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第07講 拓展一：中點弦問題
一、知識點歸納
知識點01：相交弦中點（點差法）：
直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。
主要有以下幾種問題：
（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；
中點， ，
知識點02：點差法：
設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得； ；
將兩式相減，可得；；
最后整理得：
同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：
設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得； ；
將兩式相減，可得；整理得：
二、題型精講
題型01求直線方程
【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考期中）過點的直線與橢圓交于兩點，且點M平分弦，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求過點，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標準方程.
（2）已知雙曲線，求過點且被點平分的弦所在直線的方程.
【典例3】（2023春·四川·高二統考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點.
(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；
(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯考開學考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，求的方程．
【變式3】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．
題型02處理存在性問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為為上的動點，垂直于動直線，垂足為，當為等邊三角形時，其面積為.
(1)求的方程；
(2)設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【典例2】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.
(1)求C的標準方程；
(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.
【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點，且的周長為．
(1)求的方程；
(2)設點為線段的中點，為坐標原點，求線段長度的取值范圍．
【變式1】（2023·天津·校考模擬預測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．
(1)求曲線的標準方程；
(2)直線與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．
【變式2】（2023春·內蒙古赤峰·高二校考階段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點為，且離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點，且線段中點的橫坐標為，求直線傾斜角的取值范圍.
題型05定值問題
【典例1】（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過橢圓的右焦點與坐標軸不垂直的直線交于點，，交軸于點，為線段的中點，且為垂足.問：是否存在定點，使得的長為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.
【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考開學考試）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設，是雙曲線右支上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交AB于，點的橫坐標為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點是，若過焦點的直線與相交于，兩點，所得弦長的最小值為2．
(1)求實數的值；
(2)設，是拋物線上不同于坐標原點的兩個不同的動點，且以線段為直徑的圓經過點，作，為垂足，試探究是否存在定點，使得為定值，若存在，則求出該定點的坐標及定值，若不存在，請說明理由．
第07講 拓展一：中點弦問題
一、知識點歸納
知識點01：相交弦中點（點差法）：
直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。
主要有以下幾種問題：
（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；
中點， ，
知識點02：點差法：
設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得； ；
將兩式相減，可得；；
最后整理得：
同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：
設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得； ；
將兩式相減，可得；整理得：
二、題型精講
題型01求直線方程
【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考期中）過點的直線與橢圓交于兩點，且點M平分弦，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】設，直線斜率為，則有，
①-②得，
因為點為中點，則，
所以，即，
所以直線的方程為，整理得
故選：B
【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求過點，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標準方程.
（2）已知雙曲線，求過點且被點平分的弦所在直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）雙曲線過點，所求雙曲線的焦點在軸上，
又所求雙曲線離心率與雙曲線離心率相同，
可設其方程為：，
將代入雙曲線方程得：，則所求雙曲線標準方程為：.
（2）方法一：由題意知：所求直線的斜率存在，
可設其方程為：，即，
由得：，
設，，，
又為中點，，解得：，
當時，滿足，符合題意；
所求直線的方程為：，即；
方法二：設，，
均在雙曲線上，，
兩式作差得：，
直線的斜率，
又為中點，，，，
經檢驗：該直線存在，
所求直線的方程為：，即.
【典例3】（2023春·四川·高二統考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點.
(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；
(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又因直線過點，
所以直線的方程為：，即，
聯立得，
設，，
所以，，
所以
（2）因、在拋物線上，
所以，，
兩式相減得：，
得，
故直線的斜率為4，
所以直線的方程為：，即
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：設，則，
兩式相減得直線的斜率為，
又直線過點，
所以直線的方程為，
經檢驗此時與雙曲線有兩個交點.
故選：A
【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯考開學考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，解得．．
又橢圓的長軸比短軸長2，所以，
聯立方程組，解得
所以橢圓的方程為．
（2）顯然點在橢圓內，
設，因為在橢圓上，所以，
兩個方程相減得，即，
因為線段的中點為，所以，，
所以．
所以的方程為，即．
【變式3】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
所以，
故拋物線的方程為．
（2）
易知直線的斜率存在，設直線的斜率為，
則
兩式相減得，整理得．
因為的中點為，所以，
所以直線的方程為，即.
題型02處理存在性問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為為上的動點，垂直于動直線，垂足為，當為等邊三角形時，其面積為.
(1)求的方程；
(2)設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）∵為等邊三角形時，其面積為，
∴，解得，
根據和拋物線的定義可知，落在準線上，即，
設準線和軸交點為，易證，于是，
∴的方程為；
（2）假設存在，使得，則線為段的中點，
設，依題意得，則，
由可得，所以切線的斜率為，
設，，線段的中點，
由，可得，
所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因為，
所以當時，，此時三點共線，滿足為的中點，
綜上，存在，使得點為的中點恒成立，.
【典例2】（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.
(1)求C的標準方程；
(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）解：因為雙曲線C的右焦點為，所以，可得，
又因為雙曲線C的一條漸近線經過點，可得，即，
聯立方程組，解得，
所以雙曲線C的標準方程為.
（2）解：假設存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，
設直線的斜率為，且，
則，兩式相減得，所以，
因為的中點為，所以，所以，解得，
直線的方程為，即，
把直線代入，整理得，
可得，該方程沒有實根，所以假設不成立，
即不存在過點的直線與C交于兩點，使得線段的中點為.
【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直線l，經過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，
因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，
又焦點到直線的距離，所以，
又，所以，，所以雙曲線方程為
（2）假設存在，由題意知：直線的斜率存在，設，，直線的斜率為，則，，
所以，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
經檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，
所以直線的方程為.
題型03求弦中點的軌跡方程
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點 的直線與曲線相交于點，．
(1)求曲線的方程；
(2)動弦滿足： ，求點的軌跡方程；
【答案】(1)
(2)；
【詳解】（1）因為動點到兩定點，的距離之和為，
所以曲線是以，為焦點的橢圓，，，
所以，，所以曲線的方程為；
（2）因為，所以為中點，設，
當的斜率存在且不為0時，將，代入橢圓方程中得：
兩式相減得，即，所以，
即，，整理得；
當的斜率不存在或為0時，有或，也滿足；
所以點的軌跡方程是；
綜上，曲線 的方程為，點的軌跡方程是.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.
【答案】.
【詳解】方法1：設，，弦的中點為，則，
當直線的斜率存在時，.
因為兩式相減，得.
所以，即，
即.
當直線斜率不存在，即軸時，的中點為，適合上式，
故所求軌跡方程為.
方法2：當直線的斜率存在時，設直線的方程為（），由得.
所以
所以.
設，，的中點為，
則，.
所以
.
所以
消去參數，得.
當直線的斜率不存在時，即軸時，的中點為，適合上式，
故所求軌跡方程為.
【變式1】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.
【答案】
【詳解】設，弦的中點，則，
將代入橢圓方程得，
兩式相減得，
所以，
當時，，
因為，所以，則，
整理得；
當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得
所以滿足上述方程，
故點的軌跡方程.
【變式2】（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為 ．
【答案】
【詳解】設斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，
設中點坐標為，則，
所以，兩式相減可得，
，即，
由于在橢圓內部，由得，
所以時，即直線與橢圓相切，
此時由解得或，
所以，
所求得軌跡方程為．
故答案為：．
題型04確定參數的取值范圍
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.
【答案】
【詳解】由題設，聯立，得，
由題設知，即①，
設，則，
因為為弦的中點，
∴，從而，
又由題意知,，
∴，
∵，則，即②，
把②代入①得，解得，又，
故的取值范圍是.
【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點，且的周長為．
(1)求的方程；
(2)設點為線段的中點，為坐標原點，求線段長度的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由橢圓的定義知，的周長為，所以，
由離心率，解得，所以的方程為．
（2）設，的坐標分別為，，，
則有 ①， ②，，
由① ②可得：，即，
將條件及，
帶入上式可得點的軌跡方程為，
所以，，
所以，
所以線段長度的取值范圍為．
【變式1】（2023·天津·校考模擬預測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．
(1)求曲線的標準方程；
(2)直線與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．
【答案】(1)
(2)且
【詳解】（1）設橢圓方程為，
依題意，，，利用拋物線的定義可得，解得，
點的坐標為，所以，
由橢圓定義，得．
，
所以曲線的標準方程為；
（2）設直線與橢圓的交點，，，，，的中點的坐標為，，
設直線的方程為，
(當時,弦中點為原點,但原點并不在上,同樣弦中點為原點，不適合題意)
與聯立，得，
由得①，
由韋達定理得，，，
則，，
將中點，代入曲線的方程為，
整理，得，②
將②代入①得，
令，則，解得，．
所以直線的斜率的取值范圍為且．
【變式2】（2023春·內蒙古赤峰·高二校考階段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點為，且離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點，且線段中點的橫坐標為，求直線傾斜角的取值范圍.
【答案】（1）；（2）直線傾斜角的取值范圍為，，.
【詳解】（1）設橢圓方程為，
由題意得，，所以，
，
所以橢圓的方程為；
（2）設直線的方程為，
由得，
則，即①，
設，，，，則，
因為線段中點的橫坐標為，所以，
化簡得，所以②，
把②代入①整理得，解得或，
所以直線傾斜角的取值范圍為，，．
題型05定值問題
否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，定圓：
【詳解】（1）設雙曲線的右焦點，則點到漸近線的距離為，
即，解得，又漸近線方程為，即，且，
解得，，所以雙曲線方程為.
（2）設，AB的中點為，
由中點的橫坐標為2可得，
因為，是雙曲線上不同的兩點，所以 ，
得，
當存在時，，
因為AB的中垂線為直線l，所以，即，
所以過定點，
當不存在時，，關于軸對稱，的中垂線為軸，此時也過，
所以存在定圓：，使得被圓截得的弦長為定值.
【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點是，若過焦點的直線與相交于，兩點，所得弦長的最小值為2．
(1)求實數的值；
(2)設，是拋物線上不同于坐標原點的兩個不同的動點，且以線段為直徑的圓經過點，作，為垂足，試探究是否存在定點，使得為定值，若存在，則求出該定點的坐標及定值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，定點為，為定值1
【詳解】（1）拋物線：化為標準方程為：，其焦點，因為斜率一定存在，設其方程為，
聯立方程得：，整理得：，恒成立．
其中，，，，
因為焦點弦長，所以當時，弦長．
所以，實數的值為．
（2）由題意可知直線的斜率存在，設其方程為．
聯立方程得：，整理得：，．
其中，，，，
因為以為直徑的圓經過點，所以．
又因為，
∵，∴．
所以直線過定點，
又因為，所以為直角三角形，
所以當為斜邊中點時，為定值，
此時．
所以定點為，為定值1．
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