資源簡介

第03講 6.2.3組合+6.2.4組合數
課程標準 學習目標
①了解組合、組合數的意義。 ②掌握常見的組合處理方法。 ③會用組合的相關方法解決簡單的組合問題。 ④熟練運用組合數的相關公式及性質解決與組合有關的問題。 ⑤在實際問題中能區分排列與組合的關系，準確選擇恰當的方法解決排列組合的相關問題。 1.掌握組合、組合數的意義； 2.能解決簡單的組合問題； 3.并能解決簡單的排列組合綜合問題；
知識點01：組合
（1）定義：一般地：從個不同的元素中取出()個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.
（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.
（3）組合與排列的異同
相同點:組合與排列都是“從個不同的元素中取出()個元素”.
不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區分某一問題是組合問題還是排列問題,關鍵是看選出的元素是否與順序有關,即交換某兩個元素的位置對結果有沒有影響,若有影響,則是排列問題，若無影響，則是組合問題.
知識點02：組合數與組合數公式
（1）組合數的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的組合數,用符號表示.
（2）組合數公式
或：（，）.
規定：
【即學即練1】（2023上·高二課時練習）計算：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)455 (2)21 (3)19900
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
知識點03：組合數的性質
（1）性質1：
（2）性質2：
【即學即練2】（2022下·廣東梅州·高二校考階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由組合數性質知，，
所以，
所以，得.
故選：A.
【即學即練3】（多選）（2023上·遼寧·高二校聯考階段練習）滿足方程的值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【詳解】因為，所以或
解得：或或或，
當時，，故舍去；
當時，，故舍去；
當時，；
當時，；
故選: AB
題型01 組合的概念
【典例1】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期中）下列四個問題屬于組合問題的是（ ）
A．從名志愿者中選出人分別參加導游和翻譯的工作
B．從、、、這個數字中選取個不同的數字排成一個三位數
C．從全班同學中選出名同學參加學校運動會開幕式
D．從全班同學中選出名同學分別擔任班長、副班長
【典例2】（多選）（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習）下列問題是組合問題的是（ ）
A．把5本不同的書分給5個學生，每人一本
B．從7本不同的書中取出5本給某個同學
C．10個人相互發一微信，共發幾次微信
D．10個人互相通一次電話，共通了幾次電話
【典例3】（多選）（2023下·高二單元測試）下列是組合問題的是（ ）
A．平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
B．10支球隊以單循環進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少場次？
C．從10個人中選出3個為代表去開會，有多少種選法？
D．從10個人中選出3個為不同學科的課代表，有多少種選法？
【典例4】（2022·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題．
(1)若集合，則集合的含有3個元素的子集有多少個？
(2)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票？
(3)從7本不同的書中取出5本給某同學；
(4)三個人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？
(5)把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法？
【變式1】（2022下·黑龍江齊齊哈爾·高二龍江縣第一中學校考階段練習）下面問題中，是排列問題的是（ ）
A．由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B．從40人中選5人組成籃球隊
C．從100人中選2人抽樣調查
D．從1，2，3，4，5中選5個數組成集合
【變式2】（2023上·高二課時練習）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：
(1)從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；
(2)從1、2、3、4、5這5個數字中，每次任取2個不同的數作為一個點的坐標，求所有不同點的個數；
(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數相加所得的和有多少種；
(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．
【變式3】（2023下·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？
(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；
(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生．
題型02 組合數的計算、化簡與證明
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A．74 B．98 C．124 D．148
【典例2】（多選）（2024上·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）下列有關排列數、組合數的等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期中）（1）計算：；
（2）證明：.
【變式1】（多選）（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第十八中學校考階段練習）下列等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）計算：；
（2）求值：.
【變式3】（2023上·高二課時練習）m是自然數，n為正整數，且，求證：．
題型03 組合數方程與不等式
【典例1】（2023上·河南駐馬店·高二統考期末）關于的方程的解為（ ）
A． B． C．且 D．或
【典例2】（2023上·山東德州·高二校考階段練習）（1）解關于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）（1）解不等式．
（2）若，求正整數n．
【變式1】（2023上·高二課時練習）不等式的解為 ．
【變式2】（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習）若，求m.
【變式3】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯考期末）（1）已知，計算：；
（2）解方程：．
題型04 組合數的性質及其應用
【典例1】（2023下·甘肅白銀·高二統考開學考試）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【典例2】（2023下·山東濟寧·高二統考期中）若，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或6
【典例3】（多選）（2023下·江蘇南京·高二南京師大附中校考期中）若，則正整數的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023下·河北邢臺·高二邢臺一中校考階段練習）若（），則 .
【變式1】（2023下·江蘇徐州·高二徐州高級中學校考期中）若，則的值為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【變式2】（多選）（2023下·山西運城·高二統考期中）若，則的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式3】（2023上·福建龍巖·高二校考階段練習）若，則的值為 .
題型05 有限制條件的組合問題
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數，則這樣的五位數有（ ）
A．8個 B．12個 C．18個 D．24個
【典例2】（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負抵消，實現二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構成的，其結構式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有 個.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某校為促進拔尖人才培養開設了數學、物理、化學、生物、信息學五個學科競賽課程，現有甲、乙、丙、丁四位同學要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學科的競賽課程，則恰有兩位同學選擇數學競賽課程的報名方法數為 ．
【變式1】（2024上·海南海口·高三海南中學校考階段練習）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀3種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．180種 D．240種
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙 問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲 乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6中選取4個數字，組成各個數位上的數字既不全相同，也不兩兩互異的四位數，記四位數中各個數位上的數字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數的個數為 .
題型06 排列、組合的綜合應用
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）將六位數“”重新排列后得到不同的六位偶數的個數為 （ ）
A． B． C．216 D．
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）中國空間站（China Space Station）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．450種 B．72種 C．90種 D．360種
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）2022年11月，第五屆中國國際進口博覽會即將在上海舉行，組委員會準備安排5名工作人員去A，B，C，D這4所場館，其中A場館安排2人，其余場館各1人，則不同的安排方法種數為 ．
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）2023年杭州亞運會需招募志愿者，現從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別擔任語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲、乙2人不能擔任語言服務工作，則不同的選法共有 種.
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）安排包括甲、乙在內的4名大學生去3所不同的學校支教，每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有（ ）
A．36種 B．30種 C．24種 D．12種
【變式2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學校考階段練習）國際高峰論壇上，組委會要從6個國內媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這3個媒體團中既有國內媒體團又有國外媒體團，且國內媒體團不能連續提問，則不同的提問方式的種數為（ ）
A．306 B．198 C．268 D．378
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）從5男3女共8名學生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有 種不同的選法.（用數字作答）
【變式4】（2024·全國·高三專題練習）從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有 種.
題型07 與幾何圖形有關的組合問題
【典例1】（2023上·遼寧沈陽·高二校考階段練習）如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（ ）
A．18 B．24 C．30 D．32
【典例2】（2023下·云南楚雄·高二統考期中）如圖，小華從圖中處出發，先到達處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（ ）

A．25條 B．48條 C．150條 D．512條
【典例3】（多選）（2023下·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習）在某城市中，兩地之間有如圖所示的道路網，甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑，從地出發到地，則下列結論正確的是（ ）

A．不同的路徑共有31條
B．不同的路徑共有41條
C．若甲途經地，則不同的路徑共有18條
D．若甲途經地，且不經過地，則不同的路徑共有8條
【變式1】（2023上·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學校考階段練習）在某城市中，A，B兩地有如圖所示的方格型道路網，甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑，從A地出發去往B地，途經C地，則不同的路線有（ ）
A．90 種 B．105 種 C．260種 D．315 種
【變式2】（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期中）某數學興趣小組用紙板制作正方體教具，現給圖中的正方體展開圖的六個區域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有 種不同的涂色方法.
【變式3】（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，湖面上有4個相鄰的小島A，B，C，D，現要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有多少種不同的方案？

題型08 分組、分配問題
【典例1】（2023·四川雅安·統考一模）甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
【典例2】（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期中）為慶祝3.8婦女節，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓練，經訓練發現不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？
【典例3】（2023下·河南鄭州·高二校考期中）已知從左到右有5個空格.
(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？
(2)若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？
【典例4】（2022下·安徽安慶·高二安慶市第二中學校考期中）6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.
(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？
(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？
(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？
【典例5】（2023·高二課時練習）將四個小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，根據下列條件求不同放法的種數．
(1)四個小球不同，每個盒子各放一個；
(2)四個小球相同，每個盒子各放一個；
(3)四個小球不同，四個盒子恰有一個空著；
(4)四個小球相同，四個盒子恰有一個空著．
【變式1】（2024·河南鄭州·統考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會在鄭州國際會展中心拉開帷幕．世界5G大會是全球5G領域國際性盛會，也是首次在豫舉辦．本次大會以“5G變革共繪未來”為主題，以持續推動5G不斷演進創新為目標．現場邀請全球有影響力的科學家、企業家、國際組織負責人等參會，并進行高層次、高水平交流研討．為確保大會順利進行，面向社會招聘優秀志愿者，參與大會各項服務保障工作．現從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務組”、“物料組”、“機動組”四個不同的崗位工作，每人去一個組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有 種．（用數字作答）
【變式2】（2023下·江蘇宿遷·高二統考期中）某醫療小組有4名男性，2名女性共6名醫護人員，醫護人員甲是其中一名．
(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護人員甲不參加項救護活動的選法種數；
(2)這6名醫護人員將去3個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數．
【變式3】（2023下·湖北·高二校聯考階段練習）（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（注：要寫出算式，結果用數字表示）
【變式4】（2023下·浙江·高二杭州市蕭山區第五高級中學校聯考期中）盒子中有個不同的白球和個不同的黑球.
(1)若將這些小球取出后排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，共有多少種不同的排法？
(2)隨機一次性摸出個球，使得摸出的三個球中至少有個黑球，共有多少種不同的摸球結果？
(3)將這些小球分別放入另外三個不同的盒子，使得每個盒子至少一個球，共有多少種不同的放法？
（注：要寫出算式，結果用數字表示）
【變式5】（2023下·河北石家莊·高二校聯考期中）現有7本不同的書準備分給甲、乙、丙三人.
(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？
(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024上·吉林·高二校聯考期末）計算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
2．（2023·全國·高三專題練習）滿足，且的有序數組共有（ ）個.
A． B． C． D．
3．（2024·全國·高三專題練習）某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有
A．4種 B．10種 C．18種 D．20種
4．（2024上·遼寧錦州·高二統考期末）《數術記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數學專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌） 太乙算 兩儀算 三才算 五行算 八卦算 九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 龜算 珠算 和計數.某學習小組有甲 乙 丙3人，該小組要收集九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 珠算6種算法相關資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數為（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
5．（2024上·吉林·高二校聯考期末）為了支援與促進邊疆少數民族地區教育事業發展，某市教育系統選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的方法種數為（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
6．（2024·全國·模擬預測）“雍容華貴冠群芳，百卉爭妍獨占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有極高的觀賞價值．某花房擬在一側種植紅、紫、白、藍、黃、黑6色牡丹，種植時，黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，白牡丹和藍牡丹相鄰．若白牡丹與黑牡丹不相鄰，則不同的種植方法共有（ ）
A．24種 B．20種 C．12種 D．22種
7．（2024·吉林白山·統考一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（ ）
A．300 B．432 C．600 D．864
8．（2024·全國·模擬預測）某中學教師節活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數為（ ）
A．20 B．40 C．66 D．80
二、多選題
9．（2024·全國·高三專題練習）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每周一門，連續開設六周，則下列說法正確的是（ ）
A．某學生從中選2門課程學習，共有15種選法
B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法
C．課程“御”“書”“數”排在相鄰的三周，共有144種排法
D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法
10．（2024·全國·高三專題練習）（多選題）下列人員的坐法種數為24的是（ ）
A．4把椅子排成一排，4人隨機就座
B．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰
C．4人均不坐在寫著自己名字的座位上
D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰
三、填空題
11．（2024·全國·高三專題練習）某班準備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準備表演3個歌唱類節目和2個語言類節目，現要排出一個節目單，若前2個節目中必須要有語言類節目，則不同的排法有 種．
12．（2024·全國·高三專題練習）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個長方體的兩個頂點，，是邊長為3米的大正方形的兩個頂點，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點沿著圖中的線段爬到點，再從點沿著長方體的棱爬到點，則小貓從點爬到點可以選擇的最短路徑共有 條.

四、解答題
13．（2024上·全國·高三期末）現有10個運動員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？
14．（2024下·全國·高一隨堂練習）將4個編號分別為1，2，3，4的小球放入4個編號分別為1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少種放法？
（2）每盒至多一球，有多少種放法？
（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？
（4）每個盒內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？
（5）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？
B能力提升
1．（2024·全國·高三專題練習）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進一步培養學生的人文底蘊和科學精神，為繼續滿足同學們不同興趣愛好，美育中心精心準備了大家非常喜愛的中華文化傳承系列的第二課堂活動課：陶藝，拓印，扎染，創意陶盆，壁掛，剪紙六個項目供同學們選學，每位同學選擇1個項目.則甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的方法共有（ ）
A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種
2．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學校考期末）某學校實行新課程改革，即除語、數、外三科為必考科目外，還要在理、化、生、史、地、政六科中選擇三科作為選考科目.已知某生的高考志愿為某大學環境科學專業，按照該大學上一年高考招生選考科目要求理、化必選，為該生安排課表（上午四節、下午四節，每門課每天至少一節），已知該生某天最后兩節為自習課，且數學不排下午第一節，語文、外語不相鄰（上午第四節和下午第一節不算相鄰），則該生該天課表有（ ）.
A．444種 B．1776種 C．1440種 D．1560種
3．（多選）（2023下·甘肅白銀·高二統考開學考試）小許購買了一套五行文昌塔擺件（如圖），準備一字排開擺放在桌面上，下列結論正確的有（ ）
A．不同的擺放方法共有120種
B．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有36種
C．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有72種
D．若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有36種
4．（2023下·山東·高二濟南市章丘區第四中學校聯考階段練習）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得榮譽．現有6支救援隊（含甲、乙）前往A，B，C三個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中A受災點至少需要2支救援隊，且甲、乙2支救援隊不能去同一個受災點，則不同的安排方法種數是 ．
5．（2023下·湖北宜昌·高二校聯考期中）第18屆亞足聯亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是.（以下問題用數字作答）
(1)若亞洲杯組委會邀請甲裁判組派裁判去參加一項活動，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問甲裁判組共有多少種不同的安排方法？
(2)若亞洲杯組委會安排這6名裁判擔任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔任1場比賽的主裁判，根據回避規則，其中A不擔任第一場比賽的主裁判，不擔任第三場比賽的主裁判，問共有多少種不同的安排方法？
(3)若亞洲杯組委會將這6名裁判全部安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項活動，問共有多少種不同的安排方法？21世紀教育網(www.21cnjy.com)
第03講 6.2.3組合+6.2.4組合數
課程標準 學習目標
①了解組合、組合數的意義。 ②掌握常見的組合處理方法。 ③會用組合的相關方法解決簡單的組合問題。 ④熟練運用組合數的相關公式及性質解決與組合有關的問題。 ⑤在實際問題中能區分排列與組合的關系，準確選擇恰當的方法解決排列組合的相關問題。 1.掌握組合、組合數的意義； 2.能解決簡單的組合問題； 3.并能解決簡單的排列組合綜合問題；
知識點01：組合
（1）定義：一般地：從個不同的元素中取出()個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.
（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.
（3）組合與排列的異同
相同點:組合與排列都是“從個不同的元素中取出()個元素”.
不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區分某一問題是組合問題還是排列問題,關鍵是看選出的元素是否與順序有關,即交換某兩個元素的位置對結果有沒有影響,若有影響,則是排列問題，若無影響，則是組合問題.
知識點02：組合數與組合數公式
（1）組合數的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的組合數,用符號表示.
（2）組合數公式
或：（，）.
規定：
【即學即練1】（2023上·高二課時練習）計算：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)455 (2)21 (3)19900
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
知識點03：組合數的性質
（1）性質1：
（2）性質2：
【即學即練2】（2022下·廣東梅州·高二校考階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由組合數性質知，，
所以，
所以，得.
故選：A.
【即學即練3】（多選）（2023上·遼寧·高二校聯考階段練習）滿足方程的值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【詳解】因為，所以或
解得：或或或，
當時，，故舍去；
當時，，故舍去；
當時，；
當時，；
故選: AB
題型01 組合的概念
【典例1】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期中）下列四個問題屬于組合問題的是（ ）
A．從名志愿者中選出人分別參加導游和翻譯的工作
B．從、、、這個數字中選取個不同的數字排成一個三位數
C．從全班同學中選出名同學參加學校運動會開幕式
D．從全班同學中選出名同學分別擔任班長、副班長
【答案】C
【詳解】對于A選項，從名志愿者中選出人分別參加導游和翻譯的工作，
將人選出后，還要安排導游或翻譯的工作，與順序有關，這個問題為排列問題；
對于B選項，從、、、這個數字中選取個不同的數字排成一個三位數，
選出三個數字之后，還要將這三個數安排至個位、十位、百位這三個數位，
與順序有關，這個問題為排列問題；
對于C選項，從全班同學中選出名同學參加學校運動會開幕式，只需將三名同學選出，
與順序無關，這個問題為組合問題；
對于D選項，從全班同學中選出名同學分別擔任班長、副班長，
將人選出后，還要安排至班長、副班長兩個職務，與順序有關，這個問題為排列問題.
故選：C.
【典例2】（多選）（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習）下列問題是組合問題的是（ ）
A．把5本不同的書分給5個學生，每人一本
B．從7本不同的書中取出5本給某個同學
C．10個人相互發一微信，共發幾次微信
D．10個人互相通一次電話，共通了幾次電話
【答案】BD
【詳解】A.因為書不同，每個同學拿到的也不同，與順序有關，故不是組合問題；
B.從7本不同的書中取出5本給某個同學，每種取法中取出的書不考慮順序，故是組合問題；
C. 10個人相互發一微信，與順序有關，故不是組合問題；
D. 因為互相通一次電話與順序無關，故是組合問題；
故選：BD
【典例3】（多選）（2023下·高二單元測試）下列是組合問題的是（ ）
A．平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？
B．10支球隊以單循環進行比賽（每兩隊比賽一次），共進行多少場次？
C．從10個人中選出3個為代表去開會，有多少種選法？
D．從10個人中選出3個為不同學科的課代表，有多少種選法？
【答案】ABC
【詳解】A是組合問題，因為兩點確定一條直線，與點的順序無關；
B是組合問題，因為每兩個隊比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區別；
C是組合問題，因為三個代表之間沒有順序的區別；
D是排列問題，因為三個人中，擔任哪一科的課代表是有順序區別的．
故選:ABC．
【典例4】（2022·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題．
(1)若集合，則集合的含有3個元素的子集有多少個？
(2)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票？
(3)從7本不同的書中取出5本給某同學；
(4)三個人去做5種不同的工作，每人做1種，有多少種分工方法？
(5)把3本相同的書分給5個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法？
【答案】(1)組合問題 (2)排列問題 (3)組合問題
(4)排列問題 (5)組合問題
【詳解】（1）因為集合的任一個含3個元素的子集與元素順序都無關，所以它是組合問題．
（2）因為車票與起點、終點順序有關，例如“甲→乙”與“乙→甲”的車票不同，所以它是排列問題．
（3）因為從7本不同的書中取出5本給某同學，取出的5本書并不考慮書的順序，所以它是組合問題．
（4）因為從5種不同的工作中選出3種，按一定順序分給三個人去做，所以它是排列問題．
（5）因為3本書是相同的，把這3本書無論分給哪三個人都不需要考慮順序，所以它是組合問題．
【變式1】（2022下·黑龍江齊齊哈爾·高二龍江縣第一中學校考階段練習）下面問題中，是排列問題的是（ ）
A．由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數
B．從40人中選5人組成籃球隊
C．從100人中選2人抽樣調查
D．從1，2，3，4，5中選5個數組成集合
【答案】A
【詳解】解：對于A，由1，2，3三個數字組成無重復數字的三位數，
則共有種排法，是排列問題；
對于B，從40人中選5人組成籃球隊，有種選法，是組合問題；
對于C，從100人中選2人抽樣調查，有種選法，是組合問題；
對于D，從1，2，3，4，5中選5個數組成集合，有種選法，是組合問題.
故選：A.
【變式2】（2023上·高二課時練習）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：
(1)從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；
(2)從1、2、3、4、5這5個數字中，每次任取2個不同的數作為一個點的坐標，求所有不同點的個數；
(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數相加所得的和有多少種；
(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．
【答案】(1)組合問題 (2)排列問題 (3)組合問題 (4)排列問題
【詳解】（1）從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，選出的學生不用排序，
所以這是組合問題.
（2）從1、2、3、4、5這5個數字中，每次任取2個不同的數作為一個點的坐標，
由于坐標有橫縱坐標之分，所以選出的2個不同的數需要排序，
故這是排列問題.
（3）從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，求這兩張卡片上的數相加所得的和，
因為加法滿足交換律，故選出的卡片不用排序，
所以這是組合問題.
（4）因為四本不同的書送給四個人，要求每人一本，
所以這四本書需要排序，故這是排列問題.
【變式3】（2023下·高二課時練習）判斷下列問題是組合問題還是排列問題：
(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？
(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；
(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生．
【答案】(1)排列問題 (2)排列問題 (3)組合問題
【詳解】（1）因為一種火車票與起點、終點順序有關，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．
（2）由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．
（3）從7本不同的書中，取出5本給某個學生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．
題型02 組合數的計算、化簡與證明
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）（ ）
A．74 B．98 C．124 D．148
【答案】C
【詳解】．
故選：C．
【典例2】（多選）（2024上·吉林·高二長春市第二實驗中學校聯考期末）下列有關排列數、組合數的等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】A選項，，A錯誤；
B選項，根據組合公式得到，B正確；
C選項，，
，
故，C正確；
D選項，，D錯誤.
故選：BC
【典例3】（2023下·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學校考期中）（1）計算：；
（2）證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用排列數公式可求得所求代數式的值；
（2）利用組合數公式可證得結論成立.
【詳解】（1）；
（2）證明：，
，
因此，.
【變式1】（多選）（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第十八中學校考階段練習）下列等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】A：，正確；
B：，錯誤；
C：，正確；
D：，正確；
故選：ACD
【變式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）計算：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）或
【詳解】（1）；
（2）由組合數的定義知：，解得，又，
或.
當時；
當時.
所以的值為或.
【變式3】（2023上·高二課時練習）m是自然數，n為正整數，且，求證：．
【答案】證明見解析
【詳解】根據組合數公式，可以得到．
題型03 組合數方程與不等式
【典例1】（2023上·河南駐馬店·高二統考期末）關于的方程的解為（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】D
【詳解】因為，則或，解得或，
若，可得，符合題意；
若，可得，符合題意；
綜上所述：或.
故選：D.
【典例2】（2023上·山東德州·高二校考階段練習）（1）解關于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程變形為，即，顯然，
因此，
化簡整理，得，而，解得，
所以.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）（1）解不等式．
（2）若，求正整數n．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由，可得，可得.
可得，
所以，即，
因為，，，
，，
所以；
（2）
，
故，解得.
【變式1】（2023上·高二課時練習）不等式的解為 ．
【答案】
【詳解】依題意，所以且，
由得，
，
所以不等式的解為.
故答案為：
【變式2】（2023下·河北石家莊·高二校考階段練習）若，求m.
【答案】或
【詳解】依題意，得且，所以，
由，可得，即，解得，
又因為，所以或.
【變式3】（2024上·遼寧沈陽·高二校聯考期末）（1）已知，計算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）126；（2）．
【詳解】（1）因為，則，解得，經驗證符合題意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解為.
題型04 組合數的性質及其應用
【典例1】（2023下·甘肅白銀·高二統考開學考試）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【答案】D
【詳解】因為，
所以．
故選：D
【典例2】（2023下·山東濟寧·高二統考期中）若，則的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或6
【答案】D
【詳解】因為，所以或，解得或.經檢驗符合題意
故選：D
【典例3】（多選）（2023下·江蘇南京·高二南京師大附中校考期中）若，則正整數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】因為，所以，即或，
解得或3，經檢驗均滿足要求.
故選：AC
【典例4】（2023下·河北邢臺·高二邢臺一中校考階段練習）若（），則 .
【答案】4
【詳解】由題意可知，解得，
或，解得，舍去，
綜上：.
故答案為：4
【變式1】（2023下·江蘇徐州·高二徐州高級中學校考期中）若，則的值為（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【詳解】若，則，
所以,解得.
故選:C.
【變式2】（多選）（2023下·山西運城·高二統考期中）若，則的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【詳解】因為，所以或，解得或8.
故選：BC
【變式3】（2023上·福建龍巖·高二校考階段練習）若，則的值為 .
【答案】210
【詳解】，
，即，
，
=210，
故答案為：210.
題型05 有限制條件的組合問題
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）用2個0，2個1和1個2組成一個五位數，則這樣的五位數有（ ）
A．8個 B．12個 C．18個 D．24個
【答案】C
【詳解】當首位為2時，這樣的五位數有個；
當首位為1時，這樣的五位數有個.
綜上，這樣的五位數共有個.
故選：C.
【典例2】（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負抵消，實現二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構成的，其結構式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有 個.
【答案】18
【詳解】分以下兩種情況討論：
若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；
若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.
由分類加法計數原理可知，由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有種.
故答案為：18
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）某校為促進拔尖人才培養開設了數學、物理、化學、生物、信息學五個學科競賽課程，現有甲、乙、丙、丁四位同學要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學科的競賽課程，則恰有兩位同學選擇數學競賽課程的報名方法數為 ．
【答案】96
【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學的2名選擇數學競賽課程，
則有：種情況，
剩下2名同學在選擇物理、化學、生物、信息學四個學科競賽課程時有：
①2名同學選擇1個學科競賽則有：種情況，
②2名同學各選擇1個學科競賽則有種情況，
所以恰有兩位同學選擇數學競賽課程的報名方法數為：
種情況，
故答案為：96.
【變式1】（2024上·海南海口·高三海南中學校考階段練習）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀3種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．180種 D．240種
【答案】C
【詳解】甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀3種，
則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種.
故選：C
【變式2】（2024·全國·高三專題練習）中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙 問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲 乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
【答案】C
【詳解】5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有種安排方法，
若甲乙在同一實驗艙的種數有種，
故甲乙不在同一實驗艙的種數有種.
故選：C.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6中選取4個數字，組成各個數位上的數字既不全相同，也不兩兩互異的四位數，記四位數中各個數位上的數字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數的個數為 .
【答案】105
【詳解】由題意可知，只用2個不同的數字時，有（種）選法，
按照位數要求，每種數字組合組成的符合要求的四位數有3個，比如數字1和2，可以構成的四位數有1222，1122，1112，所以共有（個）符合要求的四位數.
只用3個不同的數字時，有（種）選法，
按照位數要求，每種數字組合組成的符合要求的四位數有3個，比如數字1，2，3，可以構成的四位數有1123，1223，1233，所以共有（個）符合要求的四位數.
故符合要求的四位數總共有（個）.
故答案為：105
題型06 排列、組合的綜合應用
【典例1】（2024·全國·高三專題練習）將六位數“”重新排列后得到不同的六位偶數的個數為 （ ）
A． B． C．216 D．
【答案】D
【詳解】由題意，
末尾是或，
不同偶數個數為，
末尾是，
不同偶數個數為，
所以共有個.
故選：D
【典例2】（2024·全國·高三專題練習）中國空間站（China Space Station）的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關鍵部分的發射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構，我國成功將中國空間站建設完畢.2023年，中國空間站將正式進入運營階段.假設空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．450種 B．72種 C．90種 D．360種
【答案】A
【詳解】由題知，6名航天員安排三艙，
三艙中每個艙至少一人至多三人，
可分兩種情況考慮：
第一種：分人數為的三組，共有種；
第二種：分人數為的三組，共有種；
所以不同的安排方法共有種.
故選：A.
【典例3】（2024·全國·高三專題練習）2022年11月，第五屆中國國際進口博覽會即將在上海舉行，組委員會準備安排5名工作人員去A，B，C，D這4所場館，其中A場館安排2人，其余場館各1人，則不同的安排方法種數為 ．
【答案】60
【詳解】分為兩步，第一步：安排2人去A場館有種結果，第二步：安排其余3人到剩余3個場館，有種結果，所以不同的安排方法種數為．
故答案為：60.
【典例4】（2024·全國·高三專題練習）2023年杭州亞運會需招募志愿者，現從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別擔任語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲、乙2人不能擔任語言服務工作，則不同的選法共有 種.
【答案】252
【詳解】解：先從甲、乙之外的6人中選取1人擔任語言服務工作，
再從剩下的7人中選取2人擔任人員引導、應急救助工作，
則不同的選法共有種.
故答案為：252
【變式1】（2024·全國·高三專題練習）安排包括甲、乙在內的4名大學生去3所不同的學校支教，每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有（ ）
A．36種 B．30種 C．24種 D．12種
【答案】B
【詳解】若每名大學生只去一個學校，每個學校至少去1名，則不同的安排方法有種，
若甲、乙安排在同一所學校，則不同的安排方法有種，
所以甲、乙不能安排在同一所學校，則不同的安排方法有種.
故選：B.
【變式2】（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學校考階段練習）國際高峰論壇上，組委會要從6個國內媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這3個媒體團中既有國內媒體團又有國外媒體團，且國內媒體團不能連續提問，則不同的提問方式的種數為（ ）
A．306 B．198 C．268 D．378
【答案】B
【詳解】由題可知選出的3個媒體團的構成有如下兩類：
①選出的3個媒體團中只有一個國內媒體團，有種不同的提問方式；
②選出的3個媒體團中有兩個國內媒體團，有種不同的提問方式．
綜上，共有種不同的提問方式．
故選：B.
【變式3】（2024·全國·高三專題練習）從5男3女共8名學生中選出組長1人，副組長1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長和副組長性別不同，則共有 種不同的選法.（用數字作答）
【答案】
【詳解】由題意可知，當志愿組有3名男生，2名女生時，有種方法；
當志愿組有4名男生，1名女生時，有種方法，
由分類計數原理得，共有種不同的選法.
故答案為：.
【變式4】（2024·全國·高三專題練習）從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有 種.
【答案】42
【詳解】根據題意，分兩類情況：
①若取出2個球全是同一種顏色，有3種可能，若為紅色只需把它們放入藍和黃即可，有（種），此時有（種）；
②若取出的2個球為兩種顏色的球，有（種），若為一紅一黃，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，有3種方法，此時共有（種），
因此不同的放法有種.
故答案為：42.
題型07 與幾何圖形有關的組合問題
【典例1】（2023上·遼寧沈陽·高二校考階段練習）如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為（ ）
A．18 B．24 C．30 D．32
【答案】C
【詳解】從到共有條最短路徑，從到共有條路徑，
故小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為.
故選：C
【典例2】（2023下·云南楚雄·高二統考期中）如圖，小華從圖中處出發，先到達處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（ ）

A．25條 B．48條 C．150條 D．512條
【答案】C
【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．
故選：C.
【典例3】（多選）（2023下·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習）在某城市中，兩地之間有如圖所示的道路網，甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑，從地出發到地，則下列結論正確的是（ ）

A．不同的路徑共有31條
B．不同的路徑共有41條
C．若甲途經地，則不同的路徑共有18條
D．若甲途經地，且不經過地，則不同的路徑共有8條
【答案】AC
【詳解】由圖可知，從地出發到地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，
且前3步中至少有1步向上，則不同的路徑共有條，故A正確、B錯誤；
若甲途經地，則不同的路徑共有條，故C正確；
若甲途經地，且不經過地，則不同的路徑共有，故D錯誤；
故選：AC.
【變式1】（2023上·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學校考階段練習）在某城市中，A，B兩地有如圖所示的方格型道路網，甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑，從A地出發去往B地，途經C地，則不同的路線有（ ）
A．90 種 B．105 種 C．260種 D．315 種
【答案】B
【詳解】由題可知，不同的路線有種．
故選：B.
【變式2】（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期中）某數學興趣小組用紙板制作正方體教具，現給圖中的正方體展開圖的六個區域涂色，有紅、橙、黃、綠四種顏色可選，要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同，共有 種不同的涂色方法.
【答案】
【詳解】如圖，還原回正方體后，、為正方體前后兩個對面，、為左右兩個對面，、為上下兩個對面，

先涂有種涂法，
當與同色，再涂有種涂法，
若與同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，
若與不同色，則有種涂法，最后涂有種涂法，
則有種涂法；
當與不同色，則涂有種涂法，涂有種涂法，此時與必同色且只有一種涂法，也只有種涂法，
則有，
綜上可得一共有種涂法.
故答案為：
【變式3】（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，湖面上有4個相鄰的小島A，B，C，D，現要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有多少種不同的方案？

【答案】16
【詳解】由題意知要將4個相鄰的小島A，B，C，D連接起來，
共有個位置可以建設橋梁，
從這6個位置中選3個建設橋梁，共有種選法，
但選出的3個位置可能是僅連接或或或三個小島，不合題意，
故要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（種）不同的方案.
題型08 分組、分配問題
【典例1】（2023·四川雅安·統考一模）甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
【答案】C
【詳解】求不相同的選擇種數有兩類辦法：恰有3個學校所選研學基地不同有種方法，
4個學校所選研學基地都不相同有種方法，
所以不相同的選擇種數有（種）.
故選：C
【典例2】（2023上·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期中）為慶祝3.8婦女節，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓練，經訓練發現不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）隊伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，
①若兩組都是3女2男，
則先將6女平均分成兩組共種方式，
再將4男平均分成兩組共種方式，
所以兩組都是3女2男的情況有種；
②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，
所以總情況數為種.
故一共有種不同的分組方案；
（2）總共可分為三種情況，如下：
①若上場且不上場：
先將全排列，共有種方式，
再把捆綁后和全排列共有種方式，
所以上場且不上場共有種不同的排列方式；
②若上場且也上場：
（i）若在1號位，先將全排列，共有種方式，
再從中選兩人，有種方式，
則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，
所以在1號位共有種不同的方式；
（ii）若在2號位，
再將全排列，且可位于3，4號位或4，5號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在2號位或3號位共有種不同的方式；
（iii）若在3號位，
再將全排列，且可位于1，2號位或4，5號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在2號位或3號位共有種不同的方式；
（iiii）若在4號位，
將全排列，且可位于1，2號位或2，3號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在4號位共有種不同的方式.
所以上場且也上場共有種不同的方式；
③若中有一人上場且上場：
上場且不在5號位，則可位于1，2，3，4號位，有種方式，
再從中選一人，有種方式，
中的一人和共4人全排列，共種方式，
所以中有一人上場且上場共有種不同的排列方式.
綜上所述，共有種排列方式.
【典例3】（2023下·河南鄭州·高二校考期中）已知從左到右有5個空格.
(1)若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？
(2)若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？
【答案】(1)96
(2)16800
【詳解】（1）根據題意，分2步進行分析：
①第三個格子不能填0，則0有4種選法；
②將其余的4個數字全排列，安排在其他四個格子中，有種情況，
則一共有種不同的填法；
（2）根據題意，分2步進行分析：
①、將7個小球分成5組，有2種分法：
若分成2－2－1－1－1的5組，有種分法，
若分成3－1－1－1－1的5組，有種分組方法，
則有（）種分組方法，
②、將分好的5組全排列，對應5個空格，有種情況，
則一共有種放法.
【典例4】（2022下·安徽安慶·高二安慶市第二中學校考期中）6位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.
(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？
(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？
(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【詳解】（1）根據題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，
所以共有.
（2）先分為4組，則按人數可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；
再分到4個項目，即可得共有；
（3）先考慮全部，則共有種排列方式，
其中甲參加項目共有種，同學乙參加項目共有種；
甲參加項目同時乙參加項目共有種，
根據題意減去不滿足題意的情況共有種.
【典例5】（2023·高二課時練習）將四個小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，根據下列條件求不同放法的種數．
(1)四個小球不同，每個盒子各放一個；
(2)四個小球相同，每個盒子各放一個；
(3)四個小球不同，四個盒子恰有一個空著；
(4)四個小球相同，四個盒子恰有一個空著．
【答案】(1)24
(2)1
(3)144
(4)12
（4）先將小球分組，再選出空盒，選出放入2個小球的盒子，從而得到答案.
【詳解】（1）四個小球不同，每個盒子各放一個，屬于全排列問題，則不同的放法有種；
（2）四個小球相同，每個盒子各放一個，每個小球放入任何一個盒子，都為同1種情況，故不同的放法有1種；
（3）四個小球不同，四個盒子恰有一個空著，則有一個盒子放入了2個小球，
先將四個不同的小球分為3組，有種情況，選出一個空盒，有種情況，
再將分好的3組小球，與對應的3個盒子進行全排列，共有種選擇，
綜上：四個小球不同，四個盒子恰有一個空著，選擇方法有種；
（4）四個小球相同，四個盒子恰有一個空著，則有一個盒子放入了2個小球，
先將四個不同的小球分為3組，則只有1種分法，即2，1，1，
選出一個空盒，有種情況，
將分好的3組小球，放入3個盒子中，選出放入2個小球的盒子，有種情況，
綜上：四個小球相同，四個盒子恰有一個空著，一共有種選擇.
【變式1】（2024·河南鄭州·統考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會在鄭州國際會展中心拉開帷幕．世界5G大會是全球5G領域國際性盛會，也是首次在豫舉辦．本次大會以“5G變革共繪未來”為主題，以持續推動5G不斷演進創新為目標．現場邀請全球有影響力的科學家、企業家、國際組織負責人等參會，并進行高層次、高水平交流研討．為確保大會順利進行，面向社會招聘優秀志愿者，參與大會各項服務保障工作．現從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務組”、“物料組”、“機動組”四個不同的崗位工作，每人去一個組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有 種．（用數字作答）
【答案】
【詳解】根據題意可知6人中選派4人參與選派方式共有種，
其中甲、乙都不參與的選派方式共有種，
其中甲、乙至少有一人參加且甲去“簽到組”的選派方式共有種，
所以甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種.
故答案為：
【變式2】（2023下·江蘇宿遷·高二統考期中）某醫療小組有4名男性，2名女性共6名醫護人員，醫護人員甲是其中一名．
(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫護人員甲不參加項救護活動的選法種數；
(2)這6名醫護人員將去3個不同的地方參與醫療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數．
【答案】(1)25
(2)72
【詳解】（1）分兩類：①甲參加項救護活動，再從其余5人中選一人參加A，選法數為，
②甲不參加救護活動，則從其余5人中任選兩人參加救護活動，選法數為，
所以共有選法種數為20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫護人員有：，
第二步：安排兩名女醫護人員同去的男醫護人員有：，
第三步：剩余兩名男性醫護人員去另外一地有： ，
所以共有不同的分配方案數為：．
【變式3】（2023下·湖北·高二校聯考階段練習）（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法
（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法
（注：要寫出算式，結果用數字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先將個不同的小球分為三組，確定每組小球的數量，然后將三組小球放
【詳解】解：（1）將個不同的小球分為三組，每組的小球數量分別為、、或、、，
然后再將這三組小球放入三個盒子中，
因此，不同的放法種數為種；
（2）每個小球有種方法，由分步乘法計數原理可知，
將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，不同的放法種數為種；
（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，
只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，
所以，不同的放法種數為種；
（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，
等價于將個相同的小球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，
只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，
所以，不同的放法種數為種.
【變式4】（2023下·浙江·高二杭州市蕭山區第五高級中學校聯考期中）盒子中有個不同的白球和個不同的黑球.
(1)若將這些小球取出后排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，共有多少種不同的排法？
(2)隨機一次性摸出個球，使得摸出的三個球中至少有個黑球，共有多少種不同的摸球結果？
(3)將這些小球分別放入另外三個不同的盒子，使得每個盒子至少一個球，共有多少種不同的放法？
（注：要寫出算式，結果用數字表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：將個不同的白球和個不同的黑球排成一排，使得黑球互不相鄰，白球也不相鄰，
只需先將個不同的黑球進行排序，然后將個不同的白球插入黑球在中間所形成的空位中，
由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.
（2）解：隨機一次性摸出個球，使得摸出的三個球中至少有個黑球，
則黑球得個數可以是或或，
由分類加法計數原理可知，不同的摸球結果種數為種.
（3）解：先將這個小球分為組，則這三組小球的個數分別為、、或、、，
再將這三組小球分配給三個盒子，
由分步乘法計數原理可知，不同的放法種數為種.
【變式5】（2023下·河北石家莊·高二校聯考期中）現有7本不同的書準備分給甲、乙、丙三人.
(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？
(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本，共三組有種，
再將三組分給甲、乙、丙三人有種，
所以共有種.
（2）首先將7本書分成3本、2本、2本，共三組有種，
再將三組分給甲、乙、丙三人有種，
所以共有種.
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2024上·吉林·高二校聯考期末）計算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
【答案】A
【分析】利用組合和排列數公式計算
【詳解】
故選：A
2．（2023·全國·高三專題練習）滿足，且的有序數組共有（ ）個.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據組合的定義即可結合組合數求解.
【詳解】由于，所以從1到9共9個數任取4個數得一個有序數組，所有個數為．
故選：A．
3．（2024·全國·高三專題練習）某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有
A．4種 B．10種 C．18種 D．20種
【答案】B
【詳解】分兩種情況：①選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友，有C42＝6種方法；②選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友，有C41＝4種方法．所以不同的贈送方法共有6＋4＝10(種)．
4．（2024上·遼寧錦州·高二統考期末）《數術記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數學專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌） 太乙算 兩儀算 三才算 五行算 八卦算 九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 龜算 珠算 和計數.某學習小組有甲 乙 丙3人，該小組要收集九宮算 運籌算 了之算 成數算 把頭算 珠算6種算法相關資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數為（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
【答案】D
【分析】根據分組分配問題，結合排列組合即可求解.
【詳解】將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，
然后將這3組分配給甲乙丙三個人，
所以不同的分配方案有，
故選：D
5．（2024上·吉林·高二校聯考期末）為了支援與促進邊疆少數民族地區教育事業發展，某市教育系統選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方的方法種數為（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【答案】C
【詳解】五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，
分派方案可按人數分為3，1，1或2，2，1兩種情況，
根據題意兩位女教師分派到同一個地方，分派方案可分為兩種情況：
若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方沒有男老師，則有：種方法；
若兩位女教師分配到同一個地方，且該地方有一位男老師，則有：種方法；
故共有：36種分派方法，
故選：．
6．（2024·全國·模擬預測）“雍容華貴冠群芳，百卉爭妍獨占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有極高的觀賞價值．某花房擬在一側種植紅、紫、白、藍、黃、黑6色牡丹，種植時，黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，白牡丹和藍牡丹相鄰．若白牡丹與黑牡丹不相鄰，則不同的種植方法共有（ ）
A．24種 B．20種 C．12種 D．22種
【答案】B
【詳解】求不同的種植方法需要兩步，第一步：將黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，共（種）方法；
第二步：將相鄰的白牡丹和藍牡丹看作一個整體，與紅牡丹、黃牡丹一起排在黑牡丹與紫牡丹中間，
共（種）方法，其中，白牡丹與黑牡丹不相鄰的排法有（種），
所以不同的種植方法共有（種）．
另解：求不同的種植方法需要3步，第一步：將黑牡丹與紫牡丹分別種在兩端，共（種）方法；
第二步：在黑牡丹和紫牡丹中間種植紅牡丹和黃牡丹，共（種）方法；
第三步：將相鄰的白牡丹和藍牡丹看作一個整體，在紅牡丹和黃牡丹的前、中、后三個空位種植，且白牡丹與黑牡丹不相鄰，共（種）方法，
所以不同的種植方法共有（種）．
故選：B
7．（2024·吉林白山·統考一模）2023年12月初，某校開展憲法宣傳日活動，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚憲法精神，建設社會主義法制文化》的法制報告，報告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（ ）
A．300 B．432 C．600 D．864
【答案】B
【詳解】楊教授站中間，只有1種方法；
四名男生分成兩組放在兩邊方法數；
兩名女生放在兩邊方法數，
每一邊兩名男生與一名女生再排序，得出總的方法數為.
故選：B.
8．（2024·全國·模擬預測）某中學教師節活動分上午和下午兩場，且上午和下午的活動均為A，B，C，D，E這5個項目.現安排甲、乙、丙、丁四位教師參加教師節活動，每位教師上午、下午各參加一個項目，每場活動中的每個項目只能有一位老師參加，且每位教師上午和下午參加的項目不同.已知丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A和下午的項目E，其余項目上午和下午都需要有人參加，則不同的安排方法種數為（ ）
A．20 B．40 C．66 D．80
【答案】C
【詳解】因為丁必須參加上午的項目E，甲、乙、丙不能參加上午的項目A，所以上午甲、乙、丙參加B，C，D這3個項目，
共有種不同的安排方法.
又因為甲、乙、丙、丁四人下午參加的項目為A，B，C，D，分2類：
①丁參加項目A，共有2種不同的安排方法；
②丁參加B，C，D這3個項目中的1個，從甲、乙、丙中選1人參加項目A，剩下兩人參加剩下的2個項目，
共有種不同安排方法；
綜上所述：共有種不同的安排方法.
故選：C.
二、多選題
9．（2024·全國·高三專題練習）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”六門體驗課程，每周一門，連續開設六周，則下列說法正確的是（ ）
A．某學生從中選2門課程學習，共有15種選法
B．課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法
C．課程“御”“書”“數”排在相鄰的三周，共有144種排法
D．課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法
【答案】ACD
【詳解】對于A，從六門課程中選兩門的不同選法有種，A正確；
對于B，先排“禮”、“御”、“書”、“數”，再用插空法排“樂”“射”，不同排法共有種，B錯誤；
對于C，“御”“書”“數”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數”視為一個元素，不同排法共有種，C正確；
對于D，從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有種，D正確.
故選：ACD.
10．（2024·全國·高三專題練習）（多選題）下列人員的坐法種數為24的是（ ）
A．4把椅子排成一排，4人隨機就座
B．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰
C．4人均不坐在寫著自己名字的座位上
D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰
【答案】AB
【詳解】A項中，4把椅子排成一排，4人隨機就座的坐法種數為，故A正確；
B項中，利用“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數為，故B正確；
C項中，第一個人有3種選擇，然后第一個人坐的座位名字對應的人也有3種選擇，剩余兩人只有1種選擇，所以共有9種坐法，故C錯誤；
D項中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必須相鄰的坐法種數為，故D錯誤.
故選：AB.
三、填空題
11．（2024·全國·高三專題練習）某班準備利用班會的時間舉行一場小型的文娛活動，準備表演3個歌唱類節目和2個語言類節目，現要排出一個節目單，若前2個節目中必須要有語言類節目，則不同的排法有 種．
【答案】84
【詳解】若前2個節目都是語言類節目，此時后3個為歌唱類節目，有種情況；
若前2個節目中恰有1個是語言類，有1個是歌唱類，則有種情況，
剩余的3個節目進行全排列，則有種情況，則共有種情況．
綜上，有種不同的排法，
故答案為：84
12．（2024·全國·高三專題練習）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個長方體的兩個頂點，，是邊長為3米的大正方形的兩個頂點，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點沿著圖中的線段爬到點，再從點沿著長方體的棱爬到點，則小貓從點爬到點可以選擇的最短路徑共有 條.

【答案】
【詳解】小貓要從點爬到點，需要先從點爬到點，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有條，
再從點爬到點的路徑共6條，用分步乘法計數原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6=120條.
故答案為：120.
四、解答題
13．（2024上·全國·高三期末）現有10個運動員名額，作如下分配方案.
(1)平均分成5個組，每組2人，有多少種分配方案？
(2)分成7個組，每組最少1人，有多少種分配方案？
【答案】(1)945
(2)84
【詳解】（1）根據平均分配規律，則平均分配5個組共有種方案.
（2）10名運動員排成一排，中間形成9個空隙，選6個位置插入隔板，
則分成7組，故分配方案共有種.
14．（2024下·全國·高一隨堂練習）將4個編號分別為1，2，3，4的小球放入4個編號分別為1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少種放法？
（2）每盒至多一球，有多少種放法？
（3）恰好有一個空盒，有多少種放法？
（4）每個盒內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？
（5）把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？
【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12.
【詳解】（1）根據題意，每個小球有4種放法，則4個小球有44＝256種放法，
（2）根據題意，每盒至多一球，即每個盒子都只能放1個球，有＝24種放法，
（3）根據題意，分2步進行分析：在4個球中任選2個，
放入1個盒子中，有＝24種放法，
在剩下的3個盒子中，任選2個，
放入剩下2個兩個小球，有＝6種放法，則有6×24＝144種放法；
（4）根據題意，分2步進行分析：在4個小球中任選1個，
放入編號相同的盒子中，有＝4種放法，
剩下3個小球放入編號不同的盒子中，
有2種放法，則有4×2＝8種不同的放法，
（5）根據題意，在4個盒子中選出1個，放入2個小球，有4種選法，
在剩下的3個盒子中，任選2個，分別放入1個小球，有＝3中選法，
則有4×3＝12種不同的放法．
B能力提升
1．（2024·全國·高三專題練習）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進一步培養學生的人文底蘊和科學精神，為繼續滿足同學們不同興趣愛好，美育中心精心準備了大家非常喜愛的中華文化傳承系列的第二課堂活動課：陶藝，拓印，扎染，創意陶盆，壁掛，剪紙六個項目供同學們選學，每位同學選擇1個項目.則甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的方法共有（ ）
A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種
【答案】C
【詳解】恰有2名學生選課相同，
第一步，先將選課相同的2名學生選出，有種可能；
第二步，從6個項目中選出3個排好，有.
根據分步計數原理可得，方法有；
4名學生所選的課全不相同的方法有.
根據分類加法計數原理可得，甲、乙、丙、丁這4名學生至少有3名學生所選的課全不相同的方法共有.
故選：C.
2．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學校考期末）某學校實行新課程改革，即除語、數、外三科為必考科目外，還要在理、化、生、史、地、政六科中選擇三科作為選考科目.已知某生的高考志愿為某大學環境科學專業，按照該大學上一年高考招生選考科目要求理、化必選，為該生安排課表（上午四節、下午四節，每門課每天至少一節），已知該生某天最后兩節為自習課，且數學不排下午第一節，語文、外語不相鄰（上午第四節和下午第一節不算相鄰），則該生該天課表有（ ）.
A．444種 B．1776種 C．1440種 D．1560種
【答案】B
【詳解】理、化、生、史、地、政六選三，且理、化必選，
所以只需在生、史、地、政中四選一，有（種）.
對語文、外語排課進行分類，第1類：語文、外語有一科在下午第一節，則另一科可以安排在上午四節課中的任意一節，剩下的四科可全排列，有（種）；
第2類：語文、外語都不在下午第一節，則下午第一節可在除語、數、外三科的另三科中選擇，有（種），
語文和外語可都安排在上午，即上午第一、三節，上午第一、四節，上午第二、四節3種，
也可一科在上午任一節，一科在下午第二節，有（種），
其他三科可以全排列，有（種）.
綜上，共有（種）.
故選：B
3．（多選）（2023下·甘肅白銀·高二統考開學考試）小許購買了一套五行文昌塔擺件（如圖），準備一字排開擺放在桌面上，下列結論正確的有（ ）
A．不同的擺放方法共有120種
B．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有36種
C．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有72種
D．若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有36種
【答案】ACD
【詳解】由題可知，不同的擺放方法共有種，A正確；
若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有種，C正確，B不正確；
若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有種，D正確．
故選：ACD
4．（2023下·山東·高二濟南市章丘區第四中學校聯考階段練習）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得榮譽．現有6支救援隊（含甲、乙）前往A，B，C三個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中A受災點至少需要2支救援隊，且甲、乙2支救援隊不能去同一個受災點，則不同的安排方法種數是 ．
【答案】266
【詳解】若將6支救援隊分成1，1，4三組，再分到A，B，C三個受災點，
共有種不同的安排方法，
其中甲、乙去同一個地方的有種，
所以有N1＝30－12＝18種不同的安排方法；
若將6支救援隊分成1，2，3三組，再分到A，B，C三個受災點，
共有種不同的安排方法，
其中甲、乙去同一個地方的有種，
所以有N2＝240一64＝176種不同的安排方法；
若將6支救援隊分成2，2，2三組，再分到A，B，C三個受災點，
共有種不同的安排方法，
其中甲、乙去同一個地方的有種，
所以有N3＝90－18＝72種不同的安排方法．
故共有N＝N1＋N2＋N3＝266種不同的安排方法．
故答案為：266.
5．（2023下·湖北宜昌·高二校聯考期中）第18屆亞足聯亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是.（以下問題用數字作答）
(1)若亞洲杯組委會邀請甲裁判組派裁判去參加一項活動，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問甲裁判組共有多少種不同的安排方法？
(2)若亞洲杯組委會安排這6名裁判擔任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔任1場比賽的主裁判，根據回避規則，其中A不擔任第一場比賽的主裁判，不擔任第三場比賽的主裁判，問共有多少種不同的安排方法？
(3)若亞洲杯組委會將這6名裁判全部安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項活動，問共有多少種不同的安排方法？
【答案】(1)63種
(2)504種
(3)540種
【詳解】（1）由題意知：可去名裁判，
所以共有（種）不同的安排方法.
（2）這6名裁判擔任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔任1場比賽的主裁判，共有種方法，
若A擔任第一場比賽的主裁判的方法數為；
若C擔任第三場比賽的主裁判的方法數為；
若A擔任第一場比賽的主裁判同時擔任第三場比賽的主裁判的方法數為；
所以A不擔任第一場比賽的主裁判，不擔任第三場比賽的主裁判，共有（種）不同的安排方法.
（3）亞洲杯組委會將這6名裁判安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，則分類如下：
①這6名裁判分為1人，1人，4人這三組，共有（種）不同的安排方法；
②這6名裁判分為1人，2人，3人這三組，共有（種）不同的安排方法；
③這6名裁判分為2人，2人，2人這三組，共有（種）不同的安排方法.
綜上所述：組委會將這6名裁判安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，共有（種）不同的安排方法.
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