又，所以BE⊥AB，
又平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，
則，即，令y＝1，可得z＝1，所以，
又，
所以，所以平面PAD⊥平面PCD．
【典例4】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2．
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在 ，
【詳解】（1）證明：，
，
又平面平面，
所以平面，
平面，
，
又平面平面，
平面；
（2）解：存在，理由如下：
平面，
∴ 以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得平面平面，
設(shè)，
則，
，
，
設(shè)平面的法向量，
由，
得，
令，
得．
設(shè)平面的法向量為，
，
故，
取，
得．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以，
解得，
所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，且．
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，，為的中點(diǎn)，求證：平面平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【詳解】由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以BA，BC，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，
故 ＝(0，0，1)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，1)， ，
設(shè)平面AA1C1C的法向量為＝(x，y，z)，
則，即
令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．
設(shè)平面AEC1的法向量為＝(a，b，c)，
則，即,
令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．
因?yàn)椋?×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接、，設(shè)中點(diǎn)為．
(1)證明：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)這樣的點(diǎn)F存在，為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)
【詳解】（1）易得，
所以直二面角的平面角為∠PDA＝90°，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以PD平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以PDBC，
又在平面四邊形ABCP中，由已知數(shù)據(jù)可得，，且，
所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD，
故BC平面PBD，
因?yàn)锽C平面PBC，所以平面PBD平面PBC；
（2）假設(shè)線段BD上存在一點(diǎn)F，使得EF平面PBC，
則由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，則以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，則PB的中點(diǎn)E(1，1，1)，
因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BD上，所以，所以，
則，
又，設(shè)平面PBC的法向量為，
所以令則，所以，
因?yàn)镋F平面PBC，所以，所以，解得，
所以線段BD上存在一點(diǎn)F，使得EF平面PBC，且為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或直線在平面內(nèi)B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以直線l與平面的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).
故選：A.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【詳解】，，，
則有，
又是直線l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.
故選：B
3．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，平面，其中是平面的一個(gè)法向量，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)是平面內(nèi)的一點(diǎn)，則，
所以，即，選項(xiàng)滿足．
故選：B
4．（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面，，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，為平面的一個(gè)法向量，則的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】依題意得，，則
設(shè)，則
，取則，所以
故選：D
5．（2023春·浙江杭州·高一杭師大附中校考期中）在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為棱的中點(diǎn)，若平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】方法1：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，
可得，，，，，，
設(shè)，，
可得,,，可得,,，可得,,，
,
設(shè)平面法向量為，，，可得，可得，令，可得，
由于平面，則，可得，
解得，即．
方法2：連接,交于點(diǎn),則,連接,延長(zhǎng)DP交B1D1于G,
由于平面，平面,且平面平面,
所以,
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則,故直角三角形中，,所以，所以,
由,所以四邊形為平行四邊形，所以根據(jù),故
故選：A
6．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知直線，且l的方向向量為，平面的法向量為，則（ ）
A．1 B． C． D．8
【答案】C
【詳解】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，
由，可得，即，解得.
故選：C.
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考三模）在正方體中，M是線段（不含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．平面平面
C．平面 D．平面
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫妫蔅正確；
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，.
設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，
則有可取，得.
又，
則，故A不正確；
因?yàn)椋裕蔇不正確；
因?yàn)椋裕蔆不正確．
故選：B．

8．（2023秋·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）如圖， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【詳解】
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得 ,，
則,
所以，
設(shè)平面EFC的法向量為，
則，解得， 令，則，
所以平面EFC的一個(gè)法向量為.
因?yàn)槠矫鍱FC，則，
設(shè)，則，所以，
解得，所以，即.
故選：C
二、多選題
9．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知直線的方向向量為，兩個(gè)不重合的平面，的法向量分別為，，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋瑸槠矫娴姆ㄏ蛄浚詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以.故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄浚本€的方向向量為，且，所以或在面內(nèi).故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)閮蓚€(gè)不重合的平面，的法向量分別為，，且，由垂直于同一直線的兩平面平行可知：.故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?
又因?yàn)閮蓚€(gè)不重合的平面，的法向量分別為，，
所以由面面垂直的判定定理可得：.故D正確.
故選：ACD
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．
B．若為線段的中點(diǎn)，則平面
C．點(diǎn)B到平面CEF的距離為
D．的最小值為48
【答案】ABC
【詳解】因?yàn)槭蔷匦危裕?br/>又因?yàn)榫匦嗡谄矫媾c正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面與正方形相交于，
所以平面，而平面，
所以，而是正方形，所以，因此建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有，
因?yàn)椋?br/>所以有，因此選項(xiàng)A正確；
當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，，，
設(shè)平面的法向量為，
于是有，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以選項(xiàng)B正確；
，，
所以點(diǎn)B到平面CEF的距離為，因此選項(xiàng)C正確；
設(shè)，，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值47，因此本選項(xiàng)不正確，
故選：ABC
三、填空題
11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的方向向量為，平面α的法向量為，若l⊥α，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
【答案】/
【詳解】因?yàn)閘⊥α，所以與共線，
則存在實(shí)數(shù)m使得，且，
可得，解得，
故答案為：.
12．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是______________ （填寫正確的序號(hào)）
【答案】①③
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
對(duì)于①，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，所以，所以，即，所以①正確，
對(duì)于②，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以②錯(cuò)誤，
對(duì)于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，所以，所以，即，所以③正確，
對(duì)于④，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以④錯(cuò)誤，
故答案為：①③
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點(diǎn)，且．
(1)求證：平面PBC；
(2)求證：平面BDE．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，，
所以，，即，，
又因?yàn)椋矫鍼BC．
所以平面PBC．
（2）證明：由（1）可得，，．
設(shè)平面BDE的法向量為，
則，即令，得，，
則是平面BDE的一個(gè)法向量，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE．
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).證明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）證明：　依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，，可得.由為棱的中點(diǎn)，得.
(1)向量，故.
所以.
（2）取的中點(diǎn)，設(shè)為，連接， 分別是的中點(diǎn)，且，由題意知，，且，即四邊形為平行四邊形，即，面面，平面.
（3）底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.
B能力提升
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（ ）
A．平面
B．存在點(diǎn)，使平面
C．存在點(diǎn)，使
D．
【答案】D
【詳解】當(dāng)與重合時(shí)，又平面，則平面，故A錯(cuò)誤；
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，又，∴，
，則，∴，
∵，，∴與不垂直，而平面，則與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；
，若，則，則，此方程無(wú)解，故不存在點(diǎn)，使，故C錯(cuò)誤；
∵，，，∴，故D正確．
故選：D．
2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖，在陽(yáng)馬中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
由題意可得，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，解得，令，則
所以平面的一個(gè)法向量為
因?yàn)槠矫妫瑒t
設(shè)，則，所以
解得，所以，即
故選:C.
3．（多選）（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的有（ ）

A．存在點(diǎn)，使得
B．過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面面積為
C．四面體的內(nèi)切球的表面積為
D．點(diǎn)在棱上，且，若，則滿足條件的的軌跡是圓
【答案】BC
【詳解】對(duì)于A，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，；
若，則，即，與題意矛盾，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?br/>所以可得、、、四點(diǎn)共面，
所以過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面為以為底的等腰梯形，
，
過(guò)點(diǎn)作，所以，
所以梯形的高為，
所以，，故B正確；

對(duì)于C，如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)三棱錐的體積，

可知四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，
取的外心，連接，則平面，
則，則，所以，

所以四面體的高，
設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，
，
即，，所以C正確；
對(duì)于D，，，∵，∴，
即，可得軌跡為圓：，
所以，圓心，，又，
所以，軌跡為圓：被四邊形截得的4段圓弧，
所以D錯(cuò)誤；
故選：BC.
4．（多選）（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).若點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面
B．當(dāng)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，平面
C．在線段的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)，使得平面
D．不存在點(diǎn)，使與平面垂直
【答案】ABC
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
易知，，，，，，，
所以，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，，
所以平面的一個(gè)法向量為.
假設(shè)平面，且，
則.
因?yàn)橐彩瞧矫娴姆ㄏ蛄浚?br/>所以與共線，
所以成立，
但此方程關(guān)于無(wú)解，因此不存在點(diǎn)，使與平面垂直，所以選項(xiàng)ABC不正確，選項(xiàng)D正確.
故選：ABC.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在多面體中，，，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點(diǎn)是否共面，并說(shuō)明理由；
(2)在中，試在邊的中線上確定一點(diǎn)，使得平面．
【答案】(1)，，，四點(diǎn)共面，理由見(jiàn)解析
(2)為中點(diǎn)
【詳解】（1）答案：四點(diǎn)共面.
證明：取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，
則在等邊三角形中，，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?br/>同理，得平面，平面，
所以，，兩兩垂直，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，
設(shè)，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，
因?yàn)闉楣颤c(diǎn)，所以，，，四點(diǎn)共面.
（2）解：設(shè)，故，
若平面，則，即，解得，
所以為中點(diǎn)時(shí)，平面．

2．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，．

(1)當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；
(2)當(dāng)時(shí)，直線BP與平面所成角的正切值的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，是否存在唯一個(gè)點(diǎn)P，使得平面ADP，若存在，求出P點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)線段，
由于， 平面 , 平面,所以平面,
故，
所以其體積為定值．
（2）當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，2為半徑的圓弧上，
設(shè) 相交于點(diǎn)
因?yàn)椋矫妫云矫妫本€BP與平面所成角為，

如圖，點(diǎn)的軌跡為半圓 ,其中為點(diǎn)軌跡與邊的交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí) ,當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，此時(shí),
，，，
．
（3）如圖建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，
當(dāng)時(shí)，C，，P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)線段，
設(shè)，由平面ADP得，，，
，
，化簡(jiǎn)得 ，解得或2．
，故不存在P點(diǎn)滿足題意．

3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.
(1)求證：平面平面；
則，取.
由平面平面，知，有，解得.
故在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面平面.
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