資源簡介

第08講 拓展二：直線與平面所成角的傳統法與向量法
(含探索性問題）
一、知識點歸納
知識點一：直線與平面所成角
1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內的射影.
注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.
如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.
2、直線和平面所成角：（有三種情況）
（1）平面的斜線與它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；
（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為；
（3）直線與平面平行（或直線在平面內）時，它們的所成角為0.
結論：直線與平面所成角的范圍為.
3、傳統法之定義法（如右圖）：具體操作方法：
①在直線上任取一點（通常都是取特殊點），向平面引（通常都是找+證明）垂線；
②連接斜足與垂足；
③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.
4、傳統法之等體積法求垂線段法(如右圖）
①利用等體積法求垂線段的長；
②
5、利用向量法求線面角
設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
二、題型精講
題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統法）
【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中學校聯考階段練習）在長方體中，，則與平面所成的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022秋·上海閔行·高三上海市文來中學校考期中）在正方體中，為棱的中點，則與平面所成角的正切值為__________.
【典例3】（2022春·廣東江門·高一江門市第一中學校考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求點到平面的距離；
(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．
【典例4】（2022春·安徽滁州·高一統考期末）如圖，平行六面體的棱長均相等，，點分別是棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與底面所成角的正弦值．
【變式1】（2022春·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學校考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，且，是的中點，則與平面所成角的正弦值是________．

【變式2】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）如圖，在四棱錐中，為線段的中點，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統考期中）在正方體中，點，分別是，上的動點，當線段的長最小時，直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·山東德州·高二統考期末）如圖，已知直角梯形，，，，，四邊形為正方形，且平面⊥平面．
(1)求證：⊥平面；
(2)點為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【典例3】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；
(2)若是中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是棱上靠近點的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（ ）．

A． B． C． D．
【變式2】（2023春·廣東廣州·高二執信中學校考階段練習）如圖，四棱錐中，平面，，，，為棱上一點.

(1)若為的中點，證明：平面；
(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【變式3】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）在正四棱柱中，，，在線段上，且.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
題型03易錯題型利用向量法求直線與平面所成角的余弦值
（忽視最后正弦轉余弦）
【典例1】（2023·高二單元測試）已知四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點到平面的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.
【典例3】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學校考期中）如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.
（1）證明：；
（2）若，，設為中點，求直線與平面所成角的余弦值.
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）正三棱柱的所有棱長都相等，則和平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·高二課時練習）若正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值為______.
【變式3】（2023·福建莆田·校考模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
題型04求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·高二課時練習）四棱錐，平面，底面是菱形，，平面平面.
(1)證明：⊥；
(2)設為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.
【典例2】（2023·山東·校聯考模擬預測）如圖，圓錐的底面上有四點，且圓弧，點在線段上，若．

(1)證明：平面；
(2)若為等邊三角形，點在劣弧上運動，記與平面所成的角為，求的最小值．
【典例3】（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在長方體中，點是長方形內一點，是二面角的平面角.
(1)證明：點在上；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦的最大值.
【變式1】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學校考階段練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點在棱上，且，點是棱上的動點（不含端點）.
(1)若是棱的中點，求的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.
【變式2】（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學校考階段練習）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點在線段上．
(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦最大值．
題型05已知直線與平面所成角求參數
【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二校考期中）如圖所示空間直角坐標系中，是正三棱柱的底面內一動點，，直線和底面所成角為，則點坐標滿足（ ）
A． B． C．D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，互相垂直，，是線段上一動點，且直線與平面所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考期末）如圖，菱形中，，與相交于點，平面，，，．若直線與平面所成的角為45°，則＝________．
【變式1】（2023·新疆喀什·統考模擬預測）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（2022·全國·高三專題練習）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2022秋·內蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末）已知幾何體如圖所示，其中四邊形，，均為正方形，且邊長為1，點在上，若直線與平面所成的角為45°，則___________.
題型06直線與平面所成角中的探索性問題
【典例1】（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習）如圖，平行六面體的所有棱長都相等，，，為棱的中點，在棱上運動，.

(1)證明：當時，平面；
(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校考期中）如圖，在三棱柱中，平面，
平面互相垂直，，是線段上一點.
(1)設為的中點，求證：；
(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求的值.
第08講 拓展二：直線與平面所成角的傳統法與向量法
(含探索性問題）
一、知識點歸納
知識點一：直線與平面所成角
1、斜線在平面上的射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足及斜足的直線叫做斜線在平面內的射影.
注意：斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的射影上.
如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影.
2、直線和平面所成角：（有三種情況）
（1）平面的斜線與它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為；
（2）直線與平面垂直時，它們的所成角為；
（3）直線與平面平行（或直線在平面內）時，它們的所成角為0.
結論：直線與平面所成角的范圍為.
3、傳統法之定義法（如右圖）：具體操作方法：
①在直線上任取一點（通常都是取特殊點），向平面引（通常都是找+證明）垂線；
②連接斜足與垂足；
③則斜線與射影所成的角，就是直線與平面所成角.
4、傳統法之等體積法求垂線段法(如右圖）
①利用等體積法求垂線段的長；
②
5、利用向量法求線面角
設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
①
②.（注意此公式中最后的形式是：）
二、題型精講
題型01求直線與平面所成角（定值）（傳統法）
【典例1】（2022秋·安徽·高三石室中學校聯考階段練習）在長方體中，，則與平面所成的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設，連接OD，
因為,所以四邊形為正方形，因此，
又平面，平面，故
又平面,因此平面，
所以BD與平面所成角為，
所以.
故選：C
【典例2】（2022秋·上海閔行·高三上海市文來中學校考期中）在正方體中，為棱的中點，則與平面所成角的正切值為__________.
【答案】/
【詳解】
連接，
在正方體中， 平面，
是與平面所成的角，
，，
，
與平面所成的角的正切值為．
故答案為：．
【典例3】（2022春·廣東江門·高一江門市第一中學校考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求點到平面的距離；
(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)．
【詳解】（1）因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，所以，
因為平面，平面，且，
所以平面．又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知，為點到平面的距離．
所以，
連接．因為平面，平面，所以，
因為，，所以，
又因為，所以．
在中，，，
所以，
設點到平面的距離為，
由，
得，所以．
所以點到平面的距離為．
（3）若，由（2）可知，點到平面的距離為，
又，
設直線與平面所成角為，
所以，
所以.
即直線與平面所成角的余弦值為．
【典例4】（2022春·安徽滁州·高一統考期末）如圖，平行六面體的棱長均相等，，點分別是棱的中點．
(1)求證：平面；
(2)求直線與底面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設的中點為，連接，
因為點分別是棱的中點，
所以，，
所以與平行且相等，四邊形是平行四邊形，則，
又因為平面，平面，
所以平面
（2）如圖，設AC，BD交于點O，連接．
因為平行六面體中，設各棱長均為2，
因為，
所以為邊長為2等邊三角形，四邊形ABCD為菱形，
所以O為BD的中點，．
所以．
因為，平面，所以平面．
等邊三角形中，故．
解可得．
因為平面，平面，
所以平面平面，
故在平面ABCD上的射影Q落在AC上，連接，
所以
即到平面ABCD的距離為
所以到平面ABCD的距離為因為是棱的中點，
所以到平面ABCD的距離
因為，
所以直線與底面所成角的正弦值為
【變式1】（2022春·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學校考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，且，是的中點，則與平面所成角的正弦值是________．

【答案】/
【詳解】如圖，取中點，連接，
因為面，面，
所以，
又因為，
所以，
因為面，面，
所以，
又因為，所以，
因為面，，
所以面，
因為面，
所以，
因為面，
所以面，
所以是與平面所成角，
因為，，
所以,
由已證知，面，因為面，
所以，
所以，
因為面，面，
所以，
所以，
所以，
由已證知，面，
又因為面，所以
所以，
即與平面所成角的正弦值是.

故答案為：
【變式2】（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）如圖，在四棱錐中，為線段的中點，.
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）連接，設，則有，
又在中，，則，，
等腰中，，，則
，
則中，，則，
又，，平面，
平面，
又平面，
.
（2）由（1）知：平面，
設到平面的距離為d，
又中，，
則
由
可得，
設直線與平面所成角為，
則.
題型02求直線與平面所成角（定值）（向量法）
【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統考期中）在正方體中，點，分別是，上的動點，當線段的長最小時，直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
因為平面，平面，
所以，
因為正方形中，，且，平面，
所以⊥平面，
因為點M ，N分別是上的動點，
當點為交點時，⊥，過點作于點，
此時為的公垂線，即線段的長最小，
設正方體邊長為，則，，
因為，所以，故，
解得：，，
過點作于點，同上可知，即，
解得：，，故，
，
又，則，
設平面的法向量為，
則，令，得，
設與平面所成角大小為，
則.

故選：B
【典例2】（2023秋·山東德州·高二統考期末）如圖，已知直角梯形，，，，，四邊形為正方形，且平面⊥平面．
(1)求證：⊥平面；
(2)點為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）已知直角梯形ABCD，，，
，所以為等腰直角三角形，
可得，，，
所以在中，由余弦定理得，
所以，得．
因為平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以⊥平面．
（2）根據（1）中所證可得：兩兩垂直，
故以C為坐標原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系：
則，，，．
，，，
設為平面MAB的一個法向量，
由，取，則，
故，
設直線與平面所成角為，
則．
即直線與平面所成角正弦值為．
【典例3】（2023春·浙江·高二校聯考階段練習）在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面平面；
(2)若是中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為平面，平面，所以，
因為底面為正方形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）將題干圖形調整一下位置，記的中點為，的中點為，連接，如圖，

因為，是的中點，所以，
又由（1）知平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又是的中點，底面為正方形，所以，
故以為原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖，
因為平面，平面，所以，
不妨設，則在中，，
則，
因為是中點，則，
故，
設平面的一個法向量為，則，
取，則，故，
記直線與平面所成角為，則，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【變式1】（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知是棱上靠近點的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】平面，，
以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，.
.
易知平面的法向量.
設與平面所成角為，
則.
故選：C.

【變式2】（2023春·廣東廣州·高二執信中學校考階段練習）如圖，四棱錐中，平面，，，，為棱上一點.

(1)若為的中點，證明：平面；
(2)若，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取中點，連接和，
因為，，且為的中點，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，平面，
所以平面，
因為M，N分別為的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為平面，，
所以平面平面，
因為平面，
所以平面
（2）取中點，作交于，連接，
因為，所以，
因為平面，平面，
所以，
因為，
所以，
以為坐標原點，為正交基底建立如下圖所示的空間直角坐標系，

、、、、.
所以，.
設平面的法向量，
又因為平面，
所以，
取，，，則.
又因為，
所以.
所以直線和平面所成角正弦值為.
【變式3】（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）在正四棱柱中，，，在線段上，且.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在正四棱柱中，兩兩垂直，
以的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，，
，，，
于是，，即且，
而平面DBE，
所以平面DBE.
（2）由（1）得，為平面DBE的一個法向量，
因此，
所以直線與平面DBE所成角的正弦值為.
題型03易錯題型利用向量法求直線與平面所成角的余弦值
（忽視最后正弦轉余弦）
【典例1】（2023·高二單元測試）已知四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側棱與底面垂直，若點到平面的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖，連接交于點，過點作于，
則平面，則，
設，
則，
則根據三角形面積得，
代入解得．
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則，，
設平面的法向量為，，，
則，即，令，得．
，
所以直線與平面所成的角的余弦值為，
故選：．
【典例2】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.
【答案】
【詳解】
依題意，以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，
由已知可得，，，，，，
則，，.
設是平面的法向量，
則，即，
令，則，，
所以是平面的一個法向量.
設與平面所成的角為，.
因為，，，
則，
所以.
因為，
所以，
所以與平面所成角的余弦值為.
故答案為：.
【典例3】（2023春·江蘇南京·高二南京市第五高級中學校考期中）如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.
（1）證明：；
（2）若，，設為中點，求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【詳解】（1）依題意，面面，，
∵面，面面，
∴面.
又面，
∴.
（2）解法一：向量法
在中，取中點，∵，
∴，∴面，
以為坐標原點，分別以為軸，過點且平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，
設，∵，∴，
∴，，，，，
∴，，.
設面法向量為，
則，解得.
設直線與平面所成角為，
則，
因為，∴.
所以直線與平面所成角的余弦值為.
（2）解法二：幾何法
過作交于點，則為中點，
過作的平行線，過作的平行線，交點為，連結，
過作交于點，連結，
連結，取中點，連結，，
四邊形為矩形，所以面，所以，
又，所以面，
所以為線與面所成的角.
令，則，，，
由同一個三角形面積相等可得，
為直角三角形，由勾股定理可得，
所以，
又因為為銳角，所以，
所以直線與平面所成角的余弦值為.
【變式1】（2023·全國·高三對口高考）正三棱柱的所有棱長都相等，則和平面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設三棱柱的棱長為1，以B為原點，以過B作的垂線為x軸，以為軸，
建立空間直角坐標系，如圖，

則，∴，
平面的一個法向量可取為，
設與平面所成的角為θ，,
則，
所以.
故選：A.
【變式2】（2023春·高二課時練習）若正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值為______.
【答案】/0.6
【詳解】
如圖，取中點，連接,
則有,
所以以為軸正方向建系如圖，設,
則,
設平面的法向量為，
則有，令則，
所以，
設直線與平面所成角為，
則，
因為，所以
故答案為: .
【變式3】（2023·福建莆田·校考模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，，.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：，，，，
，，，
，，
，、平面， 平面，
平面，，
因為，、平面，平面.
（2）解：因為，平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的
正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，
，，
設平面的一個法向量分別為，
則，取，可得，
，，
設直線與平面所成角的，則，，
直線與平面所成角的余弦值．
題型04求直線與平面所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023春·高二課時練習）四棱錐，平面，底面是菱形，，平面平面.
(1)證明：⊥；
(2)設為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，過點A作AE⊥PB于點E，
因為平面平面PBC，交線為PB，且AE平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，
因為平面PBC，
所以AE⊥BC，
因為平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥BC，
因為，平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因為AB平面PAB，
所以BC⊥AB；
（2）因為底面ABCD是菱形，且BC⊥AB，
所以四邊形ABCD為正方形，
以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=1，則，
，
設，，
則，
設平面ABM的法向量為，
則，
解得：，不妨令，則，
故，
設PC與平面ABM所成角大小為，
則，
，
當時，取得最大值，最大值為，
所以PC與平面ABM所成角的正弦值的最大值為.
【典例2】（2023·山東·校聯考模擬預測）如圖，圓錐的底面上有四點，且圓弧，點在線段上，若．

(1)證明：平面；
(2)若為等邊三角形，點在劣弧上運動，記與平面所成的角為，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【詳解】（1）∵，∴為等邊三角形，
所以為底面圓的直徑，設，
在中，，，
所以則，
，
設到底面的距離分別為，
即，
即，所以即．
設的交點為，所以，即，
連接，則，面面，
所以面．

（2）設底面圓的圓心為，過作，
以為坐標原點，的方向為軸建立空間直角坐標系，
因為，所以由可得：，

設，則，
設平面的一個法向量為
∴，所以可取
∴
當且僅當，即與重合時取等號．
所以的最小值為．
【典例3】（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在長方體中，點是長方形內一點，是二面角的平面角.
(1)證明：點在上；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由是二面角的平面角，則，
又，面，則面，
又面，即，由長方體性質知，故，
由長方體性質：面，又面，則，
又，面，故面，
而面面，且面、面，根據過AC作與PD1垂直的平面有且僅有一個，
所以面與面為同一平面，又面，面面，
所以點在上；
（2）構建如下圖示的空間直角坐標系，令，，
由題設，長方體上下底面都為正方形，由（1）知，則為中點，
所以且，，，
則，，，
若是面的一個法向量，則，令，則，
所以，
僅當時等號成立，故直線與平面所成角的正弦的最大值為.
【變式1】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學校考階段練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點在棱上，且，點是棱上的動點（不含端點）.
(1)若是棱的中點，求的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由平面，，平面，所以，，
又，所以、、兩兩垂直，
以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
當為棱的中點時，，則，，
，
所以的余弦值為.
（2），設，，
則，則，又，
設平面的一個法向量為，
則，即，取，
，設與平面所成角為，
，
令，當時，，
即時，有最大值，
所以與平面所成角的正弦值的最大值為.
【變式2】（2023春·上海楊浦·高二上海市控江中學校考階段練習）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角．動點在線段上．
(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦最大值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意可得：，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，
若為的中點，則，
可得，
設異面直線與所成角，
則.
故異面直線與所成角的余弦值為.
（2）若動點在線段上，設，
則，可得，解得，
即，則，
由題意可知：平面的法向量為，
設與平面所成角為，
則，
對于開口向上，對稱軸為，
可得當時，取到最小值，
所以的最大值為，
題型05已知直線與平面所成角求參數
【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二校考期中）如圖所示空間直角坐標系中，是正三棱柱的底面內一動點，，直線和底面所成角為，則點坐標滿足（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【詳解】解：由正三棱柱，且，根據坐標系可得：
，又是正三棱柱的底面內一動點，則，所以，
又平面，所以是平面的一個法向量，
因為直線和底面所成角為，
所以，
整理得，又，所以.
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，互相垂直，，是線段上一動點，且直線與平面所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】M是線段BC上一動點，連接PM．因為PA，PB，PC互相垂直，所以是直線AM與平面PBC所成的角．當PM最短，即時，直線AM與平面PBC所成角的正切值最大，此時，．
在中，，則，解得．
將三棱錐擴充為長方體，則長方體的體對角線長為．
故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．所以D正確；
故選：D.
【典例3】（2023秋·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考期末）如圖，菱形中，，與相交于點，平面，，，．若直線與平面所成的角為45°，則＝________．
【答案】2
【詳解】設AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC為正三角形，又AB=2，易得OA=1，OB=，
如圖，以O為坐標原點，以OA，OB所在直線分別為x軸、y軸，以過點O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標系．
則，
所以，設平面BED的法向量為，則，令z=1則，，
因為直線OF與平面BED所成角的大小為45°，
所以，
易知a>0，解得：a=2，所以AE＝2．
故答案為：2.
【變式1】（2023·新疆喀什·統考模擬預測）如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，直線與平面所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】以為原點，以，，為坐標軸建立空間坐標系如圖所示，
設，則，，，
故，，，
設平面的一個法向量為，
則，可取，
故，
又直線與平面所成角的正弦值為，
，解得．
故選：D
【變式2】（2022·全國·高三專題練習）已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
設，，，，，.
，，.
設平面的法向量，
則，令，得，，
故.
因為直線與平面所成角的正切值為，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距離為.
故選：D
【變式3】（2022秋·內蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末）已知幾何體如圖所示，其中四邊形，，均為正方形，且邊長為1，點在上，若直線與平面所成的角為45°，則___________.
【答案】/
【詳解】把該幾何體補成一個正方體，如圖，，連接，
由平面，平面，得，同理，．
又正方形中，，，平面，
所以平面，而平面，所以平面平面，
所以平面內的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，
，
．
，．
故答案為：．
題型06直線與平面所成角中的探索性問題
【典例1】（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習）如圖，平行六面體的所有棱長都相等，，，為棱的中點，在棱上運動，.

(1)證明：當時，平面；
(2)是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，．
【詳解】（1）證明：當時，為棱中點，
取中點為，連接，如圖所示，

則，,
又因為，，
所以，
所以為平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
（2）存在當時，直線與平面所成角的正弦值為，理由如下：
不妨設棱長，則，
在中，，
所以，
同理可得，，
所以，
所以，
所以，
又因為在等邊中，，
所以，
所以，
又因為，
所以以為原點，分別以、、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，，，，
則，，
所以，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，解得，
設直線與平面所成角為，
則，
解得（舍）或．
所以存在，直線與平面所成角的正弦值為.
【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校考期中）如圖，在三棱柱中，平面，，是的中點．
(1)求平面與平面夾角的余弦值；
(2)在直線上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【詳解】（1）因為平面ABC，平面ABC，則，，
以點C為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，
所以平面ABC的一個法向量為，
設平面的法向量為，而，
所以，即，令，則，故，
所以，又平面與平面ABC夾角為銳角，
所以平面與平面ABC夾角的余弦值為；
（2）假設存在點P，
設，，
設BP與平面所成的角為，由（1）知，平面的法向量為，
則，
所以，解得或，
在線段CD上存在一點P，使BP與面所成角的正弦值為，此時或．
【變式1】（2023·福建漳州·統考模擬預測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)答案見解析，
(2)或
【詳解】（1）過點作交圓于點，（ ，分別為，的中點，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）
因為是圓的直徑，所以，，
所以，所以四邊形為矩形，
因為，，所以，
因為平面，為的中點，
所以點到平面的距離為，
所以
（2）以為坐標原點，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，
所以，，，
，
設平面的法向量為，則
即，不妨取，得
因為與平面所成角的正弦值為，
所以
所以，所以或
【變式2】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考三模）如圖，直角三角形和等邊三角形所在平面互相垂直，，是線段上一點.
令，則，.于是.
因為直線和平面所成角的正弦值為，
所以，
整理得，
解得或.
因為，
所以，即.
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