資源簡(jiǎn)介

第02講 6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解排列的意義。 ②掌握常見的排列處理方法。 ③會(huì)用排列的相關(guān)方法解決簡(jiǎn)單的排列問題。 ④理解與掌握排列數(shù)公式 ⑤熟練應(yīng)用排列數(shù)公式及性質(zhì)求解與排列數(shù)有關(guān)的量，并能證明恒等式，求方程的解及不等式的解。 ⑥能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.熟練應(yīng)用公式表達(dá)排列的相關(guān)關(guān)系，及求解常見的排列問題 1.通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要求在掌握排列的意義基礎(chǔ)上，能解決簡(jiǎn)單的排列問題； 2能準(zhǔn)確判斷排列問題； 3.能準(zhǔn)確用排列數(shù)公式表達(dá)排列的關(guān)系，并能應(yīng)用排列數(shù)的公式求解與排列有關(guān)的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題；
知識(shí)點(diǎn)01：排列
（1）定義：一般地,從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.
（2）相同排列：兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.
【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）從5位同學(xué)中選3位排成一列，共有多少種不同的排法？
【答案】60種
【詳解】從5位同學(xué)中選3位排成一列，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以不同排法的種數(shù)是（種）.
知識(shí)點(diǎn)02：排列數(shù)與排列數(shù)公式
（1）定義：從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.
（2）排列數(shù)公式
①（連乘形式）：，，
②（階乘形式），，
（3）全排列：把個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列,叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列,用符號(hào)表示.
（4）階乘：正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用符號(hào)表示.
【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）將6本不同的書排成一排，有多少種不同的排法？
【答案】720
【詳解】將6本不同的書排成一排，一共有種不同的排法.
【即學(xué)即練3】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）證明，并用它來化簡(jiǎn)．
【答案】證明見詳解；
【詳解】證明，即證.
【即學(xué)即練4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）解方程：.
【答案】
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，可得或，
又且，則且，
所以.
題型01 排列的定義
【典例1】1（2023下·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下面問題中，是排列問題的是（ ）
A．由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B．從40人中選5人組成籃球隊(duì)
C．從100人中選2人抽樣調(diào)查
D．從1，2，3，4，5中選2個(gè)數(shù)組成集合
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列問題：
①有10位同學(xué)，每?jī)扇嘶ネㄒ淮坞娫?，共通了多少次電話?br/>②有10位同學(xué)，每?jī)扇嘶懸环庑牛矊懥硕嗌俜庑牛?br/>③有10位同學(xué)，每?jī)扇嘶ノ找淮问?，共握了多少次手?br/>以上問題中，屬于排列問題的是 ．（寫出所有滿足要求的問題序號(hào)）
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題屬于排列問題的是( )
①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；
②從10個(gè)人中選2人去掃地；
③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；
④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．
A．①④ B．①② C．③④ D．①③④
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；
(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個(gè)小組去種菜；
(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；
(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；
(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．
【變式2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是排列問題嗎？
(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格（假設(shè)來回的票價(jià)相同）；
(2)某班40名學(xué)生在假期相互寫信；
(3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位，有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？
(4)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？
題型02 排列的列舉問題
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有 種機(jī)票．
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從a、b、c、d四個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有排列．
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)列出下列排列：
(1)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有排列；
(2)從7個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有排列．
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？并寫出這些三位數(shù)．
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？
(2)由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.
題型03 排列數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明
【典例1】（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）可表示為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【典例2】（多選）（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）求不等式的解集．
【變式1】（2023下·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）可表示為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)） .
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）解不等式：
題型04 全排列問題
【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為（ ）
A．3種 B．4種
C．6種 D．12種
【典例2】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谀?名鄉(xiāng)村振興志愿者分配到科技助農(nóng)，文藝文化，科普宣傳和鄉(xiāng)村環(huán)境治理4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)（每個(gè)項(xiàng)目都有志愿者參加），每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，志愿者小王不去文藝文化項(xiàng)目，則不同的分配方案共有（ ）
A．12種 B．24種 C．18種 D．48種
【典例3】（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）今年中秋和國(guó)慶共有連續(xù)天小長(zhǎng)假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需要有人值班．任選兩名員工各值天班，剩下的一名員工值天班，且每名員工值班的日期都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為 ．
【變式1】（2023下·云南曲靖·高二校考期中）若把英語單詞“word”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（ ）
A．24種 B．23種 C．12種 D．11種
【變式2】（2023下·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）5月12日在雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)報(bào)告廳開展了以“預(yù)防災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，守護(hù)美好家園”為主題的消防安全知識(shí)專題講座，還要到3個(gè)學(xué)校開講，一個(gè)學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為（ ）
A．3 B． C．9 D．6
【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)1，2，3的三個(gè)空盒中，要求放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有 種放法.
題型05 元素（位置）有限制條件的排列問題
【典例1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）4個(gè)人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（　 ?。?br/>A．8 B．10
C．12 D．24
【典例2】（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）某班派遣五位同學(xué)到甲，乙，丙三個(gè)街道進(jìn)行打掃活動(dòng)，每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，則不同的派遣方法有 種.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案有 種．
【典例4】（2023上·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）從等7人中選5人排成一排.（以下問題的結(jié)果均用數(shù)字作答）
(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？
(2)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？
【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【變式2】（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中包含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首位必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.
【變式3】（2023上·高二單元測(cè)試）老師和學(xué)生共10人一起照相，其中1名老師、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必須分性別站在一起，并且老師不站在兩端，那么不同站隊(duì)方式有 種．
【變式4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）從7名運(yùn)動(dòng)員中選4名組成接力隊(duì)參加4×100米接力賽．問：甲、乙兩人都不跑中間兩棒的排法有多少種？
題型06 相鄰問題的排列問題
【典例1】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？计谀?023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲 乙 丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【典例2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）8名同學(xué)站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（ ）
A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種
【典例3】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有，，，，五人排成一列，其中與相鄰，不排在兩邊，則共有 種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.
【變式1】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）一排有6個(gè)插座，只有三個(gè)通電，那么恰有兩個(gè)不通電的相鄰的情況有（ ）
A．10種 B．12種 C．72種 D．144種
【變式2】（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（ ）
A．120種 B．240種 C．360種 D．480種
【變式3】（2023下·重慶南岸·高二?？计谥校┟磕?月初，高三的同學(xué)們都要拍畢業(yè)照，留下高中生活的美好見證.某班同學(xué)集體合影后有4位同學(xué)邀請(qǐng)兩位老師合影留念.若6人站成一排，兩位老師站在中間位置，甲乙兩位同學(xué)站在一起，則不同的站位方法有 種.（用數(shù)字作答）
題型07 不相鄰排列問題
【典例1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國(guó)，吸引了國(guó)內(nèi)眾多業(yè)余球隊(duì)參賽．現(xiàn)有六個(gè)參賽隊(duì)伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)必須相鄰，同時(shí)南昌拌粉隊(duì)與溫江烤肉隊(duì)不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）種．
A．144 B．72 C．36 D．24
【典例2】（2023上·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知來自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5名學(xué)生參加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（ ）
A．40 B．36 C．56 D．48
【典例3】（多選）（2023下·高二單元測(cè)試）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校?人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（ ）
A． B． C．84 D．
【變式2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)），，，，五名學(xué)生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．72 B．36 C．18 D．64
【變式3】（2023下·海南·高二?？计谥校┉傊兄袑W(xué)一條校道路邊有7盞路燈，為了節(jié)約用電，學(xué)校決定每天晩上點(diǎn)亮其中的3盞路燈，但要求點(diǎn)亮的3盞路燈都不相鄰，不同的點(diǎn)亮方式有（ ）種
A．5 B．10 C．15 D．20
【變式4】（2023·云南曲靖·?？既＃├蠋熍啪毠?jié)目需要4個(gè)男生和2個(gè)女生，將這六名學(xué)生隨機(jī)排成一排，2個(gè)女生不相鄰的排法為 .
題型08 相鄰（不相鄰）排列綜合問題
【典例1】（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校╇娪啊堕L(zhǎng)津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
【典例2】（2023下·山西晉中·高二校考期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，求：
(1)5位同學(xué)站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？
(2)5位同學(xué)站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？
【典例3】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）有六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：
(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？
(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？
(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）4名男生、3名女生站成一排，分別求滿足下列條件的站法種數(shù)．
(1)男生和女生均相鄰；
(2)男生均相鄰；
(3)女生均不相鄰；
(4)男生與男生、女生與女生均不相鄰；
(5)至少有兩個(gè)女生相鄰．
【變式2】（2023下·北京東城·高二景山學(xué)校?？计谥校┟猩兔ò住⒁遥┱境梢慌疟硌莨?jié)目．
(1)若這名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？
(2)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
【變式3】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）有4名男生，3名女生，共7個(gè)人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.
(1)男生 女生各站在一起；
(2)男生必須站在一起；
(3)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同的站法？
題型09 數(shù)字排列問題
【典例1】（2023下·上海普陀·高二?？计谀┯脭?shù)字、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被整除的數(shù)共有 個(gè)．（用數(shù)字作答）
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？其中能被5整除的五位數(shù)有多少個(gè)？
【典例3】（2023下·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
(1)這個(gè)五位數(shù)為奇數(shù)，則不同的五位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)值表示）
(2)要求3和4相鄰，則不同的五位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)值表示）
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個(gè)？
【變式2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)？
題型10 排列的綜合應(yīng)用
【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，，，，，共5名同學(xué)參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結(jié)果，教練對(duì)說：“你和都沒有得到冠軍．”對(duì)說：“你不是最后一名.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54種 B．72種 C．96種 D．120種
【典例2】（2023上·上海·高二?？茧A段練習(xí)）分別求下列情形的方法數(shù)：（用數(shù)字作答）
(1)從4名男生4名女生中選出2男2女組成一個(gè)隊(duì)伍；
(2)8個(gè)人排成一排，其中甲乙二人必須站在一起；
(3)8個(gè)人排成一排，甲乙丙三人互相不能相鄰．
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）3名男生 4名女生排成一行.在下列要求下，分別求不同排列方法的種數(shù)：
(1)甲不在最左邊，乙不在最右邊；
(2)男生必須排在一起；
(3)男生和女生相間排列；
(4)在甲 乙兩人中間必須有3人.
【變式1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．96種
【變式2】（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則：
(1)可以組成多少個(gè)偶數(shù)？
(2)可以組成多少個(gè)比13123大的數(shù)？
【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）配制某種染色劑，需要加入種有機(jī)染料、種無機(jī)染料和種添加劑，其中有機(jī)染料的添加順序不可以相鄰．為研究所有不同的添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀偣惨囼?yàn)多少次？
（2）某展覽館計(jì)劃展出幅不同的畫，其中水彩畫幅、油畫幅、國(guó)畫幅．現(xiàn)排成一排陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端．問：有多少種不同的陳列方式？
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）計(jì)算：（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
2．（2023下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習(xí)）等于（　　）
A．107 B．323
C．320 D．348
3．（2023下·廣東江門·高二?？计谥校┯脭?shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．120 B．86 C．72 D．60
4．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（ ）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙，丙、丁，戊5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績(jī)，裁判說：“很遺憾，你倆都沒有得到冠軍．但都不是最差的．”從回答分析，5人的名次排列的不同情況可能有（ ）
A．27種 B．72種 C．36種 D．54種
6．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級(jí)參加學(xué)校的接力賽，已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（ ）
A．84 B．108 C．132 D．144
7．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）甲 乙 丙 丁等7人站成一排，其中甲 乙相鄰，丁與甲 乙 丙都不相鄰的站法共有（ ）
A．576種 B．448種 C．288種 D．224種
8．（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┯脭?shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列則第85個(gè)數(shù)字為（ ）
A．2301 B．2304 C．2305 D．2310
二、多選題
9．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．－
10．（2023下·江西·高一江西師大附中?？茧A段練習(xí)）A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（ ）
A．若A、B兩人站在一起有48種方法
B．若A、B不相鄰共有12種方法
C．若A在B左邊有60種排法
D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法
三、填空題
11．（2023上·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校募?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲 乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有 種.
12．（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高二年級(jí)派出甲 乙 丙 丁 戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有 種(用數(shù)字作答)．
四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）解不等式：；
14．（2023上·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡(jiǎn)陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場(chǎng)景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
B能力提升
1．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？家荒＃?shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 ．
2．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù).設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 .
3．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？
(4)男、女相間的站法有多少種？
(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色．

(1)若每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？
(2)若每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？
5．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┯?名男生與4名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數(shù).
(1)全體排成一排，女生必須站在一起；
(2)全體排成一排，男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變
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第02講 6.2.1排列+6.2.2排列數(shù)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解排列的意義。 ②掌握常見的排列處理方法。 ③會(huì)用排列的相關(guān)方法解決簡(jiǎn)單的排列問題。 ④理解與掌握排列數(shù)公式 ⑤熟練應(yīng)用排列數(shù)公式及性質(zhì)求解與排列數(shù)有關(guān)的量，并能證明恒等式，求方程的解及不等式的解。 ⑥能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.熟練應(yīng)用公式表達(dá)排列的相關(guān)關(guān)系，及求解常見的排列問題 1.通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要求在掌握排列的意義基礎(chǔ)上，能解決簡(jiǎn)單的排列問題； 2能準(zhǔn)確判斷排列問題； 3.能準(zhǔn)確用排列數(shù)公式表達(dá)排列的關(guān)系，并能應(yīng)用排列數(shù)的公式求解與排列有關(guān)的實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題；
知識(shí)點(diǎn)01：排列
（1）定義：一般地,從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.
（2）相同排列：兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.
【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）從5位同學(xué)中選3位排成一列，共有多少種不同的排法？
【答案】60種
【詳解】從5位同學(xué)中選3位排成一列，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以不同排法的種數(shù)是（種）.
知識(shí)點(diǎn)02：排列數(shù)與排列數(shù)公式
（1）定義：從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.
（2）排列數(shù)公式
①（連乘形式）：，，
②（階乘形式），，
（3）全排列：把個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列,叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列,用符號(hào)表示.
（4）階乘：正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用符號(hào)表示.
【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）將6本不同的書排成一排，有多少種不同的排法？
【答案】720
【詳解】將6本不同的書排成一排，一共有種不同的排法.
【即學(xué)即練3】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）證明，并用它來化簡(jiǎn)．
【答案】證明見詳解；
【詳解】證明，即證.
【即學(xué)即練4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）解方程：.
【答案】
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，可得或，
又且，則且，
所以.
題型01 排列的定義
【典例1】1（2023下·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）下面問題中，是排列問題的是（ ）
A．由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B．從40人中選5人組成籃球隊(duì)
C．從100人中選2人抽樣調(diào)查
D．從1，2，3，4，5中選2個(gè)數(shù)組成集合
【答案】A
【詳解】根據(jù)排列及排列數(shù)的定義，可得：
對(duì)于A中，由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，符合排列的定義，是排列問題；
對(duì)于B中，從40人中選5人組成籃球隊(duì)，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題；
對(duì)于C中， 從100人中選2人抽樣調(diào)查，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題；
對(duì)于D中， 從1，2，3，4，5中選2個(gè)數(shù)組成集合，與順序無關(guān)的問題，不是排列問題.
故選：A.
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列問題：
①有10位同學(xué)，每?jī)扇嘶ネㄒ淮坞娫?，共通了多少次電話?br/>②有10位同學(xué)，每?jī)扇嘶懸环庑?，共寫了多少封信?br/>③有10位同學(xué)，每?jī)扇嘶ノ找淮问郑参樟硕嗌俅问郑?br/>以上問題中，屬于排列問題的是 ．（寫出所有滿足要求的問題序號(hào)）
【答案】②
【詳解】對(duì)于①，假設(shè)10位同學(xué)中含甲乙，甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題；
對(duì)于②，假設(shè)10位同學(xué)中含甲乙，甲給乙寫一封信，跟乙給甲寫一封信，是不一樣的，是有順序區(qū)別的，故屬于排列問題；
對(duì)于③，假設(shè)10位同學(xué)中含甲乙，甲與乙握一次手，也就是乙與甲握一次手，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題，
故答案為：②
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題屬于排列問題的是( )
①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；
②從10個(gè)人中選2人去掃地；
③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；
④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．
A．①④ B．①② C．③④ D．①③④
【答案】A
【詳解】①?gòu)?0個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地，與順序有關(guān)，故是排列；②從10個(gè)人中選2人去掃地，與順序無關(guān)，故不是排列；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)，與順序無關(guān)，故不是排列；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算，與順序有關(guān)，故是排列，故選：A.
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；
(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個(gè)小組去種菜；
(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；
(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；
(6)某班40名學(xué)生在假期相互打電話．
【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是
【詳解】(1)票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B打電話與B給A打電話是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．
【變式2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列問題是排列問題嗎？
(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格（假設(shè)來回的票價(jià)相同）；
(2)某班40名學(xué)生在假期相互寫信；
(3)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位，有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？
(4)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？
【答案】(1)不是排列問題.
(2)是排列問題.
(3)選3個(gè)座位不是排列問題；選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題.
(4)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題
【詳解】（1）來回的票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.
（2）A給B寫信與B給A寫信是不同的兩件事，所以存在著順序，屬于排列問題.
（3）任選3個(gè)座位，與順序無關(guān)，不是排列問題；選3個(gè)座位安排三位客人，與順序有關(guān)，故是排列問題.
（4）直線與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，故確定直線不是排列問題，射線與兩點(diǎn)的順序有關(guān)，故確定射線是排列問題.
題型02 排列的列舉問題
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市相互通航，應(yīng)該有 種機(jī)票．
【答案】12
【詳解】列出每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)情況，如圖所示．
故符合題意的機(jī)票種類有：
北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，
南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種,
故答案為：12
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從a、b、c、d四個(gè)元素中任取兩個(gè)不同元素的所有排列．
【答案】所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．
【詳解】先畫出下面的樹形圖：

于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc．
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)列出下列排列：
(1)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有排列；
(2)從7個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有排列．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）根據(jù)題意，從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的所有排列共有如下種：
.
（2）從7個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的所有排列共有如下種：
.
【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？并寫出這些三位數(shù)．
【答案】18個(gè)，答案見解析.
【詳解】畫出樹形圖，如圖：
由樹形圖知，符合條件的三位數(shù)共有18個(gè)，
它們是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）寫出下列問題的所有排列：
(1)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不同的兩位數(shù)？
(2)由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.
【答案】(1)12；
(2)24個(gè)，答案見解析.
【詳解】（1）所有兩位數(shù)是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12個(gè)不同的兩位數(shù).
（2）畫出樹狀圖，如圖：
由樹狀圖知，所有的四位數(shù)為：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，
3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).
題型03 排列數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明
【典例1】（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）可表示為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
，
故選：B.
【典例2】（多選）（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】，故A正確；
由上述可知，因此，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
由上述可知，故D錯(cuò)誤.
故選:AC.
【典例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）求不等式的解集．
【答案】
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，
又且，則且，
所以且，則解集為.
【變式1】（2023下·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】中
總共有個(gè)數(shù)連乘，
故.
故選：A
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)） .
【答案】120
【詳解】由.
故答案為：
【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）解不等式：
【答案】6
【詳解】由原不等式得且，
所以，即，解得且，
所以.
題型04 全排列問題
【典例1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）A，B，C三名同學(xué)照相留念，成“一”字形排隊(duì)，所有排列的方法種數(shù)為（ ）
A．3種 B．4種
C．6種 D．12種
【答案】C
【詳解】由題意所有排列的方法種數(shù)為，
故答案為：C
【典例2】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考期末）將4名鄉(xiāng)村振興志愿者分配到科技助農(nóng)，文藝文化，科普宣傳和鄉(xiāng)村環(huán)境治理4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)（每個(gè)項(xiàng)目都有志愿者參加），每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，志愿者小王不去文藝文化項(xiàng)目，則不同的分配方案共有（ ）
A．12種 B．24種 C．18種 D．48種
【答案】C
【詳解】由題意，4名志愿者任意分配共有種分法，
若志愿者小王去文藝文化項(xiàng)目，其它3名任意分配有種分法，
所以志愿者小王不去文藝文化項(xiàng)目的分配方法有種.
故選：C
【典例3】（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）今年中秋和國(guó)慶共有連續(xù)天小長(zhǎng)假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需要有人值班．任選兩名員工各值天班，剩下的一名員工值天班，且每名員工值班的日期都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】三人值班的天數(shù)分別為、、，先確定值班天的人，有種選擇，
再將三個(gè)人全排即可，所以，不同的排法種數(shù)為種.
故答案為：.
【變式1】（2023下·云南曲靖·高二?？计谥校┤舭延⒄Z單詞“word”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（ ）
A．24種 B．23種 C．12種 D．11種
【答案】B
【詳解】“word”一共有個(gè)不同的字母，
這個(gè)字母全排列有種方法，
其中正確的有種，所以錯(cuò)誤的有種.
故選：B
【變式2】（2023下·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）5月12日在雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)報(bào)告廳開展了以“預(yù)防災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，守護(hù)美好家園”為主題的消防安全知識(shí)專題講座，還要到3個(gè)學(xué)校開講，一個(gè)學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為（ ）
A．3 B． C．9 D．6
【答案】D
【詳解】要到3個(gè)學(xué)校開講，一個(gè)學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為，
故選：D.
【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)1，2，3的三個(gè)空盒中，要求放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有 種放法.
【答案】12
【詳解】共兩類分組方法：將8個(gè)完全相同的小球分為1，2，5三堆或1，3，4 三堆.
每類都將三堆不同個(gè)數(shù)的球放入編號(hào)1，2，3的三個(gè)空盒中，有種方法，
故共有種方法.
故答案為：12.
題型05 元素（位置）有限制條件的排列問題
【典例1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）4個(gè)人排成一排，則甲不站兩邊的站法有（　 ?。?br/>A．8 B．10
C．12 D．24
【答案】C
【詳解】甲不站兩邊的有種方法，
故選：C
【典例2】（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）某班派遣五位同學(xué)到甲，乙，丙三個(gè)街道進(jìn)行打掃活動(dòng)，每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，則不同的派遣方法有 種.
【答案】18
【詳解】由題意得，學(xué)生的分配人數(shù)分別為2，2，1，
由于兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，故先從3個(gè)街道中選擇1個(gè)安排，有種，
再將剩余3人分別兩組，和兩個(gè)街道進(jìn)行全排列，有
故不同的派遣方法有種.
故答案為：18
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案有 種．
【答案】36
【詳解】由于甲、乙、丙比較特殊，因此可以將他們先安排，以他們照看第一、四道工序分類討論．
①當(dāng)甲照看第一道工序、丙照看第四道工序時(shí)，剩下4個(gè)人選擇2個(gè)照看中間兩道工序，于是有（種）；
②當(dāng)乙照看第一道工序、甲照看第四道工序時(shí)，剩下4個(gè)人選擇2個(gè)照看中間兩道工序，于是有（種）；
③當(dāng)乙照看第一道工序、丙照看第四道工序時(shí)，剩下4個(gè)人選擇2個(gè)照看中間兩道工序，于是有（種）．
綜上所述，不同的安排方案一共有（種）．
故答案為：36.
【典例4】（2023上·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）從等7人中選5人排成一排.（以下問題的結(jié)果均用數(shù)字作答）
(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？
(2)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，若必須在內(nèi)，在其余6人中選出4人，再與全排列，
共有種排法.
（2）解：根據(jù)題意，先在其他4人中選出2人，有種選法，
將看成一個(gè)整體，與選出2人全排列，有種選法，
排好后，有2個(gè)空位可用，在其中選出1個(gè)，安排，有種情況，
所以，共有種不同的排法.
【變式1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，
其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，
所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為種.
故選：B.
【變式2】（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中包含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首位必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.
【答案】240
【詳解】因?yàn)槭孜槐仨毑シ殴鎻V告，所以共有種，
故答案為：.
【變式3】（2023上·高二單元測(cè)試）老師和學(xué)生共10人一起照相，其中1名老師、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必須分性別站在一起，并且老師不站在兩端，那么不同站隊(duì)方式有 種．
【答案】
【詳解】要求男生、女生必須分性別站在一起，可以考慮采用捆綁法，
把男生和女生分別看成一個(gè)大元素進(jìn)行處理．男生站在一起看成一個(gè)大元素，
女生站在一起看成一個(gè)大元素，老師不站在兩端，共有種排列．
但4名女生、5名男生本身還有排列順序要求．所以共有種站隊(duì)方式．
故答案為：
【變式4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）從7名運(yùn)動(dòng)員中選4名組成接力隊(duì)參加4×100米接力賽．問：甲、乙兩人都不跑中間兩棒的排法有多少種？
【答案】400
【詳解】第一步中間位置除了甲乙還有5人，5個(gè)選2個(gè)全排列跑中間兩棒，有種；
第二步確定首尾的人選，還剩下5個(gè)人，選2個(gè)全排列，有種．
兩步相乘，共有種．
題型06 相鄰問題的排列問題
【典例1】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考期末）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲 乙 丙3名運(yùn)動(dòng)員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【答案】B
【詳解】把甲乙捆綁成一個(gè)元素，則題設(shè)中的7個(gè)元素變?yōu)?個(gè)元素，
先排除去丙的5個(gè)元素，共有種排法，
再在中間的4個(gè)空隙中，插入丙，共有種插法，
所以甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有種.
故選：B.
【典例2】（2023·山西臨汾·校考模擬預(yù)測(cè)）8名同學(xué)站成兩排參加文藝演出，要求兩排人數(shù)相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相鄰，則不同的排列方式共有（ ）
A．1152種 B．1728種 C．2304種 D．2880種
【答案】C
【詳解】由題意可知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排，則不同的排列方式共有；
若E和F站在后排，則不同的排列方式共有；
所以不同的排列方式共有種.
故選：C.
【典例3】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有，，，，五人排成一列，其中與相鄰，不排在兩邊，則共有 種不同的排法（用具體數(shù)字作答）.
【答案】24
【詳解】法一：將捆綁，則除以外其他四人的排序有種，又不排在兩邊，
所以可選的位置有兩種，所以共種排法；
法二：將捆綁，若的位置任意，則五人的排序有種，
其中排在兩邊的情況有種，
所以不排在兩邊的情況有種；
故答案為：.
【變式1】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）一排有6個(gè)插座，只有三個(gè)通電，那么恰有兩個(gè)不通電的相鄰的情況有（ ）
A．10種 B．12種 C．72種 D．144種
【答案】B
【詳解】三個(gè)通電的放好，有四個(gè)空，兩個(gè)相鄰的不通電的捆綁在一起算一個(gè)元素，
另一個(gè)不通電算一個(gè)元素，插入兩個(gè)空，有順序，所以種.
故選：B
【變式2】（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1，1，2，3，5，8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個(gè)“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（ ）
A．120種 B．240種 C．360種 D．480種
【答案】A
【詳解】將兩個(gè)1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有種.
故選：A
【變式3】（2023下·重慶南岸·高二校考期中）每年5月初，高三的同學(xué)們都要拍畢業(yè)照，留下高中生活的美好見證.某班同學(xué)集體合影后有4位同學(xué)邀請(qǐng)兩位老師合影留念.若6人站成一排，兩位老師站在中間位置，甲乙兩位同學(xué)站在一起，則不同的站位方法有 種.（用數(shù)字作答）
【答案】16
【詳解】?jī)晌焕蠋熣驹谥虚g位置，有種方法，
甲乙兩位同學(xué)站在兩位老師的左側(cè)或右側(cè)，另兩位同學(xué)在另一側(cè)，有種方法，
則不同的站位方法有種.
故答案為：16.
題型07 不相鄰排列問題
【典例1】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國(guó)，吸引了國(guó)內(nèi)眾多業(yè)余球隊(duì)參賽．現(xiàn)有六個(gè)參賽隊(duì)伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)必須相鄰，同時(shí)南昌拌粉隊(duì)與溫江烤肉隊(duì)不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）種．
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】A
【詳解】先將不相鄰的兩隊(duì)排除，將貴陽折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)看成一個(gè)整體，與余下兩隊(duì)先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊(duì)插入他們的空隙中，有種方法，最后落實(shí)貴陽折耳根隊(duì)與柳州螺螄粉隊(duì)的具體排法有種方法，故不同的站法有種.
故選：A.
【典例2】（2023上·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知來自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5名學(xué)生參加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（ ）
A．40 B．36 C．56 D．48
【答案】D
【詳解】設(shè)這5個(gè)人分別為：ABCDE，則要求B與C和D與E的演講順序都不能相鄰.
第一類：A在BC中間，此時(shí)再把D與E插空到這3人中間，
此時(shí)的不同的演講順序有
第二類：A不在BC中間，此時(shí)先考慮B與C和D與E，分別將他們看成兩個(gè)人的整體，再將他們的順序應(yīng)相間排列，最后考慮A，此時(shí)的不同的演講順序有
綜上可得：總共有48種不同的演講順序，
故選：D.
【典例3】（多選）（2023下·高二單元測(cè)試）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．要求老師必須站在正中間，且甲同學(xué)不與老師相鄰，則不同的站法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【詳解】（方法1：間接法）：四名同學(xué)全排再去掉甲與老師相鄰的情況為．
（方法2：直接法）：特殊元素優(yōu)先安排，先讓老師站在正中間，甲同學(xué)從兩端中任選一個(gè)位置，有種站法，其余三名學(xué)生任意排列有種排法，則不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（種）．
或者，四名同學(xué)全排時(shí)，甲同學(xué)與老師相鄰與甲同學(xué)與老師不相鄰各占，故有．
故選:BCD．
【變式1】（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校?人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是（ ）
A． B． C．84 D．
【答案】AB
【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共種不同的排法，
再將甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個(gè)空中選2個(gè)插入共種不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，不同的排法種數(shù)是；
5人并排站成一行有種不同的排法，
若甲、乙兩個(gè)人相鄰，利用捆綁法，有種不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙兩個(gè)人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是.
故選：AB．
【變式2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)），，，，五名學(xué)生按任意次序站成一排，其中和不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（ ）
A．72 B．36 C．18 D．64
【答案】A
【詳解】解：先將其余三人全排列，共有種情況，
再將和插空，共有種情況，
所以共有種情況，
故選：A.
【變式3】（2023下·海南·高二?？计谥校┉傊兄袑W(xué)一條校道路邊有7盞路燈，為了節(jié)約用電，學(xué)校決定每天晩上點(diǎn)亮其中的3盞路燈，但要求點(diǎn)亮的3盞路燈都不相鄰，不同的點(diǎn)亮方式有（ ）種
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【詳解】因?yàn)椴稽c(diǎn)亮的4盞燈形成5個(gè)空，將點(diǎn)亮的3盞燈插到這5個(gè)空中即可，
所以不同的點(diǎn)亮方式有種.
故選：B.
【變式4】（2023·云南曲靖·?？既＃├蠋熍啪毠?jié)目需要4個(gè)男生和2個(gè)女生，將這六名學(xué)生隨機(jī)排成一排，2個(gè)女生不相鄰的排法為 .
【答案】
【詳解】若2個(gè)女生不相鄰，先排4個(gè)男生有種排法，4個(gè)男生產(chǎn)生5個(gè)空，
將2個(gè)女生插人5個(gè)空中有種排法，故有種排法，
故答案為：
題型08 相鄰（不相鄰）排列綜合問題
【典例1】（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考期中）電影《長(zhǎng)津湖》講述了在極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神為長(zhǎng)津湖戰(zhàn)役勝利做出重要貢獻(xiàn)的故事，現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
【答案】(1)720種
(2)1440種
(3)960種．
【詳解】（1）根據(jù)題意，先將3個(gè)女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個(gè)整體，與4個(gè)男生進(jìn)行排列，共有種排法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；
（2）根據(jù)題意，先將4個(gè)男生排好，有種排法，
再在這4個(gè)男生之間及兩頭的5個(gè)空位中插入3個(gè)女生有種方法，
故符合條件的排法共有種；
（3）根據(jù)題意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有種排法，
由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，
最后把排好的甲、乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空擋中有種排法，故符合條件的排法共有種．
【典例2】（2023下·山西晉中·高二校考期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)，求：
(1)5位同學(xué)站成一排，甲、戊不在兩端有多少種不同的排法？
(2)5位同學(xué)站成一排，要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰，有多少種不同的排法？
【答案】(1)36；
(2)24；
【詳解】（1）首先排兩端，從甲、戊以外的3人中選出2人站兩端，有種排法；
中間3個(gè)位置全排列，有種排法，
所以共有種排法．
（2）首先將甲乙兩人捆綁，與戊一起排，有種排法，
此時(shí)，共有3個(gè)空，丙丁兩人插空排列，共有種排法，
所以共有種排法．
【典例3】（2023下·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）有六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，如果：
(1)A，B兩人不排在一起，有幾種排法？
(2)C，D兩人必須排在一起，有幾種排法？
(3)E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，有幾種排法？
【答案】(1)種
(2)種
(3)種
【詳解】（1）先排除A，B外的四個(gè)人，再將A，B插入到其余4人所形成的5個(gè)空中，
因此，排法種數(shù)為；
（2）將C，D兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素和其他4人去安排，
因此，排法種數(shù)為；
（3）E不在排頭，F(xiàn)不在排尾，分以下兩種情況討論：
①若E在排尾，則剩下的5人全排列，故有種排法；
②若E不在排尾，則E有4個(gè)位置可選，B有4個(gè)位置可選，
將剩下的4人全排列，安排在其它4個(gè)位置即可，此時(shí)，共有種排法．
綜上所述，共有種不同的排法種數(shù)．
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）4名男生、3名女生站成一排，分別求滿足下列條件的站法種數(shù)．
(1)男生和女生均相鄰；
(2)男生均相鄰；
(3)女生均不相鄰；
(4)男生與男生、女生與女生均不相鄰；
(5)至少有兩個(gè)女生相鄰．
【答案】(1)288
(2)576
(3)1440
(4)144
(5)3600
【詳解】（1）因?yàn)槟猩团噜?，將男生和女生分別看成一個(gè)整體，再進(jìn)行全排，所以共有站法種數(shù)為種；
（2）因?yàn)槟猩噜?，將男生看成一個(gè)整體，再和其余女生進(jìn)行全排，所以共有站法種數(shù)為種；
（3）因?yàn)榕幌噜彛葘⒛猩我馀帕?，再將女生插空，所以共有站法種數(shù)為種；
（4）因?yàn)槟猩c男生、女生與女生均不相鄰，將男女生相間排列，所以共有站法種數(shù)為種；
（5）當(dāng)3個(gè)女生全相鄰，共有站法種數(shù)為種，
恰有2個(gè)女生相鄰，共有站法種數(shù)為種，
所以至少有兩個(gè)女生相鄰，共有站法種數(shù)為種.
【變式2】（2023下·北京東城·高二景山學(xué)校校考期中）名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演節(jié)目．
(1)若這名女生不能相鄰，有多少種不同的排法？
(2)甲乙必須相鄰，有多少種不同的排法？
(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
【答案】(1)2880
(2)10080
(3)30960
【詳解】（1）要使這名女生不相鄰，可以先排名男生，
再將名女生插入名男生產(chǎn)生的個(gè)空中，
所以這名女生不相鄰的排法有種．
（2）利用捆綁法，把甲和乙捆在一起，看作一個(gè)人，
則不同的排法有種；
（3）甲站在右端，其余人全排列，有種排法．
甲不站在右端有種排法，乙有種排法，其余人全排，有種排法．
故一共有種排法．
【變式3】（2023下·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）有4名男生，3名女生，共7個(gè)人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.
(1)男生 女生各站在一起；
(2)男生必須站在一起；
(3)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同的站法？
【答案】(1)288
(2)576
(3)144
(4)1320
【詳解】（1）男生必須站在一起，即把4名男生全排列，有種排法，
女生必須站在一起，即把3名女生全排列，有種排法，
全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有種排法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有（種）排法.
（2）把所有男生看作一個(gè)元素，與3名女生組成4個(gè)元素全排列，
故有（種）不同的排法.
（3）先排男生有種排法，
然后讓女生插空，有種排法，
所以共有（種）不同的排法.
（4）若最左端站某生甲，余下6名同學(xué)全排列共有種排法；
若最左端站某生乙，
則應(yīng)先排某生甲，有種排法，
剩余5名同學(xué)全排列共有種排法，
由分步計(jì)數(shù)原理知共有種排法.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種.
題型09 數(shù)字排列問題
【典例1】（2023下·上海普陀·高二?？计谀┯脭?shù)字、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被整除的數(shù)共有 個(gè)．（用數(shù)字作答）
【答案】
【詳解】由題意可知，個(gè)位數(shù)只能排或，其他數(shù)位沒有限制，
因此，能被整除的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：.
【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？其中能被5整除的五位數(shù)有多少個(gè)？
【答案】可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；能被5整除的五位數(shù)有個(gè).
【詳解】用可以組成個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
若五位數(shù)的個(gè)位為，這樣的五位數(shù)有個(gè).
若五位數(shù)的個(gè)位為，這樣的五位數(shù)有個(gè).
所以其中能被5整除的五位數(shù)有個(gè).
【典例3】（2023下·廣東肇慶·高二統(tǒng)考期末）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
(1)這個(gè)五位數(shù)為奇數(shù)，則不同的五位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)值表示）
(2)要求3和4相鄰，則不同的五位數(shù)有多少個(gè)？（結(jié)果用數(shù)值表示）
【答案】(1)72
(2)48
【詳解】（1）從1，3，5中選一個(gè)填入個(gè)位，有種，
剩余四個(gè)位置全排列，有種，
故共有個(gè)．
（2）3和4相鄰，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位這4個(gè)位置中選1個(gè)，然后3和4內(nèi)部全排列，有種，
其他位置進(jìn)行全排列，有種，
故共有個(gè)．
【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個(gè)？
【答案】360
【詳解】偶數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是2、4、6，有種排法，其他位上有種排法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有四位偶數(shù)(個(gè)).
【變式2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)？
【答案】36
【詳解】要組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，可以分成以下步驟來完成：
第一步，排個(gè)位數(shù)，因?yàn)橐笫桥紨?shù)，所以只能排2或4，排法有種；
第二步，排萬位數(shù)，小于50000的五位數(shù)，
萬位數(shù)只能是1，3或排個(gè)位數(shù)時(shí)余下的2，4中的一個(gè)，排法有種；
在首末兩位數(shù)排定后，第三步排中間3個(gè)數(shù)字時(shí)，排法有種．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求偶數(shù)共有（個(gè)）．
題型10 排列的綜合應(yīng)用
【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，，，，，共5名同學(xué)參加比賽，決出第1名到第5名的名次.和去向教練詢問比賽結(jié)果，教練對(duì)說：“你和都沒有得到冠軍．”對(duì)說：“你不是最后一名.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54種 B．72種 C．96種 D．120種
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意可知和都沒有得到冠軍，且不是最后一名，分兩種情況：
①是最后一名，則可以為第二、三、四名，即有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，
有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況，則5人的名次排列方式共有種.
故選A．
【典例2】（2023上·上?！じ叨？茧A段練習(xí)）分別求下列情形的方法數(shù)：（用數(shù)字作答）
(1)從4名男生4名女生中選出2男2女組成一個(gè)隊(duì)伍；
(2)8個(gè)人排成一排，其中甲乙二人必須站在一起；
(3)8個(gè)人排成一排，甲乙丙三人互相不能相鄰．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）先從先從名男生中選出名，有種方法，
再?gòu)拿羞x出名，有種方法，
所以共有種方法.
（2）先把甲乙捆綁看成一個(gè)整體有種方法，再和其他人一起排列有種方法，
所以8個(gè)人排成一排，其中甲乙二人必須站在一起的方法為.
（3）先把其他人排列共有種方法，再把甲乙丙三人插空有，
所以個(gè)人排成一排，甲乙丙三人互相不能相鄰的方法為.
【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）3名男生 4名女生排成一行.在下列要求下，分別求不同排列方法的種數(shù)：
(1)甲不在最左邊，乙不在最右邊；
(2)男生必須排在一起；
(3)男生和女生相間排列；
(4)在甲 乙兩人中間必須有3人.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）依題意，先排最左邊，除去甲外，有種，余下的6個(gè)位置全排有種，
但應(yīng)剔除其中乙在最右邊的排法數(shù)種，
則符合條件的排法共有種.
（2）將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，有種排法，
再與其他元素進(jìn)行全排列，有種排法，
故共有種.
（3）先排好男生，然后將女生插入男生所形成的四個(gè)空位，共有種.
（4）從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有種，
將甲、乙看作一個(gè)整體，和其余2人排成一排的排法有種，
最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可，
共有種.
【變式1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．12種 B．24種 C．48種 D．96種
【答案】B
【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，
再與丙和丁外的1人排列有種，
再排丙和丁有種，
故共有種排法.
故選：B.
【變式2】（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則：
(1)可以組成多少個(gè)偶數(shù)？
(2)可以組成多少個(gè)比13123大的數(shù)？
【答案】(1)60；
(2)82.
【詳解】（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，可以組成個(gè)偶數(shù)；
當(dāng)個(gè)位數(shù)字不為0時(shí)，可以組成個(gè)偶數(shù)；
所以可以組成個(gè)偶數(shù).
（2）所組成的比13123大的五位數(shù)，可以分為以下2類：
第一類：形如，共有個(gè)，
第二類：形如，共有個(gè)，
所以可以組成個(gè)比13123大的數(shù).
【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）配制某種染色劑，需要加入種有機(jī)染料、種無機(jī)染料和種添加劑，其中有機(jī)染料的添加順序不可以相鄰．為研究所有不同的添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀偣惨囼?yàn)多少次？
（2）某展覽館計(jì)劃展出幅不同的畫，其中水彩畫幅、油畫幅、國(guó)畫幅．現(xiàn)排成一排陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端．問：有多少種不同的陳列方式？
【答案】（1）；（2）.
【詳解】解：（1）先將種無機(jī)染料和種添加劑進(jìn)行排序，
然后將種有機(jī)染料插入種無機(jī)染料和種添加劑所形成的個(gè)空位中的個(gè)，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，試驗(yàn)次數(shù)為；
（2）將幅油畫捆綁，將幅國(guó)畫捆綁，形成兩個(gè)大元素，將水彩畫放在“中間”，
將油畫、國(guó)畫放在兩端，
故不同的陳列方式種數(shù)為種.
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）計(jì)算：（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】.
故選：D
2．（2023下·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二?？茧A段練習(xí)）等于（　　）
A．107 B．323
C．320 D．348
【答案】D
【分析】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算即可；
【詳解】.
故選：D.
3．（2023下·廣東江門·高二校考期中）用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．120 B．86 C．72 D．60
【答案】D
【分析】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算出正確答案.
【詳解】依題意，組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.
故選：D
4．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（ ）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
【答案】B
【分析】根據(jù)排列的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】比小的有，共個(gè)，從中選出個(gè)排在的左邊和上方，方法數(shù)有種，
比大的有，共個(gè)，從中選出個(gè)排在的右邊和下方，方法數(shù)有種，
所以不同的填法種數(shù)為種.
故選：B
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙，丙、丁，戊5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績(jī)，裁判說：“很遺憾，你倆都沒有得到冠軍．但都不是最差的．”從回答分析，5人的名次排列的不同情況可能有（ ）
A．27種 B．72種 C．36種 D．54種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列數(shù)的計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，甲、乙都沒有得到冠軍，也都不是最后一名，
先排甲乙，再排剩下三人，則5人的名次排列種數(shù)為種.
故選：C
6．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）現(xiàn)要從6名學(xué)生中選4名代表班級(jí)參加學(xué)校的接力賽，已知甲確定參加比賽且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，則合適的選擇方法種數(shù)為（ ）
A．84 B．108 C．132 D．144
【答案】B
【分析】特殊位置優(yōu)先排，分類求解可得.
【詳解】當(dāng)甲跑第1棒時(shí)，則有種選擇方法；
當(dāng)甲跑第4棒時(shí)，乙參加比賽則有種選擇方法，乙不參加比賽則有種選擇方法．
故合適的選擇方法種數(shù)為種．
故選：B
7．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）甲 乙 丙 丁等7人站成一排，其中甲 乙相鄰，丁與甲 乙 丙都不相鄰的站法共有（ ）
A．576種 B．448種 C．288種 D．224種
【答案】A
【分析】分兩種情況討論，第一種情況為丙和甲 乙中的1人相鄰，優(yōu)先排列甲 乙 丙位置，再將三人捆綁，將除丁外三人先排列，再將捆綁的整體和丁用插空法排列即可；第二種情況為若丙和甲 乙不相鄰，先優(yōu)先排列甲 乙位置后捆綁，再將除甲 乙 丙、丁外的三人先排列，最后用插空法將捆綁整體和丙、丁插空排列即可.
【詳解】若丙和甲 乙中的1人相鄰，則滿足條件的站法共有種，
若丙和甲 乙不相鄰，則滿足條件的站法共有種，故總的站法共有576種.
故選：A
8．（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級(jí)中學(xué)校考期中）用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列則第85個(gè)數(shù)字為（ ）
A．2301 B．2304 C．2305 D．2310
【答案】A
【分析】依次計(jì)算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個(gè)數(shù)，然后可得答案.
【詳解】首位為1的有個(gè)，前兩位為20的有個(gè)，前兩位為21的有個(gè)，
所以第85個(gè)數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.
故選：A
二、多選題
9．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的不同的所有四位數(shù)．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．－
【答案】CD
【分析】可用直接法先排第一位數(shù)字，再排后三位；也可用間接法先進(jìn)行全排列，再排除首位是的情況.
【詳解】(直接法)先排第一位，有種方法，再排后三位有種方法，所以共有種排法；
(間接法)先進(jìn)行全排列共有種排法，首位是的排法為,所以共有－排法，
故選：
10．（2023下·江西·高一江西師大附中校考階段練習(xí)）A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有（ ）
A．若A、B兩人站在一起有48種方法
B．若A、B不相鄰共有12種方法
C．若A在B左邊有60種排法
D．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法
【答案】AC
【分析】對(duì)于A：利用捆綁法，結(jié)合排列數(shù)運(yùn)算求解；對(duì)于B：利用間接法，在總體中排除A、B兩人站在一起的情況；對(duì)于C：根據(jù)對(duì)稱性分析求解；對(duì)于D：利用間接法，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若A、B兩人站在一起，則有種方法，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則有種方法，
所以A、B不相鄰共有種方法，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)稱可知A在B左邊有種排法，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：A站在最左邊，則有種方法，
B站最右邊，則有種方法，
A站在最左邊，B站最右邊，則有種方法，
所以A不站在最左邊，B不站最右邊，有種方法，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題
11．（2023上·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校募?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲 乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有 種.
【答案】54
【分析】根據(jù)排列數(shù)利用間接法，在總體中排除沒有甲、乙的參賽方案.
【詳解】若甲 乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，共有種不同參賽方案，
若沒有甲 乙入選的不同參賽方案共有種，
所以甲 乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.
故答案為：54.
12．（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高二年級(jí)派出甲 乙 丙 丁 戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有 種(用數(shù)字作答)．
【答案】24
【分析】應(yīng)用捆綁、插空法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).
【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，
排完后其中有3個(gè)空，最后將甲、乙插入其中的兩個(gè)空有種，
綜上，共有種排法.
故答案為：
四、解答題
13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）解不等式：；
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式得到不等式，解得即可.
【詳解】因?yàn)椋?，?br/>所以不等式可化為，
解得，又，，
所以不等式的解集為．
14．（2023上·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡(jiǎn)陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國(guó)人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場(chǎng)景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計(jì)算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆綁法即可得到結(jié)果；
（2）由插空法即可得到結(jié)果；
（3）結(jié)合捆綁法與插空法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）先將4名女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個(gè)整體，再與3名男生進(jìn)行排列，共有種排法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；
（2）先將3名男生排好，共有種排法，
在這3名男生中間以及兩邊的4個(gè)空位中插入4名女生，共有種排法，
再由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法；
（3）先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，
由于甲乙相鄰，則有種排法，
最后將排好的甲乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空隙中，
共有種排法，
由分步計(jì)數(shù)原理，共有種排法.
B能力提升
1．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考一模）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 ．
【答案】28
【分析】分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解即可．
【詳解】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．
最大數(shù)為5的情況：
①，此時(shí)共有種情況；
最大數(shù)為4的情況：
②，此時(shí)共有種情況；
③，此時(shí)共有種情況．
當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，，故沒有滿足題意的情況．
綜上，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．
故答案為：28．
2．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考階段練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù).設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是 .
【答案】29
【分析】分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解
【詳解】顯然a，b，c，d均為不超過6的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．
最大數(shù)為6的情況：
①，此時(shí)共有種情況；
最大數(shù)為5的情況：
②，此時(shí)共有種情況；
當(dāng)最大數(shù)為4時(shí)，
③，此時(shí)共有種情況；
當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，
③，此時(shí)共有種情況；
綜上，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．
故答案為：29.
3．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？
(4)男、女相間的站法有多少種？
(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【答案】(1)種
(2)種
(3)種
(4)種
(5)種
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆綁法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均勻的排列方法求解即可.
【詳解】（1）先排甲有種，其余有種，
共有種排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，
共有種排法.
（3）把男生和女生分別看成一個(gè)元素，
男生和女生內(nèi)部還有一個(gè)全排列，共種.
（4）先排名男生有種方法，
再將名女生插在男生形成的個(gè)空上有種方法，
故共有種排法.
（5）人共有種排法，
其中甲、乙、丙三人有種排法，
因而在種排法中每種對(duì)應(yīng)一種符合條件的排法，
故共有種排法．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色．

(1)若每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？
(2)若每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？
【答案】(1)576
(2)264
【詳解】（1）由題得每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，第一步，、、三點(diǎn)所涂顏色各不相同的方法有（種），第二步，、、三點(diǎn)所涂顏色各不相同的方法有（種），
所以由分步計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法共有（種）.
（2）若用四種顏色，即，，，各涂一種顏色，與同色，與同色，所以有（種）；
若用三種顏色，即第一類： 與同色、、各涂一種顏色，則只能涂剩余那種顏色，可以與或同色，所以有（種），
第二類：與同色、、各涂一種顏色，則只能涂剩余那種顏色，可以與或同色，所以有（種），
第三類：與同色、、各涂一種顏色，則可以涂剩余那種顏色或與同色，可以與同色或涂剩余那種顏色，所以有（種），
所以用三種顏色，有（種）；
若用兩種顏色，即與同色、與同色各涂一種顏色，可以涂剩余剩余兩種顏色，也可以涂剩余剩余兩種顏色，所以有（種）．
所以由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有（種）．
5．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┯?名男生與4名女生，在下列不同條件下，分別求排法種數(shù).
(1)全體排成一排，女生必須站在一起；
(2)全體排成一排，男生互不相鄰；
(3)全體排成一行，其中甲，乙，丙三人從左至右的順序不變
【答案】(1)576
(2)1440
(3)840
【詳解】（1）將女生看成一個(gè)整體，與名男生在一起進(jìn)行全排列，有種方法，
再將名女生進(jìn)行全排列，也有種方法，
故共有種排法.
（2）男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有種方法，
再在女生之間及首尾空出的個(gè)空位中任選個(gè)空位排男生，有 種方法，
故共有種排法.
（3）從個(gè)位置中選四個(gè)安排除甲，乙，丙以外的個(gè)人，有種方法，
剩下的三個(gè)位置從左至右依次安排甲，乙，丙，僅有一種安排，
故共有種排法
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