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第11講 第一章 空間向量與立體幾何 章末題型大總結(jié)
一、思維導(dǎo)圖
(
空間向量與立體幾何
空間向量及其運(yùn)算
空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
空間向量的線性運(yùn)算
空間向量的基本定理
兩個(gè)向量的數(shù)量積
空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
共線向量定理
共面向量定理
空間向量分解定理
平行與垂直的條件
直線的方向向量與直線的向量方程
平面的法向量與平面的向量表示
直線與平面的夾角
二面角及其度量
距離
)
二、題型精講
題型01空間向量的概念及運(yùn)算
【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（ ）
A． B．2 C． D．10
【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求
(1)；(2)．
【典例3】（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．
【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則、兩點(diǎn)間的距離是（ ）

A． B． C． D．
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，是的中點(diǎn)．試確定向量在平面上的投影向量，并求．
【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．
題型02四點(diǎn)共面問題
【典例1】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使與，，一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為、，、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
題型03平面法向量的求解
【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，．求平面的一個(gè)法向量為__________；
【變式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┛臻g直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練面經(jīng)過，且垂直于法向量為的一個(gè)平面，則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B． C． D．
題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系
【典例1】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點(diǎn)，則直線與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．直線在平面內(nèi) D．相交且不垂直
【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.
【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面 B．異面直線與所成的角為30°
C．平面平面 D．平面平面
【變式2】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長(zhǎng)均為4，且分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的有（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn)．
(1)求直線與所成角的余弦值；
(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面．
【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．
(1)求證：直線平面；
(2)若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．
題型05異面直線所成角
【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為下底面圓周上一點(diǎn)，滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，為上一點(diǎn)，，，且.　
(1)求的值；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【變式1】（2023春·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四面體滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式2】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線與所成角的正弦值為________．
【變式3】（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).
(1)求證：，；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
題型06利用向量法求直線與平面所成角（定值）
【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，已知側(cè) 為正三角形，底 為直角梯形，，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且=2.

(1)求證：平 ；
(2)若點(diǎn)到平 的距離為，求直線和平 所成角交的正弦值.

【典例2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【典例3】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)分別作平行于各底面的截面，截去四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐，得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，如圖所示．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【變式1】（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在中，為直角，，,,沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點(diǎn)在線段上．

(1)求證：平面平面；
(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值．
【變式2】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校校考期中）吳老師發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有“芻甍”這個(gè)五面體，于是她仿照該模型設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)探究題，如圖：，，分別是正方形的三邊、、的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形著線段折起，連接、就得到一個(gè)“芻甍”．
(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
題型07利用向量法求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D，在三棱臺(tái)中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)記二面角的大小為.
①當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
②當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦的最大值.
【典例2】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┤鐖D1，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，，分別是，的中點(diǎn)．將沿折至（如圖2），使得．
(1)證明：平面平面；
(2)若點(diǎn)在棱上，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求的長(zhǎng)．
【典例3】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.
(2)若，，，點(diǎn)在直線上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【變式1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，六面體的底面是菱形，，且平面，平面與平面的交線為.
(1)證明：直線平面；
(2)已知，三棱錐的體積，若與平面所成角為，求的取值范圍.
【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于，的點(diǎn).
(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；
(2)設(shè)平面∩平面，與平面QAC所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的取值范圍.
題型08利用向量法解決直線與平面所成角的探索性問題
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺(tái)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)設(shè)，，，點(diǎn)在上，若與平面所成的角的正弦值為，求此時(shí)點(diǎn)的位置．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖（1），在正三角形中，分別為中點(diǎn)，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過點(diǎn)作平面與平面平行，分別交于.
(1)證明：平面；
(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值.
【變式1】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角余弦為，請(qǐng)說明理由.
【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，
(1)若，證明：平面；
(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.
題型09利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．

(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【典例2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，若，求二面角的余弦值.
【變式1】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.

(1)求；
(2)求二面角的正弦值.
【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，所有棱長(zhǎng)都相等，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.
(1)若，證明：平面.
(2)求平面與平面夾角余弦值的最大值.
【典例2】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，，是的中點(diǎn)．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，二面角為直二面角.
(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.
題型11利用向量法解決二面角中的探索性問題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在四棱錐中，，，是棱上一點(diǎn)．

(1)若，求證：平面；
(2)若平面平面，平面平面，求證：平面；
(3)在（2）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值．
【典例2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對(duì)角線和互相垂直，垂足為，，點(diǎn)為棱上的任意一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為，若存在求出點(diǎn)的位置；若不存在請(qǐng)說明理由.

【變式1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【變式2】（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖1直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，沿將梯形折起（如圖2），使平面平面．

(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置：若不存在，請(qǐng)說明理由．
題型12利用向量法求點(diǎn)到直線的距離
【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若平面，且滿足，則到的距離為（　?。?br/>A． B． C． D．
【典例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．
【變式1】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)求平面與平面夾角的正弦值；
(2)求到直線的距離．
題型13利用向量法求點(diǎn)到平面的距離
【典例1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【典例2】（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段上動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)當(dāng)直線與平面所成的角正弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．
【變式1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，是正三角形．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：直線平面；
(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)到平面的距離．
【變式2】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
題型14利用向量法解決點(diǎn)到平面的距離的探索性問題
【典例1】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.
【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的正弦值；
(3)線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【變式1】（2022春·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)校考期中）已知四棱錐，底面是菱形，，平面，，點(diǎn)滿足.

(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)若棱上一點(diǎn)到平面的距離為，試確定點(diǎn)的位置.
【變式2】（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐中，底面為矩形，平面，，點(diǎn)在棱上.
(1)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
(2)是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
三、數(shù)學(xué)思想
01函數(shù)與方程的思想
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，若線段上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019秋·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州一中校考期中）如圖，在長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)、分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系
2．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體，是正方形的中心，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______．
3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示的幾何體中，四邊形是矩形，平面平面，已知，，且當(dāng)規(guī)定正視方向垂直平面時(shí)，該幾何體的側(cè)視圖的面積為.若，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
第11講 第一章 空間向量與立體幾何 章末題型大總結(jié)
一、思維導(dǎo)圖
(
空間向量與立體幾何
空間向量及其運(yùn)算
空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
空間向量的線性運(yùn)算
空間向量的基本定理
兩個(gè)向量的數(shù)量積
空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
共線向量定理
共面向量定理
空間向量分解定理
平行與垂直的條件
直線的方向向量與直線的向量方程
平面的法向量與平面的向量表示
直線與平面的夾角
二面角及其度量
距離
)
二、題型精講
題型01空間向量的概念及運(yùn)算
【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】A
【詳解】由圖可得，
則
，故,
故選：A
【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求
(1)；
(2)．
【答案】(1)11
(2)
【詳解】（1）向量，向量與的夾角都是，且，
，
；
（2）
【典例3】（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，，
故，
，
，
因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，
所以，即，
則，
解得，即.
故答案為：.
【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則、兩點(diǎn)間的距離是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)樗倪呅?、都是邊長(zhǎng)為的正方形，則，，
又因?yàn)槎娼堑拇笮椋矗瑒t，
因?yàn)椋蓤D易知，，
所以，
.
故選：C.
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，是的中點(diǎn)．試確定向量在平面上的投影向量，并求．
【答案】向量在平面BCC1上的投影向量為；
【詳解】因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1，PC1⊥平面BCC1，
所以向量在平面BCC1上的投影向量為.
所以
．
【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．
【答案】/120°
【詳解】由，即可構(gòu)成三角形，
所以，
又，故.
故答案為：
題型02四點(diǎn)共面問題
【典例1】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列條件中，使與，，一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【詳解】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；
對(duì)于A，因?yàn)椋钥梢缘贸觯?，，四點(diǎn)共面；
對(duì)于B，因?yàn)椋圆荒艿贸觯?，，四點(diǎn)共面；
對(duì)于C，，則，，為共面向量，所以與,，一定共面；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面．
故選：AC．
【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)槿忮F是正三棱錐，G是的重心，
所以，
因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以
,
因?yàn)椋?br/>所以，
所以為，
故選：B
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】記，，，則，
解得
又
所以
整理得．
故選：B
【變式1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】空間四邊形OABC中，，，點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，
，
，D正確；
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B正確；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤.
故選：BD
【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為、，、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【詳解】、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，
，．
，
因此，．
故選：D
題型03平面法向量的求解
【典例1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則平面的一個(gè)單位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?br/>所以，
令平面ABC的一個(gè)法向量為
可得，即，令，則，所以
故平面ABC的單位法向量是，即或．
故選：B．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，．求平面的一個(gè)法向量為__________；
【答案】（答案不唯一）
【詳解】由題知，，．
設(shè)平面ABC的法向量，
則，令，則，，∴
所以平面ABC的一個(gè)法向量．
此外，所有都是平面ABC的法向量，任寫一個(gè)皆可.
故答案為：（答案不唯 一）.
【變式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┛臻g直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題知，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，即，令得
所以，平面的一個(gè)法向量可以是.
故選：A
【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練面經(jīng)過，且垂直于法向量為的一個(gè)平面，則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由已知，又，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，則，即，
比較只有B滿足，
故選：B．
題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系
【典例1】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點(diǎn)，則直線與平面的位置關(guān)系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．直線在平面內(nèi) D．相交且不垂直
【答案】D
【詳解】解：如圖取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以
又在三棱柱中，平面，為中點(diǎn)，所以
則平面，又平面，所以，，
又，則，所以，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，，故，
又，
因?yàn)?，?br/>所以直線與平面相交，且不垂直于平面．
故選：D.
【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】ABD
【詳解】
建系如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，
則
設(shè)，
所以設(shè)，，所以,
對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面，所以?br/>又因?yàn)?，且平面，?br/>所以平面，
因?yàn)椋捎冢耘c不一定共線，故A錯(cuò)誤；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,
，令則，所以，
若平面，則，即無解，
所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,
，令則，所以，
，
且平面，所以平面，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，,
，令則，所以，
不恒等于0，
所以平面不一定成立，故D錯(cuò)誤.
故選:ABD.
【典例3】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.
【答案】證明見解析
【詳解】因?yàn)椋抢獾闹悬c(diǎn)，
所以，所以為正三角形.
因?yàn)闉榈妊菪?，?br/>所以.
取的中點(diǎn)，連接，
則，所以.
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，，，
所以，，
又不重合，不重合，
所以，，
因?yàn)槠矫妫?平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面
【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，證明見解析
【詳解】（1）證明：平面，平面，
，
又，，平面
平面，平面，
．
又，為等腰直角三角形，為斜邊的中點(diǎn)，
，又，平面，
平面，平面，
平面平面；
（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
設(shè)存在點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，
所以，，
由相似三角形得，即，
．
，
又，
．
，
，
故存在點(diǎn)，使．
【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面 B．異面直線與所成的角為30°
C．平面平面 D．平面平面
【答案】D
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)面 ，則，這與已知與不垂直相矛盾，所以假設(shè)不成立.
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，連接，，
因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，
又因?yàn)椤鳛榈冗吶切危裕蔬x項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，
因?yàn)?，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面與平面相交，所以平面與平面也相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，
則 ，可取，則，，即，
設(shè)平面的法向量為，則，
可取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為，
由，所以，即平面平面，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
【變式2】（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長(zhǎng)均為4，且分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的有（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】ABC
【詳解】解：因?yàn)榈酌鏋檫呴L(zhǎng)為的菱形，且，所以四邊形的面積為，
又平行六面體的體積為，所以平行六面體的高為，
因?yàn)椋栽诘酌娴耐队霸谏?，設(shè)在底面的投影為，
則，又，所以，又，
所以為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
所以，，，
，，
因?yàn)?，所以、不平行，故A錯(cuò)誤；
又，所以與不垂直，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；
設(shè)平面的法向量為，則，即，
不妨取，
所以，所以，
又平面，所以平面，故D正確；
故選：ABC
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn)．
(1)求直線與所成角的余弦值；
(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使平面．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）設(shè)，連、，則，
∴即為與所成的角或其補(bǔ)角．
在中，，，，
∴．
即與所成角的余弦值為．
（2）分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則可得、、、、、，
，
設(shè)，則，由于平面，
所以，化簡(jiǎn)得，可得，，
因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
從而側(cè)面內(nèi)存在一點(diǎn)，當(dāng)?shù)健⒌木嚯x分別為1和時(shí)，平面．
【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，且．
(1)求證：直線平面；
(2)若是正三角形為中點(diǎn)，能否在線段上找一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定該點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)在直線上存在一點(diǎn)，且，使得平面．
【詳解】（1）在直三棱柱中，
是的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn) ，而，
四邊形是平行四邊形，
平面平面，平面．
（2）在直線上找一點(diǎn)，使得平面，證明如下：
在直三棱柱中，
又兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
在線段上，設(shè)，則，
則，
，則，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
平面，，解得，
在直線上存在一點(diǎn)，且，使得平面．
題型05異面直線所成角
【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解法一：

如圖1，取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，
易知底面，
因?yàn)槠矫?，所以平面底?
又平面底面，，
所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
同理可得，.
設(shè)底面半徑為，，.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
則在中，或其補(bǔ)角等于異面直線和所成的角.
所以.
解法二：
如圖2，為的中點(diǎn)，連接，
易知底面，
因?yàn)槠矫?，所以平面底?
又平面底面，，
所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，
所以，，
記所求角為，則.
故選：C.
【典例2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為下底面圓周上一點(diǎn)，滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】法一： 如圖，連接并延長(zhǎng)，交底面圓于，連接，，易知且，
所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角．
因?yàn)椋瑒t，所以為正三角形，故．
由圓柱的性質(zhì)知，
所以在等腰三角形中，.
法二 ： 以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B
【典例3】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，為上一點(diǎn)，，，且.　
(1)求的值；
(2)求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，
分別取中點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié).
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，?
又點(diǎn)分別為取的中點(diǎn)，所以.
又由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
所以，，，，，
所以.
因?yàn)?，所以?br/>所以有，解得.
（2）由（1）可知，，
所以，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.
【變式1】（2023春·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知四面體滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】將四面體放入長(zhǎng)方體中，根據(jù)體積公式計(jì)算得到，建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：將四面體放入長(zhǎng)方體中，

，解得，
故，
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，或，
或，，
設(shè)異面直線與所成的角的大小為，，
，則；
或，；
綜上所述：異面直線與所成的角的大小為或.
故選：C
【變式2】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知兩個(gè)正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線與所成角的正弦值為________．
【答案】/
【詳解】由題設(shè)知，四邊形是正方形，連接，交于點(diǎn)，則，
則平面，平面，故平面，
故以為原點(diǎn)，以CA，DB，QP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
則，則，
所以異面直線AQ與PB所成角的正弦值為.
故答案為：.
【變式3】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).
(1)求證：，；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意知：三棱錐為正四面體，
過A做底面的垂線，垂足為，由正棱錐的概念知，O為正三角形BCD的中心，
連接，則在上，過做直線，分別交、于、兩點(diǎn)，
則、、相互垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，，
，，
則，，，
因?yàn)椋?br/>，
所以，；
（2）由（1）知：，，
則
，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，
所以異面直線與夾角的余弦值為.
題型06利用向量法求直線與平面所成角（定值）
【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，已知側(cè) 為正三角形，底 為直角梯形，，，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且=2.

(1)求證：平 ；
(2)若點(diǎn)到平 的距離為，求直線和平 所成角交的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

．可得，，，，
，，
又平面，平面，平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，，作，垂足為，
側(cè)面為正三角形，，
，，四邊形為平行四邊形，，
又，，又，，平面，
平面，平面，，
又，，，平面，平面，
作，交于點(diǎn)，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)P到平 ABCD的距離為，
則，0，，，2，，，，，，1，，
，，，，2，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，令，解得，，
平面的一個(gè)法向量為，0，，
設(shè)直線和平面所成角為，
則，，
直線和平面所成角的正弦值．
【典例2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)樵谥彼睦庵?，面?br/>又面，所以，
又因?yàn)椋?，即兩兩垂直?br/>故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，
，.
（2）因?yàn)椋?br/>設(shè)平面的法向量為，則由得，
令，則，故，
設(shè)直線與平面所成角為，
因?yàn)椋裕?br/>故直線與平面所成角的正弦值為.
【典例3】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)分別作平行于各底面的截面，截去四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐，得到所有棱長(zhǎng)均為1的截角四面體，如圖所示．

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）補(bǔ)全四面體如圖，
取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)檎拿骟w中各個(gè)面均為正三角形，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)為的三等分點(diǎn)，即，
所以，
所以．

（2）設(shè)點(diǎn)在底面的投影為點(diǎn)，連接，，，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，
因?yàn)闉檎拿骟w，
所以點(diǎn)為等邊的中心，
所以,，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，
所以，，，
設(shè)面的法向量為，
則，即，
取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
【變式1】（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在中，為直角，，,,沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點(diǎn)在線段上．

(1)求證：平面平面；
(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在中，，，
由余弦定理得：，
則，有，于是，即有，
又平面，因此平面，而平面，
則，又因?yàn)槠矫妫瑥亩矫?，而平面?br/>所以平面平面.
（2）以為原點(diǎn)，以分別為軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由（1）知，平面，而，則有平面，
則，
，連接與交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則，有，
在四邊形中，由，得，即，，
，設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)直線與平面所成角為，于是，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【變式2】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校﹨抢蠋煱l(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有“芻甍”這個(gè)五面體，于是她仿照該模型設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)探究題，如圖：，，分別是正方形的三邊、、的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形著線段折起，連接、就得到一個(gè)“芻甍”．
(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；
(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取線段中點(diǎn)，連接，
由圖1可知，四邊形是矩形，且，
是線段與的中點(diǎn)，
∥且，
在圖1中∥且，∥且．
所以在圖2中，∥且，
∥且
四邊形是平行四邊形，則∥
由于平面，平面
∥平面
（2）由圖1，，折起后在圖2中仍有，
即為二面角的平面角．
，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
且設(shè)，
則，
，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，得，取則
于是平面的一個(gè)法向量，
，
∴直線與平面所成角的正弦值為
題型07利用向量法求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·重慶·高一重慶一中校考期中）如圖，在三棱臺(tái)中側(cè)面為等腰梯形，為中點(diǎn).底面為等腰三角形，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)記二面角的大小為.
①當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
②當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦的最大值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)①，②最大值為
【詳解】（1）因?yàn)闉榈妊切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)閭?cè)面為等腰梯形，為的中點(diǎn)，所以，
又平面，
因此平面，
平面，所以平面平面
（2）在平面內(nèi)，作，
由（1）中平面平面，
且平面平面，平面，可得平面；
以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
又因?yàn)?，?br/>所以即為二面角的平面角，所以，
在中，，易知，
又，可得；
所以，；
即，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，
可令，則，即；
①當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)直線與平面所成角的為，
所以，
即時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.
②當(dāng)時(shí)，
，
設(shè)，則在恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，，
即，易知，所以；
易知當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦的最大值為.
【典例2】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，，分別是，的中點(diǎn)．將沿折至（如圖2），使得．
(1)證明：平面平面；
(2)若點(diǎn)在棱上，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以?br/>因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為4，
所以．
在中，，，，
由余弦定理，
得．
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋?，平面?br/>所以平面．
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面．
（2）（方法1）取的中點(diǎn)，則．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，．
設(shè)，因?yàn)?，所以?br/>所以．
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br/>又因?yàn)?，平面，所以平面?br/>所以平面的一個(gè)法向量為．
記與平面所成角為，
則．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，
所以，所以．
（方法2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)向作垂線，垂足為．
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br/>又因?yàn)椋?，平面，所以平面?br/>所以即為與平面所成角．
因?yàn)樵谥校?br/>所以．
在平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，最小，
此時(shí)，
所以此時(shí)取得最大值，也最大．
因?yàn)?，所以?br/>【典例3】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.

(1)證明：.
(2)若，，，點(diǎn)在直線上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，交于O，連接，
因?yàn)閭?cè)面為菱形，則，
而，O為的中點(diǎn)，即有，
又，且平面，于是平面，
而平面，所以；
（2）設(shè)，而，有，，
又，則，
即有，因此，即，，兩兩垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
則，
設(shè)，
因?yàn)?，所以?br/>則，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，
所以，
設(shè)直線AB與平面所成角為，
則
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，
則，
所以，
綜上所述，直線AB與平面所成角的正弦值的最大值為.

【變式1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，六面體的底面是菱形，，且平面，平面與平面的交線為.
(1)證明：直線平面；
(2)已知，三棱錐的體積，若與平面所成角為，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，
，即.
四邊形為平行四邊形，則.
平面平面
平面，
平面平面，又平面，
，
四邊形是菱形，，
又平面平面，則，
又，平面，
平面，又
平面.
（2）連接交于點(diǎn)，，則.
平面，
平面，因?yàn)槠矫妫?br/>則.
，四邊形是菱形，則，
，
以為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則.
.
，即，
，則，
，又是平面的一個(gè)法向量，
，
設(shè)，則
.
【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于，的點(diǎn).
(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；
(2)設(shè)平面∩平面，與平面QAC所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的取值范圍.
【答案】(1)作圖及理由見解析；
(2).
【詳解】（1）取中點(diǎn)P，作直線，則直線即為所求，
取中點(diǎn)H，連接，則有，如圖，
在等腰梯形中，，有，則四邊形為平行四邊形，
即有，又平面，平面，
所以平面.
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)O，作直線，則直線即為直線，如圖，
過點(diǎn)B作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>因此平面，即為四棱錐的高，在中，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)與重合，
梯形的面積為定值，四棱錐的體積，
于是當(dāng)最大，即點(diǎn)與重合時(shí)四棱錐的體積最大，，
以為原點(diǎn)，射線分別為軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
在等腰梯形中，，此梯形的高，
顯然為的中位線，則，
，
設(shè)，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，
則有，
令，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
綜上得，
所以的取值范圍是.
題型08利用向量法解決直線與平面所成角的探索性問題
【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺(tái)中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)設(shè)，，，點(diǎn)在上，若與平面所成的角的正弦值為，求此時(shí)點(diǎn)的位置．
【答案】(1)證明見解析
(2)為的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)位置
【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
在和中，
所以，所以，又為的中點(diǎn)，
所以，又平面，，
所以平面.
（2）因?yàn)椋瑒t，，
由且，所以是等邊三角形，
由且，為的中點(diǎn)，
所以，在等腰直角中，則，
故，又且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，，
設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，取，則，
又，，
設(shè)，，
所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，解得，
所以為的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)位置.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖（1），在正三角形中，分別為中點(diǎn)，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過點(diǎn)作平面與平面平行，分別交于.
(1)證明：平面；
(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)或1
【詳解】（1）作DE中點(diǎn)O，連接，
分別為中點(diǎn)，則,
而二面角為直二面角，且平面平面,
平面，故平面，
∵平面平面ABD，平面平面，平面平面,
∴
同理，
由分別為中點(diǎn)，，則四邊形為平行四邊形，
故，∴F為BC中點(diǎn)，∴G為AC的中點(diǎn)，
而，∴，
∵平面，平面，∴，
而，平面，∴平面，
平面，∴，∴，
由于，GE是公共邊，∴≌，
∴，即,
又平面，∴平面.
（2）由（1）知平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
令，則,,,,,
,,,
設(shè)，,,故，
∴，∴，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，∴，
，而與平面所成角的正弦值為，
∴，解得或1.
【變式1】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角余弦為，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在這樣符合條件的點(diǎn)，理由見解析
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則共面
又，所以；
由底面是菱形，，所以為正三角形，所以，
又，平面，所以平面，
又，，所以，所以平面.
（2）因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，?br/>平面平面，所以平面，
則以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面法向量,
由，則，則,
所以，
整理得，由，
所以方程無實(shí)數(shù)根，故不存在這樣符合條件的點(diǎn).
【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，
(1)若，證明：平面；
(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.
【答案】(1)證明見解析；
(2)3.
【詳解】（1）記與交于點(diǎn)，連結(jié).
由得.
又平面，平面,
所以平面.
（2）取中點(diǎn)，以原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
則
設(shè)，則
設(shè)平面法向量為，則,
取
因?yàn)榫€面角正弦值為，
所以
解得，故
題型09利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．

(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意得，，，
因?yàn)?，則，
又，面，所以面，
又面，則，
又，，平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點(diǎn)，可知，
由，且可得，
所以四邊形是平行四邊形，所以，則平面，
設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，則，
所以，
由圖可知，二面角為銳角，
所以面角的余弦值為 ．
【典例2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，.
又，所以PA，AB，AD兩兩垂直.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，
點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，故，
故，，
所以，
所以.
（2），
設(shè)平面的法向量為，
，，
則令，則.
設(shè)平面的法向量為，
，，
則，令，則，
所以，
因?yàn)槎娼菫殇J角，
所以二面角的余弦值為.
【變式1】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.

(1)求；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【詳解】（1）（1）取的中點(diǎn)，連接.

在菱形中，，，
所以是正三角形.
又是的中點(diǎn)，所以.
平面，平面，
.
，平面，
平面.
平面，.
，，平面，平面，
平面.
平面，.
，，，
四邊形是正方形.
，.
（2）取的中點(diǎn)，連接.

由（1）知，是正三角形.
又為的中點(diǎn)，所以，，且.
因?yàn)槠矫妫?br/>所以兩兩相互垂直.
如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則.
所以，，
所以，二面角的正弦值為.
【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）在正四棱錐中，連接，
四邊形為正方形
為的中點(diǎn)
又點(diǎn)為的中點(diǎn)
為的中位線

又平面，平面，
平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)檎睦忮F的體積為，
所以正四棱錐的體積，
所以，
，,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則，
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則
，即，令，則，
所以.
設(shè)二面角的所成的角為，則
，
所以二面角的余弦值為.
題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，所有棱長(zhǎng)都相等，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.
(1)若，證明：平面.
(2)求平面與平面夾角余弦值的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，記，連接.
因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以，所以.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面.
（2）四邊形為菱形，所以，
由平面，、平面，得，，
故以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，，，，
從而，，，.
因?yàn)?，所以?br/>則.
設(shè)平面的法向量為，
則令，得.
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得.
設(shè)平面與平面的夾角為(為銳角)，
則.
因?yàn)椋裕?br/>所以，
則當(dāng)時(shí)，平面與平面夾角的余弦值取得最大值.
【典例2】（2023秋·重慶萬(wàn)州·高二重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，是的中點(diǎn)．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)G，連接DG，EG，如圖所示：
則，且，，
所以四邊形CDGE為平行四邊形．
因?yàn)椋詾橹苯侨切?，?br/>在中，因?yàn)?，所以?br/>所以
所以CE的長(zhǎng)為；
（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作BC的平行線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖所示，
則，，
以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取AD的中點(diǎn)為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過點(diǎn)P作，垂足為F，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br/>由已知可得，則，設(shè)．
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，，為線段的中點(diǎn)，所以，
所以，
所以，
所以．
設(shè)平面PAD的法向量，
則
令，則．
設(shè)平面的法向量，
因?yàn)椋?br/>則
令．則，所以為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)平面PAD和平面PBC的夾角為，
則
．
令，所以，
所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．
【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段的中點(diǎn)，二面角為直二面角.
(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，由題設(shè)知四邊形為菱形，，
分別為中點(diǎn)，；
又為中點(diǎn)，，
因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵?br/>即平面平面，平面平面平面
平面，又平面；
又平面平面.
（2），
為等邊三角形，，
平面平面，平面平面，平面
平面，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)，則，
；
由（1）知：平面平面的一個(gè)法向量；
設(shè)平面的法向量，
則，令，則；
，
令，則；
，
即銳二面角的余弦值的取值范圍為.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)平面和平面夾角余弦值的最小值為
【詳解】（1）解：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，則，
當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，
此時(shí)平面，且，
底面為梯形，面積為，
則四棱錐的體積最大值為；
（2）解：連接，
因?yàn)?，所以?br/>所以為的平面角，即，
過點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
過作于點(diǎn)，由題意得平面，
設(shè),,，
所以，
所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br/>則，
令，可得：，
設(shè)兩平面夾角為，
則
，
令，所以，則
所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以平面和平面夾角余弦值的最小值為.
題型11利用向量法解決二面角中的探索性問題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在四棱錐中，，，是棱上一點(diǎn)．

(1)若，求證：平面；
(2)若平面平面，平面平面，求證：平面；
(3)在（2）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）連接BD交AC于點(diǎn)，連接OM，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，所以?br/>所以，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫鍹AC，
所以平面MAC.

（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面ABCD，
所以平面，
因?yàn)槠矫鍼AD，所以．
同理可證：．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面ABCD．
（3）分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由，
得，
則，
由（2）得：平面ABCD，
所以平面ABCD的一個(gè)法向量為.
設(shè)，即，
所以，
設(shè)平面AMC的法向量為，
則，即，
令，則，所以．
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?br/>所以，解得，
所以的值為．
【典例2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對(duì)角線和互相垂直，垂足為，，點(diǎn)為棱上的任意一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為，若存在求出點(diǎn)的位置；若不存在請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，且，所以為等腰直角三角形?br/>因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)?，所以，所以，即?br/>又因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平面?br/>因?yàn)槠矫?，所?
（2）解：如圖所示，以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由（1）知，
故，
故
假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿足題意，設(shè).
所以
設(shè)平面的法向量為，則 ，易令，可得，所以
又由平面的一個(gè)法向量為
設(shè)二面角為，可知二面角為銳二面角
則，
整理得，即，解得或（舍去），
所以，存在點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn).

【變式1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)榕c底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，
因?yàn)槿庵鶠橹比庵云矫妫允桥c底面所成角，所以，所以，所以，
又，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連，則，，平面，
以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，
則，得，令，得，，
，令，得，，，
因?yàn)?，所以?br/>所以平面平面.
（2）設(shè)，則
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
若，則有，則，取，則，
此時(shí)，不合題意；
所以，令，得，，
則，
所以，
整理得，解得.
所以在線段上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn).

【變式2】（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知如圖1直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，沿將梯形折起（如圖2），使平面平面．

(1)證明：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置：若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，F(xiàn)為CD中點(diǎn)
【詳解】（1）在直角梯形中，，E為AB的中點(diǎn)，即，，
四邊形為平行四邊形，
而，，則為正方形，
連接，如圖，
則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>于是得平面，
而平面，則有，
又，，平面，
所以平面.
（2）由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
所以EA，EB，EC兩兩垂直，
分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，
則，設(shè)，
所以，，
設(shè)平面FAB的法向量為，
則，
取x＝2，得，
取平面EBC的法向量為，
因?yàn)椋?br/>所以a＝1或（舍去），
故線段CD上存在點(diǎn)F，且F為CD中點(diǎn)時(shí)，使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為．
題型12利用向量法求點(diǎn)到直線的距離
【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若平面，且滿足，則到的距離為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，
,
則，
則,，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，且面，
則，即，得，故，
所以，，
，則，
P到AB的距離為.
故選：C
【典例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．
(1)求證：；
(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1），，
，故，則，即，
又平面平面，平面平面，
，平面，故平面，
平面，則 ，
又，，平面，所以平面，
又平面，則.
（2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
有，
設(shè)，則，設(shè)，則，
則 ，，，
點(diǎn)到直線的距離為，則，
即，即，解得，
所以.
【變式1】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】已知，，，
所以 ，，
點(diǎn)A到直線的距離為.
故選：C.
【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(1)求平面與平面夾角的正弦值；
(2)求到直線的距離．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由平面，，平面，
，，
又，，則，
，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，則可取，
平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
，則平面與平面的夾角的正弦值為．
（2），，，，
距離．
題型13利用向量法求點(diǎn)到平面的距離
【典例1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.

(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，并均以1為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，
所以，，.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，，所以.
因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面.
（2）因?yàn)?，?br/>設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，所以.
所以點(diǎn)到平面的距離.
【典例2】（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段上動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)當(dāng)直線與平面所成的角正弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1），平面，平面，故平面；
同理可得：平面；
，且平面，故平面平面；
，故平面；
（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取得到，，
BP與平面所成的角正弦值為：
，解得或（舍），
設(shè)平面的法向量為，則，
取得到，
則點(diǎn)D到平面的距離.
【變式1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，是正三角形．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：直線平面；
(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，
平面，平面，
所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，
所以平面，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椤鰽BC是正三角形，則，
又因?yàn)槠矫?，平面，則，
，平面，
所以平面，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，即，
所以點(diǎn)C到平面的距離.

【變式2】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，過作，垂足為，
因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，?br/>所以，，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，
則，即四邊形為平行四邊形，
可得，所以，
又因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，且，
則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得，
則，可得，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以平面，
且平面，所以平面平面.

（2）以為原點(diǎn)、分別為軸、軸、軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，可得，
則點(diǎn)到平面的距離為.

題型14利用向量法解決點(diǎn)到平面的距離的探索性問題
【典例1】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為
【詳解】（1）取BE的中點(diǎn)F，連接AF，，
因?yàn)樗倪呅蜛BCE是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，
所以均為等邊三角形，
故⊥BE，⊥BE，且，
因?yàn)?，所以?br/>由勾股定理逆定理得：AF⊥，
又因?yàn)?，平面ABE，
所以⊥平面ABED，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面平面ABED；
（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A所在直線為x軸，F(xiàn)B所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，，，
故，
解得：，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
故，
令，則，故，
其中
則，
解得：或（舍去），
則，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的正弦值；
(3)線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在，.
【詳解】（1）∵，O為的中點(diǎn)，∴，
∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，
而平面，
∴平面.
（2）連接，∵底面為直角梯形，
其中，
∴，又平面，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
易知平面，則是平面的法向量，
設(shè)二面角夾角為，
則，
則，
∴兩平面夾角的正弦值為.
（3）設(shè)線段上存在，使得它到平面的距離為，
，
∴Q到平面的距離，
解得或（舍去）
則，則．
【變式1】（2022春·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎睦忮F，底面是菱形，，平面，，點(diǎn)滿足.

(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)若棱上一點(diǎn)到平面的距離為，試確定點(diǎn)的位置.
【答案】(1)
(2)M為PC的中點(diǎn).
【詳解】（1）連接AC交BD于O，過O作PD的平行線，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則
則，，
設(shè)平面BDT的一個(gè)法向量
則，則，
∴平面BDT的一個(gè)法向量為
又PD⊥平面是平面BDC的一個(gè)法向量
∴，又由圖可知二面角為鈍角，
∴二面角的平面角的余弦值為；
（2）設(shè)，則
∴，
則點(diǎn)M到平面TBD的距離為，
解得
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即M為PC的中點(diǎn).
【變式2】（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐中，底面為矩形，平面，，點(diǎn)在棱上.
(1)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；
(2)是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，2
【詳解】（1）由平面，平面得，又，
以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋?，，，?br/>所以，，.
設(shè)平面SCD的法向量為，
則，則，令，得.
設(shè)直線SE與平面SCD所成的角為θ，則，
所以直線SE與面SCD所成角的正弦值為.
（2）設(shè)，平面SDE的法向量為，
則，則，
令，則.
又，
當(dāng)點(diǎn)A到平面SDE的距離為，
則，
解得，
所以存在點(diǎn)，使得點(diǎn)A到平面SDE的距離為，
此時(shí).
三、數(shù)學(xué)思想
01函數(shù)與方程的思想
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，若線段上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】若線段上存在一點(diǎn)，使得，如下圖示：
則，令，則，
設(shè)且，有，則，，
所以，整理得，
故在上有零點(diǎn)，而且對(duì)稱軸為，開口向上，
所以，只需，則，即的取值范圍是.
故選：D
2．（2019秋·浙江臺(tái)州·高二臺(tái)州一中校考期中）如圖，在長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)、分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖建系，由題意可設(shè)，，
，
又 ，，
平面的法向量，
又 面，
即，
，
最小值為.
故選：A.
3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段DC上.
（1）當(dāng)，且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為時(shí)，求的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)是面對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值
【詳解】（1）由題意知，，，
由，得，
又點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，所以，
利用兩點(diǎn)之間的距離可知.
（2）點(diǎn)P是面對(duì)角線AB的中點(diǎn)時(shí)，，
點(diǎn)Q在面對(duì)角線DC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)，，
則
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn).
02化歸與轉(zhuǎn)化的思想
1．（2021秋·安徽亳州·高二安徽省渦陽(yáng)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為6的正方體中，為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：如圖，
找關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，連接交平面于，
則即為滿足最小的點(diǎn)，
正方體的棱長(zhǎng)為6，，
，，
，
又，，
在中，由余弦定理可得：．
即的最小值為．
故選：A．
2．（2022秋·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體，是正方形的中心，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為______．
【答案】
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則
設(shè)平面的法向量
則有，令，則
則
設(shè)，則
∵，則
又∵PM=PD，則
整理得：
聯(lián)立方程，則
因?yàn)樵搸缀误w的側(cè)視圖的面積為，故，所以.
四邊形是矩形，故，而平面平面，
平面，平面平面，
故平面，而平面，故.
所以，，同理，.
將平面、平面、平面展開至一個(gè)平面上，如圖所示：
，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，
又因?yàn)?，所以?br/>所以，而，故，
故的最小值為6，
故答案為：6.
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