資源簡介

第03講 1.2 空間向量基本定理
課程標準 學習目標
①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內容及含義。 ②理解基底與基向量的含義，會用恰當的基向量表示空間任意向量。 ③會用相關的定理解決簡單的空間幾何問題。 1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標形式表示空間向量. 2.結合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關問題.
知識點01：空間向量基本定理
1、空間向量基本定理
如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得
2、基底與基向量
如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．
對基底正確理解，有以下三個方面：
（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；
（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；
（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．
【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，
所以，即，
又，
所以.
故選：D

知識點02：空間向量的正交分解
1、單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用表示．
2、正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標．記作此時向量的坐標恰是點在空間直角坐標系中的坐標其中分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．
3、特殊向量的坐標表示
（1）當向量平行于軸時，縱坐標、豎坐標都為，即
（2）當向量平行于軸時，縱坐標、橫坐標都為，即
（3）當向量平行于軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為，即
（4）當向量平行于平面時，豎坐標為，即
（5）當向量平行于平面時，橫坐標為，即
（6）當向量平行于平面時，縱坐標為，即
題型01空間向量基底的概念及辨析
【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知為空間的一個基底，則下列各選項能構成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學校考期中）設且是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）為空間的一組基底，則下列各項中能構成基底的一組向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統考期末）是空間的一個基底，與、構成基底的一個向量可以是（ ）
A． B． C． D．
題型02 用空間基底表示向量
【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）在平行六面體中，，相交于，為的中點，設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統考期末）四棱錐中，底面是平行四邊形，點為棱的中點，若，則等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例3】（2023·陜西·統考一模）空間四邊形中，與是四邊形的兩條對角線，，分別為線段，上的兩點，且滿足，，若點在線段上，且滿足，若向量滿足，則______．
【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）在四面體中，，是的中點，且為的中點，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）如圖，在平行六面體中，是的中點，點在上，且，設，，．則（ ）

A． B．
C． D．
【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知四面體，是的重心，是上一點，且，若，則為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（2023·全國·高三對口高考）已知正方體中，側面的中心是，若，則_________，_________．

題型03應用空間向量基本定理證明線線位置關系
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間四邊形中，，且，，分別是，的中點，是的中點，求證：．
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證: 這個四面體相對的棱兩兩垂直.
已知：如圖，四面體，分別為棱的中點，且求證 .
【典例3】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．
(1)用，，表示向量；
(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．
【變式1】（2023春·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，， ，求證：直線平面
【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中校考階段練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求證：共面；
(3)當為何值時，．
題型04應用空間向量基本定理求距離、夾角
【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求與的夾角的余弦值．
【典例2】（2023秋·福建三明·高二統考期末）如圖，在四面體中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.
【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）如圖，平行六面體中，，，
(1)求對角線的長度；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【典例4】（2023·高一單元測試）如圖，三棱柱中，，分別是上的點，且．設，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，求的長．
【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）已知在平行六面體中，，，且.
(1)求的長；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【變式2】（2023·全國·校聯考一模）如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，，分別是，，的中點．設，，.
(1)求證；
(2)求異面直線和所成角的余弦值．
【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為3，且，是的中點，設，，，用、、表示向量，并求的長．
第03講 1.2 空間向量基本定理
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023秋·高二課時練習）已知為三條不共面的線段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023·高二校考課時練習）對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關系：，則（ ）
A．四點必共面 B．四點必共面
C．四點必共面 D．五點必共面
3．（2023春·江西贛州·高二校聯考階段練習）已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）已知四面體，G是的重心，P是線段OG上的點，且，若，則為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·高二校考課時練習）已知直線AB，BC， 不共面，若四邊形的對角線互相平分，且，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）在平行六面體中，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考期中）如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若是與的交點，則（ ）．
A．9 B．7 C．3 D．
8．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，點G為的重心，點M在上，且，過點M任意作一個平面分別交線段，，于點D，E，F，若，，，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多選題
9．（2023春·江蘇常州·高二校考開學考試）給出下列命題，其中正確的有（ ）
A．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底
B．是空間四點，若不能構成空間的一組基底，則共面
C．若，則點四點共面
D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底
10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．的長為 D．
三、填空題
11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯考期末）如圖，在平行六面體中，O是AC與BD交點．記，
則________（結果用表達）．
12．（2023秋·河北唐山·高二統考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，，，則______.
四、解答題
13．（2023春·高二課時練習）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且.求證：B，G，N三點共線.
14．（2023春·四川綿陽·高二校考期中）如圖，在空間四邊形中，已知E是線段的中點，G在上，且．
(1)試用表示向量；
(2)若，求的值．
B能力提升
1．（2023·江蘇·高二專題練習）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱
，設底邊和側棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為___________；過點A作一個平面分別交于點E F G進行切割，得到四棱錐，若，則的值為___________.
4．（2022·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設，，．
(1)用，，表示，；
(2)設的重心為G，用，，表示；
(3)當時，求a的取值范圍．
第03講 1.2 空間向量基本定理
課程標準 學習目標
①理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內容及含義。 ②理解基底與基向量的含義，會用恰當的基向量表示空間任意向量。 ③會用相關的定理解決簡單的空間幾何問題。 1.通過對空間向量基本定理的意義的掌握與了解，會用空間向量的基底表示空間任一向量，能用正交分解及坐標形式表示空間向量. 2.結合平面向量與空間向量的基本定理，解決平面與立體幾何的相關問題.
知識點01：空間向量基本定理
1、空間向量基本定理
如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得
2、基底與基向量
如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．
對基底正確理解，有以下三個方面：
（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；
（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；
（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．
【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，
所以，即，
又，
所以.
故選：D

知識點02：空間向量的正交分解
1、單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底 ，常用表示．
2、正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得. 像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．
我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標．記作此時向量的坐標恰是點在空間直角坐標系中的坐標其中分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．
3、特殊向量的坐標表示
（1）當向量平行于軸時，縱坐標、豎坐標都為，即
（2）當向量平行于軸時，縱坐標、橫坐標都為，即
（3）當向量平行于軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為，即
（4）當向量平行于平面時，豎坐標為，即
（5）當向量平行于平面時，橫坐標為，即
（6）當向量平行于平面時，縱坐標為，即
題型01空間向量基底的概念及辨析
【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知為空間的一個基底，則下列各選項能構成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以是共面向量，不能構成基底，A不正確；
因為不是共面向量，所以可以構成基底，B正確；
因為與平行，所以不能構成基底，C不正確；
因為，所以共面，不能構成基底，D不正確.
故選：B.
【典例2】（多選）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學校考期中）設且是空間的一個基底，則下列向量組中，可以作為空間一個基底的向量組有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】如圖所示，令，則，又，
由A、B1、C、D1四點不共面知：向量不共面，
同理和也不共面.
故選：BCD
【變式1】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）為空間的一組基底，則下列各項中能構成基底的一組向量是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【詳解】對選項A：，向量共面，故不能構成基底，錯誤；
對選項B：，向量共面，故不能構成基底，錯誤；
對選項C：假設，即，這與題設矛盾，假設不成立，可以構成基底，正確；
對選項D：，向量共面，故不能構成基底，錯誤；
故選：C
【變式2】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統考期末）是空間的一個基底，與、構成基底的一個向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【詳解】由于，故與、共面，無法構成空間的一個基底，故B錯誤；
因為是空間的一個基底，由于不存在實數對、，使得，
若成立則，顯然方程組無解，故、與可以作為空間的一個基底，故A正確，同理可得C、D正確；
故選：ACD
題型02 用空間基底表示向量
【典例1】（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）在平行六面體中，，相交于，為的中點，設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
如圖所示，，
故選：C
【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三統考期末）四棱錐中，底面是平行四邊形，點為棱的中點，若，則等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【詳解】因為，
所以，所以，所以 ，
所以，
故選：A.
【典例3】（2023·陜西·統考一模）空間四邊形中，與是四邊形的兩條對角線，，分別為線段，上的兩點，且滿足，，若點在線段上，且滿足，若向量滿足，則______．
【答案】
【詳解】因為
，
所以．
故答案：.
【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學校考期中）在四面體中，，是的中點，且為的中點，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為，所以，

因為Q是的中點，所以，
因為M為PQ的中點，所以，
故選：A.
【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）如圖，在平行六面體中，是的中點，點在上，且，設，，．則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為P是的中點，
所以，
又因為點Q在上，且，
所以
，
所以，
故選：C.
【變式3】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知四面體，是的重心，是上一點，且，若，則為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，
，則，
由題設，，
所以.
故選：A
【變式4】（2023·全國·高三對口高考）已知正方體中，側面的中心是，若，則_________，_________．
【答案】 / /
【詳解】由于，
所以，，
故答案為：；．

題型03應用空間向量基本定理證明線線位置關系
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）已知空間四邊形中，，且，，分別是，的中點，是的中點，求證：．
【答案】證明見解析
【詳解】在空間四邊形OABC中，令，則，
令，G是MN的中點，如圖，
則，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證: 這個四面體相對的棱兩兩垂直.
已知：如圖，四面體，分別為棱的中點，且求證 .
【答案】證明見解析
【詳解】證明：設
則
，
，
，
，
，
又
，同理可證，
這個四面體相對的棱兩兩垂直.
【典例3】（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．
(1)用，，表示向量；
(2)在線段上是否存在點，使？若存在，求出的位置，若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)當時，
【詳解】（1）解：因為是中點，所以，
所以
；
（2）解：假設存在點，使，設，，
顯然，，
因為，所以，
即，
，，，
即，
解得，所以當時，.
【變式1】（2023春·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，， ，求證：直線平面
【答案】證明見解析
【詳解】設，，，則為空間的一個基底且，，.
因為AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，
所以，.
在平面BDD1B1上，取、為基向量，則對于面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序實數對(λ,μ)，使得.
所以，.
所以是平面BDD1B1的法向量．
所以A1C⊥平面BDD1B1.
【變式2】（2022秋·北京順義·高二牛欄山一中校考階段練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求證：共面；
(3)當為何值時，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)1
【詳解】（1）．
（2）證明：，，
，共面．
（3）當，，
證明：設，
底面為菱形，則當時，，
，，
，
，
．
題型04應用空間向量基本定理求距離、夾角
【典例1】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求與的夾角的余弦值．
【答案】
【詳解】設，，，
由已知可得.
因為，
，
所以，，
，
，
所以，，
所以，，
故直線與的夾角的余弦值為.
【典例2】（2023秋·福建三明·高二統考期末）如圖，在四面體中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）在四面體中，設，，，則，，
，，，
.
（2）由（1）知，因為，則，因為F是CD中點，則，如圖，
于是得，
因此
，即有，
所以線段EF的長為.
【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中校考期末）如圖，平行六面體中，，，
(1)求對角線的長度；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為，，
所以三角形為等腰直角三角形，所以，
又因為，，
所以三角形為邊長為1的等邊三角形，
以向量為基底，
則有，
兩邊平方得
，
所以，
即,
所以對角線的長度為3；
（2）因為，，，，
所以
,
所以,
即異面直線與所成角的余弦值為.
【典例4】（2023·高一單元測試）如圖，三棱柱中，，分別是上的點，且．設，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，求的長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的長為.
【變式1】（2023春·廣西南寧·高二統考開學考試）已知在平行六面體中，，，且.
(1)求的長；
(2)求向量與夾角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）在平行六面體中，為空間的一個基底，
因為，，且，
則，
，
所以
.
（2）由（1）知，，則，
又，所以向量與夾角的余弦值.
【變式2】（2023·全國·校聯考一模）如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，，分別是，，的中點．設，，.
(1)求證；
(2)求異面直線和所成角的余弦值．
【答案】(1)證明過程見解析；
(2)
【詳解】（1）證明：連接DE，
因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，
所以，
故，
又因為，平面，
所以平面，
因為平面，
所以.
（2）由題意得：均為等邊三角形且邊長為1，
所以
，，
所以
，
設異面直線AG和CE所成角為，
則
【變式3】（2023秋·遼寧沈陽·高二校聯考期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為3，且，是的中點，設，，，用、、表示向量，并求的長．
【答案】，
【詳解】解：因為是的中點，底面是正方形，
所以
，
又由題意，可得，，，，
，
因此
，
所以，即的長為.
第03講 1.2 空間向量基本定理
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023秋·高二課時練習）已知為三條不共面的線段，若，那么（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】根據向量加法法則可得：，
即，
因為，
所以，，，
所以，，，所以.
故選：B.
2．（2023·高二校考課時練習）對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關系：，則（ ）
A．四點必共面 B．四點必共面
C．四點必共面 D．五點必共面
【答案】B
【詳解】對于空間任一點和不共線三點，若點滿足且，則四點共面.
而，其中，所以四點共面.
故選：B.
3．（2023春·江西贛州·高二校聯考階段練習）已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，
，
，
所以向量，，均與向量，共面．
故選：C
4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）已知四面體，G是的重心，P是線段OG上的點，且，若，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，
∵，
∴．
故選：B．
5．（2023·高二校考課時練習）已知直線AB，BC， 不共面，若四邊形的對角線互相平分，且，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，知，，不共面，四邊形為平行四邊形，，
為空間的一組基底.
，又，
，，，，
.
故選：D.
6．（2023春·安徽合肥·高二校考開學考試）在平行六面體中，，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】以為基底向量，可得，
則
，
∴．
故選：C.
7．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考期中）如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若是與的交點，則（ ）．
A．9 B．7 C．3 D．
【答案】D
【詳解】解：在平行六面體中，四邊形是平行四邊形，又是，的交點，
所以是的中點，
所以，，
又，，，
所以
，即．
故選：D．
8．（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，點G為的重心，點M在上，且，過點M任意作一個平面分別交線段，，于點D，E，F，若，，，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【詳解】連接并延長，交于點，
以為空間一組基底，
由于是的重心，點M在上，且，
所以
①.
連接，因為四點共面，
所以存在實數，使得，
即，
②，
由①②以及空間向量的基本定理可知：
，
，
所以.
故選：C
二、多選題
9．（2023春·江蘇常州·高二校考開學考試）給出下列命題，其中正確的有（ ）
A．已知向量，則與任何向量都不能構成空間的一組基底
B．是空間四點，若不能構成空間的一組基底，則共面
C．若，則點四點共面
D．已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間一組基底
【答案】ABD
【詳解】對A：若，則與任何向量均共面，故與任何向量都不能構成空間的一組基底，A正確；
對B：若不能構成空間的一組基底，則共面，則共面，B正確；
對C：若，則，
∵，
故點四點不共面，C錯誤；
對D：∵是空間向量的一組基底，則不共面，
若，則不共面，故也是空間一組基底，D正確.
故選：ABD.
10．（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C．的長為 D．
【答案】BD
【詳解】根據題意，依次分析選項：
對于A選項，，A錯誤，
對于B選項，，B正確：
對于C選項，，則，
則，C錯誤：
對于，則，D正確.
故選：BD.
三、填空題
11．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯考期末）如圖，在平行六面體中，O是AC與BD交點．記，
則________（結果用表達）．
【答案】
【詳解】在平行六面體中，，則O是BD的中點，
即，
所以.
故答案為：
12．（2023秋·河北唐山·高二統考期末）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點，，，則______.
【答案】
【詳解】因為，所以，
即，，
下面證明：已知，若三點共線，則，
因為三點共線，所以存在非零實數，使得，
即，整理得，
故，，所以，
因為三點共線，
故，解得：.
故答案為：
四、解答題
13．（2023春·高二課時練習）如圖，已知M，N分別為四面體A-BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且.求證：B，G，N三點共線.
【答案】證明見解析.
【詳解】證明：取CD的中點E，連接AE，BE，
因為M，N分別為四面體A-BCD的面DCD與面ACD的重心，
所以M在BE上，N在AE上，
設，，，
因為M為BCD的重心，
所以
因為，所以，
所以，
同理得，
∴.
又，
∴B，G，N三點共線
14．（2023春·四川綿陽·高二校考期中）如圖，在空間四邊形中，已知E是線段的中點，G在上，且．
(1)試用表示向量；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，
∴，
∴又
∴
（2）由（1）可得知
．
B能力提升
1．（2023·江蘇·高二專題練習）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因，則，即，
而，則共面，點M在平面內，
又，即，于是得點N在直線上，
棱長為1的正四面體中，當長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，當長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，
，而，，
所以.
故選：A
2．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，
則
，
又，，，
則，，
因此，
.
故選：B
3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，為棱的中點，，，與平面交于點，則________.
【答案】
【詳解】設，其中，
，
，，
因為、、、四點共線，則向量、、共面，
由共面向量定理可知，存在、使得，
即
，
所以，，解得.
故答案為：.
C綜合素養
1．（2023春·浙江溫州·高二校聯考期中）點在線段上（不含端點），為直線外一點，且滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，
又點在線段上（不含端點），所以，且，則，
所以
，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
2．（2023春·江蘇常州·高二校聯考期中）一種糖果的包裝紙由一個邊長為6的正方形和2個等腰直角三角形組成（如圖1），沿AD，BC將2個三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2），連接EF，AE，CF，AC，若點P滿足且，則的最小值為 ___________ .
【答案】
【詳解】因為點P滿足且，
所以四點共面，即是平面上的動點，
所以的最小值即為到平面的距離.
由題意，幾何體可補成邊長為6的正方體，如圖，
則可知，
設到平面的距離為，
則,
即，
解得，
所以的最小值為.
故答案為：
3．（2023·全國·高三專題練習）在通用技術課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質正四棱錐模型，設底邊和側棱長均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為___________；過點A作一個平面分別交于點E F G進行切割，得到四棱錐，若，則的值為___________.
【答案】 /0.75
【詳解】第一空，設AC，BD交于點O,連接PO,
由于為正四棱錐，故PO為四棱錐的高，
由底邊和側棱長均為4可得， ,
,
即點O到點P,A,B,C,D的距離相等，故O即為該正四棱錐的外接球球心，
則外接球半徑為 ，故外接球表面積為 ；
第二空， ,
設,則,
由于點A,E,F,G四點共面，故，解得，
故，則，
故答案為：；
即對任意，都有
即a的取值范圍為.
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