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第二十講　解直角三角形
A層·基礎過關
1.(2024·濰坊壽光市二模)已知∠A是銳角,sin A=,則tan A的值是 (B)
A. B. C. D.
2.(2024·東營墾利區二模)如圖,一輛自行車豎直擺放在水平地面上,右邊是它的部分示意圖,現測得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,則點A到BC的距離為 (A)
A.60sin 50° B.
C.60cos 50° D.60tan 50°
3.(2024·瀘州中考)寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感.如圖,把黃金矩形ABCD沿對角線AC翻折,點B落在點B'處,AB'交CD于點E,則sin∠DAE的值為 (A)
A. B. C. D.
4.(2024·淄博高青縣模擬)在△ABC中,若|sin A-|+(-cos B)2=0,則∠C的度數是　105°　.
5.(2024·綏化中考)如圖,用熱氣球的探測器測一棟樓的高度,從熱氣球上的點A測得該樓頂部點C的仰角為60°,測得底部點B的俯角為45°,點A與樓BC的水平距離AD=50 m,則這棟樓的高度為　(50+50)　m(結果保留根號).
6. (2024·赤峰中考)綜合實踐課上,航模小組用無人機測量古樹AB的高度.如圖,點C處與古樹底部A處在同一水平面上,且AC=10米,無人機從C處豎直上升到達D處,測得古樹頂部B的俯角為45°,古樹底部A的俯角為65°,則古樹AB的高度約為　11.5　米(結果精確到0.1米;參考數據:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°
≈2.145).
7.(2024·浙江中考)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的長;
(2)求sin∠DAE的值.
【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD===8;
∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC邊上的中線,∴CE=BC=7,∴DE=CE-CD=7-6=1,∵AD⊥BC,
∴AE===,
∴sin∠DAE===.
B層·能力提升
8.(2024·深圳中考)如圖,為了測量某電子廠的高度,小明用高1.8 m的測量儀EF測得頂端A的仰角為45°,小軍在小明的前面5 m處用高1.5 m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53°,則電子廠AB的高度為 (A)
(參考數據:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
A.22.7 m B.22.4 m
C.21.2 m D.23.0 m
9.(2024·包頭中考)如圖,在矩形ABCD中,E,F是邊BC上兩點,且BE=EF=FC,連接DE,AF,DE與AF相交于點G,連接BG.若AB=4,BC=6,則sin∠GBF的值為 (A)
A. B. C. D.
10. (2024·鹽城中考)如圖,小明用無人機測量教學樓的高度,將無人機垂直上升到距地面30 m的點P處,測得教學樓底端點A的俯角為37°,再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6 m至點Q處,測得教學樓頂端點B的俯角為45°,則教學樓AB的高度約為　17　m.(精確到1 m,參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
11.(2024·上海中考)在平行四邊形ABCD中,∠ABC是銳角,將CD沿直線l翻折至AB所在直線,對應點分別為C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,則cos∠ABC= 或　.
C層·素養挑戰
12.(2024·廣元中考)小明從科普讀物中了解到,光從真空射入介質發生折射時,入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”,簡稱“折射率”.它表示光在介質中傳播時,介質對光作用的一種特征.
(1)若光從真空射入某介質,入射角為α,折射角為β,且cos α=,β=30°,求該介質的折射率;
(2)現有一塊與(1)中折射率相同的長方體介質,如圖①所示,點A,B,C,D分別是長方體棱的中點,若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入,其折射光線恰好從點C處射出.如圖②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面積.
【解析】(1)∵cos α=,
∴如圖,
設b=x,則c=4x,由勾股定理得,a==3x,
∴sin α===,又∵β=30°,
∴sin β=sin 30°=,
∴折射率為==.
(2)根據折射率與(1)的材料相同,可得折射率為,
∵α=60°,
∴==,∴sin β=.
∵四邊形ABCD是矩形,點O是AD中點,
∴AD=2OD,∠D=90°,
又∵∠OCD=β,
∴sin∠OCD=sin β=,
在Rt△ODC中,設OD=x,OC=3x,
由勾股定理得,CD==x,
∴tan β===.
又∵CD=10 cm,
∴=,
∴OD=5 cm,
∴AD=10 cm,∴截面ABCD的面積為:10×10=100 cm2.第二十講　解直角三角形
A層·基礎過關
1.(2024·濰坊壽光市二模)已知∠A是銳角,sin A=,則tan A的值是 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·東營墾利區二模)如圖,一輛自行車豎直擺放在水平地面上,右邊是它的部分示意圖,現測得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,則點A到BC的距離為 ( )
A.60sin 50° B.
C.60cos 50° D.60tan 50°
3.(2024·瀘州中考)寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感.如圖,把黃金矩形ABCD沿對角線AC翻折,點B落在點B'處,AB'交CD于點E,則sin∠DAE的值為 ( )
A. B. C. D.
4.(2024·淄博高青縣模擬)在△ABC中,若|sin A-|+(-cos B)2=0,則∠C的度數是 .
5.(2024·綏化中考)如圖,用熱氣球的探測器測一棟樓的高度,從熱氣球上的點A測得該樓頂部點C的仰角為60°,測得底部點B的俯角為45°,點A與樓BC的水平距離AD=50 m,則這棟樓的高度為 m(結果保留根號).
6. (2024·赤峰中考)綜合實踐課上,航模小組用無人機測量古樹AB的高度.如圖,點C處與古樹底部A處在同一水平面上,且AC=10米,無人機從C處豎直上升到達D處,測得古樹頂部B的俯角為45°,古樹底部A的俯角為65°,則古樹AB的高度約為 米(結果精確到0.1米;參考數據:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65°
≈2.145).
7.(2024·浙江中考)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的長;
(2)求sin∠DAE的值.
B層·能力提升
8.(2024·深圳中考)如圖,為了測量某電子廠的高度,小明用高1.8 m的測量儀EF測得頂端A的仰角為45°,小軍在小明的前面5 m處用高1.5 m的測量儀CD測得頂端A的仰角為53°,則電子廠AB的高度為 ( )
(參考數據:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
A.22.7 m B.22.4 m
C.21.2 m D.23.0 m
9.(2024·包頭中考)如圖,在矩形ABCD中,E,F是邊BC上兩點,且BE=EF=FC,連接DE,AF,DE與AF相交于點G,連接BG.若AB=4,BC=6,則sin∠GBF的值為 ( )
A. B. C. D.
10. (2024·鹽城中考)如圖,小明用無人機測量教學樓的高度,將無人機垂直上升到距地面30 m的點P處,測得教學樓底端點A的俯角為37°,再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6 m至點Q處,測得教學樓頂端點B的俯角為45°,則教學樓AB的高度約為 m.(精確到1 m,參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
11.(2024·上海中考)在平行四邊形ABCD中,∠ABC是銳角,將CD沿直線l翻折至AB所在直線,對應點分別為C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,則cos∠ABC= .
C層·素養挑戰
12.(2024·廣元中考)小明從科普讀物中了解到,光從真空射入介質發生折射時,入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”,簡稱“折射率”.它表示光在介質中傳播時,介質對光作用的一種特征.
(1)若光從真空射入某介質,入射角為α,折射角為β,且cos α=,β=30°,求該介質的折射率;
(2)現有一塊與(1)中折射率相同的長方體介質,如圖①所示,點A,B,C,D分別是長方體棱的中點,若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入,其折射光線恰好從點C處射出.如圖②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面積.

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