資源簡介

第01講 1.1.1空間向量及其線性運算
課程標準 學習目標
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論. ②會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算. 1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算、數量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的求解. 2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.
知識點01：空間向量的有關概念
1、空間向量的有關概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.
【即學即練1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有______個.
【答案】7
【詳解】與模長相等的向量有：共有7個.
故答案為：7
知識點02：空間向量的加法、減法運算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內，以任意點為起點，作向量，
2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運算律
（1）加法交換律：
（2）加法結合律：
【即學即練2】（2023秋·浙江臺州·高二期末）如圖，在平行六面體中，E是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】．
故選：A.
知識點03：空間向量的數乘運算
1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．
2：數乘向量與向量的關系
的范圍 的方向 的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反
3、對數乘向量與向量的關系的進一步理解：
（1）可以把向量模擴大（當時），也可縮小（當時）；可以不改變向量的方向（當時），也可以改變向量的方向（當時）．
（2）實數與向量的積的特殊情況：當時，；當時，若，則．
（3）實數與向量可以求積，但是不能進行加減，例如，，沒有意義，無法運算．
【即學即練3】（2023春·高一課時練習）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點，，與平面交于點M，則＝________.
【答案】
【詳解】由題可設，
因為，
所以，
因為M，E，F，G四點共面，
所以，
解得.
故答案為：.
知識點04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因為當時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數,使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使．
或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內（四點共面）的充要條件是存在有序實數對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
【即學即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【詳解】因為，
所以由
得，
即，
因為為空間任意一點，滿足任意三點不共線，且四點共面，
所以，故.
故選：A.
題型01 空間向量的有關概念
【典例1】（2023春·高二課時練習）已知為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（　　）
A．與共面的單位向量有無數個
B．與垂直的單位向量有無數個
C．與平行的單位向量只有一個
D．與同向的單位向量只有一個
【典例2】（2023春·高二課時練習）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個數為（ ）．
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·高二課時練習）下列命題中為真命題的是（ ）
A．空間向量與的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點為向量的起點、終點，求：
（1）與相等的向量；
（2）與相反的向量；
（3）與平行的向量．
題型02 空間向量加減運算及幾何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯考期末）已知在空間四邊形中，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯考期中）正方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統考開學考試）在長方體中，為線段的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·北京大興·高二統考期末）空間向量（ ）
A． B． C． D．
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，四邊形 都是平行四邊形且不共面，,分別是 的中點，判斷與是否共線？
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數）
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）已知是空間的一個基底，若，，若，則（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2】（2023春·高二課時練習）設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數的值為______.
【變式1】（2023春·高二課時練習）設是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A， B， D三點共線，求實數k的值．
【變式2】（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省揚中高級中學校考階段練習）設是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數______．．
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學附屬中學校考期末）空間四點及空間任意一點，由下列條件一定可以得出四點共面的有（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·高二課時練習）設空間任意一點和不共線的三點，，，若點滿足向量關系（其中），試問：，，，四點是否共面？
【變式1】（2023春·高一課時練習）下列條件中，一定使空間四點P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023秋·高二課時練習）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數）
【典例1】（2023春·高一課時練習）已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·高二課時練習）已知為空間中一點，四點共面且任意三點不共線，若，則的值為______．
【變式1】（2023春·高二課時練習）如圖,平面內的小方格均為正方形,點為平面內的一點,為平面外一點,設,則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統考期末）是空間向量的一組基底，，，，已知點在平面內，則______.
題型07空間向量共面（推論及其應用）
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·高一課時練習）已知為空間中任意一點，、、、四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數的值為_________.
【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且，則 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學校考階段練習）已知點在確定的平面內，是空間任意一點，實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
題型08空間向量數乘運算及幾何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方體，點E是的中點，點F是的三等分點，且，則等于（ ）．
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·高二課時練習）如圖，已知為空間的9個點，且，，，，，.
求證：（1）；
（2）.
【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學校考階段練習）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學附屬中學校考期末）在平行六面體中，點M滿足．若，則下列向量中與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
1.1.1空間向量及其線性運算
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023秋·高二課時練習）當，且不共線時，與的關系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定
2．（2023·山東棗莊·統考模擬預測）如圖，在長方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）如圖，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設G是CD的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學校考期末）已知在長方體中，，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2023秋·山東威海·高二統考期末）在平行六面體中，點E滿足，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·江蘇·高二專題練習）已知為空間任一點，，，，四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，、分別是、的中點，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點，則下列命題錯誤的是（ ）
A．存在平面和點，使得平面
B．存在平面和點，使得平面
C．對任意的平面，線段平分線段
D．對任意的平面，線段平分線段
二、多選題
9．（2023春·高二課時練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．空間的任意三個向量都不共面
B．空間的任意兩個向量都共面
C．三個向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面
10．（2023·全國·高二專題練習）下列命題中正確的是（ ）
A．若∥，則∥
B．是共線的必要條件
C．三點不共線，對空間任一點，若，則四點共面
D．若為空間四點，且有（不共線），則是三點共線的充要條件
三、填空題
11．（2023·全國·高二專題練習）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數______.
12．（2023·江蘇·高二專題練習）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由確定的一點P與A，B，C三點共面，則_________．
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．
14．（2023春·高二課時練習）如圖所示，已知矩形，為平面外一點，且平面，、分別為、上的點，且，，求滿足的實數的值．
B能力提升
1．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯考階段練習）四面體中，，是的中點，是的中點，設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·高二課時練習）已知長方體，，，M是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023春·高二課時練習）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，則三角形周長最小值是___________.
C綜合素養
1．（多選）（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，P為空間一點，且滿足，，則（　　）
A．當時，點P在棱上 B．當時，點P在棱上
C．當時，點P在線段上 D．當時，點P在線段上
2．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點，且．若，則的值為__；若為棱的中點，平面，則的值為__．
3．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.
第01講 1.1.1空間向量及其線性運算
課程標準 學習目標
①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論. ②會進行空間向量的線性運算，空間向量的數量積，空間向量的夾角的相關運算. 1．理解空間向量的相關概念的基礎上進行與向量的加、減運算、數量積的運算、夾角的相關運算及空間距離的求解. 2．利用空間向量的相關定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.
知識點01：空間向量的有關概念
1、空間向量的有關概念
（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．
（2）幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為0的向量叫做零向量，記為
單位向量 模為1的向量稱為單位向量
相反向量 與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
2、空間向量的表示
表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：
（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點，叫向量的終點；
（2）字母表示法：用表示．向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或.
【即學即練1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有______個.
【答案】7
【詳解】與模長相等的向量有：共有7個.
故答案為：7
知識點02：空間向量的加法、減法運算
1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內，以任意點為起點，作向量，
2、空間向量的加法運算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即
3、空間向量的減法運算（共起點，連終點，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即
4、空間向量的加法運算律
（1）加法交換律：
（2）加法結合律：
【即學即練2】（2023秋·浙江臺州·高二期末）如圖，在平行六面體中，E是的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】．
故選：A.
知識點03：空間向量的數乘運算
1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．
2：數乘向量與向量的關系
的范圍 的方向 的模
與向量的方向相同
，其方向是任意的
與向量的方向相反
3、對數乘向量與向量的關系的進一步理解：
（1）可以把向量模擴大（當時），也可縮小（當時）；可以不改變向量的方向（當時），也可以改變向量的方向（當時）．
（2）實數與向量的積的特殊情況：當時，；當時，若，則．
（3）實數與向量可以求積，但是不能進行加減，例如，，沒有意義，無法運算．
【即學即練3】（2023春·高一課時練習）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點，，與平面交于點M，則＝________.
【答案】
【詳解】由題可設，
因為，
所以，
因為M，E，F，G四點共面，
所以，
解得.
故答案為：.
知識點04：共線向量與共面向量
1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．
在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點：
（1）零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因為當時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．
2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使．
2.1共線向量定理推論：如果為經過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數,使①，若在上取，則①可以化作：
2.2拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中
3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使
3.2空間共面向量的表示
如圖空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，使．
或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內（四點共面）的充要條件是存在有序實數對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
3.3拓展
對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．
【即學即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【詳解】因為，
所以由
得，
即，
因為為空間任意一點，滿足任意三點不共線，且四點共面，
所以，故.
故選：A.
題型01 空間向量的有關概念
【典例1】（2023春·高二課時練習）已知為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（　　）
A．與共面的單位向量有無數個
B．與垂直的單位向量有無數個
C．與平行的單位向量只有一個
D．與同向的單位向量只有一個
【答案】C
【詳解】解：與共面的單位向量，方向可任意，所以有無數個，故A正確；
與垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數個，故B正確；
與平行的單位向量，方向有兩個方向，故不唯一，故C錯誤；
與同向的單位向量，方向唯一，故只有一個，故D正確．
故選：C．
【典例2】（2023春·高二課時練習）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】對于①，當兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點和終點都不一定相同，①錯誤；
對于②，根據向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同，②錯誤；
對于③，根據正方體的性質，在正方體中，向量與向量的方向相同，模也相等，則，③正確；
對于④，由向量相等關系可知，④正確．
故選：C.
【變式1】（2023春·高二課時練習）下列命題中為真命題的是（ ）
A．空間向量與的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【答案】A
【詳解】對于A，因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，
對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤，
對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，
對于D，兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯誤，
故選：A
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點為向量的起點、終點，求：
（1）與相等的向量；
（2）與相反的向量；
（3）與平行的向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【詳解】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側棱都平行且相等，
∴與相等的向量為；
（2）連接，由平行六面體的性質可得，
∴是平行四邊形，
∴，與相反的向量為．
（3）連接，由平行六面體的性質可得，
∴是平行四邊形，
∴，與平行的向量為．
題型02 空間向量加減運算及幾何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯考期末）已知在空間四邊形中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，故G為CD的中點，如圖，
由平行四邊形法則可得，
所以.
故選：A.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯考期中）正方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統考開學考試）在長方體中，為線段的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為為線段的中點，所以,
所以，
因為長方體中，，
所以，即.
故選：C.
【變式2】（2023秋·北京大興·高二統考期末）空間向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
故選：D
題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，四邊形 都是平行四邊形且不共面，,分別是 的中點，判斷與是否共線？
【答案】共線.
【詳解】因為M N分別是AC BF的中點，而四邊形ABCD ABEF都是平行四邊形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即與共線.
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖所示，在正方體中，點在上，且，點在體對角線上，且．求證：，，三點共線．
【答案】證明見解析
【詳解】證明： 連接，．
∵
，
，
∴，∴．
又，∴，，三點共線．
題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數）
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學校考階段練習）已知是空間的一個基底，若，，若，則（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【詳解】，，
因為，所以存在實數，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故選：C
【典例2】（2023春·高二課時練習）設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數的值為______.
【答案】/0.4
【詳解】∵，，，
∴，又∵A，C，D三點共線，∴，
∴，∴.
故答案為：.
【變式1】（2023春·高二課時練習）設是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A， B， D三點共線，求實數k的值．
【答案】.
【詳解】因為，，則有，
又A， B， D三點共線，于是，即，而不共線，
因此，解得，
所以實數k的值是.
【變式2】（2023春·江蘇鎮江·高二江蘇省揚中高級中學校考階段練習）設是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數______．．
【答案】
【詳解】，，
，
三點共線，存在實數，使得，即，
，解得：．
故答案為：.
題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）
【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學附屬中學校考期末）空間四點及空間任意一點，由下列條件一定可以得出四點共面的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】對A：，定有共面，且有公共頂點，
故四點共面，故A正確；
對B：，，
故四點不共面，故B錯誤；
對C：，可得三點共線，
則四點一定共面，故C正確；
對D：，，
故四點一定共面，故D正確.
故選：ACD.
【典例2】（2023春·高二課時練習）設空間任意一點和不共線的三點，，，若點滿足向量關系（其中），試問：，，，四點是否共面？
【答案】共面
【詳解】解：，，，四點共面．
理由如下：，，
，
即，由，，三點不共線，可知和不共線，
由共面定理可知向量，，共面，
，，，四點共面．
【變式1】（2023春·高一課時練習）下列條件中，一定使空間四點P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】對于A選項，，，所以點與、、三點不共面；
對于B選項，，，所以點與、、三點不共面；
對于C選項，，，所以點與、、三點不共面；
對于D選項，，,所以點與、、三點共面.
故選：D.
【變式2】（2023秋·高二課時練習）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.
【答案】證明見解析
【詳解】由是不共面向量，得與不共線，
設，則，
所以，解得，所以，
所以這三個向量共面.
題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數）
【典例1】（2023春·高一課時練習）已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】四點共面的充要條件是，，整理可得，
由，則，解得，
故選：A.
【典例2】（2023春·高二課時練習）已知為空間中一點，四點共面且任意三點不共線，若，則的值為______．
【答案】
【詳解】依題意，四點共面且任意三點不共線，
所以，
所以，
，
，
所以，解得.
故答案為：
【變式1】（2023春·高二課時練習）如圖,平面內的小方格均為正方形,點為平面內的一點,為平面外一點,設,則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】由題知，
四點共面,
根據平面向量基本定理,
不妨設,，
則
,
，
,
.
故選:B
【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統考期末）是空間向量的一組基底，，，，已知點在平面內，則______.
【答案】3
【詳解】因為點在平面內，所以，，共面，
所以存在與 使得,
即，
所以，解得.
故.
故答案為:3.
題型07空間向量共面（推論及其應用）
【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由與三點共面以及，
可得，，所以.
故選：C.
【典例2】（2023春·高一課時練習）已知為空間中任意一點，、、、四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且，則實數的值為_________.
【答案】
【詳解】，
又∵是空間任意一點，、、、四點滿足任三點均不共線，但四點共面，
∴，
解得 x=，
故答案為：
【點睛】方法點睛：設是平面上任一點，是平面上的三點，（不共線），則三點共線，把此結論類比到空間上就是：不共面，若，則四點共面．
【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）在三棱錐中，M是平面ABC上一點，且，則 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
因為M是平面ABC上一點，即四點共面，
所以，所以．
故選：B.
【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學校考階段練習）已知點在確定的平面內，是空間任意一點，實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【詳解】由題意因為四點共面且平面唯一確定，，
所以，即，
所以，
由一元二次函數的圖像和性質可得當時，取得最小值，
所以，
故選：A
題型08空間向量數乘運算及幾何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方體，點E是的中點，點F是的三等分點，且，則等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故選：D．
【典例2】（2023春·高二課時練習）如圖，已知為空間的9個點，且，，，，，.
求證：（1）；
（2）.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【詳解】證明：（1）
∴.
（2）.
【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學校考階段練習）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
.
故選：D.
【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學附屬中學校考期末）在平行六面體中，點M滿足．若，則下列向量中與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由點M滿足，所以M為中點，
因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以M為中點,
所以，
所以.
故選：C
1.1.1空間向量及其線性運算
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023秋·高二課時練習）當，且不共線時，與的關系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定
【答案】A
【詳解】根據平行四邊形法則可得，以，為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應的向量分別為，
所以與共面.
故選：A.
2．（2023·山東棗莊·統考模擬預測）如圖，在長方體中，化簡（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由長方體的結構特征，有，
則.
故選：B
3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）如圖，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設G是CD的中點，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】G是CD的中點,所以
故選：A.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學校考期末）已知在長方體中，，則（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【詳解】依題知，，
∴，
∴．
故選：C.
5．（2023秋·山東威海·高二統考期末）在平行六面體中，點E滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由得，
整理得.
故選：A.
6．（2023·全國·高二專題練習）已知點在確定的平面內，是平面外任意一點，實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】因為，點在確定的平面內，
所以，即，所以，
所以當時，的有最小值2．
故選：D
7．（2023·江蘇·高二專題練習）已知為空間任一點，，，，四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】解：，，
又，，，四點滿足任意三點不共線，但四點共面，
，，
故選：B．
8．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，、分別是、的中點，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點，則下列命題錯誤的是（ ）
A．存在平面和點，使得平面
B．存在平面和點，使得平面
C．對任意的平面，線段平分線段
D．對任意的平面，線段平分線段
【答案】D
【詳解】對于A選項，當時，因為平面，平面，此時平面，A對；
對于B選項，當時，因為平面，平面，此時平面，B對；
對于C選項，取的中點，的中點為，設，，
則有，
同理可得，，
，
，
所以，所以，，
因為、、、四點共面，則，所以，，
所以，，則，
所以，，可得，
即、、三點共線，即的中點在上，即線段平分線段，C對；
對于D選項，若線段平分線段，又因為線段平分線段，則四邊形為平行四邊形，
事實上，四邊形不一定為平行四邊形，故假設不成立，D錯.
故選：D.
二、多選題
9．（2023春·高二課時練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．空間的任意三個向量都不共面
B．空間的任意兩個向量都共面
C．三個向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面
【答案】ACD
【詳解】A.如圖所示： ，三個向量共面，故錯誤；
B.由相等向量知：通過平移，兩個向量的起點總可以在同一點，故兩個向量都共面，故正確；
C.如圖所示：，在正方體中三個向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯誤；
D. 如圖所示：，在正方體中三向量兩兩共面，但這三個向量一定共面，故錯誤；
故選：ACD
10．（2023·全國·高二專題練習）下列命題中正確的是（ ）
A．若∥，則∥
B．是共線的必要條件
C．三點不共線，對空間任一點，若，則四點共面
D．若為空間四點，且有（不共線），則是三點共線的充要條件
【答案】ACD
【詳解】對于A,由∥，則一定有∥，故A正確；
對于B，由反向共線，可得，故B不正確；
對于C，由三點不共線，對空間任一點，若，則
，即，
所以四點共面，故C正確；
對于D,若為空間四點，且有（不共線），
當，即時，可得，即，
所以三點共線，反之也成立，即是三點共線的充要條件，
故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
11．（2023·全國·高二專題練習）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數______.
【答案】4
【詳解】以為空間一組基底，
由于三個向量共面，所以存在，
使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案為：
12．（2023·江蘇·高二專題練習）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由確定的一點P與A，B，C三點共面，則_________．
【答案】
【詳解】因為P，A，B，C四點共面，所以存在不全為0的使得，
O是平面ABC外任意一點，則，
即，
若A，B，C三點共線，則，即，
整理得：，所以，
此時若，則，
因為A，B，C三點不共線，，
所以，
所以，
令，則，
所以，所以．
故答案為：
四、解答題
13．（2023·江蘇·高二專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：．
【答案】證明見解析．
【詳解】，，，
，
，
因為、無公共點，故.
14．（2023春·高二課時練習）如圖所示，已知矩形，為平面外一點，且平面，、分別為、上的點，且，，求滿足的實數的值．
【答案】，，．
【詳解】，
所以，，，．
B能力提升
1．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯考階段練習）四面體中，，是的中點，是的中點，設，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為，所以，
因為Q是的中點，所以，
因為M為PQ的中點，所以，
故選：C.
2．（2023春·高二課時練習）已知長方體，，，M是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【詳解】如圖所示，E，F，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點，
則，，
所以平面平面，
所以動點P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內部.
又因為，所以點在側面，
所以點的軌跡為線段，
因為AB=AD=2，，
所以.
故選：A.
3．（2023春·高二課時練習）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，則三角形周長最小值是___________.
【答案】/
【詳解】根據題意，因為，其中，
所以點在線段上.
如圖所示，沿展開正三棱柱的側面，
故三角形周長為，
當、、三點共線時，取等號.
故答案為：.
C綜合素養
1．（多選）（2023春·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，P為空間一點，且滿足，，則（　　）
A．當時，點P在棱上 B．當時，點P在棱上
C．當時，點P在線段上 D．當時，點P在線段上
【答案】BCD
【詳解】當時，，所以，
則，即P在棱上，故A錯誤；
同理當時，則，故P在棱上，故B正確；
當時，，所以，即，
故點P在線段上，故C正確；
當時，，故點在線段上，故D正確．
故選：BCD．
2．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點，且．若，則的值為__；若為棱的中點，平面，則的值為__．
【答案】
【詳解】解：①，不妨取，
．
．
②連接，與交于點．連接，交于點，連接．
平面，．
點為的中點，點為的中點．
延長交線段的延長線于點．
，．
．
，
．
則．
故答案為：，．
3．（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.
【答案】為定值4；證明見解析；
【詳解】聯結AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，
則
.
聯結DM，點，，，M共面，故存在實數，
滿足，即，
因此，
由空間向量基本定理知，
，
故，為定值.
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