資源簡介

第09講 拓展三：二面角的傳統法與向量法(含探索性問題）
一、知識點歸納
1、定義法
在二面角的棱上任取一點（通常都是取特殊點，如中點，端點），過該點在兩個半平面內作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂線法
三垂線定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.
具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：
①第一垂：過點向平面引垂線（一般是找+證，證明）
②第二垂：在平面中，過點作,垂足為
③第三垂：連接（解答題需證明）
3、射影面積法（）
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.
4、用向量運算求平面與平面的夾角
如圖，若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面，的法向量
①
②根據圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為鈍二面角（取負），則；
題型01利用定義法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全國·高一專題練習）假設是所在平面外一點，而和都是邊長為2的正三角形，，那么二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知正方體．
(1)求二面角的正切值的大小；
(2)求二面角的正切值的大小．
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）在正方體中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·高一單元測試）如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
題型02利用三垂線法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐 中，已知 平面 .則二面角的正弦值為_____.
【典例2】（2023·高一課時練習）已知正方體的棱長為1．
(1)求異面直線與AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．
【變式2】（2023·上海·模擬預測）直四棱柱，，，，，

(1)求證：；
(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值
題型03利用面積投影法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全國·高二假期作業）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的底面是邊長為1的正方形，側棱，過作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為________.
【變式1】（2023秋·高二課時練習）的邊在平面內，在內的射影是，設的面積為，它和平面所成的一個二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________．
【變式2】（2023·全國·高一專題練習）直角三角形的斜邊在平面內，兩條直角邊分別與平面成和角，則這個直角三角形所在的平面與平面所成的銳二面角的余弦值為________．
題型04利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二統考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【典例3】（2023春·浙江紹興·高二統考期末）如圖，在正四棱錐中，，過點向平面作垂線，垂足為.

(1)求證：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【變式1】（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別為線段，的中點，連接，延長并與的延長線交于點，連接，.

(1)求證：平面
(2)求平面與平面所成角的正弦值.
【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校校考期末）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
題型05利用向量法求二面角（最值或范圍）
【典例1】（江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期末數學試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別在棱，上．

(1)當為棱中點時，求證：；
(2)當為棱中點時，求平面與平面所成的二面角余弦值的最大值．
【典例2】（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內的射影為.

(1)求證：平面；
(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；
(3)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯考階段練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【變式1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知直三棱柱中，側面為正方形，，，分別為和的中點，D為棱上的動點..

(1)證明：；
(2)求平面與平面所成的二面角正弦值的最小值及此時點的位置.
【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點是線段的中點，點在線段上且滿足，面
(1)當時，證明：平面；
(2)當為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小？
題型06已知二面角求參數
【典例1】（2022秋·山西運城·高二山西省運城中學校校聯考期中）在直角坐標系中，，沿直線把直角坐標系折成的二面角，則的長度為___________.
【典例2】（2023·安徽滁州·校考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為的中點，.
(1)證明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小為，求四棱錐的體積.
【變式1】（2022·高二課時練習）如圖，在長方體中，，，點在棱上．若二面角的大小為，則的坐標為______，點到平面的距離___
【變式2】（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點.
(1)求證：平面⊥平面；
(2)若二面角為，求點到平面的距離.
題型07二面角中的探索性問題
平面平面.
(1)求證：；
(2)若，探索在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，，，分別為和的中點，為棱上的點.
(1)證明：；
(2)是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.
第09講 拓展三：二面角的傳統法與向量法(含探索性問題）
一、知識點歸納
1、定義法
在二面角的棱上任取一點（通常都是取特殊點，如中點，端點），過該點在兩個半平面內作二面角棱的垂線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂線法
三垂線定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.
具體操作步驟（如圖在三棱錐中）求二面角：
①第一垂：過點向平面引垂線（一般是找+證，證明）
②第二垂：在平面中，過點作,垂足為
③第三垂：連接（解答題需證明）
3、射影面積法（）
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小.
4、用向量運算求平面與平面的夾角
如圖，若于，于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面，的法向量
①
②根據圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；
若二面角為銳二面角（取正），則；
若二面角為鈍二面角（取負），則；
題型01利用定義法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全國·高一專題練習）假設是所在平面外一點，而和都是邊長為2的正三角形，，那么二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】取的中點，連接，
∵和都是邊長為2的正三角形，則，
所以為二面角的平面角，
又因為，則，
所以，即二面角的大小為.
故選：D.
【典例2】（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知正方體．
(1)求二面角的正切值的大小；
(2)求二面角的正切值的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）連接，交于，
因為四邊形為正方形，所以，
又平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，因為平面，,
所以是二面角的平面角，
設，
在中，,，
所以，由，
所以，
所以二面角的正切值為.
（2）連接,其中點為的中點，
因為，,
所以，，
所以為二面角的平面角，
在中，，,
所以
二面角的正切值為.
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）在正方體中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為平面，又平面
所以，所以即為二面角的平面角，
因為，所以二面角的大小是．
故選：C．
【變式2】（2023·高一單元測試）如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在正方體中，連接，
由于，所以是異面直線與所成的角，
由于三角形是等邊三角形，所以，
所以異面直線與所成的角的大小為.
（2）在正方體中，，
所以是二面角的平面角，
根據正方體的性質可知，
所以二面角的大小為.
題型02利用三垂線法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐 中，已知 平面 .則二面角的正弦值為_____.
【答案】
【詳解】
取BC的中點D，連結PD，AD，因為，所以，
因為平面ABC，平面ABC，所以，
因為平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD，
因為平面PAD，所以，
所以即為二面角的平面角，
因為，所以，，
即二面角的正弦值是.
故答案為：.
【典例2】（2023·高一課時練習）已知正方體的棱長為1．
(1)求異面直線與AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）連，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為四邊形是正方形，所以，
所以，即異面直線與AC所成角的大小為.
（2）
設與交于，連，
因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因為平面，所以，
所以就是二面角的平面角.
因為正方體的棱長為1，所以，，
，
所以，
所以二面角的余弦值為.
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【詳解】設，連接，
平面，平面，，，
四邊形為正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案為：.
【變式2】（2023·上海·模擬預測）直四棱柱，，，，，

(1)求證：；
(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小的正切值
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意得，，
平面，平面，
平面，平面
而，平面平面，
又平面平面
（2）四棱柱體積，
得，得，
過點作，垂足為，連接，
由平面，得（三垂線定理），
故即為二面角的平面角，
，得，
故

題型03利用面積投影法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全國·高二假期作業）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_______.
【答案】
【詳解】過 A作的延長線于E， 連結 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E點即為點A在平面內的射影，
∴ 為在平面內的射影，
設，則，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ，
又，∴ ，
設二面角為，∴ .
而二面角與互補，
∴二面角 的余弦值為.
故答案為：
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知長方體的底面是邊長為1的正方形，側棱，過作平面分別交棱，于，，則四邊形面積的最小值為________.
【答案】
【詳解】法一：根據題意作圖，如圖①所示，
過點F作FH⊥BD1交BD1于H，設FH＝h.由題意得BD1＝2.
因為長方體對面平行，
所以截面BFD1E為平行四邊形，則，
當h取最小值時四邊形BFD1E的面積最小.
易知h的最小值為直線CC1與直線BD1間的距離.
易知當F為CC1的中點時，h取得最小值，hmin＝，.
故四邊形BFD1E面積的最小值為.
法二(射影面積法)：設平面BFD1E與底面ABCD的交線為l. 如圖②，
過D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1 l D的平面角，設為θ.
根據射影面積公式,得,
則當cos θ最大時，最小.當cos θ最大時，分析易知DH最長.又DH最長為DB＝，所以cos θ最大值為，因為，所以四邊形BFD1E面積的最小值為.
故答案為：
【變式1】（2023秋·高二課時練習）的邊在平面內，在內的射影是，設的面積為S，它和平面所成的一個二面角的大小為（為銳角），則的面積是__________．
【答案】
【詳解】如圖所示，作交于點，連接，
因為A在內的射影是，所以平面，
又，所以，
又，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
所以即為平面ABC和平面所成的二面角的平面角，即，
則，
則.
故答案為：.

【變式2】（2023·全國·高一專題練習）直角三角形的斜邊在平面內，兩條直角邊分別與平面成和角，則這個直角三角形所在的平面與平面所成的銳二面角的余弦值為________．
【答案】
【詳解】過點作平面，垂足為，連接，
∵平面，則，
設，
不妨設分別與平面成和角，則，
過作，垂足為，連接，
∵，，平面，
則平面，且平面，
∴，即所求二面角的平面角為，
由的面積可得，
由的面積可得，
∵，
故所求銳二面角的余弦值為．
故答案為：.
題型04利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統考期末）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，二面角的大小為，是中點.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取中點，連接，因為直角梯形中，
，且，所以四邊形是平行四邊形，
平面平面，
平面.
又是中點平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
平面平面.
（2）連接，由知：，
由（1）知：且，
，在平面內過點作交于點，
則兩兩互相垂直，
以為坐標原點，以方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，

則，
從而，
設平面的法向量為，
即，令，得，
易知平面的一個法向量為，
，
由題意知，二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二統考期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為45°，底面為直角梯形，，，．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為平面，且平面，所以，，
又因為，所以，
因為與底面所成的角為，所以，故，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標系，如圖所示，
因為，，可得，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，可得，
取，則，可得，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
（2）解：根據題意，平面的一個法向量，
設平面的一個法向量為，可得，
取，則，，所以
則，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

【典例3】（2023春·浙江紹興·高二統考期末）如圖，在正四棱錐中，，過點向平面作垂線，垂足為.

(1)求證：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意知平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因為平面，所以，又，所以.
（2）因為平面，平面，所以，
所以，所以，
作交于點，所以為中點，
又由（1）知平面，所以，又，所以平面.
以為坐標原點，，分別為，軸建立空間直角坐標系，
所以，，，所以，.
設平面的方向量為，
所以，即，令，則，，
所以，又平面的法向量.
設二面角的平面角為，由圖可知二面角為銳角，
所以.

【變式1】（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別為線段，的中點，連接，延長并與的延長線交于點，連接，.

(1)求證：平面
(2)求平面與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2) .
【詳解】（1）∵，且，
∴為的中位線，
∴ME為的中位線，∴.
又∵平面PFD，平面PFD，∴平面PFD.
（2）以A為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則由已知可得，，，
∵x軸⊥平面PEA，∴設平面PEA的一個法向量為，平面PEF的法向量為，∵，，
∴，令，得，，∴，
∴，∴平面APE與平面PEF所成角的正弦值為 .

【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校校考期末）如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為四邊形是菱形，所以.
又，平面，且，所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以，所以.
因為平面，且，所以平面.
因為是棱上的中點，所以到平面的距離，
四邊形是菱形，，，
則中，，，，
∵，∴三棱錐的體積為.
（2）取棱的中點，連接，則有，因為，則.
兩兩垂直，故以為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.
因，則.

因是棱上的中點，則.
設平面的法向量為，則，
令，則，得.
平面的一個法向量為.
設平面與平面的夾角為，則.
故平面與平面夾角的余弦值為.
題型05利用向量法求二面角（最值或范圍）
【典例1】（江蘇省徐州市2022-2023學年高二下學期期末數學試題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，分別在棱，上．

(1)當為棱中點時，求證：；
(2)當為棱中點時，求平面與平面所成的二面角余弦值的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）因為底面為正方形，所以，又因為平面，，平面，
所以，．以為正交基底建立空間坐標系，
則，，，，．

當為棱中點時，，設，
則，，
所以，所以．
（2）當為棱中點時，，設，
則，，，．
設平面的法向量為，則
取，則是平面的一個法向量，
設平面的法向量為，則
取，則是平面的一個法向量．
設平面與平面所成角為，
則．
令，則，
所以當，即時，取最大值．
所以平面與平面所成的二面角余弦值的最大值為．
【典例2】（2023春·江蘇揚州·高二統考期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，在平面內的射影為.

(1)求證：平面；
(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；
(3)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）法一：連結，因為為等邊三角形，為中點，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由題設知四邊形為菱形，，
分別為中點，，
又平面平面.
法二：由平面，平面，
又為等邊三角形，為中點，，則以為坐標原點，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則
又平面平面.
法三：（同法二建系）設平面的一個法向量為

，即
不妨取，則，則
所以平面的一個法向量為
，，，平面
（2）由（1）坐標法得，平面的一個法向量為（或）
點到F到平面的距離=
（3）
設，則，
；
由（1）知：平面平面的一個法向量
（或者由（1）中待定系數法求出法向量）；
設平面的法向量，
則，令，則；
，
令，則；
，
即銳二面角的余弦值的取值范圍為.
【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯考階段練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）取的中點，連接，因為，則，
當平面平面時，點到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時平面，且，
底面為梯形，，
則四棱錐的體積最大值為.
（2）連接，因為，所以，所以為的平面角，即，
過點作平面，以為坐標原點，
分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
過作于點，由題意得平面，
設，因為，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
設平面PAM的法向量為，則，
令，則，
設平面的法向量為，
因為，，
則，令，
可得，
設兩平面夾角為，
則
令，，所以，
所以，
因為的對稱軸為，
所以當時，有最小值，
所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．
【變式1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知直三棱柱中，側面為正方形，，，分別為和的中點，D為棱上的動點..

(1)證明：；
(2)求平面與平面所成的二面角正弦值的最小值及此時點的位置.
【答案】(1)證明見解析
(2)最小值為，點為靠近的的四等分點
【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因為，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即兩兩垂直，
以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，則

，，，，，，，，設，
所以，，
因為，
所以，即.
（2）設平面的法向量為，
因為，，
所以，令，則，
平面的一個法向量為，
設平面與平面DEF所成的二面角為，
則，
當時，取最小值為，此時取得最大值，
所以，
所以平面與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值為，此時點為靠近的的四等分點.
【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，點是線段的中點，點在線段上且滿足，面
(1)當時，證明：平面；
(2)當為何值時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）設，
因為//，則，
若，即，可得，
所以//，
平面，平面，
故//平面.
（2）連接，
由題意可得：，
在中，由余弦定理，
即，可得，則，
且面ABCD，如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，
可得，
設點，則，
因為，則，解得，即，
可得，
設平面BFE的法向量為，則，
令，則，即，
由題意可得：平面的法向量，
設平面BFE與平面PBD所成的二面角為，
則，
由題意可知：，則有：
當時，則；
當時，則，
因為，則，
關于的二次函數開口向上，對稱軸，
當，即時，取到最小值，即，
可得；
綜上所述：.
所以當時，取到最大值，取到最小值.
即當時，平面BFE與平面PBD所成的二面角的正弦值最小.
題型06已知二面角求參數
【典例1】（2022秋·山西運城·高二山西省運城中學校校聯考期中）在直角坐標系中，，沿直線把直角坐標系折成的二面角，則的長度為___________.
【答案】8
【詳解】如圖，分別作垂直于直線于點，則由等腰直角三角形的性質可得，即.
若沿直線把直角坐標系折成的二面角，則，
因為二面角的大小為，所以，代入上式可得，
所以，即的長度為.
故答案為：8.
【典例2】（2023·安徽滁州·校考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為的中點，.
(1)證明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小為，求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意，證明如下：
在中，為的中點，
∴.
在四棱錐中，，且，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）由題意及（1）得，連接.
在中，三角形為等邊三角形，
∴，
∴兩兩垂直，
建立空間直角坐標系如下圖所示：
設，則，
∵，
∴，
∴.
設平面的法向量為，
則
令，得.
平面的一個法向量為，
∵二面角的大小為，
∴，
解得，
∴.
【變式1】（2022·高二課時練習）如圖，在長方體中，，，點在棱上．若二面角的大小為，則的坐標為______，點到平面的距離___
【答案】
【詳解】設，平面的法向量為．
由題可知，，，，則，．易知平面的一個法向量為．
∵為平面的法向量，∴，
令，則，又二面角的大小為，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，，又，∴．
故答案為：；
【變式2】（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點.
(1)求證：平面⊥平面；
(2)若二面角為，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）底面，平面，
，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面⊥平面.
（2）底面，平面，
，
因為，
故以為正交基底，建立空間直角坐標系，設
則，
設平面的法向量為，
由于，
令，得：，
故取，
取平面的法向量為，
則，解得：，
故，
故點到平面的距離.
題型07二面角中的探索性問題
【典例1】（2023秋·湖南郴州·高二統考期末）如圖2，在中，，，．將沿翻折，使點D到達點P位置（如圖3），且平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)設Q是線段上一點，滿足，試問：是否存在一個實數，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
，
，
過點作交于點，如圖所示，
又平面平面，且平面平面
由平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（2）由題知，即，
由（1）知，且
平面，所以以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
設為平面的法向量，
由，
令得，
且，
又易得平面的法向量為，
由，
故存在實數使得平面與平面的夾角的余弦值為．
【典例2】（2023春·云南昆明·高二昆明一中校考期中）如圖1，在平面四邊形中，∥，，將沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如圖2所示.
(1)設平面與平面的交線為，求證：；
(2)在線段上是否存在一點（點不與端點重合），使得二面角的余弦值為，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析.
【詳解】（1）證明:延長相交于點，連接，
則為平面與平面的交線，
由平面⊥平面，，平面，
且平面平面，所以平面，
又由∥，所以平面，
因為平面，所以，所以，
（2）由（1）知：，
以為坐標原點，以所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
可得，
則，
設（其中），
則，所以，
設平面QBD的法向量為，
則，
令，可得，所以，
又由平面，所以平面的一個法向量為
則，
解得，
所以存在點為的中點時，使得二面角的余弦值為.
【變式1】（2023·全國·校聯考模擬預測）在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，平面平面.
(1)求證：；
(2)若，探索在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：由題意知平面平面，所以.
過在平面內作直線交于點，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
因為平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知，因為，所以，
又平面，且平面，所以，
故以為坐標原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
設，則，故.
平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量，則，
令，則，所以，
所以，解得（負根舍），
所以在棱存在點，使得二面角的大小為，且.
【變式2】（2023秋·云南昆明·高二統考期末）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，，，分別為和的中點，為棱上的點.
則，
令，則，
設平面與平面的夾角為，則
，
整理得，，解得，
所以存在點，滿足條件.
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