資源簡介

第07講 拓展一：異面直線所成角（傳統法與向量法）
一、知識點歸納
1、（傳統法）核心技巧：平移使相交
具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角
2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角
已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點，，所成的角為，則
①
②.
二、題型精講
題型01求異面直線所成角（定值）(傳統法）
【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學?？茧A段練習）在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學校考階段練習）在正方體中，為棱的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A．0 B． C． D．
【典例3】（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中?？茧A段練習）正方體中，是的中點，則與所成角的余弦值為______．

【變式1】（2023春·吉林四平·高一?？茧A段練習）在三棱柱中，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·河南鄭州·高一河南省新鄭市第一中學?？茧A段練習）如圖，是半圓柱底面的直徑，是半圓柱的高，是上一點，且，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為________．

題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）
【典例1】（2023春·湖北武漢·高二校聯考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，，且平面，四邊形是正方形，則______；異面直線與所成角的余弦值為______．
【變式1】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期中）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的側棱與底面邊長都相等，，分別是和的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于________．
題型03易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍
【典例1】（2023春·江蘇·高二校聯考階段練習）如圖所示，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，=λ，若異面直線和所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習）正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，將的菱形沿對角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二統考期末）在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
題型04求異面直線所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023·遼寧大連·?？寄M預測）有很多立體圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，是的中點，點是上一點，2，，動點在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線與所成角的正切值的最小值為_________.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知正四面體內接于半徑為的球中，在平面內有一動點，且滿足，則的最小值是______；直線與直線所成角的取值范圍為______.
【變式1】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學考試）如圖，四邊形中，．現將沿折起，當二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）如圖所示，正方體中，點為底面的中心，點在側面 的邊界及其內部移動，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）三棱錐中，兩兩垂直，，點為平面內的動點，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為_____________．
題型05已知線線角求參數
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最
大值為___________.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.
（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.
【變式2】（2022春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點．
(1)求證：平面；
(2)在上是否存在一點，使得與所成角為60°？若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由．
第07講 拓展一：異面直線所成角（傳統法與向量法）
一、知識點歸納
1、（傳統法）核心技巧：平移使相交
具體操作，通過平移一條（或2條），使異面直線轉化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角
2、（向量法）用向量運算求兩條直線所成角
已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點，，所成的角為，則
①
②.
二、題型精講
題型01求異面直線所成角（定值）(傳統法）
【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學?？茧A段練習）在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】取DM中點K，連接、，

因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以異面直線與所成角為或其補角.
因為底面是菱形，，，
所以在中，利用余弦定理得，
又，，
在中，利用余弦定理得，
所以異面直與所成角的余弦值為.
故選：B.
【典例2】（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學校考階段練習）在正方體中，為棱的中點，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【詳解】取中點，連接，延長至點，使得，連接，
則，所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為,，所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，
所以是異面直線與夾角或其補角，

設正方體棱長為1，則，
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得，，
所以異面直線與夾角的余弦值為.
故選：D
【典例3】（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中?？茧A段練習）正方體中，是的中點，則與所成角的余弦值為______．

【答案】/
【詳解】在正方體右側作出一個全等的正方體，連接，如圖，

易知，所以四邊形是平行四邊形，則，
所以是與所成角的平面角或補角，
不妨設正方體的棱長為，
則在正方體中，，
在中，，
在中，，
所以在中，，
所以與所成角的余弦值為.
故答案為：.
【變式1】（2023春·吉林四平·高一?？茧A段練習）在三棱柱中，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在三棱柱中，平面，，
將三棱柱補成長方體，設，則，

因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，
故與所成角為或其補角，
在中，，
，，
由余弦定理可得，
因此，直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
【變式2】（2023春·河南鄭州·高一河南省新鄭市第一中學校考階段練習）如圖，是半圓柱底面的直徑，是半圓柱的高，是上一點，且，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為________．

【答案】/
【詳解】設，
如圖，取PC的中點E，連接DE，AE，可得，
所以異面直線AD與BC所成的角為（或其補角）．
又因為平面，平面，則，
且，，平面PAC，
所以平面PAC．
且平面PAC，則，所以．
因為，
所以在中，．
故答案為：.

題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）
【典例1】（2023春·湖北武漢·高二校聯考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，
則，，，，，
則，，
所以，，
所以，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解法一
如圖，設O，C，D分別為線段，，的中點，連接，，，則，，，，
∴是異面直線與所成的角或其補角.
∵，為的中點，∴，，
∵平面平面，平面平面，∴平面.
設為的中點，連接，，則平面，
， ， ，
∴，連接，易得，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
解法二
如圖，設為線段的中點，連接，，
∵，∴，，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵，∴，，故以為坐標原點，
，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
∴，M（0，0，3），， ，∴，，
∴，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
故選:D.
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，，且平面，四邊形是正方形，則______；異面直線與所成角的余弦值為______．
【答案】 /
【詳解】由四邊形為菱形，，可得為正三角形，
設為的中點，連接，所以．又，因此．
又平面，故以為原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
如圖
設，，則，，，，
由題意，則平面，平面，
設，，從而，
因為四邊形BEFG是正方形，所以，所以，
即，解得，所以，，設，
則，因為，所以，所以，即，所以，所以；
設異面直線AG與DE所成角為，又，
所以，
所以異面直線AG與DE所成角的余弦值為.
故答案為：；
【變式1】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學校考階段練習）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，
所以，，
設和所成的角為，則，
因為，所以.
故選：B
【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谥校┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形，點，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】方法一 如圖（1），在上取點，使，連接，，，，．
易知四邊形為矩形，則，且．
連接，．因為，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，且．
連接，則，且，
所以四邊形為平行四邊形，則，
所以或其補角是異面直線與所成的角．
在中，，，所以．
在中，，，所以．又，
所以．
故選：D．
方法二 如圖（2），在上取點，使，連接，，，．
易知四邊形為矩形，，．連接．
由已知條件，得為圓柱的一條母線．
以為坐標原點，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖（2）的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，則，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故選：D．
【變式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的側棱與底面邊長都相等，，分別是和的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于________．
【答案】/0.7
【詳解】因為直三棱柱的側棱與底面邊長都相等，
所以為等邊三角形，取的中點，所以，
因為為的中點，所以，
又因為平面，所以平面，
如圖，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，
因為直三棱柱的側棱與底面邊長都相等，設，
則，，，，，，
設異面直線和所成角為，
所以，
即異面直線和所成角的余弦值為.
故答案為：.
題型03易錯題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍
【典例1】（2023春·江蘇·高二校聯考階段練習）如圖所示，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，=λ，若異面直線和所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
因為正方體的棱長為2，則A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.
所以，
又
所以，整理得到，解得（舍去）,
所以，,
所以，故cos θ=，

故選：B.
【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習）正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】如圖，建立空間直接坐標系，設正方體的棱長為2，
因為E，F分別為，的中點，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，
C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以，，
所以<>=.
因為異面直線AE與FC所成角為銳角.
所以異面直線AE與FC所成角的余弦值為.故A，B，C錯誤.
故選：D.
【變式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，將的菱形沿對角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
如圖，取BD中點為坐標原點，建立空間直角坐標系，
令，，，，，
則，，
，
，所成角的余弦值為.
故選：.
【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二統考期末）在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為平面，為正三角形，
故以為原點，以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
設，則，
由，，可得，
所以，
所以，
所以異面直線和所成角的余弦值等于.
故選：A.
題型04求異面直線所成角（最值或范圍）
【典例1】（2023·遼寧大連·?？寄M預測）有很多立體圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為半正多面體的棱長為，故正方體的棱長為
所以，.
設，則.
所以.
令，則，
因為，所以.
故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.
故選：C
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在長方體中，是的中點，點是上一點，2，，動點在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線與所成角的正切值的最小值為_________.
【答案】
【詳解】解：以D為坐標原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
，則，，，
設平面的法向量為
則，令，則，
所以平面的一個法向量
因為
所以點P到平面BFE的距離
因為，
所以在等腰中，到的高為，
所以
因為，
所以
所以或(舍去)，
設直線與所成的角為，則，
所以
，
所以的最大值為，此時最小，此時最小，
因為，且，所以，
所以，即直線CP與所成角的正切值的最小值為，
故答案為：
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知正四面體內接于半徑為的球中，在平面內有一動點，且滿足，則的最小值是______；直線與直線所成角的取值范圍為______.
【答案】
【詳解】在正四面體中，設A在面內的投影為E，故E為三角形的中心，
設正四面體的棱長為x，球O的半徑為R，
則 ，
依題意正四面體內接于半徑為的球中，故球心O在上，
設球的半徑為R,則，
即，解得 ，（舍去），
則，，
又，
故P的軌跡為平面 內以E為圓心，為半徑的圓，
而，當三點共線時，且P在之間時，最小，最小值是；
以E為圓心，所在直線為x軸，在底面內過點E作的垂線為y軸，為z軸，建立如圖所示直角坐標系，
則,,,，
設，，
故，,
設直線與直線所成角為，
,
因為，故，故，
又，故，故，
故答案為：.
【變式1】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學考試）如圖，四邊形中，．現將沿折起，當二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設向量與所成角為，二面角的平面角大小為，
因為，所以，又，所以，
,，
則，
所以，
取中點E，連接，則，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因為，所以，
因為直線夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．
故選：D．
【變式2】（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）如圖所示，正方體中，點為底面的中心，點在側面 的邊界及其內部移動，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2
，，，
設，因為，
所以，則
在側面內取一點，使得，則
易知三角形為直角三角形，則
設，對稱軸為，則
即
故選：C
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）三棱錐中，兩兩垂直，，點為平面內的動點，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為_____________．
【答案】
【詳解】因為兩兩垂直，且，所以由勾股定理可知，
所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內的投影為，
所以，
因為，所以，所以，
因為，所以，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，
取中點，連接，可知經過點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：
設，，，
所以，
所以，
設直線與直線的所成角為.
所以
故答案為：.
題型05已知線線角求參數
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點，在上，在平面內運動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大
值為___________.
【答案】/
【詳解】連接交于點，平面，平面，則，
因為四邊形為菱形，則，
，、平面，平面，
以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、、，
易知平面的一個法向量為，
因為平面，所以，，
設點，其中，則，
由已知可得，
因為，解得，即點，
設點，則，
因為，則，可得，且，可得，
所以，點，
因為平面，、平面，，，
且，
所以，.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.
（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.
【答案】(1) (2)
【詳解】試題分析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點的坐標為．
（1） 因為平面，所以是平面的一個法向量，．
因為．
設平面的法向量為，則，
即，令，解得．
所以是平面的一個法向量，從而，
所以平面與平面所成二面角的余弦值為．
（2） 因為，設，
又，則，
又，
從而，
設，
則，
當且僅當，即時，的最大值為．
因為在上是減函數，此時直線與所成角取得最小值．
又因為，所以．
【典例3】（2022·天津·校聯考一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，在上，且.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)點是線段上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線與所成角為，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：因為平面，，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、、，
，，，，
又平面，平面，平面.
（2）解：設平面的法向量為，，，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，
所以，，
因此，平面與平面夾角的余弦值為.
（3）解：設，其中，
，，
由題意可得，
整理可得，，解得，
所以，點為線段的中點，則點，所以，.
因此，若異面直線與所成角為，則.
【變式1】（2022秋·遼寧大連·高二育明高中?？计谥校┮阎睦忮F的底面是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，是線段上的動點（不含端點），若線段上存在點（不含端點），使得異面直線和所成的角的大小為30°，則線段長的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】設是的中點，則，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面，
以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
，，
設；設，
則，
設與所成角為，則，
，
整理得，
函數的開口向下，對稱軸為，
所以函數在上遞增，
則，，，，，，
∴，，，
設平面PCB的法向量為，
則，即，令，則，，∴，
∴，故平面PCB．
（2）設，則，∴，
∵DM與PC所成角為60°，，
∴，解得，
故在AP上存在一點M，點M為AP中點，使得DM與PC所成角為60°．
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