資源簡(jiǎn)介

第01講 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解圓錐曲線的實(shí)際背景。 ②了解圓錐 曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。 ③掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。 ④會(huì)根據(jù)相關(guān)的條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 ⑤會(huì)求與橢圓有關(guān)的量。 1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的定義（相關(guān)的量的掌握）及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會(huì)求與橢圓有關(guān)的幾何量
知識(shí)點(diǎn)01：橢圓的定義
1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.
說(shuō)明：
若，的軌跡為線段；
若，的軌跡無(wú)圖形
2、定義的集合語(yǔ)言表述
集合.
【即學(xué)即練1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，，所以?br/>所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.
故選：A.
知識(shí)點(diǎn)02：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，
的關(guān)系
【即學(xué)即練2】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┮阎闹荛L(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】錯(cuò)解：
∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：D.
錯(cuò)因：
忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.
正解：
∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：B.
特別說(shuō)明：
1、兩種橢圓，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡(jiǎn)記作:焦點(diǎn)位置看大小,焦點(diǎn)跟著大的跑.
題型01橢圓的定義及辨析
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)滿足：，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在
【典例2】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)定點(diǎn)，且（是正常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式，則點(diǎn)的軌跡是（ ）．
A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線
【變式2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）橢圓上一點(diǎn)P與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 .
題型02利用橢圓定義求方程
【典例1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）方程，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎獔A，圓，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)與的距離的和是，則點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
題型03橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（含最值）問(wèn)題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓上一點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，則點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最大值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓一焦點(diǎn)，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸八等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為 ．
【變式3】（2022秋·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？计谀┮阎獮闄E圓上的一點(diǎn)，若分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為 .
題型04橢圓上點(diǎn)到坐標(biāo)軸上點(diǎn)的距離（含最值）問(wèn)題
【典例1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，若，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎c(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 ．
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓上一點(diǎn)，，求的最小值與最大值．
【變式1】（2022秋·山東淄博·高一校考期末）橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2】（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1 F2，點(diǎn)P在橢圓上，若RtF1PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為 .
【變式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南開(kāi)中學(xué)校考期中）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為 .
.
題型05橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和差最值
【典例1】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例3】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎獧E圓C：的左 右焦點(diǎn)分別為 ，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為 ．
【變式2】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，，則的最大值為 ．
【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 ．
題型06判斷方程是否表示橢圓
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)方程①；②．其中表示橢圓的方程是 ．
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的 條件．
【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知曲線（ ）
A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
B．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
C．若，則是圓，其半徑為
D．若，，則是兩條直線
【變式2】（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)校考階段練習(xí)）方程表示橢圓的充要條件是 ．
題型07求橢圓方程
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（ ）
A． B．或
C． D．以上都不對(duì)
【典例2】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎獧E圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，則（ ）
A． B．3 C．41 D．9
【典例3】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓以原點(diǎn)為中心，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或 B．或 C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，兩點(diǎn)在對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【變式3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【變式4】（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
題型08根據(jù)橢圓方程求參數(shù)
【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)充分但不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A． B． C．或 D．或1
【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【變式1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┓匠瘫硎緳E圓的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．且 B． C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
題型09橢圓中的軌跡方程問(wèn)題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.記的軌跡為.求的方程；
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為 ；
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為 ．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.求點(diǎn)P的軌跡方程；
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．求的方程；
【變式3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知定圓，圓，動(dòng)圓M和定圓外切和圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
題型10橢圓中焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)問(wèn)題
【典例1】（2023春·河南開(kāi)封·高二統(tǒng)考期末）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能確定
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△ABF周長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線交橢圓于，，若，的周長(zhǎng)為16，求.
【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．12 B．24 C． D．
【變式2】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F，過(guò)原點(diǎn)O作直線(不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn))與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【變式3】（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)是 ．
題型11橢圓中焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題
【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6 B．12 C． D．
【典例2】（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中校考階段練習(xí)）橢圓的左，右焦點(diǎn)為，且，點(diǎn)P是橢圓C上異于左、右端點(diǎn)的一點(diǎn)，若M是的內(nèi)心，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，則面積與周長(zhǎng)的比值的最大值為 .
【典例4】（2023春·陜西西安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求
(1)
(2)的面積
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)， 分別是橢圓的左 右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的左 右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.當(dāng)最大時(shí)，求（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左 右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且⊥.若的面積為4，則a=
A．1 B．2 C．4 D．8
【變式4】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┰O(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是 .
題型12橢圓中焦點(diǎn)三角形其他問(wèn)題
【典例1】（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在橢圓上有一點(diǎn)P，是橢圓的左 右焦點(diǎn)，為直角三角形，這樣的點(diǎn)P有（ ）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
【典例2】（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則 ．
【典例3】（2023春·陜西西安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求
(1)
(2)的面積
【典例4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ，的大小為 .
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┮阎菣E圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若C的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為 ．
【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)，則使得是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（2023秋·高二單元測(cè)試）過(guò)點(diǎn)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
5．（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為 ．
四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面積．
14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，和分別為左右焦點(diǎn)，焦距為6，且過(guò).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若動(dòng)直線l過(guò)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng).
B能力提升
1．（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．在圓上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃?9世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾 蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓．橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為，記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則的值不可能為（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
4．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，、分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn)，使得平分．過(guò)點(diǎn)D作、的垂線，垂足分別為A、B．則的最大值是 ．
5．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，是的左右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓外的動(dòng)點(diǎn)滿足且，則的取值范圍是
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)不垂直于軸的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，若直線關(guān)于軸對(duì)稱，求面積的取值范圍．
2．（2023春·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，且，點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)判斷是否恒成立，并說(shuō)明理由.
3．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的兩直線，分別交動(dòng)圓圓心的軌跡于、和、，.求四邊形的面積.
第01講 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解圓錐曲線的實(shí)際背景。 ②了解圓錐 曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。 ③掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。 ④會(huì)根據(jù)相關(guān)的條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 ⑤會(huì)求與橢圓有關(guān)的量。 1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的定義（相關(guān)的量的掌握）及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會(huì)求與橢圓有關(guān)的幾何量
知識(shí)點(diǎn)01：橢圓的定義
1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)，
這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)（,）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（）叫作橢圓的焦距.
說(shuō)明：
若，的軌跡為線段；
若，的軌跡無(wú)圖形
2、定義的集合語(yǔ)言表述
集合.
【即學(xué)即練1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，，所以?br/>所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.
故選：A.
知識(shí)點(diǎn)02：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置 焦點(diǎn)在軸上 焦點(diǎn)在軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （）
圖象
焦點(diǎn)坐標(biāo) ， ，
的關(guān)系
【即學(xué)即練2】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學(xué)?？计谀┮阎闹荛L(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】錯(cuò)解：
∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：D.
錯(cuò)因：
忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.
正解：
∵△ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，
∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴橢圓的方程是
故選：B.
特別說(shuō)明：
1、兩種橢圓，（）的相同點(diǎn)是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點(diǎn)是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同.
2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點(diǎn)位置的方法是:橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大;橢圓的焦點(diǎn)在軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中項(xiàng)的分母較大,這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡(jiǎn)記作:焦點(diǎn)位置看大小,焦點(diǎn)跟著大的跑.
題型01橢圓的定義及辨析
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)滿足：，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．圓 B．橢圓 C．線段 D．不存在
【答案】B
【詳解】∵表示為到定點(diǎn)的距離之和為5，即，
∴點(diǎn)的軌跡為橢圓.
故選：B.
【典例2】．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)定點(diǎn)，且（是正常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)?（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所以，
當(dāng) 且 時(shí)，，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；
當(dāng) 時(shí)，，此時(shí)動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是線段．
故選：C．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式，則點(diǎn)的軌跡是（ ）．
A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線
【答案】B
【詳解】表示平面由點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為，而，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，
故選：B
【變式2】（2023秋·四川成都·高二統(tǒng)考期末）橢圓上一點(diǎn)P與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于 .
【答案】14
【詳解】設(shè)左、右焦點(diǎn)為, 設(shè)，
由題得
因?yàn)椋?
所以點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于14.
故答案為：14
故選：B.
題型02利用橢圓定義求方程
【典例1】（2023·上海·高二專題練習(xí)）方程，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，可得點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和等于12，
即，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，設(shè)其方程為，
則，，
所以，，
故方程為.
【典例2】（2023秋·廣東廣州·高二西關(guān)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎獔A，圓，動(dòng)圓M與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，由題意得：，，其中，
所以，
由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心M的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)，
則，解得：，
故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.
故選：D
【變式1】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【詳解】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)與的距離的和是，則點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)镸到頂點(diǎn)和的距離的和為，
所以M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)方程為（），
則，，所以，，
M的軌跡方程為.
故答案為：.
題型03橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（含最值）問(wèn)題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓上一點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，則點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，到右準(zhǔn)線的距離為，
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，解得：，
又，解得：，到它的左焦點(diǎn)距離為．
故選：A.
【典例2】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最大值為，
即 ，又，所以，
由，所以；
故選：A
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點(diǎn)，在中可得：
①，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
在中可得：②，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
由①②得：，
由橢圓方程可得：，即，
由橢圓定義可得：，
所以，.
故選：A.
【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最大值為（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【詳解】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則
，
則，
，
的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M，，A共線時(shí)取等號(hào)．
的周長(zhǎng)最大值等于18．
故選：C．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓一焦點(diǎn)，的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】不妨設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，的中點(diǎn)為，所以，
又由，可得.
故選：B.
【變式2】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸八等分，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為 ．
【答案】28
【詳解】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為 由橢圓的幾何性質(zhì)可知： ，同理可得，且，故,故答案為.
【變式3】（2022秋·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？计谀┮阎獮闄E圓上的一點(diǎn)，若分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為 .
【答案】/
【詳解】由題設(shè)圓和圓的圓心分別為，
半徑分別為，則橢圓的焦點(diǎn)為，
，
又，，故，
當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)最大值為.
故答案為：.
題型04橢圓上點(diǎn)到坐標(biāo)軸上點(diǎn)的距離（含最值）問(wèn)題
【典例1】（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，若，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，
不妨設(shè)，，，.
則，為橢圓的焦點(diǎn)，而為橢圓上一點(diǎn)，
所以.
因?yàn)椋裕?br/>又，
根據(jù)橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為以C、D為焦點(diǎn)的橢圓，
所以軌跡方程為，
聯(lián)立，消去得，則，
故點(diǎn)到軸的距離為.
故選：A.
【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎c(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故答案為：
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓上一點(diǎn)，，求的最小值與最大值．
【答案】最小值為，最大值為11
【詳解】因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，
所以，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，
點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
則，
所以，
，
，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
所以
當(dāng)時(shí)，
【變式1】（2022秋·山東淄博·高一?？计谀E圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，
由，可得，
又由，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：B.
【變式2】（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1 F2，點(diǎn)P在橢圓上，若RtF1PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為 .
【答案】或
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則到軸的距離為，
因?yàn)?，?br/>，
當(dāng)或時(shí)，
則，得，
，即到軸的距離為．
當(dāng)時(shí)，
則，
，
，
，
由（1）（2）知：到軸的距離為或，
故答案為：或．
【變式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南開(kāi)中學(xué)?？计谥校┮阎菣E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為 .
【答案】
【詳解】如圖，由橢圓可得 ,
所以, 則,
所以在中，，
因?yàn)? 且,所以 ,
設(shè)的坐標(biāo)為, 且，即，解得，
所以點(diǎn)到軸的距離為.
故答案為：.
.
.
題型05橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和差最值
【典例1】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是C上一點(diǎn)，，則的最大值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為，則，，
如圖，連接，則，
而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立，
故的最大值為.
故選：A.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【詳解】設(shè)圓和圓的圓心分別為,半徑分別為.
則橢圓的焦點(diǎn)為.
又,，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).
此時(shí)最大值為.
故選：C.
【典例3】（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎獧E圓C：的左 右焦點(diǎn)分別為 ，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】如圖，
由為橢圓上任意一點(diǎn)，則，
又為圓上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.
∵，，則，
∴的最小值為，
當(dāng)共線時(shí)，最大，如下圖所示：，
最大值為，
所以的取值范圍為，
故答案為：
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，P是橢圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】/
【詳解】根據(jù)橢圓的定義：，
取得最小值時(shí)，
即最小，
如圖所示：，當(dāng)，，共線時(shí)取得最小值．
的最小值為：﹒
故答案為：.
【變式2】（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，，則的最大值為 ．
【答案】/
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
，當(dāng)共線且在中間時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：
【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】1
【詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A在此橢圓外，
由橢圓的定義得，因此，
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取“=”，
所以的最小值為1.
故答案為：1
題型06判斷方程是否表示橢圓
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；
而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.
所以是的必要不充分條件.
故選：B
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)方程①；②．其中表示橢圓的方程是 ．
【答案】①
【詳解】對(duì)于①，方程表示平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到
定點(diǎn)與的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡，因?yàn)榕c之間的距離為6，且，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，所以方程①表示橢圓的方程，
對(duì)于②，方程表示平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到
定點(diǎn)與的距離之和等于2的點(diǎn)的軌跡，由于與之間的距離為2，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段，所以方程②表示的不是橢圓方程，
故答案為：①
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的 條件．
【答案】必要不充分
【詳解】當(dāng)時(shí)表示圓，當(dāng)且時(shí)表示橢圓，充分性不成立；
當(dāng)為橢圓，則，可得且，必要性成立；
綜上，“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分
【變式1】（多選）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知曲線（ ）
A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
B．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
C．若，則是圓，其半徑為
D．若，，則是兩條直線
【答案】AD
【詳解】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故C不正確；
對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；
故選：AD.
【變式2】（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示橢圓的充要條件是 ．
【答案】答案不唯一
【詳解】方程表示橢圓,
則必有解之得或
故答案為：,（答案不唯一，其他等價(jià)情況也對(duì)）
題型07求橢圓方程
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（ ）
A． B．或
C． D．以上都不對(duì)
【答案】B
【詳解】
由題意，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為：，
由題意，，
所以，，，，
所以橢圓方程為：，
當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得：，
故選：B
【典例2】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才雙語(yǔ)學(xué)校校考期末）已知橢圓（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，則（ ）
A． B．3 C．41 D．9
【答案】A
【詳解】由題意可知：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且，
則.
故選：A.
【典例3】（2023春·陜西寶雞·高二虢鎮(zhèn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上.
將,代入橢圓方程得:
,
解得,
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:D.
【典例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓以原點(diǎn)為中心，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】或
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程，則，解得，故橢圓方程為；
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程，則，解得，故橢圓方程為；
綜上，橢圓方程為或.
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，根據(jù)題意可得，解得.
故選：D.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，兩點(diǎn)在對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又因，在橢圓上，所以，解得，，
此時(shí)，，故舍棄.
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又因，在橢圓上，所以，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
【變式3】（2023春·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【詳解】由題知：，①
又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，②
又，③
聯(lián)立解得：，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
【變式4】（2023秋·江蘇連云港·高二?？计谀┙?jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)所求橢圓的方程為，
將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，解得，
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
題型08根據(jù)橢圓方程求參數(shù)
【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)充分但不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】方程可變形為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則有，解得.
易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)未必有，
所以是的充分但不必要條件.
故選：B.
【典例2】（2023秋·山東威海·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A． B． C．或 D．或1
【答案】D
【詳解】焦距為2，即.
當(dāng)焦點(diǎn)在上時(shí)，，得；
當(dāng)焦點(diǎn)在上時(shí)，，得；
綜合得或.
故選：D.
【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】∵方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
∴，解得或，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：．
【變式1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┓匠瘫硎緳E圓的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】B
【詳解】若方程表示橢圓，則有，解得且，
因?yàn)槭羌锨业恼孀蛹?br/>所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件，
故選：B.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，
所以，解得①.
由于方程表示橢圓，所以且②.
由①②得的取值范圍是.
故選：C
題型09橢圓中的軌跡方程問(wèn)題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.記的軌跡為.求的方程；
【答案】.
【詳解】
設(shè)，則，，，
，.
，即，
的軌跡為的方程為.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為 ；
【答案】
【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由已知得：
圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
即圓心，半徑，
圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
即圓心，半徑，，
經(jīng)分析可得，，則.
由題意可知：，
兩式相加得，，
所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，
可設(shè)方程為，
則，，，，，
所以軌跡的方程為.
故答案為：
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)榈娜卆，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以，即，
所以點(diǎn)B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，
故橢圓方程為，
因?yàn)?，所以，所以?br/>又因?yàn)锽、A、C三點(diǎn)構(gòu)成，所以B、A、C三點(diǎn)不能在一條直線上，所以，
所以頂點(diǎn)B的軌跡方程為.
故答案為：
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.求點(diǎn)P的軌跡方程；
【答案】；
【詳解】
設(shè)，，則，，
由得.因?yàn)樵贑上，所以.
因此點(diǎn)P的軌跡為.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，記的軌跡為曲線．求的方程；
【答案】
【詳解】動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且，
由題意知，兩邊平方整即得，
所以曲線的方程為.
【變式3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知定圓，圓，動(dòng)圓M和定圓外切和圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．
【答案】
【詳解】圓，圓
因?yàn)閳AM與圓外切，所以，
因?yàn)閳AM與圓內(nèi)切，所以，，
兩式相加得，
所以M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，故其方程為.
題型10橢圓中焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)問(wèn)題
【典例1】（2023春·河南開(kāi)封·高二統(tǒng)考期末）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能確定
【答案】C
【詳解】設(shè)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，由題可得，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為.
故選：C
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若F為橢圓C：的右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△ABF周長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
【詳解】解：設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，
則由橢圓的定義可得：
，
當(dāng)共線時(shí)，，
當(dāng)不共線時(shí)，，
所以△ABF周長(zhǎng)的最大值為20.
故選：D.
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線交橢圓于，，若，的周長(zhǎng)為16，求.
【答案】5
【詳解】
由已知，，可得，.
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為16，則.
根據(jù)橢圓定義可得，，
所以，，
所以，，
所以，.
【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可得，對(duì)于橢圓有長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，
又過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
故的周長(zhǎng)
，
故選：D
【變式2】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F，過(guò)原點(diǎn)O作直線(不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn))與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【詳解】如圖所示：不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，
則為平行四邊形，
的周長(zhǎng)為，
當(dāng)，為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.
故選：C
【變式3】（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)是 ．
【答案】34
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>故，則，
又，故，則，，
所以的周長(zhǎng)為.
故答案為：34.
題型11橢圓中焦點(diǎn)三角形面積問(wèn)題
【典例1】（2023秋·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故選：C.
【典例2】（2023春·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）橢圓的左，右焦點(diǎn)為，且，點(diǎn)P是橢圓C上異于左、右端點(diǎn)的一點(diǎn)，若M是的內(nèi)心，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
則 ，，，
可得 .
，解得.
又因?yàn)?，所以，即?br/>所以，即，解得（舍去負(fù)值），
所以.
故選：A
【典例3】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，則面積與周長(zhǎng)的比值的最大值為 .
【答案】/0.75
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，
則，
因?yàn)?，?br/>所以的周長(zhǎng)為16，
由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
所以面積的最大值為，
所以面積與周長(zhǎng)的比值的最大值為.
故答案為：．
【典例4】（2023春·陜西西安·高二校考期末）已知點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求
(1)
(2)的面積
【答案】(1)48
(2)24
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓方程為，則，
即，可得，
因?yàn)?，則
即，所以.
（2）由（1）得，
因?yàn)椋?

【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)， 分別是橢圓的左 右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，
則，，
即.
設(shè)，所以由橢圓的定義可得：①.
因?yàn)椋杂蓴?shù)量積的公式可得：
，所以.
在中，
所以由余弦定理可得：②，
由①②可得：，所以.
故選：A.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓的左 右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.當(dāng)最大時(shí)，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由橢圓的方程可得，，，則，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)則時(shí)等號(hào)成立，即為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)最大，
此時(shí)，.
故選：C.
【變式3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左 右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.P是C上一點(diǎn)，且⊥.若的面積為4，則a=
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【詳解】，，由橢圓定義，，
由⊥得，
的面積為4，則，即，
，即,解得，即，
故選：C.
【變式4】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┰O(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是 .
【答案】/
【詳解】橢圓，即，所以，，，
因?yàn)?，所以點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，所以.
故答案為：
題型12橢圓中焦點(diǎn)三角形其他問(wèn)題
【典例1】（2023春·廣東深圳·高二深圳市耀華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在橢圓上有一點(diǎn)P，是橢圓的左 右焦點(diǎn)，為直角三角形，這樣的點(diǎn)P有（ ）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
【答案】C
【詳解】當(dāng)為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)有2個(gè)，如下圖中的點(diǎn)；
當(dāng)為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)有2個(gè)，如下圖中的點(diǎn)；
當(dāng)為直角時(shí)，因?yàn)闄E圓中，所以這樣的點(diǎn)有2個(gè)，如下圖中的點(diǎn)，
所以符合條件為直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)，
故選：C.
【典例2】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則 ．
【答案】/
【詳解】由橢圓方程得：，，，；
設(shè)，由橢圓定義知：，
，，即，
解得：或；
為橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，即，，；
.
故答案為：.
【典例3】（2023春·陜西西安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)在橢圓上，是橢圓的焦點(diǎn)，且，求
(1)
(2)的面積
【答案】(1)48
(2)24
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓方程為，則，
即，可得，
因?yàn)?，則
即，所以.
（2）由（1）得，
因?yàn)?，所?

【典例4】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ，的大小為 .
【答案】 2
【詳解】∵，，
∴，
∴，又，，
∴，由余弦定理，得，
∴.
故答案為：2，
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】橢圓，則，
，
兩邊平方得①，
在中，由余弦定理得,
即②，
由①②得.
故選：B
【變式2】（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考期中）已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若C的離心率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：記，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.
由，得，從而，∴.
∵，∴.
故選:B
【變式3】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為 ．
【答案】4
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，
所以有，
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故答案為：4
【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別為，，是上的點(diǎn)，則使得是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .
【答案】6
【詳解】由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，
所以，故焦點(diǎn)三角形中最大為，故有2個(gè)；
又、對(duì)應(yīng)的直角三角形各有2個(gè)；
綜上，使得是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè).
故答案為：6
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）
A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，，所以?br/>所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.
故選：A.
2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】橢圓即，焦點(diǎn)在軸上，
所以，，所以，
又橢圓的焦距為，所以，解得.
故選：A
3．（2023秋·高二單元測(cè)試）過(guò)點(diǎn)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由知，焦點(diǎn)為，，即，.
設(shè)所求橢圓方程為，則，解得，
故所求橢圓方程為.
故選：A.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長(zhǎng)是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【答案】C
【詳解】設(shè)橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)為，如圖，

則的周長(zhǎng)為，
故選：C.
5．（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】方法一：因?yàn)椋裕?br/>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)椋裕蓹E圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在此橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么的值為（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【詳解】由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，
∵線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，且原點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
所以，所以軸，
∴可設(shè)P(3,m)，
把P(3,m)代入橢圓＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故選：C
7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【詳解】由橢圓，可得，所以，
又由橢圓的定義可得，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：D.
8．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為.若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
由，得．

可知，又知，
所以，則為直角，
由題意，點(diǎn)恰好在上，根據(jù)橢圓定義，得，
，設(shè)，則，
在直角三角形中，，
解得，從而，
所以.
故選：D．
二、多選題
9．（2023·云南·校聯(lián)考二模）已知橢圓，為C的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，若交C點(diǎn)于點(diǎn)Q，則（ ）
A．周長(zhǎng)為8 B．
C．面積為 D．
【答案】AD
【詳解】由題意，在橢圓中，，不妨設(shè)在軸上方，
則，，
所以，故B錯(cuò)；
的周長(zhǎng)為，A正確；
設(shè)，
在中，
得，
所以，D正確；
，
所以，
故C不正確，
故選：AD．
10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于曲線，下面四個(gè)說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線不可能是橢圓
B．“”是“曲線是橢圓”的充分不必要條件
C．“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的必要不充分條件
D．“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件
【答案】CD
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線為橢圓，則，解得且，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榛颍?br/>所以，“”是“曲線是橢圓”的必要不充分條件，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，
又因?yàn)椋?br/>所以，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的必要不充分條件，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，
所以，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件，D對(duì).
故選：CD.
三、填空題
11．（2023春·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谀┮阎狿：，Q：表示橢圓，則P是Q的 條件．
【答案】必要不充分
【詳解】若方程表示橢圓，
則且，
且，
是方程表示橢圓的必要不充分條件，
即P是Q的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分．
12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為 ．
【答案】
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，且，
因?yàn)?是面積為的正三角形，可得，解得，
所以，
由橢圓的定義得，
所以，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.

四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面積．
【答案】(1)最小值，最大值
(2)
【詳解】（1）設(shè)，橢圓的半焦距為，
則，可得，
則，
因?yàn)?，則，可得，
同理可得，
所以，，
當(dāng)時(shí)，取到最小值；
當(dāng)時(shí)，取到最大值.
（2）因?yàn)椋?br/>在中，由余弦定理可得
，
即，整理得，
所以的面積
，
即.

14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】
【詳解】
由橢圓的定義得，所以.
因?yàn)?，所以有?br/>所以有，
即有，解得，
所以，，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，和分別為左右焦點(diǎn)，焦距為6，且過(guò).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若動(dòng)直線l過(guò)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)20
【詳解】（1）設(shè)焦距為，由，得，
又橢圓過(guò)，∴，
得，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）動(dòng)直線l過(guò)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴的周長(zhǎng)為20.

B能力提升
1．（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．在圓上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)的軌跡為
圓：，圓心
由于在圓，圓心，
故兩圓有公共點(diǎn)即可，
故兩圓的圓心距為，故.
故選：D
2．（2023·四川成都·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃?9世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾 蒙日，創(chuàng)立了畫(huà)法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
【答案】B
【詳解】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，
所以蒙日?qǐng)A方程為，
因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以兩圓相外切，
所以，．
故選：B．
3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓．橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為，記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則的值不可能為（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
【答案】D
【詳解】依題意，得，解得，則，故
，
故選：D．
4．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓，、分別是其左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn)，使得平分．過(guò)點(diǎn)D作、的垂線，垂足分別為A、B．則的最大值是 ．
【答案】/0.1875
【詳解】設(shè)，依題意，，，由，
得，即，
，
橢圓中，，
在中，由余弦定理得，
即有，
則，
因此
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值是.
故答案為：
5．（2023春·云南曲靖·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，是的左右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓外的動(dòng)點(diǎn)滿足且，則的取值范圍是
【答案】
【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于，因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，
所以，則，為的中點(diǎn)，，
所以，又為橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，
所以的軌跡方程為，又，
由，可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與的距離為，又，
所以.
故答案為：.
C綜合素養(yǎng)
1．（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)不垂直于軸的動(dòng)直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，定點(diǎn)，若直線關(guān)于軸對(duì)稱，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
因此，．
2．（2023春·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，且，點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)判斷是否恒成立，并說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)恒成立，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）
由已知得，故，
由得，，得，
又因，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）恒成立
理由：由（1），則設(shè)直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立，可得
得，
即，
直線與的交點(diǎn)，
所以，即；
，即，
又.
在中，顯然，則，由，
所以，
特別的，當(dāng)時(shí)，，則，
綜上所述.
3．（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的兩直線，分別交動(dòng)圓圓心的軌跡于、和、，.求四邊形的面積.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，，∴，，∴，
∴是以，為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
可設(shè)方程為，則，，
∴的軌跡方程是；
（2）
設(shè)，（為0時(shí)不符合題意），，，
聯(lián)立與橢圓的方程得：，
，
∴ ，
同理設(shè)，不為0，可得，
∴，
∴，不妨取， ，
此時(shí)，∴
而
，
同理，
∴.
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