資源簡介

第06講 1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題
課程標準 學習目標
①會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關的角的三角函數值 ②會用向量法求點點、點線、點面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關的面積與體積. 1、能根據所給的條件利用空間向量這一重要工具進行空間中的距離與夾角（三角函數值）的求解. 2、通過本節課的學習，提升平面向量、空間向量的知識相結合的綜合能力，準確將平面向量、空間向量的概念，定理等內容與平面幾何、空間立體幾何有機的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數，數與量有機的結合起來，為提升數學能力奠定基礎.
知識點01：點到線面距離
1、點到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
【即學即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點，為的中點，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，為的中點，則，
由圓錐的幾何性質可知平面，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
又因為，所以，點到平面的距離為.
故選：B.
知識點02：用向量法求空間角
1、用向量運算求兩條直線所成角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則
①
②.
【即學即練2】（2023春·陜西漢中·高二統考期末）如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為，
則、、、、，
，
，所以，，
因此，異面直線和所成角的余弦值為.
故選：A.
2、用向量運算求直線與平面所成角
設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【即學即練3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）如圖，在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為______．
【答案】
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，
設平面的法向量為，
則，
令，則，故，
設與平面所成角的大小為，
則，
與平面所成角的正弦值為.
故答案為：
3、用向量運算求平面與平面的夾角
如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分別為面，的法向量
①
②根據圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為頓二面角（取負），則；
【即學即練4】（2023·高一課時練習）正方體中，二面角的大小為______.
【答案】
【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，
則，，，，
則，設為平面的法向量，
則，即，令，則，所以，
又因為平面，則為平面的一個法向量，
則，所以二面角的大小為，
故答案為：.
題型01利用空間向量求點線距
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·河南新鄉·高二統考期末）已知空間三點，則點到直線的距離為_____________．
【典例3】（多選）（2023春·江西宜春·高二江西省豐城中學校考開學考試）點在軸上，它與經過坐標原點且方向向量為的直線的距離為，則點的坐標是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知正方體的棱長為1，為正方形的中心，若為平面內的一個動點，則到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·山東棗莊·高二統考期末）在棱長為1的正方體中，為平面的中心，為的中點，則點到直線的距離為__________.
題型02 利用空間向量求點面距
【典例1】（2023秋·河南新鄉·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點，交于點．
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
【典例3】（2023秋·陜西西安·高二統考期末）在直角梯形中，，為中點，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面，如圖（2）．
(1)求證：；
(2)若為線段的中點，求點到平面的距離．
【變式1】（2023春·高二課時練習）在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點，，點為上一個動點，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式2】（2023春·高二課時練習）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【變式3】（2023春·云南楚雄·高二統考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若，求點到平面的距離．

題型03轉化與化歸思想在求空間距離中的應用
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在長方體中，，， 分別是 的中點，則直線到平面的距離為___________.
【典例2】（2023·高二單元測試）如圖，在三棱錐中，底面，，點、分別為棱，的中點，是線段的中點，是線段的中點，，.
(1)求證：平面；
(2)求直線到平面的距離.
【典例3】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學校考期末）如圖，在正三棱柱中，點為的中點，．
(1)證明：平面；
(2)求直線到平面的距離．
【變式1】（2023·浙江溫州·統考模擬預測）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為______．
【變式2】（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考期中）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．
(1)求點到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
題型04利用向量方法求兩異面直線所成角（定值）
【典例1】（2023秋·貴州銅仁·高二統考期末）已知正四棱柱中，，，點，分別是和的中點，是線段的中點，則直線和所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，，，分別為，BD，的中點，則與FG所成的角的余弦值為______.

【典例3】（2023·江蘇·統考二模）如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.
(1)求證：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【變式1】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）在正四棱錐中，，為棱的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；
(2)若，求與所成角的余弦值.
題型05利用向量方法求兩異面直線所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·高二單元測試）三棱錐中，兩兩垂直且相等，點分別是線段和上移動，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）如圖，已知四棱臺的底面是直角梯形，，，，平面，是側棱所在直線上的動點，與所成角的余弦值的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【典例3】（2023·高三課時練習）已知平面，四邊形是矩形，為定長，當的長度變化時，異面直線與所成角的取值范圍是______．
【變式1】（2023春·浙江寧波·高一效實中學校考期中）在正方體中，為棱的中點，為直線上的異于點的動點，則異面直線與所成的角的最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考期中）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型06已知異面直線所成角求參數
【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，為等邊三角形，是棱的中點，是棱上一點，若異面直線與所成角的余弦值為，則的值可能為（ ）
A． B．1 C． D．
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，則線段的長為____________
【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，，是線段上的動點（不包括端點），若線段上存在點，使得異面直線與成的角，則線段的長度可能為（ ）
A． B． C． D．
題型07利用向量方法求直線與平面所成角
【典例1】（2023·陜西商洛·統考二模）在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點.
(1)證明：直線平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【典例3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區高中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點．
(1)求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【變式1】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.
【變式2】（2023春·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學校考期中）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求直線與面所成角的正弦值．
題型08利用向量方法求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點，且.

(1)求證：；
(2)若點是線段上一動點，求直線與平面所成角的取值范圍.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，若，．

(1)證明：平面平面；
(2)若分別是的中點，動點在線段上移動，設為直線與平面所成角，求的取值范圍．
【典例3】（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面是邊長為2的正方形，點在棱上，.

(1)證明：平面平面；
(2)當直線與平面所成角最大時，求四棱錐的體積.
【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期末）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點在線段上．

(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．

【變式2】（2023春·江蘇常州·高二校聯考期中）如圖，圓錐，為頂點，是底面的圓心，為底面直徑，，圓錐高，點在高上，是圓錐底面的內接正三角形.
(1)若PO=，判斷和平面是否垂直，并證明；
(2)點在高上的動點，當和平面所成角的正弦值最大時，求三棱錐的體積.
題型09已知直線與平面所成角求參數
【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考二模）已知四棱錐的底面為平行四邊形，，，，平面，直線與平面所成角為，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期中）在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，E是的中點.
(1)求證：平面；
(2)點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.
【典例3】（2023春·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學校考期中）如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點 分別是 的中點，是線段上的點.
（1）求證：平面平面；
（2）當時，是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.
【變式1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點，平面平面，為正三角形，，分別是棱上的點，且滿足．
(1)求證：；
(2)是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式2】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）在底面為梯形的多面體中.，，，,，且四邊形為矩形．

(1)求證：；
(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點的位置并加以證明．
題型10利用向量方法求兩個平面的夾角（定值）
【典例1】（2023·廣東·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯考期中）如圖，圓是的外接圓，平面，是圓的直徑，，，且.

(1)求證：平面平面；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點在棱上．

(1)證明：平面平面PBC；
(2)當時，求二面角的余弦值．
【變式2】（2023·河南·模擬預測）如圖，四邊形為菱形，平面，，.
(1)證明：平面平面 ；
(2)若，求二面角的大小.
題型11利用向量方法求兩個平面的夾角（最值或范圍）
【典例1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知直三棱柱中，側面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的動點..

(1)證明：；
(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點的位置.
【典例2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點是線段的中點，點在線段上且滿足，面ABCD.
(1)當時，證明：//平面；
(2)當為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小？
【變式1】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯考階段練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【變式2】（2023春·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學校考階段練習）在四棱錐中，四邊形為正方形，，，平面平面，，點為上的動點，平面與平面所成的二面角為為銳角， 則當取最小值時，=__________．
題型12已知平面與平面所成角求參數
【典例1】（2023·全國·校聯考模擬預測）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，平面平面.
(1)求證：；
(2)若，探索在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【典例2】（2023秋·湖北·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，點為棱的中點，．
(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
【變式1】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，，，分別為和的中點，為棱上的點.
(1)證明：；
(2)是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.
【變式2】（2023秋·湖南郴州·高二統考期末）如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點到達點位置（如圖3），且平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)設是線段上一點，滿足，試問：是否存在一個實數，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考階段練習）在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·高二課時練習）已知平面的一個法向量，點在內，則到的距離為（ ）
A．10 B．3
C． D．
3．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中校考期中）已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）如圖在長方體中，，E，F，G分別是棱的中點，P是底面內一個動點，若直線平面平行，則線段的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023秋·河北邯鄲·高二統考期末）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD的距離為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（ ）．

A． B． C． D．
7．（2023·全國·高三專題練習）四棱錐中，，其余各條棱長均為1，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·浙江金華·高二學業考試）如圖，棱長均相等的三棱錐中，點是棱上的動點（不含端點），設，銳二面角的大小為.當增大時，（ ）

A．增大 B．先增大后減小 C．減小 D．先減小后增大
二、多選題
9．（2023春·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F，G分別為AD，AB，的中點，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為1 B．平面EFG
C．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為
10．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學校考期中）如圖，在棱長為1的正方體中（ ）
A．與的夾角為 B．二面角的平面角的正切值為
C．與平面所成角的正切值 D．點到平面的距離為
三、填空題
11．（2023春·浙江溫州·高一統考期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現了數學的對稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐,共可截去八個三棱錐,得到八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線與平面所成角的正弦值為_____________.

12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為4的正方體中，M是棱上的動點，N是棱的中點.當平面與底面所成的銳二面角最小時，___________.
四、解答題
13．（2023·廣東·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
14．（2023春·廣東廣州·高二執信中學校考階段練習）如圖，四棱錐中，平面，，，，M為棱上一點.

(1)若M為的中點，證明：平面；
(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
B能力提升
1．（2023春·湖北·高二鄖陽中學校聯考階段練習）襄陽一橋全稱“襄陽江漢大橋”，于1970年正式通車，在和襄陽城長達53年的相處里，于襄陽人來說一橋早已無可替代.江漢大橋由主橋架 上下水平縱向聯結系 橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構成.其中AB=BH，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·高二期中）在正三棱柱中，，點D為棱BC的中點，點E為線段（不與點重合）上的點，且滿足，當二面角的平面角為時，實數m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋·河南平頂山·高二統考期末）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，M，N分別是，AB的中點，設點P是線段DN上的動點，則MP的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（多選）（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點，則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點，使得
B．存在點，使得
C．對于任意點，到的距離的取值范圍為
D．對于任意點，都是鈍角三角形
C綜合素養
1．（多選）（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的空間幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則下列結論正確的是（ ）
A．點到直線的距離是
4．（2023春·江蘇南京·高二統考期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；
(2)若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．
5．（2023春·江蘇常州·高二統考期中）如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求證：；
(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；
(3)線段PA上是否存在點E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
第06講 1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題
課程標準 學習目標
①會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關的角的三角函數值 ②會用向量法求點點、點線、點面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關的面積與體積. 1、能根據所給的條件利用空間向量這一重要工具進行空間中的距離與夾角（三角函數值）的求解. 2、通過本節課的學習，提升平面向量、空間向量的知識相結合的綜合能力，準確將平面向量、空間向量的概念，定理等內容與平面幾何、空間立體幾何有機的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數，數與量有機的結合起來，為提升數學能力奠定基礎.
知識點01：點到線面距離
1、點到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
【即學即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點，為的中點，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，為的中點，則，
由圓錐的幾何性質可知平面，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、、、，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
又因為，所以，點到平面的距離為.
故選：B.
知識點02：用向量法求空間角
1、用向量運算求兩條直線所成角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則
①
②.
【即學即練2】（2023春·陜西漢中·高二統考期末）如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為，
則、、、、，
，
，所以，，
因此，異面直線和所成角的余弦值為.
故選：A.
2、用向量運算求直線與平面所成角
設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
【即學即練3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）如圖，在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為______．
【答案】
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，
設平面的法向量為，
則，
令，則，故，
設與平面所成角的大小為，
則，
與平面所成角的正弦值為.
故答案為：
3、用向量運算求平面與平面的夾角
如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若分別為面，的法向量
①
②根據圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為頓二面角（取負），則；
【即學即練4】（2023·高一課時練習）正方體中，二面角的大小為______.
【答案】
【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，
則，，，，
則，設為平面的法向量，
則，即，令，則，所以，
又因為平面，則為平面的一個法向量，
則，所以二面角的大小為，
故答案為：.
題型01利用空間向量求點線距
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】以為坐標原點，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
，．
取，，則，，
則點B到直線AC1的距離為．
故選：A．
【典例2】（2023秋·河南新鄉·高二統考期末）已知空間三點，則點到直線的距離為_____________．
【答案】
【詳解】易知，
則，，
故點到直線的距離為．
故答案為：.
【典例3】（多選）（2023春·江西宜春·高二江西省豐城中學校考開學考試）點在軸上，它與經過坐標原點且方向向量為的直線的距離為，則點的坐標是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【詳解】設，則，又直線的方向向量為，
所以點直線的距離，
所以，則或.
故選：AB
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，已知正方體的棱長為1，為正方形的中心，若為平面內的一個動點，則到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖，以為軸建立空間直角坐標系，則有
，因為為正方形的中心，得，
,，，
設平面的法向量為，利用，則，
取，解得，有，且平面，則直線平面，
設直線的到平面距離為，取直線上一點，與平面上一點，則，
利用空間中點面距離公式有：.
故選：A
【變式2】（2023秋·山東棗莊·高二統考期末）在棱長為1的正方體中，為平面的中心，為的中點，則點到直線的距離為__________.
【答案】/
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
因為，，，
所以.
所以點到直線的距離為.
故答案為：.
題型02 利用空間向量求點面距
【典例1】（2023秋·河南新鄉·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點，，則點到平面的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，
因為是的中點，，
所以，
所以，．
設是平面的法向量，

則，令，得．
故點到平面的距離為．
故選：B
【典例2】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點，交于點．
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）由于平面ABC，，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,
，所以故
（2）由題意可知是，的中點，所以,
設平面的法向量為，則
,
故 ，取 ，則
所以點E到平面的距離為
【典例3】（2023秋·陜西西安·高二統考期末）在直角梯形中，，為中點，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面，如圖（2）．
(1)求證：；
(2)若為線段的中點，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）在中，，且O為中點，則，
平面平面，平面平面平面，
所以平面，
且平面，
所以.
（2）在直角梯形中，，
所以，則，
∴，
又∵O、M分別為、的中點
∴，∴
以O為原點，以所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則，
可得，
平面的一個法向量為，
由，令，則，可得，
則點M到平面的距離．
【變式1】（2023春·高二課時練習）在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點，，點為上一個動點，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【詳解】
如圖所示，點E，F分別是，的中點，
因為該正方體的棱長為2，所以，，
∴平面，點G到平面的距離即為點E或F到平面的距離．
方法1：等體積法
∵為等邊三角形，∴，，
設F到平面的距離為d，
∵，∴，解得．
方法2：向量法
建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，，，
設平面的法向量為，則有，得，
可求得平面的法向量為，，
∴．
故選：D
【變式2】（2023春·高二課時練習）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，．

(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【詳解】（1）證明：∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；
∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，
∵平面ABE, 平面ABE,
∴平面ABE∥平面DFC，
∵BE 平面ABE，∴BE∥平面DCF．
（2）如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系．

∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，則△ADB∽△BCD ，
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，
∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，
，,．
設平面DCF的法向量為，
則，∴，
令x＝1，y＝2，z＝0．∴.
∴．
∴B到平面DCF的距離為2．
【變式3】（2023春·云南楚雄·高二統考期中）如圖，在正三棱柱中，是線段上靠近點的一個三等分點，是的中點．

(1)證明：平面；
(2)若，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取線段的中點，連接，記，連接，
因為，分別是，的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
由題意可知四邊形是矩形，則是的中點，
因為是的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
因為平面，且，所以平面平面，
因為平面，所以平面；
（2）取棱的中點，以為原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，所以，，，，
則，，，
設平面的法向量為，
則，令，則，所以，
故點到平面的距離．

題型03轉化與化歸思想在求空間距離中的應用
【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在長方體中，，， 分別是 的中點，則直線到平面的距離為___________.
【答案】
【詳解】以D為原點，DC，DA，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
由題，則，，
因為 分別是 的中點，
所以，，，
則，所以，所以平面，所以點E到平面的距離即為直線到平面的距離，
設平面的法向量為，則，
因為，所以，取，則，，
所以是平面的一個法向量，
又向量，所以點E到平面的距離為，
即直線到平面的距離為.
故答案為：
【典例2】（2023·高二單元測試）如圖，在三棱錐中，底面，，點、分別為棱，的中點，是線段的中點，是線段的中點，，.
(1)求證：平面；
(2)求直線到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為底面ABC，底面ABC，所以
且，
所以以為原點，所在直線為軸建系如圖，
因為，，
D、E分別為棱PA，PC的中點，M是線段AD的中點，N是線段BC的中點，
所以,
設平面的法向量為，
所以所以，
令，則，
因為，平面BDE，所以平面BDE.
（2）,
直線MN到平面BDE的距離即為在平面BDE法向量上的投影，
設與的夾角為，
則有
所以，
所以直線MN到平面BDE的距離為.
【典例3】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學校考期末）如圖，在正三棱柱中，點為的中點，．
(1)證明：平面；
(2)求直線到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接交于點，點為的中點,點為的中點
∵是的中位線，
∴，平面,平面.
∴平面．
（2）如圖建立空間直角坐標系
由（1）得，直線到平面的距離即為點C到平面的距離d，
因為，，，，
所以，
且，，
設平面的法向量為，
由于可得，
故取，
得，
因此直線到平面的距離．
【變式1】（2023·浙江溫州·統考模擬預測）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到平面的距離為______．
【答案】/
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
故，故，
而平面，平面，故平面，
故直線FC到平面的距離為即為到平面的距離.
設平面的法向量為，
又，故，取，則，
而，故到平面的距離為，
故答案為：.
【變式2】（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考期中）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．
(1)求點到平面的距離為；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面的一個法向量為，
則，
令，
所以平面所的法向量為，又
所以點到平面的距離.
（2）由（1）可得平面的法向量為，
∵，∴，
，
，
∴平面，
所以到平面的距離可以轉化為點到平面的距離，
由，
所以到平面的距離為.
題型04利用向量方法求兩異面直線所成角（定值）
【典例1】（2023秋·貴州銅仁·高二統考期末）已知正四棱柱中，，，點，分別是和的中點，是線段的中點，則直線和所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖

建立空間直角坐標系，則，，，，，
則，，，
則，
所以異面直線和所成角的余弦值為.
故選：D.
【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）如圖，在棱長為1的正方體中，，，分別為，BD，的中點，則與FG所成的角的余弦值為______.

【答案】
【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標系：

則，
，，
所以，
即與FG所成的角的余弦值為.
故答案為：
【典例3】（2023·江蘇·統考二模）如圖，在三棱臺中，，平面平面，二面角的大小為45°，，.
(1)求證：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為，平面平面ABC，
平面平面，平面ABC，
所以平面，
又因為，平面.
所以，，所以是二面角的平面角，
因為二面角的大小為45°，
所以.
取AB中點O，連結，
在梯形中，，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，，
從而在三角形中，，，
所以，所以，即，所以.
又因為，平面，，所以平面.
（2）以О為坐標原點，OB為x軸，平面ABC內過О平行于BC的直線為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
【變式1】（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）在正四棱錐中，，為棱的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設AC，BD交于點O，以O為原點，，，方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則,，，，，
所以，，
設異面直線AC，BM所成角為，則
．
故選：D．
【變式2】（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；
(2)若，求與所成角的余弦值.
【答案】(1)見詳解
(2)
【詳解】（1）證明：因為底面是菱形，
所以，
又平面，平面
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）設
因為，
所以
以為坐標原點,射線分別為軸,軸的正半軸
建立空間直角坐標系，
如圖：

則，
所以 ，
設與所成角，
所以
，
即與所成角的余弦值為.
題型05利用向量方法求兩異面直線所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·高二單元測試）三棱錐中，兩兩垂直且相等，點分別是線段和上移動，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由兩兩垂直且相等,分別以為軸建立空間直角坐標系.
如圖所示，不妨取．則，．
設，，．
則，
解得，．．
設，，則，
又，．
設，則，
所以，
由，則，，則，
當時，，同時達到最小值，此時取得最小值，
所以有最大值，此時,；
時，，同時達到最大值，此時取得最大值，
所以有最小值，此時，；
綜上可得：和所成角余弦值的取值范圍是．

故選：C.
【典例2】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）如圖，已知四棱臺的底面是直角梯形，，，，平面，是側棱所在直線上的動點，與所成角的余弦值的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A垂直平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，
則，，
，
設，，
設與所成角為，則，
設，則有，
由存在，則，
解得，即的最大值為，
所以與所成角的余弦值的最大值為.
故選：C
【典例3】（2023·高三課時練習）已知平面，四邊形是矩形，為定長，當的長度變化時，異面直線與所成角的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】由題意可知：兩兩互相垂直，則以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
設，，則，，，，，，設異面直線與所成角的為，
則，
因為定值，隨著的增大而增大，所以，則，
所以，也即，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，
故答案為：.
【變式1】（2023春·浙江寧波·高一效實中學校考期中）在正方體中，為棱的中點，為直線上的異于點的動點，則異面直線與所成的角的最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體邊長為2，可得設
所以，
設異面直線與所成的角為，
則
.
單調遞減,單調遞增,
當時，取得最大值為， 單調遞減,所以此時最小值為，則
故選：C
【變式2】（2023春·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考期中）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】構建如下圖示的空間直角坐標系，
所以，，且，
則，，
所以，
當，夾角余弦值最小為，當，夾角余弦值最大為，
所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.
故選：C
題型06已知異面直線所成角求參數
【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，為等邊三角形，是棱的中點，是棱上一點，若異面直線與所成角的余弦值為，則的值可能為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】AC
【詳解】由為等邊三角形，取BD的中點O，連接,則
又平面平面BCD，且平面平面
所以平面BCD，由
過作與平行的直線為軸，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，則，，
所以．
設，則，，
則，解得或，
故或．
故選：AC
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校考階段練習）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，則線段的長為____________
【答案】
【詳解】因為平面年，所以兩兩垂直,
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則各點的坐標分別為,
因為,設，
又，則，
又，從 ,
設 ，
則,
當且僅當，即時，的最大值為,
即直線與所成角的余弦值的最大值為，
而直線與所成角的范圍為，
因為在上是減函數，故此時直線與所成角最小，
又因為，所以，
故答案為：
【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，，是線段上的動點（不包括端點），若線段上存在點，使得異面直線與成的角，則線段的長度可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【詳解】解：以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
設，因為與為異面直線，所以，，，
則，
異面直線與成的角，
，
，，
，解得，
，
線段長的取值范圍是．
故選：AB．
題型07利用向量方法求直線與平面所成角
【典例1】（2023·陜西商洛·統考二模）在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖所示，
以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
設直線與平面所成的角為，所以，
故選：B.
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點.
(1)證明：直線平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：如圖，連接，，
長方體中，且，四邊形為平行四邊形，
則有，又平面，平面，
平面，
同理可證， 平面，
又，平面，平面平面，
又平面，直線平面；
（2）以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：
得，，，
，，，
設平面的一個法向量為，
由，令，得，
可得平面的一個法向量為，
設AD與平面所成角大小為，
則，
與平面所成角的正弦值為.
【典例3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區高中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點．
(1)求證：平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接AC交BD于點O，連接OM，
由四邊形ABCD為矩形，
可知O為AC中點，M為PC中點，
所以，
又平面，平面，
所以平面MBD.
（2）以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，
則 ，
所以，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
設直線與平面所成角為，則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
【變式1】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.
【答案】
【詳解】
依題意，以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，
由已知可得，，，，，，
則，，.
設是平面的法向量，
則，即，
令，則，，
所以是平面的一個法向量.
設與平面所成的角為，.
因為，，，
則，
所以.
因為，
所以，
所以與平面所成角的余弦值為.
故答案為：.
【變式2】（2023春·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學校考期中）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求直線與面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在直角梯形中，，，則，而，
于是，，
有，則，
因為平面，平面，即有，
而平面，因此平面，
又平面，所以平面平面.
（2）M為PC的中點，，則.
以A為原點，射線分別為軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則，
，，.
設平面的法向量，則，
令，得，
設直線PB與面PCD所成角為，
則.
題型08利用向量方法求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·江蘇徐州·高二統考期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點，且.

(1)求證：；
(2)若點是線段上一動點，求直線與平面所成角的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取的中點為，連結，
，，，
又是以為直徑的圓上一點，，
，平面，平面，，
平面，平面，，
又，為的中點，，
，平面，平面，
平面，
在圓臺中，平面，
，又因為在圓臺中，圓圓，
，所以四邊形為平行四邊形，
且，
在中，為的中點，為中點，
，又，，又，
.

（2）如圖以為正交基底建立空間直角坐標系，

，
，，
設，則，
，
設平面的法向量為，
，取，，
設直線與平面所成角為，則
，
令，，，，
令，，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，則，
所以的取值范圍為，
即，又，所以，
所以直線與平面所成角的取值范圍.
【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，若，．

(1)證明：平面平面；
(2)若分別是的中點，動點在線段上移動，設為直線與平面所成角，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）在中，，
為直角三角形且，
又底面是矩形，則，
，且均含于面QAD內平面，
又平面，平面平面；
（2）在平面內，取中點為，過點作，交于點，，，
由題意可得平面，且平面，
則，直線兩兩互相垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，
，，
設，
則，，
又，
則，
，，
與平面所成角的正弦值的取值范圍為．
【典例3】（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面平面，，底面是邊長為2的正方形，點在棱上，.

(1)證明：平面平面；
(2)當直線與平面所成角最大時，求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取AD中點O，連接OP，連接OC交BD于點F，連接EF.

在中，因為，所以，
又平面平面，面面，面，所以平面，因為平面，所以.
因為，所以，又，
所以，所以，
所以，.
因為，面，，
所以平面，因為面，
所以平面平面.
（2）以O為坐標原點，OA，OP為x，z軸，過O平行于AB的直線為y軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，
設，因為，，
，
設平面的法向量，
則， 令，則，，
所以.
設直線DE與平面所成角為，，
所
，
當且僅當時等號成立，因為在上也是單調增函數，
所以當時，直線DE與平面所成角最大，
此時.
綜上，直線DE與平面所成角最大時，四棱錐的體積為.
【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學校考期末）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點在線段上．

(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，
若為的中點，則，可得，
設異面直線與所成角，則.
故異面直線與所成角的余弦值為.
（2）若動點在線段上，設，
則，可得，解得，
即，則，
由題意可知：平面的法向量為，

設與平面所成角為，
則，
對于開口向上，對稱軸為，
可得當時，取到最小值，
所以的最大值為，因為，
故與平面所成角的正弦最大值為.
【變式2】（2023春·江蘇常州·高二校聯考期中）如圖，圓錐，為頂點，是底面的圓心，為底面直徑，，圓錐高，點在高上，是圓錐底面的內接正三角形.
(1)若PO=，判斷和平面是否垂直，并證明；
(2)點在高上的動點，當和平面所成角的正弦值最大時，求三棱錐的體積.
【答案】(1)平面，證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為，，所以是正三角形，則，
易知底面圓，而底面圓，所以，
又在中，，所以，
因為是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可證，
又，平面，所以平面；
（2）如圖，因為，所以以點為原點，平行于方向為x軸，以方向為y軸，以方向為z軸，建立以為原點的空間直角坐標系，
設，
則.
所以
設平面的法向量為，則，
令，則，故，
設直線和平面所成的角為，
則
，
當且僅當，即時，與平面所成角的正弦值最大，
故.
題型09已知直線與平面所成角求參數
【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考二模）已知四棱錐的底面為平行四邊形，，，，平面，直線與平面所成角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，，，
由余弦定理得，即，
則有，所以，
又平面ABCD，以D為原點，的方向為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，由，，
得，，，，，
， ， ，
設平面PAC的法向量為 ， 則 ，
令，則，，所以 ，
直線PD與平面PAC所成角為，所以 ，
則有，解得， 則.
故選：C.
【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期中）在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，E是的中點.
(1)求證：平面；
(2)點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，
又因為，，平面，，
所以平面.
（2）取的中點O，連接，四邊形為菱形，且，
所以.
因為平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，所以，又因為，與相交，
所以平面.取中點D，連結，
以O為原點，，，為空間基底建立直角坐標系.
則，，，，
所以，.
設平面的一個法向量為，
所以，令，則，，
所以.
設，可得點，.
由題意
解得或（舍），即.
【典例3】（2023春·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學校考期中）如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點 分別是 的中點，是線段上的點.
（1）求證：平面平面；
（2）當時，是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.
【詳解】（1）證明：連接因為底面為菱形，，
所以是正三角形，
∵是的中點，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
不妨設，則，
，，，，，
設
則
設平面的一個法向量為，
則
取，則，
得
設直線與平面所成角為，
化簡得：，則
故存在點滿足題意，此時.
【變式1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區從化中學校考模擬預測）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點，平面平面，為正三角形，，分別是棱上的點，且滿足．
(1)求證：；
(2)是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明過程見解析；
(2)存在，.
【詳解】（1）設的中點為，連接，
因為是圓O的直徑，所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以；
（2）連接，因為，所以，
因為為正三角形，的中點為，
所以，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，而平面，
所以，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，
，
設平面的法向量為，
，
所以有，
所以，，
假設存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，所以有，或（舍去），
即存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.
【變式2】（2023·河南鄭州·統考模擬預測）在底面為梯形的多面體中.，，，,，且四邊形為矩形．

(1)求證：；
(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點的位置并加以證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)點Q為線段EN的中點或在線段EN上距離點E的處，證明見解析
【詳解】（1）由題意知，，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，
故有，易得，BD＝2，，
在△ABD中，∵，∴BD⊥AD．
因為四邊形BDEN為矩形，則BD⊥DE，
又，平面ADE，平面ADE，
故BD⊥平面ADE．
因為平面ADE，
所以BD⊥AE．
（2）存在點Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°，此時點Q為線段EN的中點或在線段EN上距離點E的處．
證明如下：以點D為坐標原點，建立的空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，
所以，，
設，其中，解得，
故，
設平面QAD的法向量為， 則
即令y＝1，則，z＝－2λ，
故，
因為直線BE與平面QAD所成的角為60°，
所以，解得或，
故存在點Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°，此時點Q為線段EN的中點或在線段EN上距離點E的處．
題型10利用向量方法求兩個平面的夾角（定值）
【典例1】（2023·廣東·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為四邊形是菱形，所以.
又，平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以，所以.
因為平面，且，所以平面.
因為是棱上的中點，所以到平面的距離，
四邊形是菱形，，，
則中，，，，
∵，∴三棱錐的體積為.
（2）取棱的中點，連接，則有，因為，則.
兩兩垂直，故以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.
因，則.

因是棱上的中點，則.
設平面的法向量為，則，
令，則，得.
平面的一個法向量為.
設平面與平面的夾角為，則.
故平面與平面夾角的余弦值為.
【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯考期中）如圖，圓是的外接圓，平面，是圓的直徑，，，且.

(1)求證：平面平面；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意及圖證明如下，
在圓中，為直徑，
∴，
∵平面,平面,平面,
∴，，
平面,面，
∴平面, 又平面,
∴平面平面.
（2）由題意及（1）得，
在中，
在中，，，
∴，
∵，
∴
建立空間直角坐標系如下圖所示，

∵，
∴，
則，
在面中，其一個法向量為，
在面中，設其一個法向量為，
則，即，解得：，
∴當時，，
設面與面所成角為，
【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點在棱上．

(1)證明：平面平面PBC；
(2)當時，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為底面，平面，
所以．
因為，，所以．
所以，所以．
又因為，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
又平面EAC，
所以平面平面PBC．
（2）解法一：
以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．

設點E的坐標為，因為，所以，
即，，，所以．
所以，．
設平面ACE的一個法向量為，則．
所以，取，則，．
所以平面ACE的一個法向量為．
又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．
設平面PAC與平面ACE的夾角為，
則．
所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為．
解法二：
取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示
的空間直角坐標系，則，，，．

設點E的坐標為，因為，所以，
即，，，所以．
所以，．
設平面ACE的一個法向量為，則．
所以，取，則，．
所以，平面ACE的一個法向量為．
又因為平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為．
設平面PAC與平面ACE的夾角為，
則．
所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為
【變式2】（2023·河南·模擬預測）如圖，四邊形為菱形，平面，，.
(1)證明：平面平面 ；
(2)若，求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設BD交AC于點O，連接EO，FO，
因為四邊形ABCD為菱形，所以.
因為ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.
又，平面BDEF，所以平面BDEF；
又平面BDEF，所以.
設FB=1，由題意得ED=2，.
因為FB//ED，且面，則FB平面ABCD，
而平面ABCD，故，，
所以，，.
因為，所以.
因為，平面ACF，所以EO平面ACF.
又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.
（2）取EF中點G，連接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.
以O為原點，以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
因為，由（1）中所設知，，
所以，,
所以.
所以，，，
設平面FAE的一個法向量為，
則，
所以；
平面AEC的一個法向量為，
則，
所以；
所以，
由圖形可知二面角的平面角為銳角，
所以二面角的大小為.
題型11利用向量方法求兩個平面的夾角（最值或范圍）
【典例1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知直三棱柱中，側面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的動點..

(1)證明：；
(2)求平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時點的位置.
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值為，點為靠近的的四等分點
【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因為，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即兩兩垂直，
以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，則

，，，，，，，，設，
所以，，
因為，
所以，即.
（2）設平面的法向量為，
因為，，
所以，令，則，
平面的一個法向量為，
設平面與平面DEF所成的二面角為，
則，
當時，取最小值為，此時取得最大值，
所以，
所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時點為靠近的的四等分點.
【典例2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點是線段的中點，點在線段上且滿足，面ABCD.
(1)當時，證明：//平面；
(2)當為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）設，
因為//，則，
若，即，可得，
所以//，
平面，平面，
故//平面.
（2）連接，
由題意可得：，
在中，由余弦定理，
即，可得，則，
且面ABCD，如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，
可得，
設點，則，
因為，則，解得，即，
可得，
設平面BFE的法向量為，則，
令，則，即，
由題意可得：平面的法向量，
設平面BFE與平面PBD所成的二面角為，
則，
由題意可知：，則有：
當時，則；
當時，則，
因為，則，
關于的二次函數開口向上，對稱軸，
當，即時，取到最小值，即，
可得；
綜上所述：.
所以當時，取到最大值，取到最小值.
即當時，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最小.
【變式1】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯考階段練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）取的中點，連接，因為，則，
當平面平面時，點到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時平面，且，
底面為梯形，，
則四棱錐的體積最大值為.
（2）連接，因為，所以，所以為的平面角，即，
過點作平面，以為坐標原點，
分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
過作于點，由題意得平面，
設，因為，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
設平面PAM的法向量為，則，
令，則，
設平面的法向量為，
因為，，
則，令，
可得，
設兩平面夾角為，
則
令，，所以，
所以，
因為的對稱軸為，
所以當時，有最小值，
所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．
【變式2】（2023春·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學校考階段練習）在四棱錐中，四邊形為正方形，，，平面平面，，點為上的動點，平面與平面所成的二面角為為銳角， 則當取最小值時，=__________．
【答案】/0.4
【詳解】解：因為平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以，
又，
故以建立如圖空間直角坐標系，
設，其中，
所以，
因為，，又，且、均在平面內，
所以平面，
所以易得是平面的一個法向量，
而，
設平面的法向量為，
所以，取，則，
所以，
當取最小值時，取最大，即分母取最小值，
又，當時，分母最小，
故時，最大，
故答案為：．
題型12已知平面與平面所成角求參數
【典例1】（2023·全國·校聯考模擬預測）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，平面平面.
(1)求證：；
(2)若，探索在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：由題意知平面平面，所以.
過在平面內作直線交于點，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
因為平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知，因為，所以，
又平面，且平面，所以，
故以為坐標原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
設，則，故.
平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量，則，
令，則，所以，
所以，解得（負根舍），
所以在棱存在點，使得二面角的大小為，且.
【典例2】（2023秋·湖北·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，點為棱的中點，．
(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）在PD上找中點G，連接AG，EG，如圖：
∵G和E分別為PD和PC的中點，
∴，且，
又∵底面ABCD是直角梯形，，，
∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；
（2）因為平面，平面，
所以，又，
以A為原點，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
可得，，，，，
由F為棱PC上一點，設，
，
設平面FAD的法向量為，
由可得，解得：，
令，則，則，
取平面ADC的法向量為，
則二面角的平面角滿足：,
解得：，解得：或（舍去），
故存在滿足條件的點F，此時．
【變式1】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，，，分別為和的中點，為棱上的點.
(1)證明：；
(2)是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點，滿足條件
【詳解】（1）證明：由題意，，，兩兩垂直，以A為原點，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，，，
所以，
因為，
所以.
（2）由題意，平面，所以平面的一個法向量為，
因為，所以，，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
設平面與平面的夾角為，則
，
整理得，，解得，
所以存在點，滿足條件.
【變式2】（2023秋·湖南郴州·高二統考期末）如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點到達點位置（如圖3），且平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)設是線段上一點，滿足，試問：是否存在一個實數，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
，
，
過點作交于點，如圖所示，
又平面平面，且平面平面
由平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（2）由題知，即，
由（1）知，且
平面，所以以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
設為平面的法向量，
由，
令得，
且，
又易得平面的法向量為，
由，
故存在實數使得平面與平面的夾角的余弦值為．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考階段練習）在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則,,,,
∴,,
∴,
故選：.
2．（2023春·高二課時練習）已知平面的一個法向量，點在內，則到的距離為（ ）
A．10 B．3
C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，，
則到平面的距離為
.
故選：D.
3．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中校考期中）已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由兩平面的法向量分別為，，
可得，
設兩平面所成的二面角為，其中，可得.
即兩平面所成的二面角的正弦值為.
故選：B.
4．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）如圖在長方體中，，E，F，G分別是棱的中點，P是底面內一個動點，若直線平面平行，則線段的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【詳解】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
，，
設，平面的法向量為，
則，
令得，故，
由，則，
考慮平面內，由兩點間距離公式得
，
當時，取得最小值，最小值為.
故選：C
5．（2023秋·河北邯鄲·高二統考期末）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設AC與BD交于點O，以O為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，.
設平面PAD的法向量為，則令，得.
因為的重心G的坐標為，即，
所以，
故點G到平面PAD的距離為.
故答案為：C
6．（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】平面，，
以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，.
.
易知平面的法向量.
設與平面所成角為，
則.
故選：C.

7．（2023·全國·高三專題練習）四棱錐中，，其余各條棱長均為1，則直線與直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖（1）所示，四棱錐中，，其余各條棱長均為1，
所以點在底面內的射影為底面四邊形的外接圓的圓心，
即四邊形為圓內接四邊形，如圖（2）所示
根據四邊形的對稱性，可得為外接圓的直徑，所以，
設四邊形的半徑為，
在直角中，可得，
設，可得，
所以，
可得，
在中，由余弦定理可得，
設，且，
可得，，
則，
設異面直線與直線所成角的范圍為，其中，所以，
所以直線與直線所成角的余弦值為.
故選：C.
8．（2023春·浙江金華·高二學業考試）如圖，棱長均相等的三棱錐中，點是棱上的動點（不含端點），設，銳二面角的大小為.當增大時，（ ）

A．增大 B．先增大后減小 C．減小 D．先減小后增大
【答案】C
【詳解】由題意，三棱錐 是正四面體，以 的重心為原點，BC邊的中線PG為x軸，
OA為z軸，過O點平行于BC的直線為y軸，建立空間直角坐標系如圖：

設三棱錐P-ABC的棱長為 ，則有： ，
， ，
，
設 是平面ABD的一個法向量，則有 ，即 ，令 ，解得 ，
顯然 是平面PBC的一個法向量，
；
顯然當時（x的取值范圍是 ）， 最大，
當 或 時， 都變大，即 變小；
故選：B.
二、多選題
9．（2023春·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F，G分別為AD，AB，的中點，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為1 B．平面EFG
C．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為
【答案】AB
【詳解】A選項，，
所以，A選項正確.
建立如圖所示空間直角坐標系，
，
,
，所以，
由于平面，所以平面，B選項正確.
平面的一個法向量為，
，所以與平面不平行，C選項錯誤.
平面的法向量為，
設平面于平面的夾角為，
則，D選項錯誤.
故選：AB
10．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學校考期中）如圖，在棱長為1的正方體中（ ）
A．與的夾角為 B．二面角的平面角的正切值為
C．與平面所成角的正切值 D．點到平面的距離為
【答案】BCD
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，
則，
∴，，即，與的夾角為，故A錯誤；
設平面的法向量為，，
所以，令，則，
平面的法向量可取，二面角的平面角為，
則，所以，故B正確；
因為，設與平面所成角為，
則，故C正確；
因為，設點到平面的距離為，則
，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
11．（2023春·浙江溫州·高一統考期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現了數學的對稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐,共可截去八個三棱錐,得到八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線與平面所成角的正弦值為_____________.

【答案】
【詳解】如圖所示:將多面體放置于正方體中,連接,設的中點為,連接,

因為分別為中點,
所以,且,
則四邊形為平行四邊形,
所以,
所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,
又平面,
所以直線與平面所成角即為,
設正方體的棱長為,
則,
所以,
即直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為:.
12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為4的正方體中，M是棱上的動點，N是棱的中點.當平面與底面所成的銳二面角最小時，___________.
【答案】
【詳解】如圖
設，
設平面的一個法向量為
令，，則
平面的法向量的一個法向量為
設平面與底面所成的銳二面角為
所以
當時，有最大，則有最小，所以
故答案為：
四、解答題
13．（2023·廣東·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為四邊形是菱形，所以.
又，平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以，所以.
因為平面，且，所以平面.
因為是棱上的中點，所以到平面的距離，
四邊形是菱形，，，
則中，，，，
∵，∴三棱錐的體積為.
（2）取棱的中點，連接，則有，因為，則.
兩兩垂直，故以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.
因，則.

因是棱上的中點，則.
設平面的法向量為，則，
令，則，得.
平面的一個法向量為.
設平面與平面的夾角為，則.
故平面與平面夾角的余弦值為.
14．（2023春·廣東廣州·高二執信中學校考階段練習）如圖，四棱錐中，平面，，，，M為棱上一點.

(1)若M為的中點，證明：平面；
(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取中點，連接和，
因為，，且為的中點，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，平面，
所以平面，
因為M，N分別為的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為平面，，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面
（2）取中點，作交于，連接，
因為，所以，
因為平面，平面，
所以，
因為，
所以，
以為坐標原點，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標系，

、、、、.
所以，.
設平面的法向量，
又因為平面，
所以，
取，，，則.
又因為，
所以.
所以直線和平面所成角正弦值為.
B能力提升
1．（2023春·湖北·高二鄖陽中學校聯考階段練習）襄陽一橋全稱“襄陽江漢大橋”，于1970年正式通車，在和襄陽城長達53年的相處里，于襄陽人來說一橋早已無可替代.江漢大橋由主橋架 上下水平縱向聯結系 橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個正方體和一個直三棱柱構成.其中AB=BH，那么直線AH與直線IG所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】以E為坐標原點，EB，ED，EI所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設，則，
，設直線AH與直線IG所成角為，
則，
故直線AH與直線IG所成角的余弦值為.

故選：D.
2．（2023春·浙江·高二期中）在正三棱柱中，，點D為棱BC的中點，點E為線段（不與點重合）上的點，且滿足，當二面角的平面角為時，實數m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】過點在平面內作，
則以為坐標原點，分別以為軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，根據點D為棱BC的中點得，
設，由得，
，即，
則，，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以，
易知平面的一個法向量為，
所以，
由二面角的平面角為，
所以，
所以，解得.
故選：C.
3．（2023秋·河南平頂山·高二統考期末）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，，M，N分別是，AB的中點，設點P是線段DN上的動點，則MP的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為底面ABCD是邊長為2的正方形，，所以，
∵點在平面上，∴設點的坐標為，
∵在上運動，∴ ，∴，∴點的坐標為，
∴，
∵，∴當時， 取得最小值.
故選：D
4．（多選）（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點，則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點，使得
B．存在點，使得
C．對于任意點，到的距離的取值范圍為
D．對于任意點，都是鈍角三角形
【答案】ABC
【詳解】由題知，在正方體中，是棱上的動點，建立以為原點，
分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向的空間直角坐標系.
所以，，，設，其中，
所以，，
當時，即，所以，顯然方程組無解，
所以不存在使得，即不存在點，使得，故A項正確；
當時，解得，故B項正確；
因為，其中，所以點Q到的距離為
，
故C項正確；
因為，，其中，
所以，
所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項錯誤.

故選：ABC
C綜合素養
1．（多選）（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的空間幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則下列結論正確的是（ ）
A．點到直線的距離是
B．
C．平面與平面的夾角余弦值為
D．異面直線與所成角的正切值為
【答案】BCD
【詳解】依題意，所以選項B正確；
如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
，，，，
對于A：，，設，
則點到直線CQ的距離，所以A錯誤；
對于B： ,；
設平面的法向量的一個法向量為，則，
令可得為，
設平面的法向量為，則，則
所以，即平面與平面的夾角余弦值為，所以C正確；
對于D，因為，，
所以，所以，
所以異面直線與所成角的正切值為，所以D正確．
故選：BCD.
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考二模）如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；
(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點為中點
【詳解】（1）由已知，有，且，
平面，所以平面，
因為平面，所以.
在Rt中，，
所以.
因為，所以.
且，平面，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
（2）由（1），
所以為二面角的平面角，，
因為為的中點，
所以，， ，，，
如圖，以為坐標原點，分別以為軸 軸正方向建立空間直角坐標系.

則.
設，
則,.
設平面的一個法向量，
由，得，
令，則，所以.
因為直線與平面所成角的正弦值為，
所以，
解得或（舍）.
因此，當點為中點時，直線與平面所成角的正弦值為.
3．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，四邊形ACC1A1與四邊形BCC1B1是全等的矩形，．

(1)若P是AA1的中點，求證:平面PB1C1⊥平面PB1C;
(2)若P是棱AA1上的點，直線BP與平面ACC1A1所成角的正切值為，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意知 ，所以AC⊥BC，
又因為CC1⊥BC，且CC1∩AC＝C，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又平面ACC1A1，所以BC⊥CP．
，即，所以AC＝AP，所以，
同理，所以，即PC1⊥CP．
又由于，所以B1C1⊥CP，且PC1∩B1C1＝C1，
又PC1平面PB1C1，B1C1平面PB1C1，
所以CP⊥平面PB1C1，
又因為平面PB1C，所以平面PB1C1⊥平面PB1C．
（2）由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，所以CP是直線BP在平面ACC1A1內的射影，
所以∠BPC就是直線BP與平面ACC1A1所成的角，即，
所以，所以由勾股定理得，
又由（1）知，A1 C 1，B1C1，CC1兩兩垂直，以C1C，C1B1，C1A1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

設AA1＝2，則，，，，
設平面的一個法向量為，
由于，所以，即，
令，則，即，易知平面的一個法向量為，
設二面角B1﹣PC﹣C1的大小為，由圖知為銳角，
所以.
故二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值為.
4．（2023春·江蘇南京·高二統考期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；
(2)若，，在線段上（不含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；是上靠近的三等分點
【詳解】（1）過點作于點，
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因為，，平面，
所以平面．

（2）假設在線段上（不含端點），存在點，使得二面角的余弦值為，
以為原點，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
，，，，
設平面的一個法向量為，
即取，，，
所以為平面的一個法向量，
因為在線段上（不含端點），所以可設，，
所以，
設平面的一個法向量為，
即，
取，，，
所以為平面的一個法向量，
，又，

（2）且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，
則平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP兩兩垂直，
以點O為原點，OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標系，
由等腰直角，，，得，
則，
即，平面PAB的一個法向量為，設直線PC與平面PAB所成的角為，
因此，即，
所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.
（3）線段PA上存在點E，且當時，使得平面EBD.
由，得，則，，
設平面EBD的法向量為，則，令，得，
又，則，而平面EBD，因此平面EBD，
所以點E滿足時，有平面EBD．
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