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第10講 拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）
一、知識點歸納
知識點01：用向量法求空間距離
1、點到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
二、題型精講
題型01利用向量法求點到直線的距離
【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學校考期中）直線的方向向量為，且l過點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校校考期末）已知，，，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯考階段練習）已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為___________.
【變式1】（2023秋·天津·高二校聯考期末）已知空間內三點，，，則點到直線的距離是（ ）．
A． B．1 C． D．
【變式2】（2023春·福建福州·高二校聯考期中）已知空間中三點，則點到直線的距離為__________．
題型02點到平面的距離等體積法
【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學校考階段練習）如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C．2 D．
【典例2】（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點．

(1)若平面，證明：是的中點．
(2)線段上存在點，使得，求到平面的距離．
【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學校聯考階段練習）已知空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，是腰長為2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面與平面的交線，并說明理由；
(2)求點到平面的距離．
【典例4】（2023春·陜西商洛·高二鎮安中學校考期中）如圖,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長度分別為1,1,2,,．
(1)若中點為,證明:平面;
(2)求點到平面的距離．
【變式1】（2023春·重慶·高一重慶一中校考期中）如圖所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：
(2)若，求點到平面的距離.
【變式2】（2023·上海·高三專題練習）如圖，在正三棱柱中，已知，是的中點.
(1)求直線與所成的角正切值
(2)求證：平面平面，并求點到平面的距離.
【變式3】（2023·河南·許昌實驗中學校聯考二模）在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，．
(1)證明：平面平面．
(2)若，，求點到平面的距離．
【變式4】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在長方體中，，，且E為中點．求到平面的距離．
題型03點到平面的距離的向量法
【典例1】（2023春·浙江溫州·高二校聯考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中為線段的中點.

(1)求證：平面平面；
(2)求到平面的距離.
【典例2】（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；
(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.
【典例3】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）在正方體中，為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動點.

(1)點在棱上，當時，平面，試確定動點在直線上的位置，并說明理由；
(2)若為底面的中心，求點到平面的最大距離.
【變式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中學校考期中）在棱長為4的正方體中，點P在棱上，且．
(1)求直線與平面所成的角的正弦值大小；
(2)求點到平面的距離．
【變式2】（2023春·重慶·高三重慶一中校考階段練習）如圖所示的幾何體是一個半圓柱，點是半圓弧上一動點（點與點，不重合），為弧的中點，.

(1)證明：；
(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時點到平面的距離.
【變式3】（2023·江蘇蘇州·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，
(1)求證:⊥平面;
(2)求與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在點,使得點到平面的距離為？若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由．
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在直三棱柱中，.
(1)若，求證：平面；
(2)若，是棱上的一動點.試確定點的位置，使點到平面的距離等于.
第10講 拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）
一、知識點歸納
知識點01：用向量法求空間距離
1、點到直線的距離
已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為，是平面內的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
二、題型精講
題型01利用向量法求點到直線的距離
【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學校考期中）直線的方向向量為，且l過點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵，，
∴，又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距離.
故選：C
【典例2】（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實驗學校校考期末）已知，，，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，，，可得，
則向量在方向上的投影為，
所以點A到直線的距離．
故選：B.
【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯考階段練習）已知點，若點和點在直線上，則點到直線的距離為___________.
【答案】/
【詳解】由題意知，點，，，
可得，則，
所以，可得，
所以點到直線的距離為.
故答案為：.
【變式1】（2023秋·天津·高二校聯考期末）已知空間內三點，，，則點到直線的距離是（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】空間內三點，，，
所以，，，，
由，所以，
所以點A到直線的距離.
故選：A.
【變式2】（2023春·福建福州·高二校聯考期中）已知空間中三點，則點到直線的距離為__________．
【答案】
【詳解】，
,
，
，
設點A到直線的距離為，則
.
故答案為：.
題型02點到平面的距離等體積法
【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學校考階段練習）如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】由直三棱柱的體積為6，可得，
設到平面的距離為，由，
，，解得，
即到平面的距離為.
故選：B.
【典例2】（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一點．

(1)若平面，證明：是的中點．
(2)線段上存在點，使得，求到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，連接BD交AC于點O，連接EO，
因為ABCD是正方形，所以O是BD的中點，
又平面ACE，平面PBD，平面平面ACE＝EO，所以，
因為O為BD的中點，所以E是PB的中點．

（2）平面,平面,所以,又平面,所以平面,平面,故,
因為，即BE＝2PE，且PC＝BC＝1，則，，
E到平面ABCD的距離為，到平面PCD的距離為．設E到平面PAD的距離為h．
，，
，，
，所以．
【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學校聯考階段練習）已知空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，是腰長為2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面與平面的交線，并說明理由；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)作圖見解析，理由見解析
(2)
【詳解】（1）如圖所示，分別延長，交于點，連接，

則即為平面與平面的交線.
理由如下：
因為．
故，，，四點共面，又，則，交于點．
由，平面，得平面；
由，平面，得平面．
所以是平面與平面的公共點，又也是平面與平面的公共點，
所以即為平面與平面的交線.
（2）連接交于點，

因為，，所以，
則點到平面的距離是點到平面的距離的2倍．
因為，，所以，
又，，，平面，
所以平面
同理可證平面．
所以三棱錐的體積
因為是腰長為2的等腰三角形，所以．
所以，
同理
又已知，故的面積．
設點到平面的距離為，
則，
即，解得．
故點到平面的距離為．
【典例4】（2023春·陜西商洛·高二鎮安中學校考期中）如圖,在四棱錐中,已知棱兩兩垂直且長度分別為1,1,2,,．
(1)若中點為,證明:平面;
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明:取中點為,連接,如圖所示:
分別為中點,
,且,
,,
,
故四邊形為平行四邊形,
故,
不含于平面,平面,
故平面;
（2）連接,兩兩垂直且長度分別為1,1,2,
且,,
,
將底面拿出考慮如下:
,,,
,
,
,
記到平面的距離為,
則
,
解得:,
故到平面的距離為.
【變式1】（2023春·重慶·高一重慶一中校考期中）如圖所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：
(2)若，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）四邊形為等腰梯形，，
過點C作于E，如圖所示，

則，可知，
由余弦定理知，
則，所以，
又，平面，，
所以平面.
（2）連接BD，如圖所示,

由（1）可知平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，，平面，
又，，
所以，
在中，由，得，
設點到平面的距離為d，則，
，解得，即點到平面的距離為.
【變式2】（2023·上海·高三專題練習）如圖，在正三棱柱中，已知，是的中點.
(1)求直線與所成的角正切值
(2)求證：平面平面，并求點到平面的距離.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正三棱柱結構特征可知：，平面，為等邊三角形；
直線與所成角即為，
平面，，
在中，，
即直線與所成角的正切值為
（2）作，垂足為，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，點到平面的距離即為的長，
由（1）知：，，
，即，
點到平面的距離為.
【變式3】（2023·河南·許昌實驗中學校聯考二模）在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，．
(1)證明：平面平面．
(2)若，，求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，
過點C作于E，則，，，
所以，
則，所以．
又，，BC，平面PBC，
所以平面PBC，又平面ABCD，
所以平面平面PBC；
（2）連接BD，由（1）知平面平面PBC，因為，平面平面，平面，
所以平面BCD．
又，所以，
所以三棱錐的體積．
在中，因為，所以．
設點D到平面PBC的距離為d，所以三棱錐的體積．
由，得，
解得．
【變式4】（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，在長方體中，，，且E為中點．求到平面的距離．
【答案】．
【詳解】由題意，可得長方體中，，，
所以．
設到平面的距離為，則．
在直角中，由勾股定理得，
所以，
所以，解得，
即到平面的距離為．
題型03點到平面的距離的向量法
【典例1】（2023春·浙江溫州·高二校聯考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體中為線段的中點.

(1)求證：平面平面；
(2)求到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為是正方體，所以平面，所以.
又，，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）在正方體中，以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，，設平面的一個法向量為，.
由令，則，，即.
設到平面的距離為，則，即點到平面的距離為.

【典例2】（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點（不與重合），平面交棱于點.

(1)求證：；
(2)若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為為矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，AD在面AEFD內，
所以.
（2）取的中點，連，取的中點，連，則，
因為側面為正三角形，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以兩兩垂直，
以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系：
因為,且側面為正三角形，所以，又，
所以，，，，，
設，顯然，
所以，，，
，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，，
則，
取平面的一個法向量為，
則，得，解得.
所以，所以，，
所以點到平面的距離為.

【典例3】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）在正方體中，為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，為直線上的動點.

(1)點在棱上，當時，平面，試確定動點在直線上的位置，并說明理由；
(2)若為底面的中心，求點到平面的最大距離.
【答案】(1)為的中點，理由見解析；
(2).
【詳解】（1）設平面與平面的交線為，
因為平面平面，
平面平面，所以.
由正方體知，平面平面，
又因為平面平面，平面平面，
所以，所以，
取的中點，連接，易知，所以，
又因為為的中點，所以為的中點.

（2）法一：以點為原點，分別為軸，軸，軸的正方向，
建立空間直角坐標系，
則有，其中，

設平面的法向量為，
則有即，
不妨取，，則，
所以點到平面的距離
當時，；
當時，
當，即時，d取到最大值為.
綜上，點到平面的最大距離為
【變式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中學校考期中）在棱長為4的正方體中，點P在棱上，且．
(1)求直線與平面所成的角的正弦值大小；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）連接，由正方體的結構特點易知面，為垂足，所以即為所求的線面角，
∵，∴，
由勾股定理知，，
∴．
（2）
以D為坐標原點，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
由已知，，，，，
所以，，，
設面的法向量為，
故有，
令，則，故，
故點P到平面的距離．
【變式2】（2023春·重慶·高三重慶一中校考階段練習）如圖所示的幾何體是一個半圓柱，點是半圓弧上一動點（點與點，不重合），為弧的中點，.

(1)證明：；
(2)若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接BP，在半圓柱中，因為平面，平面，
所以，又因為BC是直徑，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）依題意可知，以線段BC的中點O為坐標原點，
以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，連接OP，
設，則，
所以，
設平面的一個法向量為，
所以，則，令，則，
所以，
設為平面的一個法向量，
則，，
所以，令，則，
所以，
因為平面PCA與平面所成的銳二面角的平面角為，
所以，
令，則，平方化簡得，
即，又由，可解得或（舍去），
所以，所以平面PCA的一個法向量，且，
所以點D到平面PCA的距離.
【變式3】（2023·江蘇蘇州·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若為中點，射線與底面圓周交于點，當二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為為圓錐的頂點，為底面的圓心，所以面.
又因為面，所以，即.
因為為外接圓圓心，且為正三角形，所以.
又因為且，面，所以面，
因為面，所以面面.
（2）作交于，取中點為.
因為，，所以.
因為面，，面，所以，.
如圖，以點為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系.
因為，，所以，，
所以，，，，.
由，得，，，
，.
設面的法向量為，則，
取，則，，所以.
設面的法向量為，則,
取，則，，所以.
由，且，
解得，所以，.
又因為，所以，
所以到面的距離.

題型04點到平面的距離的探索性問題
【典例1】（2023春·福建·高二校聯考階段練習）如圖，三棱錐的底面是以為底邊的等腰直角三角形，且，各側棱長均為3.
(1)求證：平面平面；
(2)若點為棱的中點，線段上是否存在一點，使得到平面的距離與到直線的距離之比為？若存在，求出此時的長；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，此時的長為1
【詳解】（1）取中點，連接，如圖所示：
因為，，
所以，且，
因為是等腰直角三角形，
所以，且，
又，滿足，
所以，
因為，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，且，
故可以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，
因為點為棱的中點，
所以到平面的距離為；
則，
則，
所以，
則， ，
所以，
所以，
所以，
設平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
則，
由，
得，或（舍去），
此時.
故存在一點，使得到平面的距離與到直線的距離之比為，
此時的長為1
【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考階段練習）如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,,且,為的中點．
(1)求證:⊥平面;
(2)求與平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在點,使得點到平面的距離為？若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2);
(3)存在,且點為線段的中點．
【詳解】（1）因為四邊形為正方形,則,,
因為 , ,,且兩直線在平面內，
∴⊥平面,
∵平面,
∴,因為,,,且兩直線在平面內
∴⊥平面,
∵平面,
∴,
∵,且兩直線在平面內
∴⊥平面.
（2）因為⊥平面,,不妨以點為坐標原點, 、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,
則、、、,
又因為，，所以平面，所以，
因為，，所以四邊形為正方形，所以，
因為，所以平面.
（2）由（1）知，兩兩垂直，
以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系：
因為，則，，，，
設，
則，，，
設平面的一個法向量為，
則，則，
取，則，，
所以點到平面的距離等于，
又已知點到平面的距離等于，所以，
解得，（舍），
所以點為棱的中點時，使點到平面的距離等于.
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