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(共48張PPT)
2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 ★★　　二次函數(shù)綜合題
(2023·貴陽模擬)如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且關(guān)于直線x＝1對稱，點A的坐標為(－1，0)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
【分層分析】先根據(jù)題意得出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解可得．
解：∵點A(－1，0)與點B關(guān)于直線x＝1對稱，
∴點B的坐標為(3，0)，代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2－2x－3.
(2)連接BC，若點P在y軸上時，BP和BC的夾角為15°，求線段CP的長度；【分層分析】分點P在點C上方和下方兩種情況，先求出∠OBP的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求出OP的長，從而得出答案．
解：如答圖．由拋物線的解析式知C(0，－3)，
則OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，
若點P在點C上方，則∠OBP＝∠OBC－∠PBC＝30°，
∴OP＝OB·tan∠OBP＝3×＝，∴CP＝3－；
若點P在點C下方，則∠OBP′＝∠OBC＋∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OB·tan∠OBP′＝3×＝3，∴CP′＝3－3，
綜上所述，線段CP的長為3－或3－3.
(3)當(dāng)a≤x≤a＋1時，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的最小值為2a，求a的值．
【分層分析】分對稱軸x＝1在a到a＋1范圍的右側(cè)、中間和左側(cè)三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．
解：若a＋1＜1，即a＜0，則函數(shù)的最小值為
(a＋1)2－2(a＋1)－3＝2a，解得a＝1－(正值舍去)；
若a＜1＜a＋1，即0＜a＜1，則函數(shù)的最小值為1－2－3＝2a，
解得a＝－2(舍去)；
若a＞1，則函數(shù)的最小值為a2－2a－3＝2a，解得a＝2＋(負值舍去)．
綜上所述，a的值為1－或2＋.
1．(2022·貴陽第24題12分)已知二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋b.
(1)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(用含a，b的代數(shù)式表示)；
(2)在平面直角坐標系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點，AB＝6，且圖象過(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四點，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；
(3)點M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)－2≤m≤1時，n的取值范圍是－1≤n≤1，求二次函數(shù)的解析式．
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2－4a＋b，
∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(－2，－4a＋b)．
(2)由(1)得拋物線對稱軸為直線x＝－2，
當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，
∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＞c＞e＝f；
當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，
∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＜c＜e＝f.
(3)當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，x≥－2時，y隨x的增大而增大，
∴m＝－2時，n＝－1；m＝1時，n＝1，
∴解得
∴y＝x2＋x－；
當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下，x≥－2時，y隨x的增大而減小，
∴m＝－2時，n＝1；m＝1時，n＝－1，
∴解得
∴y＝－x2－x＋.
綜上所述，二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
2．(2021·貴陽第24題12分)甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬
OA＝8 m，橋拱頂點B到水面的距離是4 m.
(1)按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)解析式；
(2)一只寬為1.2 m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4 m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高
1.68 m的工人站立在打撈船正中間清理垃
圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明
理由(假設(shè)船底與水面齊平)；
(3)如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移m(m＞0)個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．
解：(1)由題意得頂點B(4，4)，O(0，0)，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－4)2＋4，將點O(0，0)代入，得a＝－，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋2x(0≤x≤8)．
(2)工人不會碰到頭，理由：∵小船距O點0.4 m，小船寬1.2 m，工人直立在小船中間，由題意得工人距O點距離為0.4＋×1.2＝1，
∴將x＝1代入y＝－x2＋2x，解得y＝＝1.75，
∵1.75 m＞1.68 m，∴此時工人不會碰到頭．
(3)拋物線y＝－x2＋2x在x軸上方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影關(guān)于x軸成軸對稱．如答圖①所示，新函數(shù)圖象的對稱軸也是直線x＝4，此時，當(dāng)0≤x≤4或x≥8時，y的值隨x值的增大而減小，將新函數(shù)圖象向右平移m個單位長度，可得平移后的函數(shù)圖象，如答圖②所示，
∵平移不改變圖形形狀和大小，
∴平移后函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝4＋m，
∴當(dāng)m≤x≤4＋m或x≥8＋m時，y的值隨x值的增大而減小，
∴當(dāng)8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，得m的取值范圍：
①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，
②8＋m≤8，得m≤0，由題意知m＞0，
∴m≤0不符合題意，舍去，
綜上所述，m的取值范圍是5≤m≤8.
1．在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝x2－2ax＋3a,頂點坐標為(m，n).
(1)若函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對稱，求函數(shù)的解析式；
(2)求n的最大值；
(3)是否存在實數(shù)a(a＞1)，使得當(dāng)1≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為最小值的
2倍，若存在，求出a；若不存在，請說明理由．
解：(1)函數(shù)的解析式為y＝x2－2x＋3.
(2)∵y＝x2－2ax＋3a＝(x－a)2－a2＋3a，
頂點坐標為(m，n)，
∴n＝－a2＋3a＝－＋，
∴n的最大值為.
(3)不存在，理由：當(dāng)x＝1時，y＝1＋a，
當(dāng)x＝4時，y＝16－5a，頂點(a，－a2＋3a )，對稱軸為直線x＝a.
當(dāng)a≥4時，1＋a＝2(16－5a)，解得a＝(舍去)；
當(dāng)1≤a<2.5時，16－5a＝2(－a2＋3a)，無解；
當(dāng)2.5≤a<4時，1＋a＝2(－a2＋3a)，
解得a1＝(舍去)，a2＝(舍去)，
綜上所述，不存在實數(shù)a(a>1)，使得當(dāng)1≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為最小值的2倍．
2．(2024·黔南州模擬)已知拋物線y＝ax2－4ax＋4a(a≠0)．
(1)拋物線的頂點坐標為 ；
(2)當(dāng)－1≤x≤2時，y的最大值為18，求出a的值；
(3)在(2)的條件下，若A(m，y1)，B(m＋t，y2)是拋物線上兩點，其中t＞0，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G(包含A，B兩點)，當(dāng)A，B兩點在拋物線的對稱軸的兩側(cè)時，圖象G上最高點與最低點的縱坐標之差為2，求t的取值范圍．
(2，0)
解：(2)∵拋物線的頂點坐標是(2，0)，對稱軸為直線x＝2，
∴若a＜0，則當(dāng)－1≤x≤2時，y的最大值為0，不符合題意，
∴a＞0，拋物線開口向上，
∵當(dāng)x≤2時，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝－1時，y＝ax2－4ax＋4a取最大值18，
∴18＝a×(－1)2－4a×(－1)＋4a，
解得a＝2.
(3)由(2)得y＝2x2－8x＋8，
∵對稱軸為直線x＝2，頂點為(2，0)，∴y最小值是0，
∵A，B兩點在對稱軸兩側(cè)，即m＜2＜m＋t，
最高點與最低點的縱坐標之差為2，
∴拋物線最高點的縱坐標為2.
∴當(dāng)y＝2時，得2x2－8x＋8＝2，解得x1＝1，x2＝3.
當(dāng)m＝1時，則2＜m＋t≤3滿足題意，解得1＜t≤2，
當(dāng)m＋t＝3時，則1≤m＜2滿足題意；解得1＜t≤2.
綜上所述，t的取值范圍為1＜t≤2.
3．在平面直角坐標系中，已知拋物線C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直線l：y＝kx＋b，A(－3，－3)，B(1，－1)兩點均在直線l上．
(1)求出直線l的解析式；
(2)當(dāng)a＝－1，二次函數(shù)y＝ax2＋2x－1的自變量x滿足m≤x≤m＋2時，函數(shù)y的最大值為－4，求m的值；
(3)若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，求a的取值范圍．
解：(1)直線l的解析式為y＝x－.
(2)根據(jù)題意可得y＝－x2＋2x－1，
∵－1<0，∴拋物線開口向下，對稱軸x＝1，
∵m≤x≤m＋2時， y有最大值－4，
∴當(dāng)y＝－4時，有－x2＋2x－1＝－4，∴x＝－1或x＝3，
①在對稱軸x＝1左側(cè)， y隨x的增大而增大，
∴x＝m＋2＝－1時， y有最大值－4，∴m＝－3；
②在對稱軸x＝1右側(cè)， y隨x增大而減小，∴x＝m＝3時， y有最大值－4.
綜上所述，m＝－3或m＝3.
(3)①a<0時，x＝1時， y≤－1，即a＋1≤－1，∴a≤－2；
②a>0時，x＝－3時， y≥－3，即9a－7≥－3，∴a≥，
拋物線與直線AB聯(lián)立，ax2＋2x－1＝x－，
∴ax2＋x＋＝0，
Δ＝－2a>0，∴a<.
綜上所述，a的取值范圍為≤a<或a≤－2.
4．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象過點(－1，0)，(0，3)，(1，4)．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)－1≤x≤2時，求函數(shù)y的最大值和最小值；
(3)當(dāng)－1≤x≤m時，函數(shù)y的取值范圍為0≤y≤4，求m的取值范圍；
(4)點M的坐標為(n，2)，點N的坐標為(n＋4，2)，若線段MN與該函數(shù)圖象恰有一個交點，直接寫出n的取值范圍．
解：(1)y＝－x2＋2x＋3.
(3)令y＝0可得，x1＝－1，x2＝3，
當(dāng)0≤y≤4，m的取值范圍為1≤m≤3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為(1，4)，
∴當(dāng)x＝－1時，最小值為y＝0，
當(dāng)x＝1時，最大值為y＝4.
(4)令y＝2，x1＝1－，x2＝1＋，
如答圖①，當(dāng)線段MN與該函數(shù)圖象
的交點在對稱軸左側(cè)時，
1－≤n＋4≤1＋，
解得－3－≤n≤－3＋；
如答圖②，當(dāng)線段MN與該函數(shù)圖象
的交點在對稱軸右側(cè)時，1－≤n≤1＋.
綜上所述，n的取值范圍為－3－< n ≤ －3＋或1－≤n≤1＋.
類型二：二次函數(shù)與幾何綜合題
(10年5考)
(2024·貴陽模擬)如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋3與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A，C.
(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；
(2)若拋物線上存在一點P，且在第一象限內(nèi)，使得△PAC的面積最大，求
△PAC面積的最大值及此時點P的坐標；
(3)當(dāng)m≤x≤m＋1時，二次函數(shù)有最大值－2，求m的值．
解：(1)拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋3.頂點M的坐標為().
(2)過點P作PQ∥y軸交AC 于點Q，
設(shè)P(t,)(0則Q(t,)，
∴PQ＝－t2＋t＋3－()＝－t2＋t，
∴S△PAC＝×PQ×4＝2PQ＝－t2＋2t＝－(t－2)2＋2.
∴當(dāng)t＝2時，△PAC的面積最大，最大值為2，此時點P的坐標為(2,).
(3)拋物線的對稱軸為直線x＝，最大值為.
①當(dāng)m＋1<，即m<－時，x＝m＋1，y有最大值－2.
把(m＋1，－2)代入y＝－＋，得－＝－2，解得m1＝－5，m2＝4(舍去)．
②當(dāng)m>時，在x＝m處，y有最大值－2，把(m，－2)代入
y＝，得－＝－2，
解得m1＝5，m2＝－4(舍去)．綜上所述，m的值為－5或5.
5．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2－4x＋3a(a為常數(shù)，且a≠0)與y軸交于點A，過點A作y軸的垂線與此拋物線交于點B，點A與點B不重合．
(1)拋物線的對稱軸為直線x＝ ；
(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時．
①求拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；
②當(dāng)m≤x≤m＋2(m為常數(shù))時，y的最小值為－3，求m的值；
(3)若點P是拋物線對稱軸上的點，其縱坐標為2a＋1，
當(dāng)以A，B，P三個點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求a的值．
2
解：(2)①y＝x2－4x.
②當(dāng)m＋2<2，即m<0 時，二次函數(shù)y＝x2－4x在x＝m＋2 時取最小值．
∴(m＋2)2－4(m＋2)＝－3，解得m1＝－1，m2＝1(舍去)．
當(dāng)m≤2≤m＋2，即0≤m≤2時，二次函數(shù)y＝x2－4x在x＝2時取最小值．
此時最小值為22－4×2＝－4，不符合題意．
當(dāng)m>2時，二次函數(shù)y＝x2－4x在x＝m時取最小值，
∴m2－4m＝－3，解得m3＝1(舍去)，m4＝3.
綜上所述，m的值為－1或3.
(3)設(shè)拋物線的對稱軸交AB于點K，連接PA，PB.
在y＝x2－4x＋3a 中，令x＝0得y＝3a，
∴A(0，3a)，∴B(4，3a)，K(2，3a)．
∴P(2，2a＋1)．∴PK＝|－a＋1|.
以A，B，P三個點為頂點的三角形是
等腰直角三角形，由圖可知，直角頂點為P，
∴AK＝PK，∴2＝|－a＋1|，
解得a＝－1或a＝3.
∴a的值為－1或3.
6．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C(0，3)，A(－3，0)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若D是線段AC上方拋物線上的一個動點(點D與A，C不重合)，求點D到直線AC的最大距離；
(3)當(dāng)t≤x≤t＋1時，函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的最大值
為－5，求t的值．
解：(1)該拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.
(2)過點D作DE∥y軸，交AC于點E，交x軸于點F，過點D作DG⊥AC于點G，
易得直線AC的函數(shù)解析式為y＝x＋3，
∵點D在拋物線 y＝－x2－2x＋3上，
∴設(shè)D(a，－a2－2a＋3)，則E(a，a＋3)，
∴DE＝(－a2－2a＋3)－(a＋3)
＝－(a＋)2＋，
∴當(dāng)a＝－時，DE有最大值，最大值為.
∵OC＝OA＝3，∴∠OCA＝45°，
∵DE∥OC，∴∠DEG＝∠OCA＝45°，
∴DG＝DE·cos 45°＝.
(3)把y＝－5代入y＝－x2－2x＋3中，
解得x1＝2，x2＝－4，
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
當(dāng)t≤x≤t＋1時，函數(shù)y＝－x2＋bx＋c 的最大值為－5，
①當(dāng)x＜－1時，x＝t＋1＝－4時，取得最大值，
解得t＝－5；
②當(dāng)x＞－1時，x＝t＝2時，取得最大值．
綜上所述，t＝－5或2.
7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋3，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC，P是直線BC上方拋物線上一動點，連接PA，交BC于點D.其中BC＝AB，OB＝4.
(1)求拋物線的解析式；
(2)求 的最大值；
(3)若函數(shù)y＝ax2＋bx＋3在m－≤x≤m＋(其中m≤)范圍內(nèi)的最大值為s，最小值為t，且≤s－t<，求m的取值范圍.
解：(1)拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋3.
(2)過點P作PM∥AB交直線BC于點M，
易得直線BC的解析式為y＝－x＋3，
設(shè)P(m，－m2＋m＋3)，
在y＝－x＋3中，令y＝－m2＋m＋3，
解得x＝m2－3m，
∴M(m2－3m，－m2＋m＋3)，
∴PM＝m－(m2－3m)＝－m2＋4m，
∵PM∥AB，∴△PMD∽△ABD，
∴＝＝＝－(m－2)2＋，
∴當(dāng)m＝2時，取最大值為 .
(3)y＝－x2＋x＋3＝－(x－)2＋，∴拋物線的對稱軸為直線x＝.
∵m≤，∴m＋≤<. ∴在m－≤x≤m＋(其中m≤)范圍內(nèi)，
當(dāng)x＝m＋時，y取最大值，即s＝－(m－1)2＋，
當(dāng)x＝m－時，y取最小值．即t＝－(m－2)2＋，∴s － t＝－m＋，
∵≤s－t<，∴≤－m＋<，解得∵m≤，∴m的取值范圍為8．(2024·連云港)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2＋bx－1(a，b為常數(shù)，a>0)．
(1)若拋物線與x軸交于A(－1，0)，B(4，0)兩點，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)如圖，當(dāng)b＝1時，過點C(－1，a)，D(1，a＋2)分別作y軸的平行線，交拋物線于點M，N，連接MN，MD.求證：MD平分∠CMN；
(3)當(dāng)a＝1，b≤－2時，過直線y＝x－1(1≤x≤3)上一點G作y軸的平行線，交拋物線于點H.若GH的最大值為4，求b的值．
(1)解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點，
∴
解得
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝x2－x－1.
(2)證明：連接CN，
∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1，
當(dāng)x＝－1時，y＝a－2，∴M(－1，a－2)，
當(dāng)x＝1時，y＝a，∴N(1，a)，
∴CN＝2，CM＝a－(a－2)＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，
∴MN＝＝2，
∵DN＝a＋2－a＝2，
∴DN＝MN，∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，∴MD平分∠CMN.
(3)解：當(dāng)a＝1時，y＝x2＋bx－1，
設(shè)G(m，m－1)，則H(m，m2＋bm－1)，
∵過直線y＝x－1(1≤x≤3)上一點G作y軸的平行線，
令x2＋bx－1＝x－1，
解得x1＝0，x2＝1－b.
∵b≤－2，∴x2＝1－b≥3，
點G在H的上方，如答圖，
GH＝－m2＋(1－b)m，
其對稱軸為m＝，且≥，
①當(dāng)≤≤3時，即－5≤b≤－2，
當(dāng)m＝時，GH取得最大值＝4，
解得b＝－3或b＝5(舍去)；
②當(dāng)m＝>3時，得b<－5，
當(dāng)m＝3時，GH取得最大值－9＋3－3b＝4，
解得b＝－(舍去)．
綜上所述，b的值為－3.

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