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第08講 拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）
一、知識點歸納
知識點一：曲線方程的定義
一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：
①曲線上的點的坐標都是方程的解；
②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．
知識點二：求曲線方程的一般步驟：
（1）建立適當的直角坐標系（如果已給出，本步驟省略）；
（2）設曲線上任意一點的坐標為；
（3）根據曲線上點所適合的條件寫出等式；
（4）用坐標表示這個等式，并化簡；
（5）確定化簡后的式子中點的范圍．
上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．
知識點三：求軌跡方程的方法：
1、定義法：
如果動點的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。
2、直譯法：
如果動點的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關系，再用點的坐標表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。
3、參數法：
如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點運動的某個幾何量，以此量作為參變數，分別建立點坐標與該參數的函數關系，
，進而通過消參化為軌跡的普通方程.
4、代入法（相關點法）：
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。
5、點差法：
圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標
【典例3】（2023春·甘肅武威·高二統考開學考試）已知的斜邊為，且.求：
(1)直角頂點的軌跡方程；
(2)直角邊的中點的軌跡方程.
【變式1】（2023春·四川內江·高三四川省內江市第六中學校考階段練習）已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為 ．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為 ．
【變式3】（2023春·河北·高三統考階段練習）已知橢圓的上 下頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，記分別為直線的斜率.點滿足.
(1)證明：是定值，并求出該定值；
(2)求動點的軌跡方程.
方法03定義法
【典例1】（2023秋·全國·高二期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為 .
【變式1】（2023·上海·高二專題練習）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為 ．
【變式2】（2023·高二課時練習）如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式，那么點M的軌跡是 ．
方法04參數法
【典例1】（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為 ．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點，若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.
【變式1】（2023·河南·校聯考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
【變式2】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）已知橢圓，，為C的左右焦點.點為橢圓上一點，且.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點A，B，直線PA、PB的傾斜角互補，直線AB與x，y軸正半軸相交.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點M滿足，求M的軌跡方程.
方法05點差法
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程．
（2）一組平行直線與橢圓相交，求弦的中點的軌跡方程．
【典例2】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知雙曲線C的方程為．
(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實數m的值；
(2)過點作直線交雙曲線C于P、Q兩點，求線段的中點M的軌跡方程．
【變式1】（2023·上海·高三專題練習）給定雙曲線.
（1）過點A(2，1)的直線與所給雙曲線交于兩點P1 P2，求線段P1P2的中點軌跡方程.
第08講 拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）
一、知識點歸納
知識點一：曲線方程的定義
一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：
①曲線上的點的坐標都是方程的解；
②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．
知識點二：求曲線方程的一般步驟：
（1）建立適當的直角坐標系（如果已給出，本步驟省略）；
（2）設曲線上任意一點的坐標為；
（3）根據曲線上點所適合的條件寫出等式；
（4）用坐標表示這個等式，并化簡；
（5）確定化簡后的式子中點的范圍．
上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．
知識點三：求軌跡方程的方法：
1、定義法：
如果動點的運動規律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據已知條件，待定方程中的常數，即可得到軌跡方程。
2、直譯法：
如果動點的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關系，再用點的坐標表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。
3、參數法：
如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發動點運動的某個幾何量，以此量作為參變數，分別建立點坐標與該參數的函數關系，
，進而通過消參化為軌跡的普通方程.
4、代入法（相關點法）：
如果動點的運動是由另外某一點的運動引發的，而該點的運動規律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。
5、點差法：
圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.
二、題型精講
方法01直接法
【典例1】（2023秋·山東濟寧·高二統考期末）已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸，軸分別相交于兩個動點，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【詳解】因為動圓圓心在軸上移動，且該動圓始終經過點和，所以，為該動圓的直徑,
又因為點在該動圓上，所以，，即，
所以，點的軌跡方程為.
故答案為：
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內，到兩個定點距離之比值為常數的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡方程；
【答案】；
【詳解】
解：設點，
點P到的距離是點P到的距離的2倍，可得，
即，整理得，
所以點P的軌跡方程為；
【變式1】（2023·高三課時練習）已知兩定點A（1，1）、B（-1，-1），動點滿足，則點P的軌跡是 .
【答案】
【詳解】設，，，
則，，，
化簡得.
故答案為：
【變式2】（2023秋·高二課時練習）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，動點P與兩個定點，的距離之比為．求動點P的軌跡W的方程．
【答案】.
【詳解】設點P坐標為，依題意得：，即，
又，，
所以2，
化簡得：，
故動點P軌跡W方程為.
方法02相關點法
【典例1】（2023春·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考期中）已知面積為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，，則動點P的軌跡方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設，不妨令，
正方形ABCD的面積為16，則，則，
由，可得，即，
則，整理得
故選：B
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知點分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.則點的軌跡方程是 ；
【答案】
【詳解】設，
因為，
所以，①
因為點在線段上，且，
所以，即代入①
，
即，
故答案為：.
【典例3】（2023春·甘肅武威·高二統考開學考試）已知的斜邊為，且.求：
(1)直角頂點的軌跡方程；
(2)直角邊的中點的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：設，因為三點不共線，所以，
因為，所以，
又因為，所以，
整理得，即，
所以直角頂點的軌跡方程為.
（2）解：設，
因為，是線段的中點，
由中點坐標公式得，所以，
由（1）知，點的軌跡方程為，
將代入得，即
所以動點的軌跡方程為.
【變式1】（2023春·四川內江·高三四川省內江市第六中學校考階段練習）已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為 ．
【答案】
【詳解】設線段中點為，， 則，
即，
因為點為圓上的點，所以
所以，化簡得：
故答案為：
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為 ．
【答案】
【詳解】因為軸，垂足為M，且PM的中點為，
所以，又因為P是橢圓上任意一點，
所以，即.
故答案為：.
【變式3】（2023春·河北·高三統考階段練習）已知橢圓的上 下頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，記分別為直線的斜率.點滿足.
(1)證明：是定值，并求出該定值；
(2)求動點的軌跡方程.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【詳解】（1）由題意可知,
設點，顯然
，為定值.
（2）設點,
由于，
的方程：①.
的方程：②
由①②聯立可得：，
代入①可得，
即點
點滿足：，
代入可得點的軌跡方程為：
方法03定義法
【典例1】（2023秋·全國·高二期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，
動圓圓心為，半徑為，
當兩圓外切時：，所以；
當兩圓內切時：，所以；
即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數4，符合雙曲線的定義，
所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，
，
所以動圓圓心的軌跡方程為：，
故選：C.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為 .
【答案】
【詳解】設動圓圓心的坐標為，半徑為，
則由題意可得，，相減可得，
故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，
由題意可得，，，
故點的軌跡方程為．
故答案為：
【變式1】（2023·上海·高二專題練習）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為 ．
【答案】
【詳解】圓，即，圓心為，，
圓，即，圓心為，，
設動圓的圓心為，半徑為，
由題意得，，
則，
所以動圓的圓心為的軌跡是以為焦點的橢圓，
可設方程為，則，，
所以，，
所以動圓圓心的軌跡方程為.
故答案為：.
【變式2】（2023·高二課時練習）如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式，那么點M的軌跡是 ．
【答案】橢圓
【詳解】可看作M（x，y）到的距離之和為，由于,所以點M的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.
故答案為：橢圓
方法04參數法
【典例1】（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為 ．
【答案】/
【詳解】設斜率為直線方程為：，
代入橢圓中，消元整理得：
，
線段的中點為，設，
則，
所以，
，
所以，消去得：，
所以線段的中點為的軌跡方程為：，
如圖所示：
的軌跡即為線段，
由或，
所以，
所以的軌跡長度為：
，
故答案為：.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準線于兩點，若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.
【答案】
【詳解】
由拋物線，可得，設，則，
且，
記過兩點的直線為，則的方程為，
設與軸的交點為，則，
因為的面積是的面積的兩倍，
可得，所以或（舍去），
設滿足條件的的中點為，可得，
當與軸不垂直時，由，可得．
又由，所以．
當與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為.
【變式1】（2023·河南·校聯考模擬預測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】或
【詳解】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.
其中，則，
所以，
因為直線、的傾斜角互補，所以，
所以，化簡得，
即，
所以，若，此時直線AB過點P，不合題意舍去；
故，所以，所以直線AB方程為 ，
設，因為，所以M為AB的中點，
所以，則，
消去m得，又，且，所以，
所以，所以點M的軌跡方程為.
方法05點差法
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程．
（2）一組平行直線與橢圓相交，求弦的中點的軌跡方程．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】解：（1）若焦點在軸上，漸近線方程為，所以
，又，所以
所以雙曲線的標準方程為
若焦點在軸上，漸近線方程為，所以
，又，所以
所以雙曲線的標準方程為
（2）設與橢圓的兩交點，，， 的中點為，
則，
兩式相減得：，
即即，
又，消去得，解得，
所以弦的中點的軌跡方程為．
【典例2】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學校考期中）已知雙曲線C的方程為．
(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實數m的值；
(2)過點作直線交雙曲線C于P、Q兩點，求線段的中點M的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）聯立,得，
直線被雙曲線截得的弦長為,,
設直線與雙曲線交于,
則,
由弦長公式得,
解得.
（2）設,，則
，
，
上式作差得，
當直線的斜率不存在時，根據雙曲線對稱性知，
當直線的斜率存在時，但時，此時直線為直線，根據雙曲線對稱性知，
當直線的斜率存在時，且時，，
，，化簡得，其中，
而點，適合上述方程，
則線段的中點的軌跡方程是.

【變式1】（2023·上海·高三專題練習）給定雙曲線.
（1）過點A(2，1)的直線與所給雙曲線交于兩點P1 P2，求線段P1P2的中點軌跡方程.
【答案】（1）；
【詳解】（1）設，中點，則：
，
兩式相減得，
而，
，
四點共線，
，
所以軌跡方程，即.
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