資源簡介

第11講 拓展五：圓錐曲線的方程（定值問題）
一、知識點歸納
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關，這類問題統(tǒng)稱為③定值問題．對學生邏輯思維能力計算能力等要求很高,這些問題重點考查學生方程思想、函數(shù)思想、轉化與化歸思想的應用．
探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：
① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關；
② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
解答的關鍵是認真審題，理清問題與題設的關系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。
常考題型：
①與面積有關的定值問題；②與角度有關的定值問題；③與比值有關的定值問題；
④與參數(shù)有關的定值問題；⑤與斜率有關的定值問題
二、題型精講
題型01圓錐曲線中的定點問題
【典例1】（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，右頂點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)、為橢圓上的不同兩點，設直線，的斜率分別為，，若，判斷直線是否經(jīng)過定點并說明理由．
【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）已知橢圓的左頂點為.橢圓的離心率為并且與直線相切.
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點（異于點），且.則直線是否恒過定點，如果過定點求出該定點坐標，若不過定點請說明理由.
【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線：的離心率為，且過．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于兩點，是的右頂點，且直線與的斜率之積為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．
【典例4】（2023春·廣東佛山·高二石門中學校考階段練習）已知為拋物線的焦點，為拋物線在第一象限上的一點，且軸，．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知直線與拋物線交于、兩點，且以為直徑的圓過點，證明：直線過定點．
【變式1】（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知橢圓C：經(jīng)過圓：的圓心，C的左焦點F到圓上的點的距離的最小值為．
(1)求C的標準方程．
(2)過點F作斜率之積為－1的兩條直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于M，N兩點，點P，Q分別滿足，，問：直線PQ是否過定點 若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，試說明理由．
【變式2】（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點到漸近線的距離等于.
(1)求雙曲線的方程.
(2)點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
【變式3】（2023·全國·高三對口高考）已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，的三個頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點，若所在直線l的方程為．
(1)求拋物線S的方程；
(2)若O是坐標原點，P，Q是拋物線S上兩動點，且滿足．試說明動直線是否過定點．
題型02圓錐曲線中的定值問題
【典例1】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知橢圓過點，點與關于原點對稱，橢圓上的點滿足直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點，已知點，點與關于原點對稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.

【變式2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的標準方程為，其中點為右焦點，過點作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點，過點作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點作的平行線，在直線上任取一點，連接與雙曲線相交于點，求證點到直線的距離是定值.
【變式3】（2023春·廣東·高二校聯(lián)考期末）設點F為拋物線C：的焦點，過點F且斜率為的直線與C交于A，B兩點（O為坐標原點）
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點作兩條斜率分別為，的直線，，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S.已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值 若存在，求的值，若不存在，請說明理由.
題型03圓錐曲線中的定直線問題
【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預測）橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為，，點在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程．
(2)過點的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經(jīng)過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【典例3】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形對于拋物線給出如下三個條件：
①焦點為②準線為③與直線相交所得弦長為．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線的方程
(2)已知是中拋物線的阿基米德三角形，點是拋物線在弦兩端點處的兩條切線的交點，若直線經(jīng)過點，試判斷點是否在一條定直線上如果是，求出定直線方程如果不是，請說明理由．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當點D的坐標為時，．
(1)求橢圓的方程．
(2)已知點C的坐標為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線：的離心率為，其左、右頂點分別為，，右焦點為，為的左支上不同于的動點，當?shù)目v坐標為時，線段的中點恰好在軸上．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點，連接交的右支于點，直線與直線相交于點，證明：當在的左支上運動時，點在定直線上．
【變式3】（2023春·江西鷹潭·高二貴溪市第一中學校考期中）設拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，當在上時，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）在線段上取點，滿足，，證明：點總在定直線上.
第11講 拓展五：圓錐曲線的方程（定值問題）
一、知識點歸納
在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關，這類問題統(tǒng)稱為③定值問題．對學生邏輯思維能力計算能力等要求很高,這些問題重點考查學生方程思想、函數(shù)思想、轉化與化歸思想的應用．
探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：
① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關；
② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
解答的關鍵是認真審題，理清問題與題設的關系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。
常考題型：
①與面積有關的定值問題；②與角度有關的定值問題；③與比值有關的定值問題；
④與參數(shù)有關的定值問題；⑤與斜率有關的定值問題
二、題型精講
題型01圓錐曲線中的定點問題
【典例1】（2023春·四川自貢·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，右頂點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)、為橢圓上的不同兩點，設直線，的斜率分別為，，若，判斷直線是否經(jīng)過定點并說明理由．
【答案】(1)
(2)直線經(jīng)過定點,理由見解析
【詳解】（1）由題意可知，，，則，
所以橢圓的標準方程為.
（2）直線經(jīng)過定點,理由如下，

若直線的斜率存在，設方程為，
則將直線方程代入橢圓方程消去可得，
，得，
設、，則有，，
，
，
，
化簡得，解得或，
當時，方程為，過定點，不合題意，
當時，方程為，過定點，
若直線的斜率不存在，設方程為，
設，，則，
即，解得，
此時方程為，顯然過點
綜上，直線經(jīng)過定點.
【典例2】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）已知橢圓的左頂點為.橢圓的離心率為并且與直線相切.
(1)求橢圓的方程；
(2)斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點（異于點），且.則直線是否恒過定點，如果過定點求出該定點坐標，若不過定點請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線恒過定點.
【詳解】（1）由題意可得，可得，
所以橢圓的方程為：，即，
聯(lián)立，整理可得：，
由題意可得，解得，，
所以橢圓的方程為：；

（2）因為，可得，即，由（1）可得，
由題意設直線的方程為：，，，，
聯(lián)立，整理可得：，
，即，且，，
所以
，
整理可得：，解得或（舍），
即時，不論為何值都符合，
所以直線的方程為，則直線恒過定點.

【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線：的離心率為，且過．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于兩點，是的右頂點，且直線與的斜率之積為，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點．
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，解得，，
所以雙曲線的方程為．
（2）設，，
聯(lián)立，得，
，
，，又
所以
，
所以，
所以直線的方程為，恒過定點．
【典例4】（2023春·廣東佛山·高二石門中學校考階段練習）已知為拋物線的焦點，為拋物線在第一象限上的一點，且軸，．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知直線與拋物線交于、兩點，且以為直徑的圓過點，證明：直線過定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為軸，，所以點的坐標為，
所以，又，所以，
所以拋物線方程為.
（2）設的方程為，代入有，
設，，則，，，
直線與拋物線交于、兩點，且以為直徑的圓過點，
所以，由（1）可得，
所以
即，，所以，
所以直線的方程為，即，令，解得，
直線恒過點．

【變式1】（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知橢圓C：經(jīng)過圓：的圓心，C的左焦點F到圓上的點的距離的最小值為．
(1)求C的標準方程．
(2)過點F作斜率之積為－1的兩條直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于M，N兩點，點P，Q分別滿足，，問：直線PQ是否過定點 若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，試說明理由．
【答案】(1)
(2)直線PQ過定點．
【詳解】（1）圓的方程可化為，故，半徑，將代入橢圓方程得．
設C的左焦點F的坐標為（－c，0），則，解得，
所以，所以C的標準方程為．
（2）直線PQ過定點，理由如下．
由（1）知，因為，的斜率之積為－1，所以，易知，的斜率存在且不為0．
由，，可知點P為線段AB的中點，點Q為線段MN的中點．
設的方程為，，，
由消去y，得，
則，所以，
所以點P的坐標為．
將點P坐標中的k換成，可得
當時，解得，此時直線PQ的方程為，恒過x軸上的點；
當時，，，
所以，即直線PQ過定點．
綜上所述，直線PQ過定點．
【變式2】（2023·海南海口·海南華僑中學校考模擬預測）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點到漸近線的距離等于.
(1)求雙曲線的方程.
(2)點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)直線過定點
【詳解】（1）由題意，取漸近線，
右頂點到該漸近線的距離，
又，，解得，，，
的方程為.
（2）由題意知直線的斜率存在且不為，
設直線：，
與的方程聯(lián)立，消去得，
易知，
由韋達定理得，則.
因為，所以，
用代替（顯然此時），
同理得，
得，
直線：，
過定點.
當時，直線的斜率不存在，
易知直線的方程為，過左焦點.
綜上，直線過定點.

【變式3】（2023·全國·高三對口高考）已知拋物線S的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，的三個頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點，若所在直線l的方程為．
(1)求拋物線S的方程；
(2)若O是坐標原點，P，Q是拋物線S上兩動點，且滿足．試說明動直線是否過定點．
【答案】(1)
(2)過定點
【詳解】（1）解：設拋物線的方程為，
聯(lián)立方程組，可得，
由，可得或，
設，則，
所以，
設，由的重心為，則，
所以，
因為點在拋物線上，所以，解得，
所以拋物線的方程為.
（2）解：當動直線的斜率存在時，設動直線的方程為，顯然，
因為，所以，
設，所以，所以，
聯(lián)立方程組，整理得，所以，
則，所以，
因為，所以，所以動直線的方程為，
此時動直線恒過定點.
當動直線的斜率不存在時，顯然軸，
因為，所以為等腰直角三角形，
由和，得到，
此時直線也過定點，
綜上可得，動直線恒過定點.
題型02圓錐曲線中的定值問題
【典例1】（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知橢圓過點，點與關于原點對稱，橢圓上的點滿足直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點，已知點，點與關于原點對稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，0
【詳解】（1）因為橢圓過點，所以，
設滿足，則，
又，
則，
所以橢圓的方程.
（2）直線，代入橢圓，可得，
由于直線交橢圓于兩點，所以，整理得.
設，由于點與關于原點對稱，所以，
于是有，
，
又，
于是有
故直線的斜率與直線的斜率之和為0.

【典例2】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）已知是圓上一動點，定點，線段的垂直平分線與直線交于點，記點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線與曲線恰有一個共點，且與直線，分別交于、兩點，的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由可知，，
因為線段的垂直平分線與直線交于點，
，所以或，
所以，所以，
所以，
所以由雙曲線的定義可知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線，
所以點的方程為．

（2）設直線斜率為，設直線方程為，
因為與直線，分別交于、兩點，所以，
聯(lián)立方程組得，
因為，所以，
因為直線與曲線恰有一個公共點，所以直線與曲線相切，
由，得，
聯(lián)立方程組得.
不直線與的交點為，則.
同理可求，所以.
因為原點到直線的距離，
所以，又因為，所以，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，又漸近線方程為：，
此時，.
故的面積為定值，且定值為.

【典例3】（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知點為直線上的動點，過點作射線（點位于直線的右側）使得，設線段的中點為，設直線與軸的交點為.
(1)求動點的軌跡的方程.
(2)設過點的兩條射線分別與曲線交于點，設直線的斜率分別為，若，請判斷直線的斜率是否為定值以及其是否過定點，若斜率為定值，請計算出定值；若過定點，請計算出定點.
【答案】(1)
(2)是，定值1；定點.
【詳解】（1）設點的坐標為，點，
其中、的中點為，由此可得直線的方程為，
可得點的坐標為，再結合可得，
整理得，所以動點的軌跡的方程為：.
（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程可得：，
設點的坐標為，根據(jù)韋達定理可得，，
其中，結合條件可得：，
整理可得，
結合直線的方程可化簡為：，
代入韋達定理可得，
通過分解因式可得即可得或，
當時，直線的斜率為定值；
當時，直線恒過定點.
【變式1】（2023春·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知直線過點且與圓：交于，兩點，過的中點作垂直于的直線交于點，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)設曲線與軸的交點分別為，，點關于直線的對稱點分別為，過點的直線與曲線交于兩點，直線相交于點.請判斷的面積是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是，8
【詳解】（1）由題意得，圓：的圓心為，半徑為,

因為為中點，且，所以是線段的垂直平分線，
所以，
所以，
所以點的軌跡即曲線是以，為焦點的橢圓，
設曲線：，其中，.
則，，，
故曲線：
（2）的面積是定值，理由如下：

由題意易得，，且直線的斜率不為0，
可設直線：，，，
由,得，恒成立，
所以，則.
直線的方程為：，
直線的方程為：，
由，得.
又
，
解得.
故點在直線上，所以到的距離，
因為點關于直線的對稱點分別為，所以設，所以，解得，所以，同理可得
因此的面積是定值，為.
【變式2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的標準方程為，其中點為右焦點，過點作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點，過點作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過點作的平行線，在直線上任取一點，連接與雙曲線相交于點，求證點到直線的距離是定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）解：由雙曲線，可得焦點，其中一條漸近線方程為，
則點到漸近線的距離為，解得，
又由，可得，解得，
故雙曲線的標準方程為.
（2）解：由雙曲線，可得，
設點，則直線的方程為，即，
由題意，設直線的方程為，由點在直線上，可設點，
又由，可得，解得，即直線的方程為，
設，由點共線，可得，即，得，
即點，
則點到直線的距離為
.
即點到直線的距離為定值.

【變式3】（2023春·廣東·高二校聯(lián)考期末）設點F為拋物線C：的焦點，過點F且斜率為的直線與C交于A，B兩點（O為坐標原點）
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點作兩條斜率分別為，的直線，，它們分別與拋物線C交于點P，Q和R，S.已知，問：是否存在實數(shù)，使得為定值 若存在，求的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【詳解】（1）拋物線C：的焦點，直線的方程為，
由消去y并整理得：，設，
則，，
因此，而，解得，
所以拋物線C的方程為.

（2）存在，使得為定值.
依題意，直線，直線，
由消去y并整理得，設，
則，，，
設，同理，且有，
由，得，即，而，則，
所以存在，使得為定值0.
題型03圓錐曲線中的定直線問題
【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預測）橢圓E的中心為坐標原點，坐標軸為對稱軸，左、右頂點分別為，，點在橢圓E上．
(1)求橢圓E的方程．
(2)過點的直線l與橢圓E交于P，Q兩點（異于點A，B），記直線AP與直線BQ交于點M，試問點M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點M在定直線上
【詳解】（1）設橢圓E的方程為．
則，解得，
故橢圓E的方程為．
（2）依題可設直線l的方程為，，，．
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
直線AP的方程為，直線BQ的方程為，
聯(lián)立方程組，得
由，得，得．
所以.
故點M在定直線上．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經(jīng)過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）由已知C：，點A的坐標為，得，
焦點，，.
所以，，故C：.
（2）設l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由已知得，，設，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
【典例3】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形對于拋物線給出如下三個條件：
①焦點為②準線為③與直線相交所得弦長為．
(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線的方程
(2)已知是中拋物線的阿基米德三角形，點是拋物線在弦兩端點處的兩條切線的交點，
∴，
∴，，，
∴橢圓的方程為．
（2）由題設，直線DE斜率一定存在，設的直線方程為．
聯(lián)立橢圓方程，消去得．
設，，則，．
∴，
又，，
∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．
聯(lián)立得，
∴．
又∵，∴．
∴直線AD與直線BE的交點在定直線上．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線：的離心率為，其左、右頂點分別為，，右焦點為，為的左支上不同于的動點，當?shù)目v坐標為時，線段的中點恰好在軸上．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點，連接交的右支于點，直線與直線相交于點，證明：當在的左支上運動時，點在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由離心率，，得，
當?shù)目v坐標為時，線段的中點恰好在軸上，
則軸為的左焦點，
故，代入:的方程得：，
故雙曲線的標準方程；
（2）設點，，，其中，，
由題意知，直線的斜率存在且不為，設：，
代入，得，，
則，，
則，
由題意知，直線：，直線：相交于點，
所以，
即，
解得，
故當在的左支上運動時，點在直線上．
【變式3】（2023春·江西鷹潭·高二貴溪市第一中學校考期中）設拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，當在上時，直線的斜率為.
（1）求拋物線的方程；
（2）在線段上取點，滿足，，證明：點總在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】（1）由題意，得，則，解得，
故拋物線的方程為.
（2）證明：設，，，
直線的方程為.
由得，
，.
由，，得，，
故，化簡得.
又，故，
化簡得，
即，則或.
當點在定直線上時，直線與拋物線只有一個交點，與題意不符.
故點在定直線上.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑