資源簡介

第04講 1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義 ②會用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運算 ③會求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明 利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機結(jié)合，并能進行相關(guān)的計算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.
知識點01：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
1、空間直角坐標(biāo)系
空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系.
(2)相關(guān)概念：叫做原點，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．
2、空間向量的坐標(biāo)表示
2.1空間一點的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對空間任意一點，對應(yīng)一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點的橫坐標(biāo)，叫做點的縱坐標(biāo)，叫做點的豎坐標(biāo)．
2.2空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記作.
【即學(xué)即練1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為________．
【答案】
【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，則有.
所以向量用坐標(biāo)形式表示為.
故答案為：
知識點02：空間向量運算的坐標(biāo)表示
設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示：
運算 坐標(biāo)表示
加法
減法
數(shù)乘
數(shù)量積
知識點03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標(biāo)表示
1、兩個向量的平行與垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個坐標(biāo)平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒有意義了.
【即學(xué)即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個空間向量，，且，則實數(shù)的值為__________．
【答案】
【詳解】因為，，且，
所以，即，即，解得.
故答案為：
2、向量長度的坐標(biāo)計算公式
若，則，即
空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度
3、兩個向量夾角的坐標(biāo)計算公式
設(shè)，則
【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量與所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，，， ，
因為，設(shè)存在實數(shù)，使得，
所以，則.
因為，，則.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量與所成角的余弦值為.
4、兩點間的距離公式
已知，則
題型01空間向量的坐標(biāo)表示
【典例1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點，若點在平面內(nèi)，則點的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸 軸 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點及向量坐標(biāo)表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開學(xué)考試）已知點，，點滿足，則點的坐標(biāo)是________.
【變式1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為1，，則等于
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）若 ，點在線段上，且，則點的坐標(biāo)是___________.
題型02空間向量的坐標(biāo)運算
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
(1)寫出，，，四點的坐標(biāo)；
(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．
【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點、，且滿足，則點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
題型03空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量的數(shù)量積）
【典例1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）若向量，滿足條件，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，．求．
【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
題型04空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問題）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在長方體中，，，，，分別是棱，，上的點，且，，，是平面內(nèi)一動點，若直線與平面平行，則的最小值為（ ）
A． B．17 C． D．
【典例2】（2023春·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學(xué)校考開學(xué)考試）正四面體的棱長為2，動點在以為直徑的球面上，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，______．
【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，，，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)校考期末）已知是長方體外接球的一條直徑，點P在長方體表面上運動，長方體的棱長分別為1、1、，則的取值范圍為________.
題型05空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量的模（距離，長度））
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學(xué)校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，在棱上，且，H為的中點．求||.
【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則_____．
【變式1】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知，，且，則為______.
題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）
【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，且，則____________．
題型07空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量模的最值（范圍）問題）
【典例1】（2022·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為4，點是棱的中點，動點在正方形內(nèi)（包括邊界）運動，且平面，則長度的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，點在線段上，求線段長的最小值．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)的最小值是2，則的最小值是_________．
【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.
【變式2】（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為________．
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，則的最小值為__________．
題型08空間向量的夾角問題（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二校考期末）已知空間向量，，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，，則與的夾角的大小是________．
【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)校考模擬預(yù)測）若向量，，且,的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（ ）.
A．0 B． C．0或 D．0或
【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．
【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值.
題型09空間向量的投影向量（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學(xué)校考期末）已知，，則在上的投影向量為（ ）
A．1 B． C． D．
題型10空間向量的平行關(guān)系（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，且，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知兩個向量，，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【典例3】（2023·高二單元測試）向量，，，且，，則______.
【變式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）設(shè)，向量，，，且，，則（ ）
A． B． C．4 D．3
【變式2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
題型11空間向量的垂直關(guān)系（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開學(xué)考試）已知，，且與互相垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量．
(1)求；
(2)當(dāng)時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；
(3)若向量與向量共面向量，求的值．
【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知點、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若與垂直，求．
【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，.
(1)求與的夾角余弦值；
(2)若，求的值.
【變式2】（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）已知向量，，，且．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值．
題型12易錯題型根據(jù)空間向量成銳角（鈍角）求參數(shù)
【典例1】（多選）（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的值可能為（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例2】（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為______.
【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為________．
【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）若，，若與的夾角是鈍角，則的值的取值范圍為__________.
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.
1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，，則（ ）
A． B．40 C．6 D．36
3．（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中），，，若，，共面，則實數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)，向量，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·高二課時練習(xí)）已知，，與的夾角為120°，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長方體中，，若棱上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》里，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，且，則的最大值為（ ）.
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）空間中三點是坐標(biāo)原點，則（ ）
A．
B．
C．點關(guān)于平面對稱的點為
D．與夾角的余弦值是
10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為
三、填空題
11．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量滿足，且，則_________，在上的投影向量的坐標(biāo)為______________．
12．（2023·高三課時練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.
四、解答題
13．（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量與向量所成角的余弦值.
14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（1）已知向量.
①計算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求實數(shù)；
②若，求實數(shù).
B能力提升
1．（2023秋·陜西西安·高二長安一中校考期末）在棱長為2的正方體中，點分別在棱和上，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知，，則取最小值時的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
問題：如圖，在正方體，中，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系．已知點的坐標(biāo)為，為棱上的動點，為棱上的動點，______，則是否存在點，，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
第04講 1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解和掌握空間向量的坐標(biāo)表示及意義 ②會用向量的坐標(biāo)表達(dá)空間向量的相關(guān)運算 ③會求空間向量的夾角、長度以及有關(guān)平行、垂直的證明 利用空間向量的坐標(biāo)表示，將形與數(shù)有機結(jié)合，并能進行相關(guān)的計算與證明是學(xué)習(xí)空間向量及運算的關(guān)鍵.也是解決空間幾何的重要手段與工具.
知識點01：空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
1、空間直角坐標(biāo)系
空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系.
(2)相關(guān)概念：叫做原點，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．
2、空間向量的坐標(biāo)表示
2.1空間一點的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對空間任意一點，對應(yīng)一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點的橫坐標(biāo)，叫做點的縱坐標(biāo)，叫做點的豎坐標(biāo)．
2.2空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記作.
【即學(xué)即練1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為________．
【答案】
【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，則有.
所以向量用坐標(biāo)形式表示為.
故答案為：
知識點02：空間向量運算的坐標(biāo)表示
設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示：
運算 坐標(biāo)表示
加法
減法
數(shù)乘
數(shù)量積
知識點03：空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標(biāo)表示
1、兩個向量的平行與垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個坐標(biāo)平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒有意義了.
【即學(xué)即練2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個空間向量，，且，則實數(shù)的值為__________．
【答案】
【詳解】因為，，且，
所以，即，即，解得.
故答案為：
2、向量長度的坐標(biāo)計算公式
若，則，即
空間向量長度公式表示的是向量的長度，其形式與平面向量長度公式一致，它的幾何意義是表示長方體的體對角線的長度
3、兩個向量夾角的坐標(biāo)計算公式
設(shè)，則
【即學(xué)即練3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量與所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，，， ，
因為，設(shè)存在實數(shù)，使得，
所以，則.
因為，，則.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量與所成角的余弦值為.
4、兩點間的距離公式
已知，則
題型01空間向量的坐標(biāo)表示
【典例1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點，若點在平面內(nèi)，則點的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，，
顯然，不共線，
根據(jù)向量基本定理可得，
故C點坐標(biāo)為，
經(jīng)驗算只有B選項符合條件，
此時，
故選：B
【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸 軸 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點及向量坐標(biāo)表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】在等邊中，，所以，則，，則.
故選：ABC
【典例3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開學(xué)考試）已知點，，點滿足，則點的坐標(biāo)是________.
【答案】
【詳解】設(shè)，為坐標(biāo)原點.由點滿足，得，可得，則點的坐標(biāo)是.
故答案為：．
【變式1】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為1，，則等于
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為1， 則
故選C．
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）若 ，點在線段上，且，則點的坐標(biāo)是___________.
【答案】
【詳解】解：點 ，為線段上一點，且，
所以，
設(shè)點的坐標(biāo)為，則，
則，即，
解得，即；
故答案為：．
題型02空間向量的坐標(biāo)運算
【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)(2)2(3)4
【詳解】（1）由，得
（2）
（3）
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
(1)寫出，，，四點的坐標(biāo)；
(2)寫出向量，，，的坐標(biāo)．
【答案】(1)點，點，點C，
(2)；；；．
【詳解】（1）點在z軸上，且，
所以點的坐標(biāo)是．
同理，點C的坐標(biāo)是．
點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，
它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，0，2，所以點的坐標(biāo)是．
點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，
它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3，4，2，所以點的坐標(biāo)是．
（2）；
；
；
．
【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【詳解】因為，，，且，，三向量共面，
設(shè)，則，
即，解得.
故選：D
【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點、，且滿足，則點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)點，由，則，
所以，，解得，故點.
故選：B.
題型03空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量的數(shù)量積）
【典例1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）若向量，滿足條件，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【詳解】根據(jù)向量的運算可得：
，
所以
，
所以，
故選：B
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，．求．
【答案】
【詳解】由向量，，
可得.
【變式1】（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，
由，得，
解得.
故選：B.
【變式2】（2023秋·天津·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
，
故選：A
題型04空間向量數(shù)量積（坐標(biāo)形式求空間向量數(shù)量積的最值范圍問題）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在長方體中，，，，，分別是棱，，上的點，且，，，是平面內(nèi)一動點，若直線與平面平行，則的最小值為（ ）
A． B．17 C． D．
【答案】A
【詳解】以D作坐標(biāo)原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面MPN的法向量為，
則，
令，則，故，
設(shè)，則，
因為直線與平面平行，所以，
，
因為，所以，
故
，
故當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
故選：A
【典例2】（2023春·山東煙臺·高二山東省煙臺第一中學(xué)校考開學(xué)考試）正四面體的棱長為2，動點在以為直徑的球面上，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【詳解】設(shè)的中點為，以為原點建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，，
，
在以為球心，以為半徑的球面上，
，
，，
令，
則直線與單位圓相切時，截距取得最小值，
令，解得或
的最大值為.
故選：C
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，______．
【答案】/
【詳解】解：因為點在直線上運動，，
所以設(shè)，
則
，
所以當(dāng)時，取得最小值，此時，
所以
故答案為：
【變式1】（2023秋·河南鄭州·高二鄭州市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，，，，點在直線上運動，則當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，
由點在直線上，可得存在實數(shù)使得，
即，可得,
所以,
則，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時，取得最小值，此時.
故選：C.
【變式2】（2023秋·上海徐匯·高二南洋中學(xué)校考期末）已知是長方體外接球的一條直徑，點P在長方體表面上運動，長方體的棱長分別為1、1、，則的取值范圍為________.
【答案】
【詳解】因為MN是長方體外接球的一條直徑，長方體的棱長分別為1、1、
所以，如圖，
設(shè)，則
因為
當(dāng)時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi)，
又
當(dāng)時取等號，此時點P在ABCD平面內(nèi).
即所求的范圍是.
故答案為：
題型05空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量的模（距離，長度））
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學(xué)校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【詳解】因為，，且，
所以，即，所以，
所以，
故選：C．
【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為，的中點，在棱上，且，H為的中點．求||.
【答案】
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點，
則有，，，，，，，，
.
【典例3】（2023秋·山東日照·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則_____．
【答案】
【詳解】因為，所以，解得
所以，.
故答案為：
【變式1】（2023秋·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)校考期末）已知，，且，則為______.
【答案】
【詳解】，，且，
，
即，解得
又
故答案為：
題型06空間向量的模（根據(jù)空間向量的模求參數(shù)）
【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，且，則____________．
【答案】3
【詳解】因為，
所以，
可得，
因為，解得，故答案為3.
題型07空間向量的模（坐標(biāo)形式求空間向量模的最值（范圍）問題）
【典例1】（2022·高二課時練習(xí)）已知正方體的棱長為4，點是棱的中點，動點在正方形內(nèi)（包括邊界）運動，且平面，則長度的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】以D為原點，以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，，，.
取的中點為H，連接，.
在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
又面，面，
所以面.
同理可證：面.
又，所以平面平面．
因為平面，所以點P只能在線段上運動．易知，設(shè)（），，則，，
，
．
當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值36．
故PC長度的取值范圍為．
故選：C
【典例2】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，點在線段上，求線段長的最小值．
【答案】
【詳解】依題意，、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，則，，
設(shè)，，則，
設(shè)，，則．
若線段EF的長最小，則必滿足，則，可得，即，
因此，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以線段EF長的最小值為．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知單位空間向量滿足．若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)的最小值是2，則的最小值是_________．
【答案】
【詳解】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，
由可設(shè)，由是單位空間向量可得，
由可設(shè)，
，
當(dāng)，的最小值是2，所以 ，取，
，
，
當(dāng)時，最小值為.
故答案為：.
【變式1】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.
【答案】4
【詳解】是空間相互垂直的單位向量，
設(shè)，，設(shè)，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，
的最小值是4．
故答案為：4．
【變式2】（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為________．
【答案】
【詳解】由題意可設(shè)，，,
由，得，
，
，
所以
（當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立），
所以的最小值為.
故答案為：.
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，則的最小值為__________．
【答案】/
【詳解】解：，，
∴
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為
故答案為：.
題型08空間向量的夾角問題（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023秋·山東臨沂·高二校考期末）已知空間向量，，且，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，解得，則，
，，
設(shè)向量與的夾角為，則，
，，即與的夾角為．
故選：A．
【典例2】（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【答案】A
【詳解】因為，
所以，，
又與夾角的余弦值為，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故選：A.
【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知空間三點，，，則與的夾角的大小是________．
【答案】120°
【詳解】由題意，空間三點A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
則，
所以,
又因為，所以.
故答案為：
【典例4】（2023秋·河南周口·高二統(tǒng)考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以.
（2）因為，所以，
又因為，所以
故與夾角的余弦值為.
【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)校考模擬預(yù)測）若向量，，且,的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（ ）.
A．0 B． C．0或 D．0或
【答案】C
【詳解】由題意得，解得或，
故選:C．
【變式2】（2023春·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．
【答案】/
【詳解】因為，，由空間向量的夾角公式可得，
，
所以、夾角的余弦值是，
故答案為：.
【變式3】（2023秋·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）∵，，
∴，，
∴；
（2）設(shè)與的夾角為，則，
，，，，
∴，
∴向量與夾角的余弦值為.
題型09空間向量的投影向量（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】向量在向量上的投影向量為.
故選:C.
【典例2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因為，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐標(biāo)是，
故選：D.
【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以，
所以，
所以在上的投影向量為
故選：B
【變式2】（2023秋·廣東廣州·高二秀全中學(xué)校考期末）已知，，則在上的投影向量為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：因為，，所以，
所以，
所以在上的投影向量為
故選：C
題型10空間向量的平行關(guān)系（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，，且，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】，，
則，
由，可得，解之得
故選：B
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知兩個向量，，且，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故選：C
【典例3】（2023·高二單元測試）向量，，，且，，則______.
【答案】
【詳解】因，，而，則有，解得，即
又，且，則有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案為：
【變式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）設(shè)，向量，，，且，，則（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【詳解】因為，故，故，
因為，故，故，故，，
故，故，
故選：D.
【變式2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，，若，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：若，則，
因為已知向量，，所以，解得，
所以.
故選：.
題型11空間向量的垂直關(guān)系（坐標(biāo)形式）
【典例1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考開學(xué)考試）已知，，且與互相垂直，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)題意，向量 .，，則， ，，，2，，
若向量.與.互相垂直，則有，
解可得：；
故選：D.
【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量．
(1)求；
(2)當(dāng)時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；
(3)若向量與向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【詳解】（1），，
，
．
（2）因為，
所以，解得，
因為，且向量與垂直，
所以，
即，
．
所以實數(shù)和的值分別為和；
（3）解：設(shè)，
則
解得，
即，
所以向量與向量，共面．
【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知點、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若與垂直，求．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【詳解】（1）、，，，且，
設(shè)，且，
解得，或；
（2）、、，，，
，，
；
（3），，
又與垂直，
，
解得或．
【變式1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知向量，.
(1)求與的夾角余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，，
所以，
，，
所以；
（2），
因為，所以，
解得.
【變式2】（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）已知向量，，，且．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值．
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1）因為，所以，使得，
所以有，解得，所以，.
（2）由（1）知，，所以，.
因為，所以，
即，解得.
題型12易錯題型根據(jù)空間向量成銳角（鈍角）求參數(shù)
【典例1】（多選）（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)的值可能為（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】CD
【詳解】因為與的夾角為銳角，
所以，解得，
當(dāng)與共線時，，解得，所以實數(shù)x的取值范圍是，
經(jīng)檢驗，選項C、D符合題意.
故選：CD
【典例2】（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【詳解】解：因為向量，，且與的夾角為鈍角，
所以，且，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【詳解】由已知與的夾角為鈍角，則，
即，解得.
若a與b的夾角為180°，則存在，使.
所以，所以，，所以且.
故t的取值范圍是.
故答案為：.
【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）若，，若與的夾角是鈍角，則的值的取值范圍為__________.
【答案】
【詳解】已知，，
因為與的夾角是鈍角，所以，即，
即，解得.
若與的夾角為180°，則存在，使，
所以，解得，.
所以，且.
故的取值范圍是.
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.
【答案】
【詳解】因為與的夾角是銳角，所以，
即，解得，
若與的夾角為，則存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范圍是.
故答案為：.
1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
A夯實基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，，解得：.
故選：B.
2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，，則（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【詳解】由題意，
∵，，
∴，
∴.
故選：C.
3．（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中），，，若，，共面，則實數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】向量，，，
若向量，，共面，則存在唯一的實數(shù)對，使，
即
，解得，
實數(shù)的值為．
故選：D
4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
又向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐標(biāo)為.
故選：C.
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)，向量，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】向量，
且，
∴，解得
∴，
∴，選項C正確.
故選：C．
6．（2023春·高二課時練習(xí)）已知，，與的夾角為120°，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，0，，，，，，
所以，，，
所以，
所以，且，解得：．
故選：A．
7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長方體中，，若棱上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，
則，，，
，，
，
，
即，所以，
當(dāng)時，所以，所以．
故選：C．
8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》里，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，且，則的最大值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可知三棱柱為直三棱柱，且，
以為坐標(biāo)原點， 分別為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

因為，則，
由于動點在“塹堵”的側(cè)面上運動，則存在實數(shù)使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化簡可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以的最大值為.
故選：B.
二、多選題
9．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）空間中三點是坐標(biāo)原點，則（ ）
A．
B．
C．點關(guān)于平面對稱的點為
D．與夾角的余弦值是
【答案】AB
【詳解】，，故A正確；
，，
，故B正確；
由點關(guān)于平面對稱的點為，故C錯誤；
因為，所以D錯誤.
故選：AB
10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為
【答案】BD
【詳解】因為，所以，不垂直，A錯，
因為，所以，B對，
因為，所以，所以不是鈍角，C錯，
因為在方向上的投影向量，D對，
故選：BD.
三、填空題
11．（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知向量滿足，且，則_________，在上的投影向量的坐標(biāo)為______________．
【答案】
【詳解】兩邊平方化簡得：，①
因為，所以，
又，代入①得：，解得：，
，
所以，在上的投影向量坐標(biāo)為
．
故答案為：2，．
12．（2023·高三課時練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.
【答案】∪
【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范圍是∪.
故答案為：∪.
四、解答題
13．（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量與向量所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，，
所以，解得，故，
又因為，
所以，即，解得，故，
故.
（2）由（1）得，，
，
所以，
故向量與向量所成角的余弦值為.
14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）（1）已知向量.
①計算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求實數(shù)；
②若，求實數(shù).
【答案】（1）①，；②；（2）①；②
【詳解】（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因為向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
B能力提升
1．（2023秋·陜西西安·高二長安一中校考期末）在棱長為2的正方體中，點分別在棱和上，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【詳解】
如圖所示，以為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，
，當(dāng)時取得最大值.
故選：B
2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知，，則取最小值時的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，，
所以，
則，
由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：當(dāng)時，取最小值，
故選：.
3．（2023春·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)， ，故，,，,
由可知，，即，
又因為為鈍角，所以，
由,,可知，，
，整理得，
解得，
故選：D.
4．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以當(dāng)λ＝時，取得最小值，此時＝＝，
即點Q的坐標(biāo)為.
故選：C
5．（2023春·高二課時練習(xí)）已知向量，，，若向量與所成角為鈍角，則實數(shù)的范圍是______.
【答案】
【詳解】解：因為，，，
所以，解得，
所以，
所以，，
因為向量與所成角為鈍角，
所以，解得，
若向量與共線，則，解得，
此時與共線同向，
綜上可得.
故答案為：
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記，其中．則MN的長的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】平面平面，平面平面，，平面，平面，
則以為坐標(biāo)原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
；
則，
當(dāng)時，最小，最小值為.
故選：A.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩個非零向量，，定義．若，，則___________．
【答案】
【詳解】因為，，
所以，
故，
所以，
故答案為：
3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學(xué)校考期末）已知，，點，．
(1)求的值．
(2)在線段AB上，是否存在一點E，使得？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（O為坐標(biāo)原點）
【答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）因為，，
所以，
則.
（2）假設(shè)線段AB上存在一點E，使得，則設(shè)，
因為，，所以，
又因為，
所以，
因為，，
所以，解得，滿足，
所以，即，
所以線段AB上存在一點E，使得，且.
4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
則，，，，所以，．
設(shè)，，則．因為，
所以與不共線，所以，即，
則，
故不存在點，滿足．
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