資源簡(jiǎn)介

第02講 3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓中a，b，c，e的幾何意義。 ②會(huì)根據(jù)橢圓的方程解決橢圓的幾何性質(zhì)，會(huì)用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題。 ③會(huì)判斷點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)求直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用橢圓的幾何性質(zhì)解決與橢圓有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問題。
知識(shí)點(diǎn)01：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
范圍 ， ，
頂點(diǎn) ，， ，
軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)＝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝
焦點(diǎn)
焦距
對(duì)稱性 對(duì)稱軸：軸、軸　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
離心率 ，
【即學(xué)即練1】（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .
【答案】或
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，易知，
當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，
所以，解得，則，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，
所以，得，滿足題意，
此時(shí)，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故答案為：或.
知識(shí)點(diǎn)02：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比：. （）
當(dāng)越接近1時(shí)，越接近，橢圓越扁；
當(dāng)越接近0時(shí)，越接近0，橢圓越接近圓；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，圖形為圓，方程為
【即學(xué)即練2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)校考期末）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若E上的點(diǎn)P滿足軸，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則直線：，由，得，即，

而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的離心率為.
故選：A
知識(shí)點(diǎn)03：常用結(jié)論
1、與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：
2、有相同離心率：（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知識(shí)點(diǎn)04：直線與橢圓的位置關(guān)系
1、直線與橢圓的位置關(guān)系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.
①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；
②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；
③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．
【即學(xué)即練3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直線與橢圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】C
【詳解】聯(lián)立，
則
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以直線與橢圓相交
故選：C.
2、直線與橢圓的相交弦
直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）
（1）弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：
弦長(zhǎng)
弦長(zhǎng)
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：
；
（2）結(jié)論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率為
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，
兩式相減得：，
即 ，故
結(jié)論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：
（3）.已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，
．求：的面積（用、、表示）．
設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由橢圓定義知： ②，則得
故
【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）通過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，
代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于.
故選：B
題型01根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)
【典例1】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）橢圓與橢圓的（ ）
A．長(zhǎng)軸相等 B．短軸相等 C．焦距相等 D．長(zhǎng)軸、短軸、焦距均不相等
【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．6 B．或 C． D．或
【變式3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦距為4，則m的值為 ．
題型02根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第十九中學(xué)校考期末）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)校考期末）已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【典例3】（2023秋·廣東江門·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)校考期中）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中校考二模）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
題型03求橢圓的離心率的值
【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考期末）油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示.該傘的傘面是一個(gè)半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)光線與地面夾角為時(shí)，傘面在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，該橢圓的離心率（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn).若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)，分別在第一，第二象限內(nèi)，若與的面積相等，且，則橢圓的離心率為 .
【變式1】（2023春·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為 .
題型04求橢圓的離心率的最值或范圍
【典例1】（2023春·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）若橢圓上存在點(diǎn)，使得到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
【典例4】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍為 ．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時(shí)橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是橢圓：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，其中，則的離心率的取值范圍為 .
【變式4】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為圓上一點(diǎn)，橢圓焦距為6，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為 ．
題型05根據(jù)橢圓離心率求參數(shù)
【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是 ，斜率為的直線過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，若橢圓的離心率為，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是
【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）已知橢圓的離心率，則的值可能是（ ）
A．3 B．7 C．3或 D．7或
【變式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習(xí)）設(shè)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是 .
【變式3】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實(shí)數(shù)λ取值范圍為 .
題型06直線與橢圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點(diǎn)，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【變式1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
題型07直線與橢圓相切
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，則橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為 ．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓上的點(diǎn)P到直線x+ 2y- 9= 0的最短距離為（　　）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為 ．
題型08弦長(zhǎng)
【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，求k的值．
【典例3】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過左焦點(diǎn)的斜率為1的直線與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)，求．
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二期末）已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程：
(2)設(shè)過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長(zhǎng)．
【變式3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.
題型09中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C： ，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為 ．
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)的直線，與橢圓 相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB以點(diǎn)M為中點(diǎn)，則直線AB的方程是 .
【典例4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為 ．
【變式1】（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓的弦AB被點(diǎn)平分，則AB所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【變式4】（2023春·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習(xí)）直線不與軸重合，經(jīng)過點(diǎn)，橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.若，則橢圓的離心率為 .
題型10橢圓中三角形面積問題
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．
【典例2】（2023春·北京·高二北京師大附中校考期中）已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)求的面積.
【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積之和為，求的最大值.
【變式1】（2023春·湖南衡陽·高二校聯(lián)考期末）已知是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求面積的取值范圍．
【變式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓左焦點(diǎn)為，求的面積.
【變式3】（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過作交于，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過的直線交曲線于點(diǎn)、，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
題型11橢圓的定點(diǎn)、定值、定直線問題
【典例1】（2023春·廣東韶關(guān)·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).
【典例2】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.
【典例3】（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
②點(diǎn)M在定直線上.
【變式1】（2023·四川成都·校考一模）已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
【變式2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的的頂點(diǎn)，為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過E的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N,點(diǎn)若直線PM,PN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
【變式3】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線．
(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．
(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．
題型12橢圓中的向量問題
【典例1】（2023春·河南周口·高二校考開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線的方程．
【典例2】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，求出直線的所有方程.
題型13新定義問題
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）開普勒第一定律也稱橢圓定律 軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.將某行星看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌跡近似成曲線，行星在運(yùn)動(dòng)過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則（ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
2．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題其中正確的是（ ）
A．兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等 B．兩橢圓的離心率相等
C． D．與小橢圓相切
4．（多選）（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考期中）加斯帕爾 蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,其圓心是橢圓的中心,這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為
C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為 D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為18
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二上海市第三女子中學(xué)校考期中）橢圓和（ ）
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．頂點(diǎn)相同
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于橢圓C：，有下面四個(gè)命題：
甲：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；
乙：短軸長(zhǎng)為2；
丙：離心率為；
丁：．
如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）橢圓中，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的短軸上的頂點(diǎn)，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的中心作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
8．（2023春·全國(guó)·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓：，點(diǎn)P和點(diǎn)B分別為橢圓C和圓A上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值3時(shí)，
15．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．
B能力提升
1．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓方程為，為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，以為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為 .（用含的代數(shù)式表示）
4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)常看到橢圓，比如放在太陽底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的最小值是 ．
5．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在E及直線上．若，則E的離心率的取值范圍是 ．
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考期末）已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，過點(diǎn)的直線與（1）中點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)（與不重合）.證明：直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值.
2．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比等于，記的軌跡為．點(diǎn)在上，三點(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)．
(1)證明：直線與直線的斜率之積為定值；
(2)直線與相交于點(diǎn)，試問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，說明理由．
3．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在xOy平面上，設(shè)橢圓，梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，且.設(shè)直線AB的方程為

(1)若AB為的長(zhǎng)軸，梯形ABCD的高為，且C在AB上的射影為的焦點(diǎn)，求m的值；
(2)設(shè)，直線CD經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍；
第02講 3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓中a，b，c，e的幾何意義。 ②會(huì)根據(jù)橢圓的方程解決橢圓的幾何性質(zhì)，會(huì)用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題。 ③會(huì)判斷點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)求直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的幾何量a，b，c，e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會(huì)利用橢圓的幾何性質(zhì)解決與橢圓有關(guān)的點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問題。
知識(shí)點(diǎn)01：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
范圍 ， ，
頂點(diǎn) ，， ，
軸長(zhǎng) 短軸長(zhǎng)＝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)＝
焦點(diǎn)
焦距
對(duì)稱性 對(duì)稱軸：軸、軸　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
離心率 ，
【即學(xué)即練1】（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .
【答案】或
【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，易知，
當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，
所以，解得，則，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，
所以，得，滿足題意，
此時(shí)，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故答案為：或.
知識(shí)點(diǎn)02：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比：. （）
當(dāng)越接近1時(shí)，越接近，橢圓越扁；
當(dāng)越接近0時(shí)，越接近0，橢圓越接近圓；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，圖形為圓，方程為
【即學(xué)即練2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中學(xué)校考期末）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，若E上的點(diǎn)P滿足軸，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則直線：，由，得，即，

而，，由，得，即，
有，又，因此，
所以E的離心率為.
故選：A
知識(shí)點(diǎn)03：常用結(jié)論
1、與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：
2、有相同離心率：（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）
3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知識(shí)點(diǎn)04：直線與橢圓的位置關(guān)系
1、直線與橢圓的位置關(guān)系
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.
①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；
②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；
③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．
【即學(xué)即練3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直線與橢圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】C
【詳解】聯(lián)立，
則
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以直線與橢圓相交
故選：C.
2、直線與橢圓的相交弦
直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）
（1）弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：
弦長(zhǎng)
弦長(zhǎng)
這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：
；
（2）結(jié)論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的斜率為
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，
兩式相減得：，
即 ，故
結(jié)論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：
（3）.已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，
．求：的面積（用、、表示）．
設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由橢圓定義知： ②，則得
故
【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）通過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線，
代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于.
故選：B
題型01根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)
【典例1】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）橢圓與橢圓的（ ）
A．長(zhǎng)軸相等 B．短軸相等 C．焦距相等 D．長(zhǎng)軸、短軸、焦距均不相等
【答案】C
【詳解】橢圓即，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，焦距為；
橢圓即，因?yàn)椋?br/>則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為,
故兩個(gè)橢圓的焦距相等．
故選：C．
【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)镻點(diǎn)在橢圓上，則，記，
所以，
又因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸，
且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值.
故選：B.
【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由已知，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，，
所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為、短軸長(zhǎng)為、離心率為.
故選：D.
【變式1】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由橢圓的離心率，可得，所以橢圓的方程為，
設(shè)，則，可得，
又由點(diǎn)，
可得，
因?yàn)椋裕?
故選：A.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．6 B．或 C． D．或
【答案】D
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，由，解得，符合題意，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．
故選：D．
【變式3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦距為4，則m的值為 ．
【答案】10或2
【詳解】橢圓的焦距為4，即
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故m的值為10或2，
故答案為：10或2
題型02根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程
【典例1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第十九中學(xué)校考期末）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由化簡(jiǎn)可得，
焦點(diǎn)為在軸上，
同時(shí)又過點(diǎn)，設(shè)，
有，解得，
故選：C
【典例2】（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)校考期末）已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，則橢圓方程為（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【詳解】由題意知，，，所以，，
∴，
又因?yàn)闄E圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，則焦點(diǎn)可能在或軸上.
∴橢圓方程：或
故選：C
【典例3】（2023秋·廣東江門·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)校考期中）已知橢圓焦點(diǎn)在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【詳解】橢圓的離心率為，
設(shè)所求橢圓方程為，
則，從而，，
又，∴，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為： .
【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)闄E圓，即，
，，可得，橢圓的焦點(diǎn)為，
設(shè)橢圓方程是，則，解得
所求橢圓的方程為.
故選：A．
【變式2】（2023·陜西西安·長(zhǎng)安一中校考二模）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，
于是橢圓的上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓切線方程分別為，，
則兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，
圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日?qǐng)A半徑，
所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.
故選：B
【變式3】（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】（答案不唯一）
【詳解】橢圓：的離心率為.
則焦點(diǎn)在軸上離心率為的橢圓可取：.
故答案為：
題型03求橢圓的離心率的值
【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考期末）油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動(dòng)中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示.該傘的傘面是一個(gè)半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)光線與地面夾角為時(shí)，傘面在地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，該橢圓的離心率（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】依題意，過傘面上端邊沿的光線、過這個(gè)邊沿點(diǎn)傘面的直徑及橢圓的長(zhǎng)軸圍成底角為的等腰三角形，
腰長(zhǎng)為傘面圓的直徑，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為底邊長(zhǎng)，則，即，
而橢圓的短軸長(zhǎng)，即，
所以橢圓的離心率
故選：D
【典例2】（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn).若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，可設(shè)，則，
所以，可得，
又因?yàn)椋矗?br/>代入可得，所以離心率為.
故選：D.

【典例3】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為平行四邊形．
設(shè)，則．
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕裕?br/>在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．
故選：B.

【典例4】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)，分別在第一，第二象限內(nèi)，若與的面積相等，且，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【詳解】由題意得，
故，
又，將代入可得，即，
又，故，離心率.

故答案為：
【變式1】（2023春·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
由橢圓的對(duì)稱性可得，
所以四邊形為平行四邊形，
又，所以四邊形為矩形，所以，
由，得，
又，所以，
在中，由，
得，即，所以，
即的離心率為.
故選：A.

【變式2】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】在中，，
設(shè)，由題意知,，
由余弦定理得,，
由橢圓定義知，則離心率.
故選:C.
【變式3】（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)在第二象限，在第一象限，
聯(lián)立，可解得，
，，又，
，，
又，，
，
，
，
，
，又，
該橢圓的離心率．
故選：C．
【變式4】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓：的右焦點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為 .
【答案】
【詳解】由題知，，且，即，
∴，∴，∴，∴.
故答案為：

題型04求橢圓的離心率的最值或范圍
【典例1】（2023春·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）若橢圓上存在點(diǎn)，使得到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題可設(shè)點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之分別，
所以，得到，
又，所以，得到，故.
故選：C.
【典例2】（2023春·上海青浦·高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)，
又，且，
則，與橢圓方程聯(lián)立，
即，解得或，
則，即，
即，則，
故選：B
【典例3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知橢圓上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】由題意，
在中，設(shè)左焦點(diǎn)為，，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴.
∵，
∴，
由橢圓的定義得，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
【典例4】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率e的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】當(dāng)傾斜角時(shí)，直線的斜率不存在，如圖則，又橢圓左焦點(diǎn)

若，則，即，
所以，即
所以橢圓的離心率；
當(dāng)傾斜角為，直線的斜率存在設(shè)為，則，
設(shè)，則，所以①，

若，則②，
聯(lián)立①②，結(jié)合可得，
由，，所以，且，
所以，則，故，
所以，即，故
綜上，橢圓的離心率e的取值范圍為.
故答案為：.
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時(shí)橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
因?yàn)椤啵?br/>設(shè)，則
∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)離心率.
故選：C
【變式2】（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
所以，即，
，
又因?yàn)辄c(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，
所以，兩式相減可得：，即，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即，即，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋瑸闄E圓上的兩點(diǎn)，所以，
所以，解得：，即.
故選：C.
【變式3】（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是橢圓：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，其中，則的離心率的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，
兩直線的交點(diǎn)，從而點(diǎn).
點(diǎn)在橢圓上，
則，即
則.
由于，則，，
故答案為：
【變式4】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為圓上一點(diǎn)，橢圓焦距為6，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為：，
依題意可得圓與橢圓有交點(diǎn)，
又橢圓的右焦點(diǎn)是圓的圓心，
所以，且，又，所以，.
故答案為：.
題型05根據(jù)橢圓離心率求參數(shù)
【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
【典例2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長(zhǎng)度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，
，
又
,
，，
，，則，
即線段的長(zhǎng)度的取值范圍是，
故選：C
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是 ，斜率為的直線過左焦點(diǎn)且交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，若橢圓的離心率為，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是
【答案】
【詳解】如圖示，由橢圓定義可得 ,
則的周長(zhǎng)為4a,設(shè)，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)是，
故 ，
由題意得 ，

得，由于，故，
所以由可得，
故答案為：
【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）已知橢圓的離心率，則的值可能是（ ）
A．3 B．7 C．3或 D．7或
【答案】C
【詳解】橢圓的離心率，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，即，，解得，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，即，，解得，
所以的值可能是3或.
故選：C
【變式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習(xí)）設(shè)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】記橢圓，雙曲線的半焦距分別為，
由題意知橢圓的，雙曲線的，則橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，
設(shè)，則，
，設(shè)，則，解得，即，
又，且，故的取值范圍是.
故答案為：
【變式3】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考一模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實(shí)數(shù)λ取值范圍為 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意知，由得，
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由知，且，
從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓C方程得，
整理得，即，
所以.
又因?yàn)椋裕磳?shí)數(shù)λ取值范圍為.
故答案為：.
題型06直線與橢圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線與橢圓有且只有一公共點(diǎn)，那么的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€為橢圓，則，
將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，，可得，
則，解得.
故選：C.
【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
【答案】A
【詳解】對(duì)于直線，整理得，
令，解得，
故直線過定點(diǎn).
∵，則點(diǎn)在橢圓C的內(nèi)部，
所以直線l與橢圓C相交.
故選：A.
【變式1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)橢圓方程為，
直線代入橢圓方程，消得：，
，整理，得
又，由焦點(diǎn)在軸上，
所以，聯(lián)立解得：，,故橢圓方程為，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；
故選：C
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】直線過定點(diǎn)，
所以，解得①.
由于方程表示橢圓，所以且②.
由①②得的取值范圍是.
故選：C
題型07直線與橢圓相切
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】過橢圓上的點(diǎn)的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.
故選：B
【典例2】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，則橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為 ．
【答案】
【詳解】由橢圓，可得，
故直線AB的方程為，與AB平行且與橢圓相切的直線可設(shè)為，
代入橢圓方程整理，得，
則，解得，
當(dāng)時(shí)，與之間的距離為；
當(dāng)時(shí)，與間的距離為，
故橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為，
故答案為：
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓上的點(diǎn)P到直線x+ 2y- 9= 0的最短距離為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為 ，則
所以
所以橢圓上點(diǎn)P到直線的最短距離為
故選：A
【變式2】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)直線與橢圓相切
聯(lián)解消去，得
，解得或
與直線平行且與橢圓相切的直線方程為
其中與直線距離較遠(yuǎn)的是，且距離為，
到直線的最大距離為，
故答案為：．
題型08弦長(zhǎng)
【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【詳解】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，
聯(lián)立可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為，求k的值．
【答案】
【詳解】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，
聯(lián)立消去整理得，
解得，
所以弦長(zhǎng)，
整理得即解得，.
【典例3】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，并且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解法一：因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上．所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由題意知，，
解得．
所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
解法二：由于橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
根據(jù)橢圓定義得，
即．
又因?yàn)椋裕?br/>所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由，消去y，得，
因?yàn)橹本€與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
所以，
解得．
設(shè)，，
則，，
所以
當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)直線l的方程為
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過左焦點(diǎn)的斜率為1的直線與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)，求．
【答案】
【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，則左焦點(diǎn)，
因?yàn)橹本€過橢圓左焦點(diǎn)且斜率為1，所以直線方程為，即，
設(shè)，
聯(lián)立直線與橢圓方程可得，化簡(jiǎn)可得，
且，
由韋達(dá)定理可得，
由弦長(zhǎng)公式可得
.
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二期末）已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程：
(2)設(shè)過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由離心率，則，右焦點(diǎn)，
直線的斜率，解得，，
所以，
橢圓的方程為；
（2）解：由（1）可知橢圓的左焦點(diǎn)，則直線的方程為，
由，解得或，不妨令、，
所以.
【變式3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，
所以，解得，所以的方程為，
由，消y得，
所以得，
設(shè)，，則，
所以
，
化簡(jiǎn)得，得證；
（2）由消x，得，
所以，即，
結(jié)合，及，可得，
設(shè)，，則，
所以，
所以，
設(shè)，由，得，所以，
所以，
所以.

題型09中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C： ，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，，則，，
且，，
作差得，所以，
即直線l的斜率是．
故選：C．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為 ．
【答案】/
【詳解】設(shè)線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
可得，
因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減得，
整理得，即
所以.
故答案為：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)的直線，與橢圓 相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB以點(diǎn)M為中點(diǎn)，則直線AB的方程是 .
【答案】
【詳解】設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，，，
且，，兩式相減，化簡(jiǎn)可得，
所以，即直線的斜率為，
根據(jù)點(diǎn)斜式，得到直線的方程為，即.
故答案為：
【典例4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為 ．
【答案】
【詳解】由題意，
在橢圓中，一個(gè)焦點(diǎn)為，
設(shè)橢圓的方程為,
∴，
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為
∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，，
∴ 即
∴.
∴，解得：
∴橢圓的方程為：，
故答案為：.
故答案為：.

【變式1】（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓的弦AB被點(diǎn)平分，則AB所在直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則
所以，整理得，
因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，
所以，
所以，
所以弦所在直線的方程為，即.
故選：A.
【變式2】（2023·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡(jiǎn)整理得
，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，
所以，由，得，又因?yàn)椋獾茫?br/>所以橢圓C的方程為．
故選：A．
【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，已知直線的斜率為1，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
由題意知，則，
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
∴，
解得：，
故答案為：.
【變式4】（2023春·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習(xí)）直線不與軸重合，經(jīng)過點(diǎn)，橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.若，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【詳解】設(shè)，，，則，
兩式相減得，即，
所以，因?yàn)槭谴怪逼椒志€，有，
所以，即，化簡(jiǎn)得，
∵，∴.
故答案為：
題型10橢圓中三角形面積問題
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．
【答案】的周長(zhǎng)為，面積為．
【詳解】如下圖所示：

由橢圓方程可知，
根據(jù)橢圓定義可知，
所以的周長(zhǎng)為，
即的周長(zhǎng)為；
易知，
又直線的傾斜角為，則，
所以直線的方程為，設(shè)
聯(lián)立整理可得，
由韋達(dá)定理可知；
由圖可知的面積為；
所以的周長(zhǎng)為，面積為
【典例2】（2023春·北京·高二北京師大附中校考期中）已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知有 解得
所以橢圓的方程為.
（2）由 消去，整理得.
設(shè)，則
直線的方程為，到直線的距離.
所以的面積為
【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積之和為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可知，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
則，所以，
因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是.
（2）如圖：

不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，連接，
因?yàn)榉謩e為有中點(diǎn)，所以，
所以，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，則，，
此時(shí)；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，
設(shè)，，顯然直線不與軸重合，即，
聯(lián)立，得，
則，，
所以，
又點(diǎn)到直線的距離，
所以，令，
則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以.
綜上，，即的最大值為.
【變式1】（2023春·湖南衡陽·高二校聯(lián)考期末）已知是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求面積的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，得直線過點(diǎn)，于是，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）依題意，直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，
由消去整理得，則，
的面積
，令，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故面積的取值范圍為．
【變式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為，且橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓左焦點(diǎn)為，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知有，解得，則橢圓的方程為.
（2） 消去，整理得，解得，，
如圖

則，，則，
直線的方程為，到直線的距離.
所以的面積為.
【變式3】（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過作交于，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過的直線交曲線于點(diǎn)、，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【詳解】（1）解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
由題意可得，且為線段的垂直平分線，所以，，
因?yàn)椋?br/>所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，則，
因此，曲線的軌跡方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則、、三點(diǎn)共線，不合乎題意.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
則，
設(shè)點(diǎn)、，則，，
則，
所以，，
解得或，
故直線的方程為或或.
題型11橢圓的定點(diǎn)、定值、定直線問題
【典例1】（2023春·廣東韶關(guān)·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題知，，，，
由的面積為，得，
又，代入可得，，∴橢圓的方程為.
（2）聯(lián)立得，
設(shè)，，可得，，
由題知，
即，
即，解得，
∴直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).
【典例2】（2023春·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.
【答案】(1)
(2)見解析
【詳解】（1）由題意可知：，又，解得，
所以橢圓方程為
（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點(diǎn)的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，
直線的方程為：，
聯(lián)立直線與橢圓方程：，
設(shè)，
則，
，
將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.
【典例3】（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：
①為定值；
②點(diǎn)M在定直線上.
【答案】(1)
(2)①證明見解析，；②證明見解析，點(diǎn)M在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得：，所以，
即橢圓的方程為．
（2）①設(shè)，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，，其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．
從而．
②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.
【變式1】（2023·四川成都·校考一模）已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由，可得，解得，
又因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，，所以
當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)，直線的方程為，
由整理得，
則，
故
圓心到直線的距離為，則，
所以，即為定值．
【變式2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的的頂點(diǎn)，為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B，C在E上，且邊BC過E的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M，N,點(diǎn)若直線PM,PN與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S，T，證明：直線ST過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【詳解】（1）由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，
所以設(shè)橢圓方程為，焦距為，
所以周長(zhǎng)為，即，
因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，所以，，
所以，
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由題意知，，直線斜率均存在，
所以直線，與橢圓方程聯(lián)立得，
對(duì)恒成立，
則，即，則，
同理，，
所以，
所以直線方程為：，
所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【變式3】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線．
(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．
(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)在定直線上，理由見詳解.
【詳解】（1）因?yàn)榍€C是橢圓，所以，解得；.
（2）是在定直線上，理由如下：
當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓，設(shè)點(diǎn)與直線l聯(lián)立得，
，且，
所以
易知，則，
兩式作商得是定值，
故G在定直線上.

題型12橢圓中的向量問題
【典例1】（2023春·河南周口·高二校考開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的比值為2．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，，，，
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）依題意，知，設(shè)，．
聯(lián)立消去，可得．
，即，，
，．
，．
，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
直線的方程為．
【典例2】（2023春·江蘇南京·高二校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值．
【答案】(1);
(2).
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，所以．
又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）因?yàn)橹本€的斜率為，且過右焦點(diǎn)，所以直線的方程為．
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，
消去，得，其中．
設(shè)，，則，．
因?yàn)椋?br/>．
因此的值是．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別是橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
【詳解】設(shè)，，
則，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上，所以有：，即，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，的最大值為6.
故選：A.
【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，若過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，求出直線的所有方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>所以橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，
所以
解得
所以橢圓的方程為.
（2）若直線與軸垂直，則直線與橢圓的交點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，
以為直徑的圓顯然過點(diǎn)，此時(shí)直線的方程是；
若直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程是，
與橢圓的方程聯(lián)立，消去并整理，得.
設(shè)，，則，
，，
.
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，
所以，即，，
所以，，
，解得.
顯然滿足，
所以直線與軸不垂直時(shí)，直線的方程是，即.
綜上所述，當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的方程是或.
題型13新定義問題
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）開普勒第一定律也稱橢圓定律 軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.將某行星看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌跡近似成曲線，行星在運(yùn)動(dòng)過程中距離太陽最近的距離稱為近日點(diǎn)距離，距離太陽最遠(yuǎn)的距離稱為遠(yuǎn)日點(diǎn)距離.若行星的近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是18（距離單位：億千米），近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是16，則（ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
【答案】D
【詳解】根據(jù)橢圓方程，得長(zhǎng)半軸，半焦距，
近日點(diǎn)距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)距離為，
近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之和是，
近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離之積是，
解得，則.
故選：D.
2．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)橢圓方程為，
令，即，解得，依題意可得，
所以，所以，所以．
故選：D．
3．（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長(zhǎng)筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題其中正確的是（ ）
A．兩橢圓的焦距長(zhǎng)相等 B．兩橢圓的離心率相等
C． D．與小橢圓相切
【答案】BC
【詳解】設(shè)大、小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比與短軸長(zhǎng)之比均為，
設(shè)點(diǎn)、、，
以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小橢圓的方程為，
則大橢圓的方程為，
對(duì)于A，大橢圓的焦距長(zhǎng)為，兩橢圓的焦距不相等，A錯(cuò)；
對(duì)于B，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，B對(duì)；
對(duì)于C，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，合乎題意，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，
，可得，
此時(shí)，，
聯(lián)立，
可得，
由韋達(dá)定理可得，
即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，，C對(duì)；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，不妨取點(diǎn)、，則，若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，D錯(cuò).
故選：BC
4．（多選）（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考期中）加斯帕爾 蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,其圓心是橢圓的中心,這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為
C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為 D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為18
【答案】ACD
【詳解】解:由題知橢圓方程為:,
所以,
故選項(xiàng)A正確;
因?yàn)殚L(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切,
所以點(diǎn),即在蒙日?qǐng)A上,
故半徑為,
可得橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為;
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確;
設(shè)長(zhǎng)方形R的邊長(zhǎng)為m,n,
則有,
所以長(zhǎng)方形R的面積等于,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,
故選項(xiàng)D正確.
故選:ACD
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由于，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，故焦點(diǎn)為，
故選：D
2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，，所以，．
故選：D．
3．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二上海市第三女子中學(xué)校考期中）橢圓和（ ）
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等 C．焦距相等 D．頂點(diǎn)相同
【答案】C
【詳解】對(duì)于橢圓，
，，，∴，，，
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，
對(duì)于橢圓，
，，，∴，，，
∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，
∴橢圓和的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)均不相等，故頂點(diǎn)不相同，焦距相等.
故選：C.
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于橢圓C：，有下面四個(gè)命題：
甲：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；
乙：短軸長(zhǎng)為2；
丙：離心率為；
丁：．
如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【詳解】假設(shè)甲乙正確，則，，所以，所以，，
可得到甲、乙、丙三個(gè)命題中，已知某兩個(gè)正確，均可推出第三個(gè)正確，
故丁是假命題.
故選：D
5．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的離心率為為橢圓上的一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【詳解】因?yàn)榈碾x心率為，且，所以，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.
故選：C

6．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）橢圓中，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的短軸上的頂點(diǎn)，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)為橢圓的半焦距，由題意可得，
由對(duì)稱性可設(shè),
則,
因?yàn)椋?
所以,即,解得或（舍）.
故選:B.
7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的中心作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】B
【詳解】如圖：

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于過橢圓中心，
所以，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是，
所以，因此，
當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，
而當(dāng)，為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，
所以，的面積最大為.
故選：B.
8．（2023春·全國(guó)·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓：，點(diǎn)P和點(diǎn)B分別為橢圓C和圓A上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值3時(shí)，的面積為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】由題知，所以.
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以.當(dāng)P，B兩點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.
所以，所以，.
所以直線的方程為，即，與方程聯(lián)立，
可得，解得（負(fù)值已舍去，其中為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)）.
所以的面積為.
故選：A.
二、多選題
9．（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（ ）
A．離心率為 B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)是
C．焦距2 D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為
【答案】ACD
【詳解】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為
所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故焦距為2，故C、D正確；
因?yàn)樗蚤L(zhǎng)軸長(zhǎng)是，故B錯(cuò)誤，
因?yàn)椋裕x心率，故A正確.
故選：ACD
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，若方程所表示的直線恒過定點(diǎn)M，點(diǎn)Q在以點(diǎn)M為圓心，C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為直徑的圓上，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為 B．的最大值為4
C．的面積可能為2 D．的最小值為
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由橢圓C的方程知，，，所以離心率，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由橢圓的定義可得，所以，即的最大值為4，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，易知，則圓，所以，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD．
三、填空題
11．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）橢圓上的點(diǎn)到直線:的距離的最小值為 ．
【答案】
【詳解】在橢圓上任取一點(diǎn)，設(shè)，
那么點(diǎn)到直線的距離為：
，其中 .
故答案為：.
12．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏市八中校考開學(xué)考試）過橢圓：的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為
【答案】/
【詳解】解：由橢圓：，可得右焦點(diǎn).
設(shè)此直線與橢圓相交于點(diǎn)，
直線方程為：.
聯(lián)立，
可得，
，.
.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，如果是直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】答案見解析
【詳解】根據(jù)題意可知，，
不妨設(shè)，設(shè)；
①若為直角，即與軸垂直，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與，即；
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
②若為直角，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與，即；
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
③若為直角，則，即
可得，聯(lián)立橢圓方程可得，
解得，所以
即點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線和橢圓，為何值時(shí)，直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)為．
【答案】
【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，
聯(lián)立，可得，
，解得，
，，
弦長(zhǎng)，解得，
故時(shí)，直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)為．
15．（2023春·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，
由，得．
則，．
因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以．
解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
所以直線l的方程為．
B能力提升
1．（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，如圖所示，

因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以為的角平分線，
所以，因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，由橢圓的定義可知，，
可得，所以，，
又因?yàn)椋?br/>所以，在中，由余弦定理可得，
，
所以，則，
故選：B.
2．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓方程為，為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，以為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，

設(shè)，由題意可得，
則由以為中點(diǎn)的弦與橢圓交于點(diǎn)可得，
兩式相減可得，
即，
所以直線方程為，
令，可得，
由知，，
所以直線的方程為，
令，可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，故.
故選：B
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為 .（用含的代數(shù)式表示）
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以，蒙日?qǐng)A的方程為，
由已知條件可得，則為圓的一條直徑，
由勾股定理可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，面積的最大值為.
故答案為：.
4．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在生活中，我們經(jīng)常看到橢圓，比如放在太陽底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個(gè)橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的最小值是 ．
【答案】
【詳解】解：∵橢圓的離心率為，
∴，∴，
∴橢圓的方程為，
不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，
∵，
∴，
∴為正三角形，
∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，
∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，
直線的方程：，
代入橢圓方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，
∴
則，
當(dāng)且僅當(dāng)
故答案為：.
5．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在E及直線上．若，則E的離心率的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則
解得即．
由橢圓定義及對(duì)稱性可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．
所以E的離心率．
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，
即，
解得，
設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)為Q，
則，
所以，解得，
又直線的方程為：，
直線的方程為：
聯(lián)立上述兩直線方程得：，
即，
將①②代入上式得：,
即，解得.
所以直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值4.
2．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比等于，記的軌跡為．點(diǎn)在上，三點(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)．
(1)證明：直線與直線的斜率之積為定值；
(2)直線與相交于點(diǎn)，試問以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)定點(diǎn)，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)，則有，
整理得；
設(shè),，，則，，
由 ，兩式相減：，
整理得，，，
即直線與直線的斜率之積為定值．
（2）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立方程組，消去得：，
所以， ， ，
， 直線， 從而點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，若以為直徑的圓過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，
以為直徑的圓過定點(diǎn)，則，
又，，
從而，
整理得，
故 ，解方程組可得，
即以為直徑的圓過定點(diǎn)．
3．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在xOy平面上，設(shè)橢圓，梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，且.設(shè)直線AB的方程為

(1)若AB為的長(zhǎng)軸，梯形ABCD的高為，且C在AB上的射影為的焦點(diǎn)，求m的值；
(2)設(shè)，直線CD經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍；
【答案】(1)2；
(2)；
【詳解】（1）因?yàn)樘菪螢榈拈L(zhǎng)軸，的高為，，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，
可得，又因?yàn)樵谏系纳溆盀榈慕裹c(diǎn)，
∴，解得，
∵，∴.
（2）由題意，橢圓，直線CD的方程為，
設(shè)，，則，化簡(jiǎn)得，
，得，
∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范圍為.
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