資源簡(jiǎn)介

第04講 6.3.1二項(xiàng)式定理+6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解二項(xiàng)式定理的概念，會(huì)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式。 ②掌握二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。 ③掌握多項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)及特殊項(xiàng)或系數(shù)。 ④理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。 ⑤會(huì)用賦值法求展開(kāi)式系數(shù)的和。 1.要求能運(yùn)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式； 2.會(huì)求展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，特殊項(xiàng)及特殊項(xiàng)系數(shù)； 3.能用待定法求展開(kāi)式中的待定系數(shù).能解決與二項(xiàng)式定理相關(guān)的綜合問(wèn)題； 4.能理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)； 5.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和.
知識(shí)點(diǎn)01：知識(shí)鏈接
（1）
（2）
知識(shí)點(diǎn)02：二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念
（1）二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于每個(gè)（），的展開(kāi)式中共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式：（）.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.
（2）二項(xiàng)展開(kāi)式
公式中：，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式.
【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：
(1)； (2)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）
.
（2）
.
（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(),項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符號(hào)等.
【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)
C．第5項(xiàng) D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
【答案】B
【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).
故選：B.
【即學(xué)即練3】（2023上·天津?yàn)I海新·高三塘沽二中校考階段練習(xí)）若的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，則在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，
所以，則，
則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（其中且），
令，解得，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．
故答案為：．
（4）二項(xiàng)式定理的三種常見(jiàn)變形
①
②
③
知識(shí)點(diǎn)03：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)
二項(xiàng)展開(kāi)式中的()叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng):.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.
知識(shí)點(diǎn)04：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：
②增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；
③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.
④各二項(xiàng)式系數(shù)和： ；
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：
【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若，則該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（ ）
A．81 B．64 C．27 D．32
【答案】D
【詳解】，，
∴，解得，
∴該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.
故選：D
【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】15
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
所以，所以，
所以二項(xiàng)式為，
所以第項(xiàng)展開(kāi)式為，
若求常數(shù)項(xiàng)，則令，所以，
所以，即常數(shù)項(xiàng)為15.
故答案為：15.
題型01 求型的展開(kāi)式
【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項(xiàng)式的展開(kāi)式為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的二項(xiàng)展開(kāi)式．
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：
(1)；
(2)．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）寫(xiě)出的展開(kāi)式．
【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求的展開(kāi)式．
題型02 二項(xiàng)展開(kāi)式的逆用
【典例1】（2023下·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)校考期中）（ ）.
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中） .
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)．
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：設(shè)，則 ．
【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為 ．
【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）的值是 .
題型03二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題
【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A． B．60 C．210 D．
【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）的展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ）
A．126 B．125 C．96 D．83
【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為（ ）
A．160 B． C． D．
【典例4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為 ；常數(shù)項(xiàng)為 ．
【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 .(用數(shù)字作答)
【變式2】（2023·山西臨汾·校考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是 ．（用數(shù)字作答）
【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式中的含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
題型04 三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題
【典例1】（2023下·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．6 B．15 C．20 D．28
【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，若，則的值為 .
【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
題型05 幾個(gè)二項(xiàng)式的和或積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題
【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A． B．7 C．77 D．
【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為，則的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
【典例3】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 .
【典例4】（2023·天津·高三專題練習(xí)）若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ．（用數(shù)字作答）
【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知，若其展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81，則 ．
【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 .
【變式4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
題型06 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題
【典例1】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 .
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求；
（2）的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是多少？
【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ）
A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)
【變式2】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為 .
【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）若的展開(kāi)式中，的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項(xiàng)式系數(shù)的最大值．
題型07 系數(shù)最大（小）項(xiàng)問(wèn)題
【典例1】（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 ．
【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 .
【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；
（2）在的展開(kāi)式中，
①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；
【變式1】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【變式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中學(xué)校考期中）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為 ．
【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2:5.
(1)求n的值；
(2)系數(shù)最大的項(xiàng)．
【變式4】（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；
（2）在的展開(kāi)式中，
①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？
題型08 賦值法解決系數(shù)和問(wèn)題
【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．
已知（），且的二項(xiàng)展開(kāi)式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)；
②求的值．
【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二校考階段練習(xí)）已知，求：
(1)；
(2)．
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【變式1】（2023上·上海·高二上海市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【變式2】（2023上·高二單元測(cè)試）已知.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【變式3】（2023下·河北保定·高二校考階段練習(xí)）設(shè)設(shè)十．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
題型09 有關(guān)整除或求余問(wèn)題
【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，且，若能被7整除，則（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過(guò)7天后還是星期三，那么經(jīng)過(guò)天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【變式1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為 ．
【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理證明能被8整除．
題型10 利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算
【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（ ）
A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930
【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是 ．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A． B．20 C． D．15
4．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為40，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期末）若，則（ ）
A．1 B．513 C．512 D．511
6．（2023下·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．第5，6項(xiàng) B．第6，7項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)
7．（2024上·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末），則（ ）
A．31 B．1023 C．1024 D．32
8．（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·甘肅慶陽(yáng)·高二校考期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．已知，則可能取值為6
B．已知，則可能取值為7
C．在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是84
D．在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是
10．（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）若，其中為實(shí)數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為 ．
12．（2024上·甘肅武威·高三民勤縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）干支紀(jì)年是中國(guó)古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干與地支按以下方法依次配對(duì)：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再?gòu)牡谝粋€(gè)天干開(kāi)始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是 年.
四、解答題
13．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市回民中學(xué)校考期末）已知，若.
(1)求的值；
(2)求的值.（結(jié)果可以用冪指數(shù)表示）
14．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）己知的展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為64.
(1)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
B能力提升
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為29，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校考期末）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，則該展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為 ．
5．（2024上·上海·高二上海南匯中學(xué)校考期末）（1）求證：；
（2）利用等式可以化簡(jiǎn)：；類比上述方法，化簡(jiǎn)下式：.
（3）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，求證：對(duì)于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).
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第04講 6.3.1二項(xiàng)式定理+6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解二項(xiàng)式定理的概念，會(huì)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式。 ②掌握二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。 ③掌握多項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)及特殊項(xiàng)或系數(shù)。 ④理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。 ⑤會(huì)用賦值法求展開(kāi)式系數(shù)的和。 1.要求能運(yùn)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式； 2.會(huì)求展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，特殊項(xiàng)及特殊項(xiàng)系數(shù)； 3.能用待定法求展開(kāi)式中的待定系數(shù).能解決與二項(xiàng)式定理相關(guān)的綜合問(wèn)題； 4.能理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)； 5.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和.
知識(shí)點(diǎn)01：知識(shí)鏈接
（1）
（2）
知識(shí)點(diǎn)02：二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念
（1）二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于每個(gè)（），的展開(kāi)式中共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式：（）.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.
（2）二項(xiàng)展開(kāi)式
公式中：，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式.
【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：
(1)； (2)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）
.
（2）
.
（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)
二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(),項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符號(hào)等.
【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（ ）
A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)
C．第5項(xiàng) D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)
【答案】B
【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).
故選：B.
【即學(xué)即練3】（2023上·天津?yàn)I海新·高三塘沽二中校考階段練習(xí)）若的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，則在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，
所以，則，
則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（其中且），
令，解得，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．
故答案為：．
（4）二項(xiàng)式定理的三種常見(jiàn)變形
①
②
③
知識(shí)點(diǎn)03：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)
二項(xiàng)展開(kāi)式中的()叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng):.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.
知識(shí)點(diǎn)04：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：
②增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；
③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.
④各二項(xiàng)式系數(shù)和： ；
奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：
【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若，則該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（ ）
A．81 B．64 C．27 D．32
【答案】D
【詳解】，，
∴，解得，
∴該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.
故選：D
【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】15
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
所以，所以，
所以二項(xiàng)式為，
所以第項(xiàng)展開(kāi)式為，
若求常數(shù)項(xiàng)，則令，所以，
所以，即常數(shù)項(xiàng)為15.
故答案為：15.
題型01 求型的展開(kāi)式
【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項(xiàng)式的展開(kāi)式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】二項(xiàng)式，
.
故選：B
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的二項(xiàng)展開(kāi)式．
【答案】
【詳解】由二項(xiàng)式定理，得
，
所以的二項(xiàng)展開(kāi)式是．
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：由.
（2）解：由
.
【變式1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）寫(xiě)出的展開(kāi)式．
【答案】
【詳解】在二項(xiàng)式定理中令，可得
．
【變式2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求的展開(kāi)式．
【答案】
【詳解】
題型02 二項(xiàng)展開(kāi)式的逆用
【典例1】（2023下·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)校考期中）（ ）.
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
【答案】C
【詳解】原式=.
故選：C.
【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中） .
【答案】
【詳解】原式.
故答案為：.
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)．
【答案】．
【詳解】原式
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：設(shè)，則 ．
【答案】1
【詳解】因?yàn)?br/>故答案為：
【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為 ．
【答案】
【詳解】由，
可得
則，即，解得．
故答案為：.
【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中校考一模）的值是 .
【答案】
【詳解】由已知可得，
.
故答案為：.
題型03二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題
【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A． B．60 C．210 D．
【答案】B
【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
所以，
常數(shù)項(xiàng)為，
故選：B.
【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）的展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ）
A．126 B．125 C．96 D．83
【答案】B
【詳解】由題意原式中的系數(shù)；
故選：B.
【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為（ ）
A．160 B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕蔆項(xiàng)正確.
故選：C．
【典例4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為 ；常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】
【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
可得展開(kāi)式中第3項(xiàng)為，所以第3項(xiàng)的系數(shù)為，
令，可得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：；.
【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 .(用數(shù)字作答)
【答案】60
【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，
由，得，則，
所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為60.
故答案為：60
【變式2】（2023·山西臨汾·校考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)公式為
，
令，得，
所以其中含的項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：.
【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式中的含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】-40
【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，則.
故答案為：.
【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】
【詳解】由題意，多項(xiàng)式，
根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算，展開(kāi)式中的系數(shù)為，
又由.
故答案為：.
題型04 三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題
【典例1】（2023下·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．6 B．15 C．20 D．28
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)即分子展開(kāi)式中的系數(shù)，即.
故選：C
【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
【答案】
【詳解】由于，
所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故答案為：
【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】-160
【詳解】變形為，
故通項(xiàng)公式得，
其中的通項(xiàng)公式為，
故通項(xiàng)公式為，其中，，
令，解得，
故.
故答案為：-160
【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，若，則的值為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，
所以項(xiàng)的系數(shù)，
即，
由，可得，
即，
所以.
故答案為：.
【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】
【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，
∵的指數(shù)是2，得到，∴項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：
【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】的展開(kāi)式中，構(gòu)成項(xiàng)只能是一個(gè)、一個(gè)、3個(gè)相乘，
故此項(xiàng)為．
故答案為：.
題型05 幾個(gè)二項(xiàng)式的和或積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題
【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A． B．7 C．77 D．
【答案】B
【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
故的展開(kāi)式中的系數(shù)為，
故選：B.
【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為，則的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
【答案】
【詳解】令可得二項(xiàng)式的所有項(xiàng)系數(shù)和為，所以.
二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，1，…，8，
所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.
故答案為：
【典例3】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】960
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，故令，
可得的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：.
故答案為：960.
【典例4】（2023·天津·高三專題練習(xí)）若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】令，得，解得，進(jìn)而可得的展開(kāi)式為，令，
得，令，得，
故的系數(shù)為．
故答案為：
【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)（，1，2，…，8）．
當(dāng)時(shí)，其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為；
當(dāng)時(shí)，其展開(kāi)式中的系數(shù)為，
則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：
【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知，若其展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81，則 ．
【答案】
【詳解】由展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，
令，可得，解得.
故答案為：.
【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 .
【答案】32
【詳解】記
令，則，即，
則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為.
故答案為：32
【變式4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
【答案】720
【詳解】由偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，
則有，
所以展開(kāi)式中的項(xiàng)為：，
則展開(kāi)式中的系數(shù)為：720.
故答案為：720.
題型06 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題
【典例1】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.
故選：C
【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則 .
【答案】
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式一共有7項(xiàng)，
所以為偶數(shù)且，可得.
故答案為：.
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求；
（2）的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是多少？
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），
所以第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，
依題意可得，所以；
（2）二項(xiàng)式展開(kāi)式的一共項(xiàng)，則第項(xiàng)和第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等同時(shí)取得最大值，
又展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且）
所以第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為，
即的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是.
【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ）
A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)
【答案】C
【詳解】由二項(xiàng)式定理可得第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)分別為和，
即，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得；
因此展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，是第6項(xiàng).
故選：C
【變式2】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第十五中學(xué)校考階段練習(xí)）的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為 .
【答案】/
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，所以，
所以.
故答案為：
【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）若的展開(kāi)式中，的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項(xiàng)式系數(shù)的最大值．
【答案】，最大值為70.
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，
所以的系數(shù)為，的系數(shù)為，
因?yàn)榈南禂?shù)等于x的系數(shù)的7倍，
所以，解得.
所以二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.
題型07 系數(shù)最大（小）項(xiàng)問(wèn)題
【典例1】（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
由題可知，解得．
故選：A
【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 ．
【答案】
【詳解】設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為，
則，解得，
因?yàn)榍覟檎麛?shù)，
所以，此時(shí)最大的項(xiàng)為.
故答案為：
【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 .
【答案】
【詳解】設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)最大，
則，解得，
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第或第項(xiàng)，
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為：
，
.
故答案為：
【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；
（2）在的展開(kāi)式中，
①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；
【答案】（1）；（2）①②第6項(xiàng)和第7項(xiàng)
【詳解】解：（1）∵，
令，可得，
令，可得，
∴．
（2）①．
二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)．所以．
②設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，
則，所以
解得
故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).
【變式1】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【答案】D
【詳解】該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，
由，可得．
因?yàn)椋哉归_(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為．
故選：D
【變式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中學(xué)校考期中）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為 ．
【答案】
【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，且為整數(shù).
要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，
其中，，，
，
顯然系數(shù)最大項(xiàng)為.
故答案為：
【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2:5.
(1)求n的值；
(2)系數(shù)最大的項(xiàng)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)榈诙?xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，
則，即，解得(舍)或，
所以n的值為6.
（2）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，解得，
又，，
展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，且．
【變式4】（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）（1）若，求的值；
（2）在的展開(kāi)式中，
①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？
【答案】（1）；（2）①；②第6項(xiàng)和第7項(xiàng)
【詳解】（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴．
（2）①．
二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)．所以．
②設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，
則所以解得
故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．
題型08 賦值法解決系數(shù)和問(wèn)題
【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．
已知（），且的二項(xiàng)展開(kāi)式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)；
②求的值．
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)①；②．
【詳解】（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，
則有，
化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．
若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，
則有，
化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)為．
②二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
所以、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．
在中，令．
再令，可得，
∴．
【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二校考階段練習(xí)）已知，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)625
【詳解】（1）由，
令得，
所以．
（2）在中，
令得①，
令得②,
所以．
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由，
令，得，則；
令，得，
則，
所以；
（2）令，得①，
令，得②，
①②得，，
所以；
（3）根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式知，，為負(fù)，，為正；
令，
所以．
【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)1024
(2)58024
(3)393660
【詳解】（1）令，則，所以.
，當(dāng)時(shí)，可得.
（2）令，得，
令，得，
所以.
（3）因?yàn)椋?br/>兩邊對(duì)求導(dǎo)得，
令，得.
【變式1】（2023上·上海·高二上海市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）令，則，①
（2）令，則，②
令，則，
，
；
（3），
即為含項(xiàng)的系數(shù)，為，
則.
【變式2】（2023上·高二單元測(cè)試）已知.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)800；
(2)；
(3)0.
【詳解】（1）在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，
所以.
（2）令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以.
（3）
.
因?yàn)椋裕?br/>故
【變式3】（2023下·河北保定·高二校考階段練習(xí)）設(shè)設(shè)十．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）令，則①
（2）令，則②，
①②可得：；
（3）因?yàn)榈暮蜑槎?xiàng)式的展開(kāi)式的各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)和，
所以令，則．
【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)2
(2)18
【詳解】（1）解：由，
令，可得；
令，可得，
所以，所以.
（2）解：因?yàn)椋?br/>兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，可得，
令，則.
題型09 有關(guān)整除或求余問(wèn)題
【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，且，若能被7整除，則（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【答案】C
【詳解】，
因?yàn)槟鼙?整除，
且能被7整除，
故能被7整除，
又，所以.
故選：C.
【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【詳解】
其中是8的整數(shù)倍，
故被8除的余數(shù)為3.
故選：B
【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過(guò)7天后還是星期三，那么經(jīng)過(guò)天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以除以7的余數(shù)為1，所以經(jīng)過(guò)天后是星期四，
故選：B．
【變式1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由，得的整數(shù)部分為4，
則，所以，
即，
故.
故選:B
【變式2】（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為 ．
【答案】6
【詳解】令得，
由于，
由于，
均能被7整除，所以余數(shù)為6，
故答案為：6
【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理證明能被8整除．
【答案】見(jiàn)解析
【詳解】證明：
能被8整除.
所以能被8整除.
題型10 利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算
【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（ ）
A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930
【答案】C
【詳解】，
故選：C.
【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【答案】A
【詳解】原式
+
．
故選：A．
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【詳解】.
故選：C
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【詳解】
故答案為：
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則，得，所以含的項(xiàng)是．
故選：C.
2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，可知，
所以二項(xiàng)式為，
其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，即，
所以常數(shù)項(xiàng)為，
故選：B.
3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A． B．20 C． D．15
【答案】A
【詳解】的第項(xiàng)為，
令，則，
所以的展開(kāi)式中，含項(xiàng)為，系數(shù)為.
故選：A
4．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為40，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【詳解】的展開(kāi)式的項(xiàng)為,
因?yàn)榈恼归_(kāi)式中的系數(shù)為40，
所以，解得.
故選:B．
5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期末）若，則（ ）
A．1 B．513 C．512 D．511
【答案】D
【詳解】令，得，令，得，
所以，
故選：D
6．（2023下·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．第5，6項(xiàng) B．第6，7項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)
【答案】D
【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，，
所以展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù)，
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有，第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故A，B，C錯(cuò)誤.
故選：D.
7．（2024上·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末），則（ ）
A．31 B．1023 C．1024 D．32
【答案】B
【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
所以，當(dāng)時(shí)，可得為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得為負(fù)數(shù)，
令，可得，
令，可得，
所以
.
故選：B.
8．（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
由題可知，解得．
故選：A
二、多選題
9．（2023上·甘肅慶陽(yáng)·高二校考期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．已知，則可能取值為6
B．已知，則可能取值為7
C．在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是84
D．在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是
【答案】BC
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，
因?yàn)椋剩颍茫?br/>故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，
根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，
令，解得，∴，故C正確、D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）若，其中為實(shí)數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】令可得，A正確.
，其展開(kāi)式的第三項(xiàng)是，所以，B不正確.
令可得，所以，D不正確.
令可得，與相減可得，C正確.
故選：AC
三、填空題
11．（2024上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】，
令得，
∴，依題意，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
∴的最小值為．
故答案為：
12．（2024上·甘肅武威·高三民勤縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）干支紀(jì)年是中國(guó)古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干與地支按以下方法依次配對(duì)：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再?gòu)牡谝粋€(gè)天干開(kāi)始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是 年.
【答案】丙午
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以年以后地支為“午”.
因?yàn)椋?br/>又因?yàn)槌?0余數(shù)為3，所以年以后天干為“丙”，
故年以后是丙午年.
故答案為：丙午
四、解答題
13．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市回民中學(xué)校考期末）已知，若.
(1)求的值；
(2)求的值.（結(jié)果可以用冪指數(shù)表示）
【答案】(1)11
(2)
【詳解】（1）由題意得，
故，
所以，解得；
（2）由（1）中通項(xiàng)公式可得大于0，小于0，
在中，令得，
，
令得，故，
故.
14．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）己知的展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為64.
(1)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
(2)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).
【答案】(1)60
(2).
【詳解】（1）由題意得：，解得
由通項(xiàng)公式，
令，可得：.則常數(shù)項(xiàng)為
（2）是偶數(shù)，展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則第四項(xiàng)最大，
∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.
B能力提升
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中前3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為29，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題知，，解得或（舍去）．
則的展開(kāi)式的通項(xiàng)，
當(dāng)中取3時(shí)，的展開(kāi)式中取含的項(xiàng)，令，解得，；
當(dāng)中取時(shí)，的展開(kāi)式中取含的項(xiàng)，令，解得，．
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.
故選：D．
2．（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校考期末）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，則該展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，
令，得，解得，
所以的展開(kāi)式中含項(xiàng)為，
所以該展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是.
故選：D.
3．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）若的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】由，有，
令，即，故，
即，即，則，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選：C.
4．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為 ．
【答案】（或者寫(xiě)成6561）
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，
所以，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，
即,
因?yàn)榈恼归_(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和等于的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)和，
所以，令可得.
故答案為：（或者寫(xiě)成6561）.
5．（2024上·上海·高二上海南匯中學(xué)校考期末）（1）求證：；
（2）利用等式可以化簡(jiǎn)：；類比上述方法，化簡(jiǎn)下式：.
（3）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，求證：對(duì)于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.
【詳解】證明：（1）因?yàn)椤ⅲ?br/>由組合數(shù)公式可得，故結(jié)論成立；
解：（2）因?yàn)椤ⅲ?br/>則，
則
；
（3）因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，
則
，
所以，
總是關(guān)于的一次函數(shù).
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