資源簡介

第09講 圓錐曲線的方程（弦長問題）
一、知識點歸納
知識點一：弦長公式
（最常用公式，使用頻率最高）
知識點二：基本不等式
（當且僅當時等號成立）
二、題型精講
題型01求橢圓的弦長
【典例1】（2023春·四川成都·高二校聯考期末）已知橢圓：的離心率為，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點，且滿足（為坐標原點），求弦長的值．

【典例2】（2023春·廣西·高二校聯考階段練習）在直角坐標系xOy中已知，P是平面內一動點，且直線PA和直線PB的斜率之積為．記點P的運動軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線l與曲線C相交于M，N兩點．且線段MN的中點為，求．

【變式1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）已知平面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)設動點的軌跡為曲線，過定點的直線和曲線交于不同兩點、滿足，求線段的長．
【變式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校聯考期末）已知橢圓C的焦點為F1（0，-2）和F2（0，2），長軸長為2，設直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求弦AB的中點坐標及|AB|.
題型02求橢圓的弦長的最值（范圍）
【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二校聯考期末）過點的直線與橢圓交于兩點，則的最大值是 .
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學校考階段練習）已知橢圓的離心率為，C上的點到其焦點的最大距離為．
(1)求C的方程；
(2)若圓的切線l與C交于點A，B，求的最大值．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.
(1)求橢圓的的標準方程；
(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.
【典例4】（2023秋·湖南岳陽·高二湖南省汨羅市第一中學校聯考期末）設橢圓的左右焦點，分別是雙曲線的左右頂點，且橢圓的右頂點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說明理由.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．
【變式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知橢圓：（）的短軸長為4，離心率為．點為圓：上任意一點，為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記線段與橢圓交點為，求的取值范圍．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點，，動點在橢圓上，且使得的點恰有兩個，動點到焦點的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求弦長的取值范圍．
題型03根據橢圓的弦長求參數
【典例1】（2023春·上海靜安·高二統考期末）在平面直角坐標系中，設，動點滿足：，其中是非零常數，分別為直線的斜率.
(1)求動點的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關系；
(2)當時，直線交曲線于兩點，為坐標原點.若線段的長度，的面積，求直線的方程.
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知在平面直角坐標系中，橢圓的右頂點為，上頂點為，的面積為，離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于、兩點，若弦長的取值范圍為，求斜率的取值范圍．
【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知在平面直角坐標系中，橢圓的右頂點為A，上頂點為B，的面積為，離心率．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為k的直線與圓相切，且l與橢圓C相交于兩點，若弦長的取值范圍為，求的取值范圍．
【變式1】（2023春·上海浦東新·高二統考期末）橢圓C：．
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若、分別是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，且，求點P的坐標；
(3)如果l：被橢圓C截得的弦長，求該直線的方程．
【變式2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學校考三模）在平面直角坐標系中，已知橢圓：與橢圓：，且橢圓過橢圓的焦點.過點且不與坐標軸平行或重合的直線與橢圓交于，兩點，與橢圓交于，兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若存在直線，使得，求實數的取值范圍.
【變式3】（2023春·四川內江·高二四川省內江市第六中學?？茧A段練習）橢圓E的方程為，短軸長為2，若斜率為的直線與橢圓E交于兩點，且線段的中點為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l：與圓相切，且與橢圓E交于M，N兩點，且，求直線l的方程.
題型04求雙曲線的弦長
【典例1】（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．
【變式1】（2023秋·廣東湛江·高二統考期末）設第一象限的點是雙曲線上的一點，已知C的一條漸近線的方程是．
(1)求b的值，并證明：；
(2)若直線和曲線C相交于E，F兩點，求．
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）雙曲線的焦點的坐標分別為和，離心率為，求：
(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；
(2)已知直線與該雙曲線交于交于兩點，且中點，求直線AB的弦長．
題型05根據雙曲線的弦長求參數
【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）已知點，依次為雙曲線的左、右焦點，且，令．
(1)設此雙曲線經過第一、三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率；
(2)若，以此雙曲線的焦點為頂點，以此雙曲線的頂點為焦點得到橢圓C，法向量為的直線與橢圓C交于兩點M，N，且，求直線的一般式方程．
【典例2】（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學校考期末）已知雙曲線的漸近線方程是，右頂點是.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過點傾斜角為的直線與雙曲線的另一交點是，若，求雙曲線的方程.
【變式1】（2023秋·浙江寧波·高二期末）已知焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為，
(1)求雙曲線C的離心率e
(2)若直線與C相交于不同的兩點A，B，且，求雙曲線C的方程．
【變式2】（2023秋·安徽合肥·高三?？计谀╇p曲線的中心在原點，右焦點為，漸近線方程為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點且斜率為的直線，與雙曲線交于不同的，兩點，若，求直線的方程．
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二上海市洋涇中學?？茧A段練習）已知雙曲線C：的離心率為，實軸長為2.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.
題型06求拋物線焦點弦
【典例1】（2023春·甘肅武威·高二統考開學考試）已知拋物線過點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線焦點作直線與拋物線交于兩點，已知線段的中點橫坐標為4，求弦的長度．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為.
(1)求；
(2)若直線與交于、兩點，求線段的長．
題型07求拋物線中非焦點弦
【典例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知橢圓與拋物線的圖象在第一象限交于點P．若橢圓的右頂點為B，且．
(1)求橢圓的離心率．
(2)若橢圓的焦距長為2，直線l過點B．設l與拋物線相交于不同的兩點M、N，且的面積為24，求線段的長度．
【典例2】（2023·廣西·統考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2.
(1)求的方程；
(2)若為直線上的一動點，過作拋物線的切線為切點，直線與交于點，過作的垂線交于點，當最小時.求.
【變式1】（2023春·內蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學?？茧A段練習）已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，它的準線過雙曲線的左焦點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若過點且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點，求．
【變式2】（2023秋·湖北·高二統考期末）已知拋物線C：上第一象限的一點到其焦點的距離為2．
(1)求拋物線C的方程和P點坐標；
(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，若∠APB的角平分線過拋物線的焦點，求弦AB的長．
題型08根據拋物線弦長求參數
【典例1】（2023秋·湖南邵陽·高二統考期末）在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比到軸的距離大1.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過點的直線交曲線于兩點，若，求直線的方程.
【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┮阎狾為坐標原點，點和點，動點P滿足.
(1)求動點P的軌跡曲線W的方程并說明W是何種曲線；
(2)若拋物線（）的焦點F恰為曲線W的頂點，過點F的直線l與拋物線Z交于M，N兩點，，求直線l的方程.
【變式1】（2022春·陜西西安·高二西北工業大學附屬中學?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且.
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)若直線l過拋物線C的焦點F，l與拋物線C相交于A，B兩點，且，求直線l的方程.
【變式2】（2022·全國·高三專題練習）如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，．
(1)求證：，，三點的橫坐標成等差數列；
(2)已知當點的坐標為時，，求此時拋物線的方程．
第09講 圓錐曲線的方程（弦長問題）
一、知識點歸納
知識點一：弦長公式
（最常用公式，使用頻率最高）
知識點二：基本不等式
（當且僅當時等號成立）
二、題型精講
題型01求橢圓的弦長
【典例1】（2023春·四川成都·高二校聯考期末）已知橢圓：的離心率為，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點，且滿足（為坐標原點），求弦長的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由得焦點，則橢圓的焦點為，
因為橢圓離心率為，
所以，解得，則，
所以橢圓的方程為．
（2）設，
由得，，
易得，則，，，
因為，
所以，解得，
所以
．

【典例2】（2023春·廣西·高二校聯考階段練習）在直角坐標系xOy中已知，P是平面內一動點，且直線PA和直線PB的斜率之積為．記點P的運動軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線l與曲線C相交于M，N兩點．且線段MN的中點為，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設，由題可得，
則．
整理得，
故曲線C的方程為．
（2）（法一）設，
則兩式相減得，則 ，
因為線段MN的中點，所以，所以，
故直線l的方程為，即，
聯立方程組，消去y整理得，
，則，
則.

（法二）易知直線斜率存在，設直線方程為，
聯立方程組，消去y整理得，
，
則 ,
又，
可求得，即有，
則.
【變式1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習）已知平面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)設動點的軌跡為曲線，過定點的直線和曲線交于不同兩點、滿足，求線段的長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，
則，整理可得，
因此，點的軌跡方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的頂點，
若點、，則，，此時，不合乎題意，
若點、，同理可得，不合乎題意，
所以，直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，
聯立可得，，
因為，即，所以，，即，
由韋達定理可得，所以，，
，解得，
因此，
.
【變式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校聯考期末）已知橢圓C的焦點為F1（0，-2）和F2（0，2），長軸長為2，設直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求弦AB的中點坐標及|AB|.
【答案】(1)
(2)中點坐標，弦長
【詳解】（1）因為橢圓C的焦點為和 ，長軸長為，
所以橢圓的焦點在軸上，.
所以.
所以橢圓C的標準方程.
（2）設，，AB線段的中點為，
由得，
所以，
所以，，
所以弦AB的中點坐標為，
.
題型02求橢圓的弦長的最值（范圍）
【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二校聯考期末）過點的直線與橢圓交于兩點，則的最大值是 .
【答案】
【詳解】①當直線斜率存在時，
設直線方程為：
聯立，
得，
即，
所以，
所以，
令，
則原式，
令，
則原式，
當時取得最大值，
此時，.
②當直線斜率不存在時，
所以的最大值是.
故填：.
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學校考階段練習）已知橢圓的離心率為，C上的點到其焦點的最大距離為．
(1)求C的方程；
(2)若圓的切線l與C交于點A，B，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為C的離心率為，所以．
因為C上的點到其焦點的最大距離為，
所以，解得，．
因為，所以，故C的方程為．
（2）當l的斜率不存在時，可得．
當時，可得，，則．
當時，同理可得．
當l的斜率存在時，設．
因為l與圓相切，所以圓心到l的距離為，
即．
聯立得．
設，，則，．
．
令，
則，
當且僅當，即時，等號成立．
因為，所以的最大值為．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，左頂點為，直線與橢圓交于，兩點.
(1)求橢圓的的標準方程；
(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)3
【詳解】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點為，
所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）得，，
因為直線與橢圓交于，兩點，
由題可知，直線斜率為0時，，
所以直線的斜率不為0，
所以設直線，
聯立方程，得，
所以，
，
所以
，解得，
此時恒成立，
所以直線的方程為直線，直線過定點，
此時，
所以
，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為3.
【典例4】（2023秋·湖南岳陽·高二湖南省汨羅市第一中學校聯考期末）設橢圓的左右焦點，分別是雙曲線的左右頂點，且橢圓的右頂點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，圓的方程為，的取值范圍是
【詳解】（1）由題意得：，
故，
雙曲線漸的近線方程為，
故橢圓右頂點到雙曲線漸近線距離為，
因為，解得：，
故，
所以橢圓方程為；
（2）當直線的斜率存在時，設直線為，
聯立與，得：
，
由得：，
設，
則，
因為，所以，
其中
，
整理得：，
將代入中，解得：，
又，解得：，綜上：或，
原點到直線的距離為，
則存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且，
該圓的半徑即為，故圓的方程為，
當直線斜率不存在時，此時直線的方程為，
與橢圓的兩個交點為，或，，
此時，滿足要求，
經驗證，此時圓上的切線在軸上的截距滿足或，
綜上：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且；
，
將代入上式，
令，則，
因為，則，
所以，
因為，所以，
故當時，取得最大值，最大值為，
又，
當直線的斜率不存在時，此時，
綜上：的取值范圍為.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：橢圓的四個頂點構成的四邊形的面積為，
由題意可得，解得，．
所以，橢圓的方程為．
（2）解：若直線與軸平行或重合，此時直線與圓相交，不合乎題意，
設直線的方程為，由題意可得，即.
聯立消去得，即，
．
設、，則，．
所以，
．
令，則，則，
當且僅當時等號成立，此時，．
故的最大值為．
【變式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？茧A段練習）已知橢圓：（）的短軸長為4，離心率為．點為圓：上任意一點，為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記線段與橢圓交點為，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可知：，， ，則，
∴橢圓的標準方程：；
（2）由題意可知：，
設，則，
∴，
由，當時，，當時，，
∴的取值范圍；
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點，，動點在橢圓上，且使得的點恰有兩個，動點到焦點的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求弦長的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設半焦距為，由使得的點恰有兩個可得，
動點到焦點的距離的最大值為，可得，即，
所以橢圓的方程是.
（2）圓的方程為，設直線上動點的坐標為.
設，連接OA，
因為直線為切線，故，否則直線垂直于軸，則與直線平行，
若，則，故，
故直線的方程為：，
整理得到：；
當時，若，直線的方程為：；若，則直線的方程為：，
滿足.
故直線的方程為，同理直線的方程為，
又在直線和上，即，
故直線的方程為.
聯立，消去得，
設，．
則，
從而
，
又，從而，所以.
題型03根據橢圓的弦長求參數
【典例1】（2023春·上海靜安·高二統考期末）在平面直角坐標系中，設，動點滿足：，其中是非零常數，分別為直線的斜率.
(1)求動點的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關系；
(2)當時，直線交曲線于兩點，為坐標原點.若線段的長度，的面積，求直線的方程.
【答案】(1)動點的軌跡的方程為；討論過程見解析
(2)或或或
【詳解】（1）設，
因為，動點滿足：， 分別為直線的斜率，
所以，即，
即動點的軌跡的方程為.
討論的形狀與值的關系如下：
當時，的形狀為雙曲線；
當時，的形狀為焦點位于x軸的橢圓；
當時，的形狀為圓；
當時，的形狀為焦點位于y軸的橢圓；
（2）當時，的形狀為焦點位于y軸的橢圓，方程為.
由題意知，直線斜率存在，
聯立，則，
，
則，
所以，
所以，
設到直線距離為，直線
則，
所以，平方得，
代入上式得，則，
平方得，即，
所以，得，則，
則，所以，
此時成立，
所以直線的方程為，
即或或或.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知在平面直角坐標系中，橢圓的右頂點為，上頂點為，的面積為，離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于、兩點，若弦長的取值范圍為，求斜率的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：由題意可知，可得，，
所以，橢圓的方程為.
（2）解：設直線的方程為，
因為直線與圓相切，且該圓的圓心為原點，半徑為，

則，得，
聯立得，
則，
設、，則，
所以，，
，
因為的取值范圍是，即，
整理可得，又因為，所以，，解得，
因此，的取值范圍是.
【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）已知在平面直角坐標系中，橢圓的右頂點為A，上頂點為B，的面積為，離心率．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為k的直線與圓相切，且l與橢圓C相交于兩點，若弦長的取值范圍為，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可知：，可得，，
所以橢圓C的方程為：；
（2）設直線的方程為，，，
由，得，
聯立，得，
恒成立，
則，
所以，
，

因為的取值范圍為，
則，解得，
所以，
，
因為，則，
所以，
所以的取值范圍為．
【變式1】（2023春·上海浦東新·高二統考期末）橢圓C：．
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若、分別是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，且，求點P的坐標；
(3)如果l：被橢圓C截得的弦長，求該直線的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）橢圓C：，
，
（2）由（1）可知：，
設，，
，
可得，且，
聯立解得：，
所以或或或
（3）設直線l與橢圓的交點分別為,
聯立，整理得：，
；
所以弦長，
解得: ，
所以直線的方程：
【變式2】（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學校考三模）在平面直角坐標系中，已知橢圓：與橢圓：，且橢圓過橢圓的焦點.過點且不與坐標軸平行或重合的直線與橢圓交于，兩點，與橢圓交于，兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若存在直線，使得，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為橢圓過點，所以橢圓的焦點坐標為，則，
所以，即橢圓的標準方程為；
（2）易知直線的斜率存在，設：，
，，，，
聯立直線l與橢圓，，消去y，整理得，
則，即，
，，
聯立直線l與橢圓，，消去y，整理得，
則，即，
，，
所以，
，
因為，所以，
即，平方整理得，
因為，所以，設函數，則，
所以函數在上單調遞增，
所以，
又，所以，
即的取值范圍為.
【變式3】（2023春·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考階段練習）橢圓E的方程為，短軸長為2，若斜率為的直線與橢圓E交于兩點，且線段的中點為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l：與圓相切，且與橢圓E交于M，N兩點，且，求直線l的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）由題意得：，所以，設，
因過點且斜率為-1的直線與相交于兩點，且恰好是的中點，
則，所以.
又A，B兩點在橢圓上，則.
兩式相減得：，所以，
所以，
又，得，所以，故橢圓方程為；
（2）直線l：與圓相切，
故，即，
聯立與得：，
設，則，，
則，
將代入上式得：，解得：，
因為，所以，故，則，
所以直線l的方程為或.
題型04求雙曲線的弦長
【典例1】（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
【答案】(1)=1
(2)3
【詳解】（1）因為直線l經過C的右焦點，
所以該雙曲線的焦點在橫軸上，
因為雙曲線C兩條準線之間的距離為1，
所以有，
又因為離心率為2，
所以有代入中，可得，
∴C的標準方程為：；
（2）
由上可知：該雙曲線的漸近線方程為，
所以直線l的斜率為，由于雙曲線和兩條直線都關于y軸對稱，
所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.
又因為直線斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值，
所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設直線l的斜率為，
方程為與雙曲線方程聯立為：
，
設，則有，
【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為，可設雙曲線方程為：，
又雙曲線過點，
雙曲線的方程為：
（2）設，，聯立，化為．
∵直線與雙曲線C相交于A，B兩點，∴，化為．
∴，（*）
∵，∴．∴，
又，，∴，
把（*）代入上式得，化為．滿足．∴．
由弦長公式可得
【變式1】（2023秋·廣東湛江·高二統考期末）設第一象限的點是雙曲線上的一點，已知C的一條漸近線的方程是．
(1)求b的值，并證明：；
(2)若直線和曲線C相交于E，F兩點，求．
【答案】(1)，證明見解析
(2)
【詳解】（1）的漸近線方程為，故，
雙曲線方程為，在雙曲線上，所以，
要證，只需證，由于，若，顯然成立，若時，只需要證明，即證，因此只需要證明，由，得，而，故成立，因此
（2）聯立直線與雙曲線方程，
設,則，所以由弦長公式得：，
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習）雙曲線的焦點的坐標分別為和，離心率為，求：
(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；
(2)已知直線與該雙曲線交于交于兩點，且中點，求直線AB的弦長．
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）由題意可得，可得＝4，且焦點在軸上，
所以，
所以雙曲線的方程為：；漸近線的方程為：；
（2）由于中點不在軸上，根據雙曲線的對稱性可得直線的斜率必存在，
設直線：，，
聯立，
消去得
則，，解得，
則
題型05根據雙曲線的弦長求參數
【典例1】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）已知點，依次為雙曲線的左、右焦點，且，令．
(1)設此雙曲線經過第一、三象限的漸近線為，若直線與直線垂直，求雙曲線的離心率；
(2)若，以此雙曲線的焦點為頂點，以此雙曲線的頂點為焦點得到橢圓C，法向量為的直線與橢圓C交于兩點M，N，且，求直線的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）漸近線，，，則，
直線與直線垂直，則，即，即，
解得，（舍去負值）.
（2）直線的法向量為，設直線方程為，
設橢圓方程為，則，，，，
故橢圓方程為，聯立方程，即，
，即，
設，，，
，解得.
故直線方程為或.
【典例2】（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？计谀┮阎p曲線的漸近線方程是，右頂點是.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過點傾斜角為的直線與雙曲線的另一交點是，若，求雙曲線的方程.
【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）解：因為雙曲線，故漸近線方程是：，又漸近線方程是，故，即，故，
故，；
（2）解：因為直線的傾斜角為，故直線斜率是1，又直線經過，則直線方程為，設，
由，消去得，
故，解得，又，
則，解得，故，，
故雙曲線的方程是.
【變式1】（2023秋·浙江寧波·高二期末）已知焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為，
(1)求雙曲線C的離心率e
(2)若直線與C相交于不同的兩點A，B，且，求雙曲線C的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）可設雙曲線C的方程為，則其漸近線方程為，
所以，
所以離心率；
（2）設，則由得，
所以，
因為，
所以，得，
故雙曲線C的方程為．
【變式2】（2023秋·安徽合肥·高三?？计谀╇p曲線的中心在原點，右焦點為，漸近線方程為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點且斜率為的直線，與雙曲線交于不同的，兩點，若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，
故可設雙曲線的方程是，
又已知，
又，，
所以雙曲線的方程是；
（2）由題意得直線的方程為，
由得，
由題知得且 ．
設，則，
，
解得或，
，
所以直線的方程為．
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二上海市洋涇中學?？茧A段練習）已知雙曲線C：的離心率為，實軸長為2.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若直線被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）雙曲線離心率為，實軸長為2，
，，
解得，，
，
所求雙曲線C的方程為；
（2）設,,
聯立，，，
，．
，
，解得．
題型06求拋物線焦點弦
【典例1】（2023春·甘肅武威·高二統考開學考試）已知拋物線過點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線焦點作直線與拋物線交于兩點，已知線段的中點橫坐標為4，求弦的長度．
【答案】(1)；
(2)10.
【詳解】（1）因為拋物線過點，則有，解得，
所以拋物線的標準方程為.
（2）由（1）知，拋物線的焦點，準線方程為，
設點的橫坐標分別為，而線段的中點橫坐標為4，則有，
因為點是過拋物線焦點的直線與拋物線的兩個交點，
因此，
所以弦的長度為10.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為.
(1)求；
(2)斜率為的直線過點，且與拋物線交于兩點，求線段的長.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）為拋物線的焦點，，解得：.
（2）由（1）知：拋物線；
直線，
由得：，
設，，則，
，.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二統考開學考試）已知拋物線過點.
(1)求拋物線的方程，并求其準線方程;
(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度.
【答案】(1)，.
(2)
【詳解】（1）拋物線過點，則，
故拋物線的方程為，其準線方程為.
（2）拋物線的方程為，焦點為，
則直線的方程為，
聯立，可得，，
設，則，
由拋物線定義可得，
故.
【變式1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學?？茧A段練習）已知拋物線的準線的方程為，過點作傾斜角為的直線交該拋物線于兩點，．求：
（1）的值；
（2）弦長
【答案】（1）2；（2）8.
【詳解】解：（1）由準線的方程為，可知：，即
（2）易得直線，與聯立，
消去得，，，，
所以：弦長．
【變式2】（2023秋·湖南懷化·高二統考期末）已知拋物線的準線方程是是拋物線焦點．
(1)求拋物線焦點坐標及其拋物線方程：
(2)已知直線過點，斜率為2，且與拋物線相交于兩點，求．
【答案】(1)焦點是，拋物線的方程為；
(2)5
【詳解】（1）拋物線準線為，因此，所以拋物線的焦點是
故拋物線的方程為
（2）由題意可知直線的方程為，設
聯立，整理得
由韋達定理可得，
所以
【變式3】（2023秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市南溪第一中學校校考期末）已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為．
(1)求的標準方程；
(2)若直線與交于、兩點，求線段的長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：設拋物線的標準方程為．
因為的頂點在原點，焦點坐標為，所以，則，
故的標準方程為．
（2）解：拋物線的準線方程為．
設、，因為直線過點，
所以、到準線的距離分別為，．
聯立可得，則，
所以，，因此，.
題型07求拋物線中非焦點弦
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）已知橢圓與拋物線的圖象在第一象限交于點P．若橢圓的右頂點為B，且．
(1)求橢圓的離心率．
(2)若橢圓的焦距長為2，直線l過點B．設l與拋物線相交于不同的兩點M、N，且的面積為24，求線段的長度．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵拋物線方程為∴其焦點為，拋物線的準線方程為．
設點，故到準線的距離為．
即，∴
因為點P在第一象限，代入拋物線方程解得．
根據點P在橢圓上，將P點坐標代入橢圓方程，化簡得．
即，所以，則橢圓E的離心率．
故答案為：
（2）因為橢圓的焦距為2，所以，所以，
所以橢圓方程為．
拋物線的方程為．且，．
因為直線l過B且不與坐標軸垂直，不妨設直線l的方程為，，且．
設點，，聯立l與
消去x得：．
所以，．
所以．所以．
故答案為：
【典例2】（2023·廣西·統考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2.
(1)求的方程；
(2)若為直線上的一動點，過作拋物線的切線為切點，直線與交于點，過作的垂線交于點，當最小時.求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題知，，
的方程為.
（2）拋物線的焦點，
設，過點的拋物線的切線方程為：，
消去得：，①
即，②
此時①可化為，解得
設直線，直線，
則為方程②的兩根，故
且，可得，令點，
由②知，，故，
則直線方程為：，顯然
因為直線與直線垂直，
則直線方程為：，
故，
，當且僅當時，時取等號.此時，.
由（*）得，
【變式1】（2023春·內蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學?？茧A段練習）已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，它的準線過雙曲線的左焦點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若過點且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點，求．
【答案】(1)
(2)16
【詳解】（1）雙曲線的左焦點為，故拋物線C的準線方程為，
又因為拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，設拋物線C的方程為，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為；
（2）因為直線MN過點且斜率為1，
所以直線MN的方程為，即，
聯立方程，消元整理得，，
設，所以，
所以.
【變式2】（2023秋·湖北·高二統考期末）已知拋物線C：上第一象限的一點到其焦點的距離為2．
(1)求拋物線C的方程和P點坐標；
(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，若∠APB的角平分線過拋物線的焦點，求弦AB的長．
【答案】(1)，P點坐標為
(2)
【詳解】（1）解：由題意得：
設直線的斜率為，則直線的方程為，設，，
由，消去可得，
∴，
記拋物線中，
，∴，解得，
∴直線的方程為或.
【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┮阎狾為坐標原點，點和點，動點P滿足.
(1)求動點P的軌跡曲線W的方程并說明W是何種曲線；
(2)若拋物線（）的焦點F恰為曲線W的頂點，過點F的直線l與拋物線Z交于M，N兩點，，求直線l的方程.
【答案】(1)曲線的方程為，它是焦點為的雙曲線的右支.
(2)或．
【詳解】（1）解： 動點滿足，
點的軌跡曲線為雙曲線的一支，由雙曲線的定義有，，
，
曲線的方程為；
（2）解：由（1）可知曲線的頂點，
，
，
所以拋物線的方程為．
由題意，直線的傾斜角不能為0，
設直線的方程為，設，，，，
代入到消去得：，
，
，，
，
或，
直線的方程為或．
【變式1】（2022春·陜西西安·高二西北工業大學附屬中學校考階段練習）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且.
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)若直線l過拋物線C的焦點F，l與拋物線C相交于A，B兩點，且，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）根據拋物線的定義得，解得：，
所以拋物線方程是
（2）拋物線的焦點，
直線的斜率不可能為0，設直線：，
與拋物線方程聯立得，
設，則，
，解得：，
所以直線的方程是或.
【變式2】（2022·全國·高三專題練習）如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為，．
(1)求證：，，三點的橫坐標成等差數列；
(2)已知當點的坐標為時，，求此時拋物線的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【詳解】（1）證明：由題意設．
由得，得，
所以，．
因此直線的方程為，直線的方程為．
所以，①．②
由①、②得，因此，即．
所以，，三點的橫坐標成等差數列；
（2）由（1）知，當時，
將其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的兩根，
因此，，又，所以．
由弦長公式得．又，
所以或，因此所求拋物線方程為或．
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